Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 4, стр. 548-556

1. ВВЕДЕНИЕ

Изучается задача минимизации

нелинейного функционала $J:H \to \mathbb{R}$ на вещественном гильбертовом пространстве $H$. Эта задача заключается в нахождении точки $x{\kern 1pt} * \in H$, доставляющей глобальный минимум функционалу $J$. Существование решения $x{\kern 1pt} *$ ниже предполагается. Потребуем, чтобы функционал $J$ был дважды непрерывно дифференцируем по Фреше и его вторая производная Фреше удовлетворяла условию Липшица с некоторой константой $\Lambda > 0$. Под $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ здесь и далее понимается норма пространства $H$. Отметим, что из (2) с применением формулы Тейлора для отображений в нормированных пространствах [1, с. 658] следуют оценки которые понадобятся нам ниже.

Задача оптимизации (1) в общем случае является некорректной [2]. Это означает, что она не может быть решена классическими методами минимизации: даже если с их помощью получена минимизирующая последовательность $\{ {{x}_{n}}\} \subset H$, такая что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } J({{x}_{n}}) = J(x{\kern 1pt} *)$, эта последовательность не обязательно сходится к искомому решению $x{\kern 1pt} *$ в норме $H$. Для решения некорректных экстремальных задач используются методы регуляризации, такие как метод Тихонова и методы итеративной регуляризации [2, гл. 2]. В случае точно заданного функционала $J$ метод Тихонова заключается в минимизации регуляризованного функционала

с параметром $\alpha > 0$. Если функционал $J$ является слабо полунепрерывным снизу, существует точка глобального минимума ${{x}_{\alpha }} \in H$ функционала ${{T}_{\alpha }}$ [2, теорема 1.3.2] и ее можно принять в качестве приближения к искомой точке $x{\kern 1pt} *$. Слабая полунепрерывность снизу функционала $J$ означает, что для любой последовательности $\{ {{x}_{n}}\} \subset H$, слабо сходящейся к некоторой точке ${{x}_{0}} \in H$, справедливо $\mathop {\underline {\lim } }\limits_{n \to \infty } J({{x}_{n}}) \geqslant J({{x}_{0}})$. В общем случае, если слабая полунепрерывность снизу функционала $J$ не гарантируется, используется следующая модификация описанной выше процедуры. Наряду с параметром $\alpha > 0$, задают значение $\varepsilon > 0$ и в качестве приближения к решению $x{\kern 1pt} *$ выбирают точку ${{x}_{{\alpha ,\varepsilon }}}$ такую, что

Оценки точности метода Тихонова и других методов регуляризации устанавливаются обычно при некоторых дополнительных условиях на искомое решение $x{\kern 1pt} *$. Мы будем предполагать, что выполнено условие истокопредставимости

с некоторым априори заданным элементом $\xi \in H$. При дополнительном условии выпуклости функционала $J$ известна оценка точности $\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\kern 1pt} *} \right\| = O(\alpha )$ (см. [3, теорема 3.9]). В [4] такая же по порядку $\alpha $ оценка установлена для невыпуклых функционалов $J$, удовлетворяющих структурному условию Это равенство должно выполняться для любых элементов $h,w \in H$, обладающих достаточно малой нормой, с отображением $k\,:\;H \times H \to H$, на которое наложены некоторые дополнительные требования. В [5] при анализе схемы Лаврентьева в применении к операторным уравнениям вида $F(x) = 0$ с монотонным оператором $F$ применялось структурное условие, которое можно получить из (7), если положить $F = J{\kern 1pt} '$. Фактически, рассмотренная в [5] задача является задачей (1) с выпуклым функционалом $J$, удовлетворяющим (7). Особенностью работ [4], [5] является получение оценок точности изучаемого метода в зависимости от показателя гладкости искомого решения. Без использования структурных условий, подобных (7), для метода Тихонова в применении к некорректным задачам оптимизации с гладкими невыпуклыми функционалами $J$ в [6] установлена оценка $\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\kern 1pt} *} \right\| = O({{\alpha }^{{1/2}}})$. В настоящей статье впервые устанавливается оценка $\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\kern 1pt} *} \right\| = O(\alpha )$ для произвольных гладких невыпуклых функционалов $J$.

Изучается также случай, когда вместо точного функционала $J$ в методе Тихонова используется его приближение ${{J}_{\delta }}$. В подобных исследованиях обычно предполагается, что функционалы ${{J}_{\delta }}$ и $J$ связаны соотношением

с известным уровнем погрешности $\delta $ (см., например, [6], [7]), а параметры $\alpha $ и $\varepsilon $ выбираются по определенным правилам в зависимости от $\delta $. В настоящей статье исследуется другой критерий близости приближенного функционала к точному, который также использовался в [4] наряду с (8): Таким образом, предполагается, что функционал ${{J}_{\delta }}$ всюду дифференцируем по Фреше. При подходящем выборе $\alpha = \alpha (\delta )$, $\varepsilon = \varepsilon (\delta )$ мы получим оценку точности метода Тихонова с приближенным функционалом, удовлетворяющим условию (9).

Оценки точности метода Тихонова и вычислительных алгоритмов на его основе в применении к задачам в банаховых пространствах приведены, например, в [8–10]. В этих исследованиях функционал $J$ имеет специальный вид $J(x) = {{\left\| {F(x)} \right\|}^{r}}$, $r > 1$, с наложением дополнительных структурных условий на нелинейность оператора $F$.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

Пусть функционал $J$ на гильбертовом пространстве $H$ имеет точку глобального минимума $x{\kern 1pt} *$, причем выполнены условие гладкости (2) и условие истокопредставимости (6). Пусть вместо $J$ известен приближенный функционал ${{J}_{\delta }}$ и для него справедливо соотношение (9). Рассмотрим функционал

Метод Тихонова в применении к задаче (1) заключается в нахождении точки $\tilde {x} = {{\tilde {x}}_{{\alpha ,\varepsilon ,\delta }}} \in H$, такой что с параметрами $\alpha ,{\kern 1pt} \varepsilon > 0$, выбранными подходящим образом в зависимости от $\delta $. Такая точка $\tilde {x}$ всегда существует. Конкретный способ выбора параметров $\alpha = \alpha (\delta )$, $\varepsilon = \varepsilon (\delta )$ будет уточнен позже.

Из (10) следует, что для произвольного элемента $z \in H$ справедливо неравенство

а значит, в силу (9), В ходе дальнейших рассуждений мы будем подставлять вместо $z$ в неравенство (11) и его следствия разные элементы пространства $H$.

Следуя [6], для оценки величины $\left\| {\tilde {x} - \xi } \right\|$ запишем неравенство (11) с $z = x{\kern 1pt} *$:

С учетом неравенства $J(x{\kern 1pt} *) \leqslant J(\tilde {x})$ отсюда следует, что

Потребуем, чтобы выполнялись соотношения

Пусть ${{\delta }_{0}} \in (0,1]$ таково, что Далее предполагается, что $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$, так что неравенства (14) выполнены.

Заметим, что в случае, если выполнено неравенство

для левой части (12) в силу (14) справедлива оценка так что в этом случае Вновь используя (13), получаем оценку

Поясним смысл сделанного вывода. Здесь и далее мы считаем фиксированными функционал J, константу $\Lambda $, элементы $\xi $ и $w$, зависимости $\alpha = \alpha (\delta )$ и $\varepsilon = \varepsilon (\delta )$ (точный вид этих зависимостей будет указан позже). Через ${{C}_{1}},\;{{C}_{2}},\; \ldots $ мы будем обозначать константы, не зависящие от $\delta $ и ${{J}_{\delta }}$ – в частности, это значит, что они не зависят также от $\alpha $ и $\varepsilon $, хотя могут различаться для разных функционалов $J$ или при разном выборе точки $\xi $. Мы доказали оценку (16) в предположении (15), однако легко видеть, что она справедлива и без этого предположения, поскольку правая часть (15) является константой в указанном выше смысле. Оценка (16) означает, что при любом выборе $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$ и функционала ${{J}_{\delta }}$, удовлетворяющего неравенству (9), соответствующая точка $\tilde {x}$, определяемая соотношениями (10), не может покидать некоторого круга.

В силу (11) и (16), для произвольного элемента $z \in H$ справедливо

Используя легко проверяемое равенство и условие истокопредставимости (6), получаем отсюда Заметим теперь, что в силу (3) справедливо представление Здесь $J{\kern 1pt} '(x{\kern 1pt} *{{) = 0}_{H}}$, поэтому Подставим полученное равенство в (18):

Докажем, что элемент $J{\kern 1pt} '(\tilde {x})$ в (20) допускает следующее представление.

Лемма 1. Пусть выполнены соотношения (2), (9), (10), (13). Тогда справедливо представление

Доказательство. Запишем неравенство (17) в виде

Напомним, что здесь Заметим, что $T_{\alpha }^{{''}}(x) = J{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (x) + 2\alpha E$, где $E$ – единичный оператор в $H$, поэтому вторая производная $T_{\alpha }^{{''}}$ удовлетворяет условию Липшица (2) с той же константой $\Lambda $, что и $J{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$, и, значит, справедлива оценка (4) с заменой $J$ на ${{T}_{\alpha }}$. Положим $z = \tilde {x} - \sigma T_{\alpha }^{'}(\tilde {x})$, $\sigma > 0$, в (22) и с учетом этой оценки получаем В силу (2), (3), (14) и (16), здесь поэтому

Если выполнено неравенство

то ${{C}_{4}}\delta \leqslant {\text{|}}{\kern 1pt} {\text{|}}T_{\alpha }^{'}(\tilde {x}){\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} {\text{|/}}2$ и из (23) следует Выберем теперь параметр $\sigma > 0$ так, чтобы Специально отметим, что выбранное значение $\sigma $ не зависит от $\delta $ или ${{J}_{\delta }}$. Получаем Эта оценка получена нами в предположении (24). Поэтому без данного предположения будет справедлива такая оценка: или, что то же самое, Отсюда сразу следует представление (21). Лемма доказана.

Подставим теперь полученное представление (21) в (20). Тогда с использованием (19) и (6) получаем

справедливой для любого $z \in H$. Потребуем теперь, чтобы выполнялось дополнительное условие Тогда Положим здесь $z = x{\kern 1pt} * - \;2\alpha w$ и с учетом (13), (16) получим

Оценим величину $J(x{\kern 1pt} *\; - 2\alpha w) - J(\tilde {x})$ в (26). Справедлива

Лемма 2. Пусть выполнены соотношения (2), (6), (9), (10), (13). Тогда справедлива оценка

Доказательство. С использованием соотношения (4) получаем

Следующие рассуждения справедливы для любого самосопряженного линейного непрерывного оператора $B$ в пространстве $H$. Конкретный выбор оператора $B$ будет осуществлен позже и не будет зависеть от $\delta $. Имеем В силу (13), (16) и (21), $\left\| {J{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (\widetilde x)} \right\| \leqslant {{C}_{{12}}}\alpha $, поэтому получаем Вновь используем представление (21): В последнем переходе мы использовали соотношения (13) и неравенство (16). Комбинируя полученную оценку с (28), получаем где

Если $x{\kern 1pt} * = \xi $, то условие (6), а значит, и все дальнейшие выводы из него, справедливы с $w{{ = 0}_{H}}$, поэтому $\Delta = 0$ в (30). Предположим, что $x{\kern 1pt} * \ne \xi $. Отметим, что все последние рассуждения справедливы для любого самосопряженного оператора $B \in L(H)$. Подберем его теперь так, чтобы $B(x{\kern 1pt} *\; - \xi ) = w$, что опять же влечет $\Delta = 0$ в (30). Если $(x{\kern 1pt} *\; - \xi ,w) \ne 0$, то подходит оператор $B$, заданный формулой $Bx = \frac{{(x,w)}}{{(x{\kern 1pt} *\; - \xi ,w)}}w$, а если $(x{\kern 1pt} *\; - \xi ,w) = 0$ – то заданный формулой

$Bx = x - \frac{{(x,x{\kern 1pt} *\; - \xi - w)}}{{{{{\left\| {x{\kern 1pt} *\; - \xi } \right\|}}^{2}}}}(x{\kern 1pt} *\; - \xi - w)$.

Теперь из (29) следует оценка (27). Лемма доказана.

3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МЕТОДА ТИХОНОВА

Перейдем теперь к получению искомой оценки точности метода Тихонова. Подставим (27) в (26):

Заметим, что для любого $\epsilon > 0$ справедливо неравенство Комбинируя его с (31) и выбирая $\epsilon $ так, чтобы $\frac{1}{2}{{C}_{{17}}}{{\epsilon }^{2}} < 1$, приходим к оценке Наконец, выберем с произвольными ${{K}_{1}},{{K}_{2}} > 0$. Отметим, что эти зависимости удовлетворяют соотношениям (13). Приходим к окончательной оценке

Для сравнения, в [6], [7] установлена оценка $\left\| {\tilde {x} - x{\kern 1pt} *} \right\| = O({{\delta }^{{1/4}}})$ в случае, если связь между точным и приближенным функционалами определяется соотношением (8). При этом рассматривался как априорный, так и апостериорный способ выбора параметра $\alpha $ в зависимости от уровня погрешности $\delta $.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Пусть вместо точного функционала $J$ известно его приближение ${{J}_{\delta }}$, выполнены условия (2), (6), (9), (25) и параметры $\alpha $, $\varepsilon $ в (10) выбираются по правилу (33). Тогда для точности приближения $\tilde {x}$, доставляемого методом Тихонова (10) в применении к задаче (1), справедлива оценка (34).

Рассмотрим теперь случай, когда известен точный функционал $J$ и метод Тихонова имеет вид (5). Нетрудно видеть, что тогда выполнено условие (9) с ${{J}_{\delta }} = J$, $\delta = 0$. При отсутствии погрешности в минимизируемом функционале параметр $\varepsilon $ в методе Тихонова следует выбирать в зависимости от значения $\alpha $. В соответствии с условием (13) примем $\varepsilon (\alpha ) = {{K}_{3}}{{\alpha }^{4}}$ с произвольным ${{K}_{3}} > 0$. При этом все проведенные здесь рассуждения вплоть до (32) остаются справедливыми, а сама оценка (32) принимает вид

Если же функционал $J$ слабо полунепрерывен снизу, можно положить $\varepsilon = 0$ в (5) и получить оценку для ${{x}_{\alpha }} = \mathop {{\text{argmin}}}\limits_{x \in H} {{T}_{\alpha }}(x)$. Тем самым, доказана

Теорема 2. Пусть выполнены условия (2), (6), (25). Тогда при выборе параметра $\varepsilon $ в методе Тихонова (5) с точно заданным функционалом $J$ по правилу $\varepsilon (\alpha ) = {{K}_{3}}{{\alpha }^{4}}$, ${{K}_{3}} > 0$ справедлива оценка (35). Если, кроме того, функционал $J$ слабополунепрерывен снизу, то для точки ${{x}_{\alpha }}$, доставляющей глобальный минимум функционалу Тихонова ${{T}_{\alpha }}$, справедлива оценка (36).

Подчеркнем, что теорема 2 относится к случаю точно заданного функционала $J$ и не связана с введенным в настоящей статье предположением (9). Установленные в этой теореме оценки ранее были известны только при условии выпуклости функционала $J$ или при наложении структурного условия на его нелинейность. Теорема 2 усиливает оценку $\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\kern 1pt} *} \right\| = O({{\alpha }^{{1/2}}})$, полученную в [6] без использования подобных условий. Кроме того, теоремы 1 и 2 усиливают результаты, полученные в [4], в случае, когда показатель истокопредставимости равен $p = 1$. А именно, в [4] получены те же самые оценки (34) и (36), что и в настоящей статье, однако мы при доказательстве теоремы 1 накладываем на погрешность функционала $J$ только условие (9), а в [4] используются сразу оба условия (8), (9) и еще структурное условие на нелинейность. Отметим также, что в [4] доказана невозможность существенного улучшения обсуждаемых оценок точности метода Тихонова.