1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 5, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 5, стр. 697-714

Вычисление условия сильного резонанса в системе Гамильтона

А. Б. Батхин 1, 2, *, З. Х. Хайдаров 3, **

1 ИПМ им. М.В.Келдыша РАН
125047 Москва, Миусская пл., 4, Россия

2 МФТИ
141701 М.о., Долгопрудный, Институтский переулок, 9, Россия

3 СамГУ им. Ш. Рашидова
140104 Самарканд, Университетский бул.,15, Узбекистан

* E-mail: batkhin@gmail.com
** E-mail: zafarxx@gmail.com

Поступила в редакцию 20.11.2022
После доработки 05.01.2023
Принята к публикации 02.02.2023

Аннотация

Для исследования областей формальной устойчивости положения равновесия многопараметрической системы Гамильтона с тремя степенями свободы в случае общего положения предложен способ символьного вычисления условия существования резонанса третьего и четвертого порядков. Это условие формулируется в виде нулей квазиоднородного полинома от коэффициентов характеристического многочлена линейной части системы Гамильтона. Методами компьютерной алгебры (базисы Грёбнера исключающих идеалов) и степенной геометрии (степенные преобразования) для различных резонансных векторов это условие представляется в виде рациональных алгебраических кривых, с помощью которых получено описание разбиения области устойчивости по линейному приближению в пространстве коэффициентов характеристического многочлена на такие части, где отсутствуют сильные резонансы. Приведен пример описания резонансных множеств для двупараметрической системы маятникового типа. Все вычисления выполнены в системе компьютерной алгебры Maple. Библ. 20. Фиг. 3.

Ключевые слова: система Гамильтона, положение равновесия, нормальная форма, формальная устойчивость, резонансное условие, исключающий идеал.

Список литературы

  1. Брюно А. О типах устойчивости в системах Гамильтона // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2020. № 21. С. 1–24.

  2. Зигель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. 384 с.

  3. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 352 с.

  4. Moser J.K. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian Systems // Comm. Pure Appl. Math. 1958. V. 11. № 1. P. 81–114.

  5. Батхин А.Б., Хайдаров З.Х. Сильные резонансы в нелинейной системе Гамильтона // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2022. № 59. С. 1–28.

  6. Батхин А.Б., Брюно А.Д., Варин В.П. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем // Приклад. матем. и мех. 2012. Т. 76. № 1. С. 80–133.

  7. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. 72 с.

  8. Basu S., Pollack R., Roy M.-F. Algorithms in Real Algebraic Geometry. Algorithms and Computations in Mathematics 10. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, 2006. ix p.

  9. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений (II) // Тр. ММО. 1972. Т. 26. С. 199–239.

  10. Биркгоф Д.Д. Динамические системы. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”, 1999. 408 с.

  11. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 296 с.

  12. Bruno A.D., Batkhin A.B. Survey of eight modern methods of Hamiltonian mechanics // Axioms. 2021. V. 10. № 4. https://www.mdpi.com/2075-1680/10/4/293.

  13. Брюно А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 3. С. 325–330.

  14. Журавлев В.Ф., Петров А.Г., Шундерюк М.М. Избранные задачи гамильтоновой механики. М.: -ЛЕНАНД, 2015. 304 с.

  15. Кокс Д., Литтл Д., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000. 687 с.

  16. Батхин А.Б. Резонансное множество многочлена и проблема формальной устойчивости // Вестн. ВолГУ. Сер. 1. Матем. Физ. 2016. № 4 (35). С. 5–23.

  17. Батхин А.Б. Параметризация множества, определяемого обобщенным дискриминантом многочлена // Программирование. 2018. № 2. С. 5–17.

  18. Брюно А.Д., Солеев А. Локальная униформизация пространственной кривой и многогранники Ньютона // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. № 1. С. 67–102.

  19. Брюно А.Д., Азимов А.А. Вычисление унимодулярных матриц степенных преобразований // Программирование. 2023. № 1. С. 38–47.

  20. Маркеев А.П. О движении связанных маятников // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 1. С. 27–38.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал