1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 8, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 8, стр. 1251-1271

Аппроксимация дифференциальных операторов с учетом граничных условий

В. П. Варин 1, *

1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
125047 Москва, Миусская пл., 4, Россия

* E-mail: varin@keldysh.ru

Поступила в редакцию 11.01.2023
После доработки 19.02.2023
Принята к публикации 30.03.2023

Аннотация

Применение спектральных методов для решения краевых задач является весьма эффективным, но сопряженным с большими техническими трудностями, связанными с учетом граничных условий. Существует несколько способов такого учета, но все они либо весьма трудоемки, либо требуют предварительного анализа задачи и записи ее в интегральной форме. Мы предлагаем универсальный способ учета граничных условий для линейных дифференциальных операторов на конечном отрезке, который весьма прост в реализации. Применение рациональной арифметики позволяет оценить эффективность метода без учета ошибок округления. Мы применили наш подход к вычислению рациональных приближений для некоторых фундаментальных констант. Получены приближения, которые в ряде случаев лучше, чем те, которые дают обыкновенные цепные дроби этих констант. Библ. 22. Фиг. 2.

Ключевые слова: полиномы Лежандра, краевые задачи, доказательства иррациональности, голономные функции, высокоточные вычисления.

Список литературы

  1. Pashkovskii S. Computational Application of Chebyshev Polynomials and Series. Moscow: Nauka, 1983.

  2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Ижевск: РиХД, 2002.

  3. Gottlieb D., Orszag S.A. Numerical analysis of spectral methods: theory and applications. CBMS Regional Conference Series in Applied Mathematics. 6th printing, 1996.

  4. Lanczos C. Applied Analysis. New-York: Dover Publications, 1956.

  5. Варин В.П., Петров А.Г. Гидродинамическая модель ушной улитки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т.49. № 9. С. 1708–1723.

  6. Wilf H.S. Mathematics for the physical sciences. NewYork: Wiley, 1962.

  7. Johnson D. Chebyshev Polynomials in the Spectral Tau Method and Applications to Eigenvalue Problems // NASA Contractor Report 198451. 1996.

  8. Ortiz E.L., Samara H. An Operational Approach to the Tau Method for the Numerical Solution of Non-Linear Differential Equations // Computing. 1981. V. 27. P. 15–25.

  9. Krylov V.I. Approximate calculation of integrals. New-York, London: Macmillan, 1962.

  10. Gantmacher F.R. Application of the Theory of Matrices. New-York: Chelsea Press, 1960.

  11. Варин В.П. Преобразование последовательностей в доказательствах иррациональности некоторых фундаментальных констант // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 10. С. 1587–1614.

  12. Allen G.D. et al. Padé approximation and Gaussian quadrature // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. V. 11. P. 63–69.

  13. Legendre A.M. Èlements de Gèomètrie. (2em. ed). Chez Fermin Didot Père et Fils. Paris, 1823.

  14. Rivoal T. Polynomial continued fractions for $\exp (\pi )$ // hal-03269677v3. 2022. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03269677v3.

  15. Кузьмин Р.О. Об одном новом классе трансцендентных чисел // Известия Акад. наук СССР. VII сер. Отд. физ.-мат. наук. 1930. Вып. 6. С. 585–597.

  16. Aptekarev A.I. On linear forms containing the Euler constant // [arXiv:0902.1768v2]. 2009. http://arxiv.org/abs/0902.1768v2.

  17. Варин В.П. Факториальное преобразование некоторых классических комбинаторных последовательностей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 59. № 6. С. 1747–1770.

  18. Perron O. Irrazionalzahlen. Berlin, Leipzig: Göschens Lehrbücherei, 1921.

  19. Kauers M., Paule P. The Concrete Tetrahedron. Symbolic Sums, Recurrence Equations, Generating Functions, Asymptotic Estimates. Wien: Springer, 2011.

  20. Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. New-York: Dover Publications, 1987.

  21. Варин В.П. Функциональное суммирование рядов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 1. С. 3–17.

  22. Wimp J. Sequence transformations and their applications. New-York, etc.: Academic Press, 1981.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал