1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 63, № 9, 2023

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 9, стр. 1415-1427

Конструктивный алгоритм векторизации произведения $P \otimes P$ для симметричной матрицы P

А. И. Глущенко 1, *, К. А. Ласточкин 1, **

1 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН
117997 Москва, ул. Профсоюзная, 65, Россия

* E-mail: aiglush@ipu.ru
** E-mail: lastconst@ipu.ru

Поступила в редакцию 20.02.2022
После доработки 20.02.2023
Принята к публикации 29.05.2023

Аннотация

В работе предложен конструктивный алгоритм вычисления матриц исключения $\bar {L}$ и дублирования $\bar {D}$ для операции векторизации произведения $P \otimes P$ при $P = {{P}^{{\text{T}}}}$. Матрица $\bar {L}$, получаемая в соответствии с алгоритмом, позволяет формировать из упомянутого произведения вектор, содержащий только уникальные элементы. Матрица $\bar {D}$, в свою очередь, позволяет выполнять обратное преобразование. Предложена программная реализация процедуры вычисления матриц $\bar {L}$ и $\bar {D}$. На основе отмеченных результатов предложена новая операция ${\text{vecu}}\left( . \right)$, определенная над произведением $P \otimes P$ при $P = {{P}^{{\text{T}}}}$ и описаны ее свойства. Показаны отличия и преимущества разработанной операции от известных операций ${\text{vec}}\left( . \right)$ и ${\text{vech}}\left( . \right)$ (${\text{vecd}}\left( . \right)$) в случае их применения для векторизации произведения $P \otimes P$ при $P = {{P}^{{\text{T}}}}$. На примере параметризации алгебраического уравнения Риккати продемонстрирована эффективность операции ${\text{vecu}}\left( . \right)$ для снижения перепараметризации задачи идентификации неизвестных параметров. Библ. 14. Фиг. 3.

Ключевые слова: векторизация, матрица исключения, матрица дублирования, произведение Кронекера, уникальные элементы матрицы, снижение размерности, перепараметризация, уравнение Риккати.

Список литературы

  1. Magnus J.R., Neudecker H. The elimination matrix: some lemmas and applications // SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods. 1980. V. 1 (4). P. 422–449.

  2. Nagakura D. On the relationship between the matrix operators, vech and vecd // Communications in Statistics-Theory and Methods. 2018. V. 47(13). P. 3252–3268.

  3. Sastry S., Bodson M. Adaptive control: stability, convergence and robustness. Courier Corporation, 2011.

  4. Lavretsky E., Wise K.A. Robust adaptive control // Robust and adaptive control. London: Springer, 2013.

  5. Ioannou P.A., Sun J. Robust adaptive control. Courier Corporation, 2012.

  6. Ortega R., Nikiforov V., Gerasimov D. On modified parameter estimators for identification and adaptive control. A unified framework and some new schemes // Annual Reviews in Control. 2020. V. 50. P. 278–293.

  7. Lion P.M. Rapid identification of linear and nonlinear systems // AIAA Journal. 1967. V. 5. P. 1835–1842.

  8. Kreisselmeier G. Adaptive observers with exponential rate of convergence // IEEE Transactions on Automatic Control. 1977. V. 22 (1). P. 2–8.

  9. Aranovskiy S. Parameter Estimation with Enhanced Performance. Habilitation. Rennes: Université de Rennes 1, 2021.

  10. Lewis F., Syrmos V. Optimal control. John Wiley & sons, INC., 2nd edition, 1995.

  11. Kalman R.E. et al. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 1960. V. 5 (2). P. 102–119.

  12. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Hard Problems in Linear Control Theory: Possible Approaches to Solution // Automation and Remote Control. 2005. V. 66(5). P. 681–718.

  13. Jha S.K., Roy S.B., Bhasin S. Data-driven adaptive LQR for completely unknown LTI systems // IFAC-Pa-persOnLine. 2017. V. 50 (1). P. 4156–4161.

  14. Jiang Y., Jiang Z.P. Computational adaptive optimal control for continuous-time linear systems with completely unknown dynamics // Automatica. 2012. V. 48 (10). P. 2699–2704.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал