ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2023, том 59, № 8, с.1098-1109
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.55
ВНУТРЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛА
ОТ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ И ЗАДАЧИ
С ЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМОЙ
© 2023 г. М. В. Балашов
Изучена зависимость радиуса шара с центром в нуле, вписанного в значения интеграла
от многозначного отображения, от верхнего предела интегрирования. Для некоторых ти-
пов интегралов найдены точные асимптотики радиуса по верхнему пределу, когда верхний
предел стремится к нулю. Рассмотрены примеры нахождения этого радиуса. Полученные
результаты применены для вывода новых достаточных условий равномерно непрерывной
зависимости минимального времени и решения-точки в линейной задаче быстродействия
от начальных данных. Также рассмотрены приложения в некоторых алгоритмах со мно-
жеством достижимости линейной управляемой системы.
DOI: 10.31857/S0374064123080095, EDN: IPXHTM
Введение. Пусть U ⊂ Rn - выпуклое компактное множество, 0 ∈ U, F (s) ∈ Rn×n - мат-
рица с гладкими компонентами. Рассмотрим интеграл от многозначного отображения F (s)U
∫t
F (t) = F (s)U ds.
(1)
0
Многозначный интеграл здесь и далее мы будем понимать в смысле интеграла Аумана [1]
∫
t
{∫t
}
F (s)U ds =
F (s)u(s) ds : u(s) ∈ U
,
0
0
где u(s) - измеримый селектор. По теореме Ляпунова о векторной мере значение интеграла (1)
есть выпуклое и замкнутое множество [2]. Теорию интегралов от многозначных отображений
можно найти в монографии [3] (см. также библиографию в ней).
Одно из важных приложений интеграла - описание множества достижимости управляемой
системы, в первую очередь линейной. Пусть линейная управляемая система задана в виде
включения
x′ ∈ Ax + U, x(0) = x0,
(2)
где x ∈ Rn, A ∈ Rn×n,
0 ∈ U ⊂ Rn - выпуклый компакт. Пусть R(x(0),t) - множество
достижимости этой системы. Напомним, что для всякого t ≥ 0 множество достижимости
R(x(0), t) для системы (2) есть множество всех точек x(t) по всем решениям x(·) системы (2).
Множество достижимости выпукло и замкнуто [4, гл. 2, § 2.2, теорема 1]. Легко получить
представление множества достижимости в виде интеграла
∫t
∫
t
R(x(0), t) = eAtx(0) + eA(t-s)U ds = eAtx0 + eAsU ds.
(3)
0
0
∫t
Обозначим R0(t) = R(0, t) =
eAsU ds.
0
1098
ВНУТРЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1099
Включение 0 ∈ U обеспечивает монотонность интеграла (1): F(t1) ⊂ F(t2) при t1 ≤ t2.
Также заметим, что в силу аддитивности интеграла Аумана справедливо
∫t2
F (t2) = F(t1) + F (s)U ds, t1 ≤ t2.
t1
Введём необходимые определения. Через (x, y) будем обозначать скалярное произведение
(x, y) для всех x, y ∈ Rn. Пусть {ek}nk=1 - стандартный ортонормированный базис в Rn.
Обозначим через BR(x) замкнутый шар с центром x радиуса R > 0. Для множества M
обозначим через cl M и ∂M замыкание и границу множества M соответственно. Определим
функцию расстояния
ϱM(x) = inf ∥x - y∥.
y∈M
Расстоянием в метрике Хаусдорфа между компактными множествами M1, M2 ⊂ Rn на-
зывается величина
{
}
h(M1, M2) = max max
ϱM2(x), max ϱM1 (x)
x∈M1
x∈M2
Полунормой компакта M ⊂ Rn называется число ∥M∥ = h(M, {0}) = max ∥x∥.
x∈M
Через co M будем обозначать выпуклую оболочку множества M ⊂ Rn.
Для замкнутого множества M ⊂ Rn обозначим конус Булигана в точке x ∈ M через
CM(x) = {v ∈ Rn : для любого ε > 0 существуют λk → +0 такие, что Bε(v)
⋂ (M - x)/λk =
⋃
= ∅}. Если множество M ещё и выпукло, то CM(x) = clλ>0(M - x)/λ [5, с. 174, форму-
ла (13)].
Будем обозначать f ≍ g при t → +0, если существуют числа C2 > C1 > 0 и t0 > 0 такие,
что при всех t ∈ (0, t0) выполнены неравенства C1 ≤ f(t)/g(t) ≤ C2.
Опорной функцией множества M ⊂ Rn в точке p ∈ Rn называется s(p,M) = sup (p,x).
x∈M
∫t
Отметим, что для множества F(t) =
F (s)U ds легко вычислить опорную функцию. В силу
0
линейности многозначного интеграла
∫t
∫
t
s(p, F(t)) = s(p, F (t)U) ds = s(FT (s)p, U) ds.
0
0
Будем говорить, что выпуклое компактное множество M ⊂ Rn равномерно выпукло, если
существует строго возрастающая функция δ : [0, diam M] → [0, +∞), модуль равномерной
выпуклости, такая, что для всех x, y ∈ M выполнено включение [6]
(x + y)/2 + Bδ(∥x-y∥)(0) ⊂ M.
Например, M является пересечением замкнутых евклидовых шаров радиуса R > 0 тогда и
только тогда, когда M равномерно выпукло с модулем δ(t) = t2/(8R). Отметим, что любой
строго выпуклый компакт из Rn является равномерно выпуклым с некоторым модулем δ.
Будем говорить, что неограниченное множество M ⊂ Rn локально равномерно выпукло, если
для всякого R > 0 множество M
⋂BR(0) равномерно выпукло с модулем δR. Любое строго
выпуклое замкнутое подмножество M ⊂ Rn является локально равномерно выпуклым.
В силу теоремы Дэя-Нордлендера [7, гл. 3, § 3] максимальный модуль равномерной выпук-
лости среди центрально-симметричных тел диаметра 2R имеет евклидов шар, для него
√
2
t
t2
δ(t) = R - R2 -
≥
4
8R
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1100
БАЛАШОВ
Рассмотрим пример задачи быстродействия с системой (2). Через T0(xi) будем обозначать
минимальное время, за которое решение с начальным условием x(0) = xi попадает на целевое
множество M.
Пример 1. Пусть в задаче (2)
(
)
(
)
0
-1
cos s
- sin s
x∈R2, A=
,
eAs =
,
U = co(±e1).
1
0
sin s cos s
Пусть M = {x2 ≥ 4}. Рассмотрим начальные условия x0 = (0, 0) и x1 = (0, ε), ε > 0.
Для p = (cos ϕ, sin ϕ), ϕ ∈ [0, 2π), имеем
∫t
s(p, R0(t)) =
| cos(s - ϕ)| ds.
0
При t < 2π s(p, R0(t)) < 4 и s(p, R0(2π)) = 4 = s(p, B4(0)) для всякого ∥p∥ = 1. Поэтому
R0(2π) = B4(0) и оптимальное время T0(x0) = 2π.
Для второго начального условия
(
)
∫
t
− sin ϕ
R(x1, t) =
ε + R0(t), s(p,R(x1,t)) = εsin(ϕ - t) +
| cos(s - ϕ)| ds.
cos ϕ
0
Для ϕ = π/2 имеем для некоторого t ∈ (3π/2, 2π)
(
) ∫ t
∫
t
π
4 = εsin
-t
+
| cos(s - 5π/2)| ds = ε cos t + 2 - sin s ds.
2
0
π
Отсюда находим
1
cos T0(x1) =
,
T0(x1) = 2π - τ,
1+ε
где τ ∈ (0, π/2),
1
1
cos(2π - τ) = cos τ =
,
τ = arccos
∼2√ε, ε → +0.
1+ε
1+ε
Поэтому T0(x1) ∼ 2π - 2√ε, ε → +0, и
T0(x0) - T0(x1) ∼ 2√ε = 2√∥x0 - x1∥, ε = ∥x0 - x1∥ → +0.
Отметим, что при малом t > 0 множество R0(t) имеет ширину порядка t2 в направлении
вектора e2, что и обуславливает условие Гёльдера с показателем 1/2 по начальным данным
в примере 1, более того, легко видеть, что радиус вписанного в R0(t) шара с центром в
нуле имеет порядок t2 при t → 0. Это и подобные наблюдения приводят нас к следующему
условию.
Условие (I). Для интеграла (1) существует строго возрастающая функция r : [0, +∞) →
→ [0, +∞) такая, что r(0) = 0, r(t) > 0 при t > 0 и Br(t)(0) ⊂ F(t) при t ≥ 0.
Для функции r будем понимать обратную функцию r-1 следующим образом. Если μ =
= r(t) и t - точка непрерывности r, то r-1(μ) = t. Если пределы r(t ± 0) = lim r(s) не
s→t±0
равны и μ ∈ [r(t - 0), r(t + 0)], то r-1(μ) = r(t + 0).
Определим
mT = max
∥F (s)∥ и μT = min
∥F (s)h∥.
s∈[0,T ]
∥h∥=1
s∈[0,T ]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ВНУТРЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1101
Условие (I) есть по сути аналитическая форма условия управляемости, в частности N -уп-
равляемости из работы [8]. Простейший пример выполнения условия (I) реализуется при су-
ществовании такого d > 0, что Bd(0) ⊂ U, т.е. нуль - внутренняя точка U. В этом случае
r(t) = μT td при условии, что матрица F (s) не вырождена на отрезке [0, T ].
В работе нас будут главным образом интересовать ситуации, когда нуль есть граничная
точка множества U, что часто возникает в приложениях, когда размерность множества управ-
лений в (2) меньше размерности фазового пространства, например, U есть отрезок, содержа-
щий нуль. Другая ситуация, которую мы рассмотрим, - это множество U с C1,1 гладкой
границей, т.е. когда единичная нормаль к U в точке границы ∂U зависит липшицево от
точки границы. Этот случай сводится к изучению внутренности интеграла со множеством
U = B1(p0), ∥p0∥ = 1.
Статья организована следующим образом. В п. 1 оценим r(t) для интеграла (1) когда 0 ∈
∈ ∂U. Будут рассмотрены случаи, когда 0 ∈ [-u,u] ⊂ ∂U для некоторого вектора u = 0, а
также случай, когда 0 ∈ ∂U - точка C1,1 гладкости. Последнее означает, что существует шар
радиуса ρ > 0 с центром x0 ∈ U из U такой, что 0 ∈ ∂Bρ(x0). В первом случае покажем, что
r(t) по порядку не менее tn при t → 0. Во втором случае получим достаточные условия на
матрицу F (s) весьма общего вида, при которых r(t) ≍ t3, t → 0, независимо от размерности
n пространства. В п. 2 будут получены новые условия равномерной непрерывности минималь-
ного времени и точки-решения задачи быстродействия системы (2) с условием t → min, для
которого x(t) ∈ M, где M - терминальное множество. В п. 3 рассмотрим приложение резуль-
татов к некоторым задачам оптимизации со множеством достижимости линейной управляемой
системы.
1. Оценка r(t) в условии (I).
Теорема 1. Пусть u ∈ Rn\{0}, U = co {±u}, t0 > 0. Предположим, что матрица
F (s) ∈ Rn×n n - 1 раз непрерывно дифференцируема и F(n-1)(s) непрерывна по Липшицу
при s ∈ [0,t0]. Пусть rank(F(s)u,F′(s)u,... ,F(n-1)(s)u) = n для всех s ∈ [0,t0]. Тогда
∫t
Br(t)(0) ⊂
F (s)U ds и r(t) ≍ tn, t → 0. При этом порядок r(t) ≍ tn точный.
0
Доказательство. Определим для произвольного единичного вектора p функцию g(s, p)=
= (p, F (s)u), gsl)(s, p) = (p, F(l)(s)u), l ∈ N⋃{0}. Заметим, что |g(s, p)| = s(p, F (s)U).
Покажем, что найдутся такие числа β > 0 и t1 ∈ (0, t0), что для любого ∥p∥ = 1 и любого
s ∈ (0,t1) выполняется неравенство
∑
|g(l)s(s, p)| ≥ β.
(4)
l=0
Предположим, что условие (4) неверно. Тогда найдутся последовательность si → 0 и
∑n-1
векторы ∥pi∥ = 1 такие, что
|gsl)(si, pi)| < 1/i. Без ограничения общности из ком-
l=0
пактности единичной сферы следует pi → p0,
∥p0∥ = 1. Переходя к пределу по i, имеем
∑n-1
|gsl)(0, p0)| = 0. Отсюда (p0, F(l)(0)u) = 0 для всех l = 0, n - 1, что противоречит усло-
l=0
вию полного ранга. Условие (4) доказано.
Из [9, следствие 2.1] в силу формулы (4) вытекает существование абсолютной константы
∫t
c > 0 такой, что
|g(s, p)| ds ≥ ctn для всех ∥p∥ = 1. Кроме того, ctn = s(p, Bctn (0)) для
0
∫t
всех ∥p∥ = 1. Поскольку последний интеграл есть опорная функция множества
F (s)U ds,
0
∫t
то Bctn (0) ⊂
F (s)U ds. Отметим, что условие полного ранга при всех s ∈ [0, t0] и условия
0
гладкости на F (s) требуются для доказательства указанного выше следствия 2.1 из [9].
Пусть p0 такой произвольный единичный вектор, что (p0, F(l)(0)u) = 0, l = 0, n - 2. Тогда
по формуле Тейлора
(p0, F(n-1)(0)u)
(p0, F (s)u) =
sn-1 + o(sn-1).
(n - 1)!
7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1102
БАЛАШОВ
Найдётся такое число t2 ∈ (0, t1), что для всех s ∈ (0, t2) выполнена оценка
|(p0, F(n-1)(0)u)|
|o(sn-1)| <
sn-1.
(n - 1)!
Отсюда при 0 < t < t2 имеем
( ∫ t
) ∫ t
∫
t
|(p0, F(n-1)(0)u)|
2|(p0, F(n-1)(0)u)|
s p0, F(s)U ds
=
|g(s, p0)| ds ≤ 2
sn-1 ds =
tn.
(n - 1)!
n!
0
0
0
Теорема доказана.
Пусть в системе (2) множество U содержит отрезок ненулевой длины с центром в ну-
ле, удовлетворяющий условию полного ранга из теоремы 1 для матрицы F (s) = eAs. Тогда
Br(t)(0) ⊂ R0(t) с радиусом r(t) ≥ ctn.
Теорема 2. Пусть U = B1(p0) ⊂ Rn,
∥p0∥ = 1. Предположим, что матрица F (s) ∈
∈ Rn×n удовлетворяет в окрестности нуля условию
FT (s) = F0 + F1s + F2s2 + o(s2), s → 0,
где Fi, i = 0, 1, 2, - фиксированные n × n-матрицы, F0 = I - единичная n × n-матрица
∫t
и ∥F1p0∥ > |(p0, F1p0)|. Тогда выполнено включение Br(t)(0) ⊂
F (s)B1(p0) ds, и r(t) ≍ t3,
0
t → 0.
Доказательство. Для всякого вектора ∥p∥ = 1 имеем
∫t
∫
t
s(p, F(t)) = s(FT (s)p, p0 + B1(0)) ds =
((FT (s)p, p0) + ∥FT (s)p∥) ds,
0
0
∥FT (s)p∥2 = 1 + s2∥F1p∥2 + 2s(p, F1p) + 2s2(p, F2p) + o(s2),
при этом легко видеть, что функция o(s2)/s2, где o(s2) - последнее o-малое, равномерно
бесконечно малая по ∥p∥ = 1. Отсюда следует, что
√
∥FT (s)p∥ =
1 + s2∥F1p∥2 + 2s(p,F1p) + 2s2(p,F2p) + o(s2) =
1
= 1 + s(p,F1p) +
s2(∥F1p∥2 - (p,F1p)2) + s2(p,F2p) + o(s2),
2
причём последнее o-малое обладает тем же свойством o(s2)/s2 → 0 при s → 0 равномерно
по ∥p∥ = 1. В результате получаем, что
t
∫
t2
t3
t3
∥FT (s)p∥ ds = t +
(p, F1p) +
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) +
(p, F2p) + o(t3),
2
6
3
0
и функция o(t3)/t3 также равномерно по ∥p∥ = 1 бесконечно малая. Заметим сразу, что
ниже стереотипно во всех дальнейших разложениях по малому параметру t встречающиеся
функции o(1) = o(t3)/t3 по ∥p∥ = 1 являются равномерно бесконечно малыми.
Таким образом,
2
t
t
t3
t3
s(p, F(t)) =
∥p + p0∥2 +
(p + p0, F1p) +
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) +
(p + p0, F2p) + o(t3).
(5)
2
2
6
3
Подставляя p = -p0, получаем, что для любой матрицы F с F0 = I порядок s(-p0, F(t))
по t при t → 0 не менее трёх.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ВНУТРЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1103
Определим
(
)
∥F2∥
t
t2
t
t2
-1
C0 = 1 + ∥F1∥ +
,
hp = p - p +
F1p +
F2p
+
F1p +
F2p
p
3
2
3
2
3
Пусть
2
t
t
t3
ϕ(h) =
∥h∥2 +
(h, F1p) +
(h, F2p).
2
2
3
Заметим, что hp есть точка минимума ϕ(h) при условии ∥h-p∥ = 1. Также из (5) следует, что
3
t
s(p, F(t)) = ϕ(p + p0) +
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) + o(t3),
6
где o(t3) из формулы (5).
Зафиксируем такое число t0 ∈ (0, 1), что для всякого t ∈ (0, t0] выполнены условия:
(i) ∥o(t3)∥ ≤ t3/4 для всех ∥p∥ = 1;
(ii) если C ∈ (0, C0] и ∥p + p0∥ = Ct, то ∥F1p∥2 - (p, F1p)2 ≥ (∥F1p0∥2 - (p0, F1p0)2)/2;
(iii) ϕ(hp) + t3(∥F1p∥2 - (p, F1p)2)/6 = t3(∥F1p∥2 - (p, F1p)2)/24 + o1(t3) (равенство будет
доказано ниже) и для ε(t) = o(t3) + o1(t3) выполнено ∥ε(t)∥ ≤ t3(∥F1p0∥2 - (p0, F1p0)2)/96 для
всех ∥p∥ = 1.
(Функция o(t3) в условиях (i), (iii) из (5)).
Отметим, что hp ≍ t, t → 0, и t3(hp, F2p) ≍ t4 при t → 0 равномерно по ∥p∥ = 1.
Зафиксируем t ∈ (0, t0] и рассмотрим два случая.
Случай 1: ∥p + p0∥ = Ct и C > C0. Из (5) тогда вытекает
(
)
3
C2t
Ct3
Ct4
Ct3
∥F2∥
t3
s(p, F(t)) ≥
-
∥F1∥ -
∥F2∥ + o(t3) ≥
C - ∥F1∥ -
+ o(t3) ≥
+ o(t3),
2
2
6
2
3
2
и с учётом (i) t3/2 + o(t3) ≥ t3/4. Таким образом, s(p,F(t)) ≥ t3/4 для любого единичного
вектора p.
Случай 2: ∥p + p0∥ = Ct и 0 ≤ C ≤ C0. Функция ϕ(h) при условии ∥h - p∥ = 1
имеет глобальный минимум в точке
(
)
t
t2
t
t2
-1
hp = p - p +
F1p +
F2p
+
F1p +
F2p
p
2
3
2
3
При этом
2
t
t3
t
t2
ϕ(hp) = t +
(p, F1p) +
(p, F2p) - t
+
F1p +
F2p
p
=
2
3
2
3
√
2
t
t3
t2
2t2
=t+
(p, F1p) +
(p, F2p) - t
1 + t(p,F1p) +
∥F1p∥2 +
(p, F2p) + õ(t2) =
2
3
4
3
3
t
=-
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) + o1(t3),
8
3
t
t3
ϕ(hp) +
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) =
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) + o1(t3).
6
24
Отсюда для всякого единичного вектора p имеем
3
t
t3
s(p, F(t)) ≥ ϕ(hp) +
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) + o(t3) =
(∥F1p∥2 - (p, F1p)2) + ε(t).
6
24
Из условия (ii) ∥F1p∥2 - (p, F1p)2 ≥ (∥F1p0∥2 - (p0, F1p0)2)/2, и значит,
3
t
s(p, F(t)) ≥
(∥F1p0∥2 - (p0, F1p0)2) + ε(t).
48
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
7∗
1104
БАЛАШОВ
С учётом условия (iii)
3
t
s(p, F(t)) ≥
(∥F1p0∥2 - (p0, F1p0)2).
96
Теорема доказана.
Если множество U содержит шар Bρ(p0) ⊂ U и 0 ∈ ∂Bρ(p0)
⋂∂U, то порядок r(t) по
t в условии (I) для интеграла F(t) не менее t3. Если дополнительно U ⊂ BR(Rp0) для
некоторого R > 0, то порядок r(t) в точности t3.
Если в формуле (5) взять больше членов разложения, то можно получить следующий
результат.
Замечание 1. Пусть F (s) - n × n матрица с C∞ компонентами в окрестности нуля.
Если ∥F1p0∥ = |(p0, F1p0)| (т.е. p0 есть собственный вектор F1), то при малых t > 0 для
некоторой константы C > 0 выполнено неравенство r(t) ≤ Ct5. Порядок r(t) ≍ t4 при t → 0
у функции s(p, F(t)) исключается, поскольку коэффициент при t4 разложения s(p, F(t)) по
t при p = -p0 равен нулю.
Следствие. Пусть в теореме 2 F (s) = eAs и ∥AT p0∥ > |(p0, AT p0)|. Тогда множество
∫t
достижимости R0(t) =
eAsB1(p0)ds содержит шар Br(t)(0) и r(t) ≍ t3, t → 0.
0
2. Оценки модуля непрерывности в задаче быстродействия. Пусть M ⊂ Rn -
замкнутое подмножество и T > 0. Будем рассматривать задачу быстродействия для системы
(2) в постановке
min t при условии R(x(0), t)
⋂M = ∅.
(6)
t∈[0,T ]
В дальнейшем предполагаем, что решение задачи (6) со всеми рассматриваемыми начальными
условиями существует на отрезке [0, T ].
Пусть T0(x0) - оптимальное время в (6) для x(0) = x0. Поскольку R(x(0), T0(x0)) - вы-
пуклый компакт, то при условии строгой выпуклости M множество R(x(0), T0(x0))
⋂M =
= {w0(x0)} одноточечно. Отметим, что в некоторых типичных случаях множество R0(t) яв-
ляется строго выпуклым [9, теорема 3.1] и решение R(x(0), T0(x0))
⋂M также одноточечно
для произвольного выпуклого замкнутого множества M.
Одна из первых работ, где исследовалась непрерывность функции Беллмана в задаче (6)
со множеством M = {0}, - работа [10]. Насколько известно автору, впервые необходимые
и достаточные условия локальной липшицевости T0 были получены в статьях [11, 12] для
множества M = {0}. В дальнейшем они были обобщены в работе [13] для случая замкнутого
множества M. Дифференцируемость T0 изучалась в [14-16]. Достаточные условия гладкости,
непрерывности функции Беллмана и соответствующие примеры были рассмотрены в [17].
Равномерная непрерывность, а именно условие Гёльдера с показателем α ∈ (0, 1) функции
T0, исследовалась в работах [8, 18] и в [19] для систем специального вида. В [8] было показано,
что для линейной системы со множеством управлений специального вида и M = {0} функ-
ция Беллмана равномерно непрерывна, а в [18] доказана равномерная непрерывность T0 для
нелинейной системы на плоскости. Упомянем также статью [20], где получены достаточные
условия для выполнения условия Гёльдера функции T0 с показателем 1/2 при условии, что
M есть C1-гладкое многообразие в пространстве Rn.
Получим зависимость модуля непрерывности функции T0 и точки-решения w0 задачи
(6) от начального условия x0 через геометрические свойства многозначного интеграла R0(t)
и множества M. Для получения зависимости T0 от x0 мы используем радиус r(t) шара с
центром в нуле, вписанного в R0(t) (если такой существует), который зависит от t. Покажем,
что модуль непрерывности T0 есть обратная функция к r(·), причём эта оценка в общем
случае неулучшаема. Множество M на этом шаре будем считать замкнутым.
Оценка w0(·) получена из условия равномерной выпуклости M или R0(t). Здесь нам
нужна строгая выпуклость M либо выпуклость M и строгая выпуклость R0(t).
Полученные оценки не вытекают из цитируемых в работе результатов.
Лемма 1. Рассмотрим систему (2) с начальными условиями x(0) = x0 и x(0) = x1,
h = x1 - x0. Пусть U0 = U + Ax0 и множество M замкнуто. Предположим, что условие
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ВНУТРЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1105
∫t
(I) выполнено для R0(t) =
eAsU0 ds с функцией r, T > 0, mT ∥h∥ < r(T), и в задаче (6)
0
T0(x0),T0(x1) ∈ [0,T]. Тогда
(
)
|T0(x0) - T0(x1)| ≤ r-1
mT ∥h∥
(7)
μT
Пусть множество M дополнительно строго выпукло и шар BR(0) содержит множе-
ства R(xi,T0(xi)), i = 0,1, δR - модуль равномерной выпуклости множества M
⋂BR(0).
Тогда
|w0(x0) - w0(x1)| ≤ 2ω(h) + δ-1R(ω(h)),
(8)
где ω(h) = mT (∥h∥ + r-1(mT ∥h∥/μT ) diam U), mT = max
∥eAs∥, μT = min
∥eAsh∥.
s∈[0,T ]
∥h∥=1
s∈[0,T ]
Доказательство. Предположим, что T0(x0) ≤ T0(x1). Сделав замену z = x-x0, получим
систему z′ ∈ Az + U0 с начальными условиями z(0) = 0 и z(0) = h. Переобозначим M :=
:= M - x0.
Пусть w0 = w0(0) = z(T0(0))
⋂ M, u = w0 + eAT0(h)h, Δt = T0(h) - T0(0). Тогда
∫
u∈eAT0(h)h+
eAsU0 ds,
0
и поскольку выполнено неравенство M
⋂ (eAT0(h)h + R(T0(h))) = ∅, то величина r(Δt) из
условия
∫
∫
eAT0(0)Br(Δt)(0) ⊂ eAT0(0) eAsU0 ds =
eAsU0 ds
0
T0(0)
должна удовлетворять неравенству μT r(Δt) ≤ ∥u - w0∥. В противном случае мы получаем
∫T0(h)
включение w0 ∈ eAT0(h)h +
eAsU0 ds. Кроме того, ∥u - w0∥ ≤ mT ∥h∥. Отсюда вытекает
0
оценка (7). Случай T0(x1) < T0(x0) рассматривается аналогично.
Имеем следующую цепочку соотношений:
∫
)
h(R(x0, T0(x0)), R(x1, T0(x1))) ≤ mT ∥h∥ + h
{0},
eAsU ds
≤
T0(0)
(
(
)
)
≤ mT∥h∥ + mT|T0(h) - T0(0)|diamU = mT
∥h∥ + r-1
mT ∥h∥ diam U = ω(h),
μT
где diam U - диаметр множества U. Определим F1(x) = M
⋂BR(0) и F2(x) = R(x,T0(x)) в
окрестности нуля. Множество F1 равномерно выпукло с модулем δR и равномерно непрерыв-
но с модулем ω1 = 0, а F2 имеет выпуклые компактные значения и равномерно непрерывно
с модулем ω2(h) = ω(h). Оценка (8) для решения-точки вытекает из работы [21, теорема 3.1].
Заметим, что в доказательстве теоремы 3.1 точки t1 и t2 фиксированы, в нашем случае нужно
взять t1 = 0 и t2 = h. Лемма доказана.
∫t
Для выполнения условия (I) для
eAsU0 ds необходимо включение 0 ∈ U0 = Ax0 + U.
0
Таким образом, лемма 1 даёт оценку модуля непрерывности решения (6) в нуле.
Теорема 3. Рассмотрим систему (2) с начальными условиями x(0) = x0 и x(0) = x1,
h = x1-x0. Пусть M ⊂ Rn - замкнутое множество и выполнено условие e-AtM ⊂ e-At1M
∫t
∫t
для всех 0 ≤ t ≤ t1. Пусть выполнено условие (I) для
e-AsU ds : Br-(t)(0) ⊂
e-AsU ds
0
0
∫t
для t ≥ 0 и ∥h∥ ≤ r-(T ) для некоторого T > 0. Тогда для системы z(t) ∈ z(0)+
e-AsU ds с
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1106
БАЛАШОВ
начальными условиями z(0) = x0 и z(0) = x1 минимальное время попадания на множество
e-AtM удовлетворяет условию
)
( ∥h∥
|T0(x0) - T0(x1)| ≤ r-1
,
μ-T = min
∥e-Ash∥.
- μ-T
∥h∥=1
s∈[0,T ]
Доказательство. В системе (2) сделаем замену x(s) = eAsz(s). Без ограничения общности
считаем, что T0(x0) ≤ T0(x1). Для t = T0(x0) имеем
(
∫
t
(
∫
t
)⋂
eAtx0 + eAsU ds
M = ∅, x0 + eA(s-t)U ds)⋂(e-AtM) = ∅,
0
0
∫t
(x0 +
e-AsU ds)
⋂ (e-AtM) = {w0}, u = w0 + h. Далее доказательство повторяет доказа-
0
тельство леммы 1 с учётом того, что если w0 ∈ e-AT0(x0)M, то w0 ∈ e-AsM при s > T0(x0).
Заметим, что T0(xi), i = 0, 1, является также оптимальным временем для задачи (6). Теорема
доказана.
Замечание 2. Оценка по точке для задачи (6) с системой (2) в условиях теоремы 3 выте-
кает из формулы (8) с функцией r- из теоремы 3. Пусть M дополнительно строго выпукло и
шар BR(0) содержит множества R(xi, T0(xi)), i = 0, 1, δR - модуль равномерной выпуклости
множества M
⋂BR(0). Тогда справедливо неравенство
|w0(x0) - w0(x1)| ≤ 2ω(h) + δ-1R(ω(h)),
(9)
где ω(h) = mT (∥h∥ + r-1-(∥h∥/μ-T) diam U), mT = max ∥eAs∥.
s∈[0,T ]
Замечание 3. Заметим, что множества R0(t) могут быть равномерно выпуклыми [9, тео-
рема 3.1]. Тогда при выпуклости M в оценках (8) и (9) вместо модуля δR можно брать
функцию δ, которая равна минимуму из модулей выпуклости множеств R0(t) при t =
= T0(x0),T0(x1).
Если M = {0}, то мы получаем известный результат о локальной равномерной непрерыв-
ности функции T0. Отметим также, что для доказательства равномерной непрерывности T0
нам не нужна выпуклость M, она требуется для доказательства равномерной непрерывности
по точке-решению.
Условие монотонного возрастания по включению множеств {e-AtM}t≥0 в теореме 3 можно
заменить на условие включения точки w0 ∈ e-AsM для всех s ∈ [T0(x0), T1], где T1 > T0(x1).
Также это условие можно сформулировать с использованием касательного конуса CM.
Лемма 2. Пусть в обозначениях теоремы 3 w1 = eAT0(x0)w0 ∈ M. Тогда при выполнении
условия
Ax ∈ CM(x)
(10)
для любых x ∈ ∂M справедливо включение eAsw1 ∈ M при всех s ≥ 0.
Доказательство. Рассмотрим задачу Коши y′ = Ay, y(0) = w1 ∈ M. В силу теоремы
Нагумо [5, с. 174] условие (10) гарантирует включение y(s) = eAsw1 ∈ M для всех s ≥ 0.
Лемма доказана.
Приведём пример выполнения условия (10). Пусть M = B1(0) и A ∈ Rn×n такая (не
обязательно симметричная) матрица, что (x, Ax) ≤ 0 при всех ∥x∥ = 1. Последнее, как легко
видеть, эквивалентно условию Ax ∈ CM(x) для всех ∥x∥ = 1. Поэтому для системы (2) с
указанной матрицей и при выполнении условия (I) можно применить теорему 3.
Легко привести и другие примеры матриц A и множеств M, когда выполнено условие
монотонного возрастания множеств {e-AtM}t≥0 по включению. Для этого для конкретной
матрицы A и множества M достаточно выполнения условия Ax ∈ CM(x) для всех x ∈ ∂M.
Например, если M задано в виде {x ∈ Rn : ϕ(x) ≤ 1}, где ϕ ∈ C1, то достаточно выполнения
неравенства (ϕ′(x), Ax) ≤ 0 для всех x ∈ ∂M, где ϕ′(x) - градиент ϕ в точке x.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ВНУТРЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1107
Отметим, что можно привести примеры, когда без требования монотонности множеств
{e-AtM}t≥0 функция T0 в задаче (6) разрывна. В этих примерах в соответствующей зада-
че (2) можно взять множество U = Bγ (0), γ > 0.
Замечание 4. Пусть в системе (2) множество U содержит отрезок ненулевой длины с
центром в нуле, удовлетворяющий условию полного ранга из теоремы 1 для F (s) = eAs. Тогда
Br(t)(0) ⊂ R0(t) с радиусом r(t) ≥ ctn. Отсюда, в случае выполнения условия (10), вытекает,
что решение T0 задачи (6) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем не менее 1/n.
Результат об условии Гёльдера функции Беллмана с показателем 1/n был ранее получен в
работе [8] для M = {0} при условии, что U есть линейный образ гипероктаэдра co {±ei}mi=1 ⊂
⊂ Rm, где m может быть как меньше, так и больше n.
Пример 2. В условиях сформулированного следствия определим вектор ∥p0∥ = 1 из
равенств (p0, Alu) = 0, l = 0, n - 2. Пусть
M = {x ∈ Rn : (p0,x) ≥ 0}, x0 = 0, x1 = -εp0, ε > 0.
Тогда в системе (2) с начальными условиями x0, x1 имеем T0(x0) = 0, T0(x1) ≍ ε1/n. Заме-
тим, что в силу аналитичности g(s, p) и условия полного ранга уравнение g(s, p) = 0 имеет
конечное число корней для каждого ∥p∥ = 1 и, следовательно, R(x1, t) есть строго выпуклый
компакт при всех t > 0 с модулем выпуклости δ(τ) ≍ τα, τ → +0, а α ≥ 1/n [9, теорема 3.1].
Пример 3. Пусть в R2 матрица A и множество управлений U такие же, как в примере 1,
а M = B1(0). Рассмотрим задачу (6) с начальными условиями x0 = (0,-1) и x1 = (0,-1-ε),
ε > 0. Условия теоремы 3 выполняются, в частности eAsM = M при всех s ≥ 0. Поэтому по
теореме 3 |T0(x0) - T0(x1)| ≤ const√ε, при этом T0(x0) = 0.
Из примера 1 для p = (cos ϕ, sin ϕ) имеем
∫t
s(p, R(x1, t)) = -(1 + ε) sin(ϕ - t) +
| cos(s - ϕ)| ds.
0
Пусть t > 0 - первый момент, когда R(x1, t)
⋂M = ∅, т.е. t = T0(x1). Тогда при малых
ε > 0 вектор p0, отделяющий R(x1,t) и M, задаётся углом ϕ0 = π/2 + θ, где 0 ≤ θ ≤ ct
для некоторого c > 0. Значит,
∫t
s(p0, R(x1, t)) = -(1 + ε) cos(θ - t) +
|sin(s - θ)|ds = -1,
0
откуда следует, что t2 ≍ ε, ε → +0. Поэтому оценка теоремы 3 в этом примере точна.
Рассмотрим в примере 3 множество управлений U = B1(-e2). Тогда
∫t
∫
t
(
)
(
)
sin t
1 - cost
R(x1, t) = eAtx1 - eAse2 ds + eAsB1(0) ds = (1 + ε)
+
+ Bt(0).
- cos t
- sin t
0
0
Решение t = T0(x1) есть время t > 0, при котором шар радиуса t с центром в точке
((1 + ε) sin t + 1 - cos t, -(1 + ε) cos t - sin t)т касается шара M = B1(0). Из этого условия
приходим к уравнению
f (t) = 2t + t2 + 2 cos t - 2 sin t - 2ε sin t = 2 + 2ε + ε2.
Пусть t(c) = c ε1/3. С помощью разложений функций по степеням t по формуле Тейлора
√
3
легко убедиться в том, что при малых ε > 0 и c >
6 имеем f(t(c)) > 2 + 2ε + ε2, а при
√
√
c<3
6 имеем f(t(c)) < 2 + 2ε + ε2. Поэтому T0(x1) ∼3
6ε при ε → +0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
1108
БАЛАШОВ
С учётом теоремы 2 теорема 3 в рассматриваемой ситуации также даёт порядок T0(x1) ≍
≍ ε1/3, ε → +0.
Замечание 5. Полученными в работе оценками для T0 имеет смысл пользоваться, ког-
да неприменимы стандартные условия Липшица для функции минимального времени T0 из
задачи (6), например, обобщение условия Петрова (H3) из статьи [13].
3. Приложение к оценкам приближённого решения задач со множеством дости-
жимости. Рассмотрим задачу для линейной управляемой системы (2)
min
t при условии x + R0(t) ⊃ M.
(11)
t≥0, x∈Rn
Здесь M - выпуклый компакт, а множество R0(t) = R0(0, t) (см. (3)). Смысл задачи сос-
тоит в том, чтобы найти минимальное время T0 > 0 и начальное условие x(0) = e-AT0 x0,
где (x0, T0) - решение (11), для которых множество R(x(0), t) за минимальное время t = T0
накрывает множество M. Для решения этой задачи в фазовом пространстве небольшой раз-
мерности предложен алгоритм [22].
Будем считать, что решение T0 ≤ T. Дискретный вариант задачи (11) имеет вид
min
tk при условии x +R0(tk) ⊃
M,
(12)
k, x∈Rn
где 0 = t0 < t1 < . . . < tK = T - некоторое разбиение отрезка [0, T ], а ˆ над множеством озна-
чает его внешнюю многогранную аппроксимацию на сетке единичных векторов G = {pi}Ii=1,
например,
M= {x ∈ Rn : (pi,x) ≤ s(pi,M), pi ∈ G}.
Ищем минимальное k, для которого система из (12), т.е. (pi, x) + s(pi, R0(tk)) ≥ s(pi, M),
i = 1,I, имеет решение. Последняя задача легко решается симплекс-методом. Пусть ε > 0 -
погрешность аппроксимации R0(tk) (детали см. в [22, теорема 1]), а k - найденный номер.
Тогда оптимальное время T0 удовлетворяет условию tk-1 < T0 ≤ τ, где τ - минимальное
время, для которого (см. [22, формула (20)])
τ
∫
eAsU ds ⊃ Bε(0).
(13)
ti
Из формулы (13) получаем, что tk-1 < T0 ≤ tk + r-1(ε/μT ), где
μT = min
∥eAsh∥.
∥h∥=1
s∈[0,T ]
Таким образом, функция r-1 связывает погрешность аппроксимации ε по пространству
и ошибку по времени в алгоритме решения задачи (11).
Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда №22-11-00042, https://
rscf.ru/project/22-11-00042/ в ИПУ имени В.А. Трапезникова РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aumann R. Integrals of set-valued functions // J. of Math. Anal. Appl. 1965. V. 12. № 1. P. 1-12.
2. Ляпунов А.А. О вполне аддитивных вектор-функциях // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1940. Т. 4. № 6.
С. 465-478.
3. Половинкин Е.С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. М., 2014.
4. Lee E.B., Markus L. Foundations of Optimal Control Theory. New York, 1967.
5. Aubin J.-P., Cellina A. Differential Inclusions. Berlin; Heidelberg, 1984.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
ВНУТРЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
1109
6. Поляк Б.Т. Теоремы существования и сходимость минимизирующих последовательностей для задач
на экстремум при наличии ограничений // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166. № 2. С. 287-290.
7. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев, 1980.
8. Ливеровский А.А. Некоторые свойства функции Беллмана для линейных и симметричных полиси-
стем // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 3. С. 414-423.
9. Veliov V.M. On the convexity of integrals of multivalued mappings: application in control theory // J.
of Optim. Theory and Appl. 1987. V. 54. P. 541-563.
10. Кириллова Ф.М. О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования // Изв.
вузов. Математика. 1958. № 4. С. 113-126.
11. Петров Н.Н. О непрерывности обобщённой функции Беллмана // Дифференц. уравнения. 1970.
Т. 6. № 2. С. 373-374.
12. Петров Н.Н. О функции Беллмана для задачи оптимального быстродействия // Прикл. матема-
тика и механика. 1970. Т. 34. № 5. С. 820-826.
13. Cannarsa P., Sinestrary C. Convexity properties of the minimum time function // Calc. Var. 1995. V. 3.
P. 273-298.
14. Кун Л.А., Пронозин Ю.Ф. К регуляризации метода Беллмана в задачах оптимального быстродей-
ствия // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200. № 6. С. 1294-1297.
15. Сатимов Н.Ю. О гладкости функции Беллмана для линейной задачи оптимального управления
// Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 12. С. 2176-2179.
16. Тынянский Н.Т., Арутюнов А.В. Линейные процессы оптимального быстродействия // Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. математика и кибернетика. 1979. Вып. 2. С. 32-37.
17. Арутюнов А.В. Об одном классе линейных процессов оптимального быстродействия // Дифференц.
уравнения. 1982. Т. 18. № 4. С. 555-560.
18. Ливеровский А.А. О гёльдеровости функции Беллмана плоских систем управления // Дифференц.
уравнения. 1981. Т. 17. № 4. С. 604-613.
19. Evans L.C., Janaes M.R. The Hamilton-Jacobi-Bellman equation for time optimal control // SIAM J.
Control Optim. 1989. V. 27. P. 1477-1489.
20. Soravia P. Hölder continuity of the minimum-time function for C1-manifold targets // J. of Optim.
Theory and Appl. 1992. V. 75. P. 401-421.
21. Balashov M.V., Repovs D. Uniform convexity and the splitting problem for selections // J. of Math.
Anal. Appl. 2009. V. 360. № 1. P. 307-316.
22. Балашов М.В., Камалов Р.А. Оптимизация множества достижимости линейной системы по отно-
шению к другому множеству // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2023. Т. 63. № 5.
С. 739-759.
Институт проблем управления
Поступила в редакцию 25.04.2023 г.
имени В.А. Трапезникова РАН,
После доработки 25.04.2023 г.
г. Москва
Принята к публикации 14.06.2023 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 59
№8
2023
