ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 1 (7), стр. 42-56

КВАНТОВАЯ КРИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И СКЕЙЛИНГ

В ОДНОМЕРНЫХ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ

А. Желудев^*

Лаборатория физики твердого тела, Федеральная высшая техническая школа Цюриха

8093, Цюрих, Швейцария

Поступила в редакцию 15 ноября 2019 г.,

после переработки 15 ноября 2019 г.

Принята к публикации 21 января 2020 г.

Для некоторых квантовых критических точек в одномерном случае в квантовой теории поля получаются

точные результаты для скейлинга пространственных и временных корреляционных функций. Данные мо-

дели экспериментально реализуются в различных квазиодномерных антиферромагнитных материалах.

Экспериментальное измерение предсказанных критических законов связано с большими техническими

трудностями. Во многих случаях это стало возможно лишь недавно, благодаря существенным успехам в

развитии методов неупругого рассеяния нейтронов и открытию новых модельных систем. Представлен

обзор нескольких современных экспериментальных исследований в данной области.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 100-летию А. С. Боровика-Романова

DOI: 10.31857/S0044451020070056

тых спиновых гамильтонианов всего с несколькими

экспериментально измеримыми параметрами, что

1. ВВЕДЕНИЕ

позволяет проводить количественные сравнения с

1.1. Модели квантового критического

теорией и численное моделирование.

поведения в антиферромагнетиках

Роль магнитных изоляторов еще более возрос-

ла позднее, когда интерес исследователей сместил-

Магнитные изоляторы пользовались заслужен-

ся в сторону квантовых фазовых переходов, которые

ным вниманием в качестве модельных систем уже

обусловлены квантовыми, а не тепловыми флуктуа-

на самых ранних этапах изучения явлений крити-

циями¹⁾. Они возникают при T

→ 0 за счет из-

ческого поведения и скейлинга (в 1960-е гг.) [1, 2].

менения какого-либо управляемого внешним обра-

Данные системы отличаются наличием локальных

зом параметра гамильтониана. Чрезвычайно удоб-

степеней свободы и взаимодействиями на очень ко-

ным параметром для магнитных систем является

ротких расстояниях, из-за чего их поведение попа-

внешнее магнитное поле. В отличие от химическо-

дает в менее тривиальные классы универсальности,

го разбавления, оно является «чистым» и не вносит

чем модель среднего поля. Более того, существует

беспорядок. В отличие от давления, его можно лег-

несколько очень точных экспериментальных мето-

ко создавать и точно регулировать в лабораторных

дик, таких как ядерный магнитный резонанс (ЯМР)

условиях. Оно обладает непосредственной и хорошо

и рассеяние нейтронов, непосредственно связанных

изученной связью с соответствующими (спиновыми)

с магнитным параметром порядка, которые удоб-

степенями свободы. Следует учитывать, что экс-

но использовать для изучения пространственных

периментальное исследование обусловленных полем

и временных критических корреляций. В огром-

квантовых критических явлений возможно только в

ном разнообразии магнитных материалов представ-

антиферромагнитных материалах, поскольку взаи-

лены различные виды параметров порядка с изин-

говской, гейзенберговской или XY-симметрией. На-

конец, часто реальные соединения магнитных изо-

¹⁾ Введение содержит общеизвестные сведения по кванто-

ляторов точно описываются при помощи очень прос-

вому критическому поведению и скейлингу. Среди множества

полезных монографий и обзоров на эту тему автор отдает

^* E-mail: zhelud@ethz.ch

предпочтение работам [3, 4, 62].

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая критическая динамика и скейлинг.. .

модействие поля с ферромагнитным параметром по-

ромагнетик приближается к критическому состоя-

рядка удаляет систему от критической точки.

нию посредством внешнего магнитного поля H, и

При обычном термодинамическом фазовом пе-

при H = H_c возникает ККТ. К данной категории

реходе динамика и термодинамика никак не связа-

принадлежат переходы в полях насыщения почти

ны друг с другом. Однако вблизи квантовой крити-

во всех антиферромагнетиках, переходы с закрыти-

ческой точки динамический показатель z, который

ем щели в спиновых цепочках и лестницах, а также

связывает характерную частоту и размер критичес-

различные реализации модели Изинга в поперечном

ких флуктуаций ω ∝ r^-z , в явном виде входит так-

поле. «Расстояние» до ККТ определяется темпера-

же и в критические показатели термодинамических

турой T и разностью h = H - H_c. Если величина

величин. Это вызывает необходимость сочетания

d + z в квантовой критической точке ниже верхней

термодинамических и спектроскопических измере-

критической размерности, то наиболее часто изме-

ний, для которого антиферромагнитные материа-

ряемые свойства (теплоемкость, намагниченность и

лы обладают дополнительными преимуществами. В

однородная восприимчивость) можно записать в ви-

данных системах критический вектор (как правило,

де следующих масштабированных соотношений [4]:

магнитный волновой вектор в упорядоченной фазе)

C_V (T, h) = T^d/z C(^h),

(1)

далеко отстоит в обратном пространстве от струк-

турных брэгговских пиков и акустических фононов,

M (T, h) = T((d+z)ν-1)/zν M(^h),

(2)

что позволяет беспрепятственно использовать ме-

χ(T, h) = T((d+z)ν-2)/zν X(^h).

(3)

тоды нейтронной дифракции и спектроскопии для

измерений критических флуктуаций и динамики с

В правой части каждого уравнения стоят соответ-

разрешением по импульсу [2]. Сюда же относится

ствующие степенные функции одной переменной

соображение, что эффективная размерность кван-

h₌ hT-1/zν, которая является масштабированным

товой критической точки (ККТ) возрастает на ве-

полем. Для частого случая zν = 1²⁾ оказывается

личину динамического показателя d_eff = d + z [3].

удобным определить масштабированное поле в без-

Поскольку он всегда положителен, размерность сис-

размерном виде,

h₌ gμ_Bh/k_BT.

темы смещается к критической и превосходит ее.

Динамические свойства системы описываются

Чтобы избежать довольно неинтересного скейлин-

магнитным динамическим структурным фактором

га в режиме среднего поля, при выборе материа-

S(q, ω), который является временным и простран-

лов следует начинать с систем с низкой физической

ственным преобразованием Фурье от парной спино-

размерностью d. К счастью, имеется большое коли-

вой корреляционной функции и может быть непо-

чество соединений с антиферромагнитными спино-

средственно измерен в экспериментах по неупруго-

выми цепочками, лестницами и слоями, представ-

му рассеянию нейтронов [5, 6]. Он должен масшта-

ляющих собой прекрасные образцы таких систем.

бироваться следующим образом:

Данный обзор в основном посвящен изучению кван-

товой критической динамики именно в таких (ква-

S(q, ω, T, h) = T^-x S_T (q, ω,h),

(4)

зи)низкоразмерных антиферромагнетиках, что от-

нюдь не является новым предметом. Теория была в

где x = (γ + zν)/zν, волновой вектор q отсчиты-

вается от критического волнового вектора q_c, q =

основном завершена в 1990-е гг. Вскоре после этого

было проведено несколько основополагающих экспе-

= q/T1/z — масштабированный волновой вектор, а

ω = ℏω/k_BT — масштабированная частота. В ре-

риментов, однако множество ключевых измерений

альности часто измеряют локальный динамический

стало возможным только благодаря совсем недавне-

структурный фактор, получаемый из S(q, ω) путем

му развитию технологий материалов и эксперимен-

интегрирования по переданному импульсу. Он мас-

тальных методик. Давнишние теоретические пред-

сказания в конце концов получили подтверждение в

штабируется следующим образом:

лаборатории.

S(ω, T, h) = T-x+d/z S_T (ω,h).

(5)

1.2. Теоретические ожидания и

В измерениях частотной зависимости при посто-

экспериментальные задачи

янной температуре, как обычно делается в экс-

периментах по рассеянию нейтронов, динамичес-

Предположив, что необходимая модельная сис-

тема найдена, можно кратко обобщить, что имен-

²⁾ Важный общий случай zν ≡ 1 возникает, когда зеема-

но хотелось бы увидеть экспериментально. Выде-

новский член коммутирует с остальным гамильтонианом [50],

лим два сценария. В первом квантовый антифер-

например, как в гейзенберговской модели.

А. Желудев

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

кий структурный фактор удобно масштабировать

также существуют теоретические предсказания

по-другому:

для скейлинговых функций, которые могут быть

полностью или хотя бы частично универсальными.

S(q, ω, T, h) = ω^x S_ω(q/ω1/z, T/ω, h/ω1/zν).

(6)

В таком случае экспериментальное измерение этих

Динамику системы можно также изучать при помо-

функций приносит особое удовлетворение, посколь-

щи ЯМР. Измеряемое время релаксации t₁ обратно

ку количественное сравнение с теорией проводится

пропорционально S(ω) для ω → 0 и поэтому мас-

почти без какой-либо количественной информации

об изучаемой системе.

штабируется в следующем виде:

t₁(T, h) = T^x-d τ(^h).

(7)

1.3. Технические трудности

Во втором сценарии квантовый фазовый пере-

Несмотря на все преимущества квазиодномер-

ход обусловливается не внешним полем, а каким-

ных антиферромагнетиков, эксперименты по изу-

либо другим параметром (часто недостижимым экс-

чению их критических свойств отнюдь нельзя на-

периментально), и система «автоматически» оказы-

звать простыми. Главная проблема заключается в

вается в критическом состоянии, в котором иногда

том, что для переходов, обусловленных магнитны-

может оставаться в широком диапазоне значений

ми полями разумной величины (скажем, до 10 Тл),

внешнего магнитного поля. Наиболее известным

необходим соответствующий малый масштаб энер-

примером такой системы служит антиферромагнит-

гии магнитных обменных взаимодействий поряд-

ная гейзенберговская спиновая цепочка S = 1/2, ко-

ка нескольких мэВ. Во многих «традиционных»

торая обладает квантово-критическим основным со-

низкоразмерных квантовых антиферромагнетиках,

стоянием уже в нулевом поле, но также остается в

реализующихся в оксидах 3d-металлов (побочных

нем при всех значениях полей вплоть до насыщения

продуктах интенсивного поиска ВТСП-купратов в

[7,8]. Очень похожими физическими свойствами об-

1990-х гг.) масштаб энергий просто слишком высок.

ладают гейзенберговские спиновые цепочки S = 1

В этом одна из причин недавних успехов, достигну-

(халдейновские цепочки) или спиновые лестницы со

тых при изучении галогенидов/органических комп-

спином S = 1/2 в магнитных полях выше закры-

лексов 3d-металлов, в которых обменные взаимодей-

тия спиновой щели. Несколько отличаются от них

ствия обычно меньше [12].

цепочки S = 1 с чередованием обменного взаимо-

Важность выбора модельного соединения также

действия с достаточно сильной димеризацией для

обусловлена тем, что диапазон энергий соответст-

закрытия халдейновской щели, которой однако не

вующих критических флуктуаций примерно на по-

хватает для того, чтобы заново открылась димер-

рядок величины меньше обменных констант, т. е.

ная щель [9, 10]. Еще более экзотический случай

составляет несколько сотен мкэВ. Любые нежела-

проявляется в спиновой лестнице, приближенной за

тельные члены, нарушающие симметрию спиново-

счет циклических обменных взаимодействий к так

го гамильтониана системы (остаточные трехмерные

называемой SU(2)₂ квантовой критической точке

взаимодействия, анизотропия, магнитоупругость и

Весса - Цумино - Новикова - Виттена (WZNW) [11].

т. д.) должны быть еще меньше. В изначально длин-

В этих примерах магнитное поле не влияет на кри-

ном списке модельных материалов остается лишь

тическое поведение. Масштабированные соотноше-

небольшая группа подходящих образцов, многие из

ния совпадают с предыдущими, однако не содержат

которых были открыты лишь недавно.

в явном виде полевых переменных ни в левой, ни в

Низкий масштаб энергий критических флуктуа-

правой частях уравнений, хотя могут иметь завися-

ций также налагает серьезные ограничения на

щие от поля скейлинговые функции и критические

спектроскопические эксперименты. Если квантовая

индексы.

критическая динамика измеряется при помощи

В обоих случаях экспериментаторы в первую

неупругого рассеяния нейтронов, в некоторых

очередь должны проверить, масштабируются ли

случаях может потребоваться энергетическое раз-

термодинамические величины и динамический

решение вплоть до 10 мкэВ. В недавнем прошлом

структурный фактор. Затем необходимо измерить

такие эксперименты нельзя было представить.

степенные законы для сравнения с теоретическими

Только в последние годы появились инструмен-

предсказаниями. Также важно убедиться в согласии

ты, обеспечивающие такое высокое разрешение

между наборами критических индексов, которые

при приемлемых величинах потока. Ниже будут

получаются из спектроскопических и калоримет-

описаны несколько таких недавних нейтронных

рических экспериментов. В некоторых случаях

измерений.

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая критическая динамика и скейлинг.. .

2. СПИНОВАЯ ЖИДКОСТЬ

ром называются спиновыми жидкостями Томона-

ТОМОНАГИ - ЛАТТИНЖЕРА

ги- Латтинжера. Соответствующие скорость и па-

раметр Латтинжера будут зависеть от конкретно-

В первом примере изучается бесщелевые одно-

го спинового гамильтониана и внешнего магнитного

мерные гейзенберговские антиферромагнетики с ли-

поля. Гейзенберговская спиновая цепочка S = 1/2

нейным спектром. В простейшем случае спиновой

в нулевом поле соответствует значению K = 1/2.

цепочки S = 1/2 преобразование Йордана - Вигнера

Отталкивание сохраняется вплоть до поля насыще-

точно отображает спиновый гамильтониан на про-

ния H_sat, в котором K достигает единицы [8]. В

странство взаимодействующих фермионов [7]. Хал-

намагниченных гейзенберговских лестницах со спи-

дейн впервые предположил [13], что фермионное

ном S = 1/2 [14, 15], а также в обычных XXZ-спи-

описание физики на низких энергиях на самом деле

новых цепочках [8] имеется возможность притяже-

работает во всех случаях [7, 8]. Оно также остает-

ния (K > 1). Поскольку состояние латтинжеров-

ся верным во внешнем магнитном поле. Кроме то-

ской жидкости является критическим и обладает

го, системы типа спиновых лестниц, которые мо-

линейным спектром возбуждений, все низкотемпе-

гут быть щелевыми в нулевом поле, попадают в

ратурные термодинамические свойства демонстри-

эту категорию в полях, превышающих критичес-

руют скейлинговое поведение с индексом z = 1.

кое значение μ₀H_c, при котором щель закрывает-

Это аналогично термодинамике металлов с линей-

ся. Фермионное соответствие обеспечивает универ-

ной теплоемкостью и постоянной восприимчивостью

сальность низкотемпературных свойств и динами-

на магнитный ион:

k_BT

ки. Действительно, в одномерном случае фермионы

CV (T ) = NakB

(8)

6ℏu

с линейной дисперсией независимо от особенностей

Na (gμ_B)² K

взаимодействия между ними образуют так называ-

χ(T ) = μ₀

(9)

2π ℏu

емую жидкость Томонаги - Латтинжера (латтинже-

ровскую жидкость) [7]. Это квантовое критическое

где a — расстояние между атомами в цепочке, N —

состояние, которое полностью характеризуется все-

число спинов в объеме V . Естественно, это сходст-

го двумя константами: скоростью Ферми u и так на-

во не относится к динамике, поскольку свойства

зываемым параметром Латтинжера K [7,8]. Второй

ферми-жидкости Ландау в одномерном случае на-

параметр определяется взаимодействиями: K > 1

рушаются. К счастью, критический показатель и

соответствует притяжению, K < 1 отталкиванию.

скейлинговая функция для динамического струк-

Благодаря фермионному описанию бесщелевые

турного фактора спиновой жидкости известны точ-

одномерные спиновые системы с линейным спект-

но [8, 16, 17]:

(

)

S(q, ω, T ) ∝ T(1-4K)/2K

exp(ℏω/k_BT) - 1

⎧

(

)

(

)

⎫

uq/a + ω

uq/a - ω

⎪

⎨

- iℏ

⎬

4πk_BT

× Im

(

)

(

)

(10)

⎪

uq/a + ω

uq/a - ω

⎪

⎩Γ 1-

- iℏ

⎭

4πk_BT

что соответствует уравнению (4) без переменных, в

ляли измерения на органических образцах, таких

явном виде зависящих от поля.

как Cu-бензоат [18] и Cu-PZN [19]. В рамках данного

обзора стоит особо упомянуть первое систематиче-

2.1. Гейзенберговская спиновая цепочка

ское исследование скейлинга при конечной темпера-

S = 1/2

туре для S(q, ω). Эти оригинальные эксперименты

2.1.1. Классическое результаты

были проведены более двадцати лет назад в орга-

ническом спин-цепочечном соединении Cu-бензоате

Первые экспериментальные проверки скейлинга

[20]. На рис. 1 показан масштабированный график

в спиновых жидкостях были проведены для систем

мнимой части восприимчивости, измеренной в цен-

с гейзенберговскими спиновыми цепочками S = 1/2.

тре одномерной антиферромагнитной зоны Бриллю-

Термодинамические исследования типичных соеди-

эна q = 0 при различных температурах.

нений вошли в учебники. Особый интерес представ-

А. Желудев

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

невозможен в термодинамических измерениях или

1200

1.7 K

в ЯМР.

2.5 K

1000

3.5 K

2.1.2. Разбавленные спиновые цепочки в

5.0 K

нулевом поле

6.5 K

800

Сравнительно недавно были достигнуты успехи

600

в изучении критической динамики систем с разбав-

400

ленными гейзенберговскими цепочками спинов S =

= 1/2, в которых небольшая часть исходных маг-

200

нитных ионов заменялась ионами с целочисленны-

ми спинами. Благодаря магнитному экранированию

влияние этих спинов на цепочку аналогично дефек-

там S = 0 [23]. Поскольку каждый дефект полнос-

ћ /k T_B

тью нарушает непрерывность системы, она приоб-

ретает свойства спиновой жидкости в ограниченном

Рис. 1. Из работы [20]. Зависимость критического динами-

«объеме». Эта задача интенсивно изучалась теоре-

ческого структурного фактора, измеренного в Cu-бензоате

тически [23-25]. Кратко можно сказать, что при z =

при нескольких температурах, от масштабированной час-

тоты (символы). Сплошная линия — формула (10) с пара-

= 1 длина корреляции в латтинжеровской жидко-

метром K = 1/2

сти составляет ℏu/k_BT. Для цепочки спинов дли-

ной La можно ввести параметр Lak_BT/ℏu, через ко-

торый выражаются все ее термодинамические свой-

Эта величина непосредственно связана с динамичес-

ства, что называется LT-скейлингом. Его следствия

ким структурным фактором посредством флуктуа-

можно непосредственно наблюдать в экспериментах

ционно-диссипативной теоремы:

с учетом того, что в реальной разбавленной спино-

[

(

)]

вой системе имеется статистическое распределение

ℏω

χ^′′(q, ω) = π 1 - exp

S(q, ω).

по длинам фрагментов цепочек. Большинство изме-

k_BT

рений такого поведения были проведены на цепочеч-

Сплошной линией показана подгонка по форму-

ных купратах SrCuO₂ и Sr₂CuO₃ с замещением час-

ле (10) для K = 1/2. Обращают внимание замеча-

ти ионов меди ионами переходных металлов. Было

тельное совмещение данных и согласие с теорией.

обнаружено, что не только однородная магнитная

Чаще упоминается более позднее исследование

восприимчивость [26-29], но и чередующаяся вос-

на другом соединении KCuF₃ [21]. Эта система яв-

приимчивость, полученная из температур трехмер-

ляется плохим приближением одномерного магнети-

ного упорядочения за счет слабого межцепочечного

ка из-за наличия довольно сильного межцепочечно-

обмена [27,29], полностью согласуются с предсказа-

го взаимодействия, которое приводит с возникнове-

ниями LT -скейлинга.

нию трехмерного дальнего магнитного порядка уже

Наиболее изящный результат, относящийся к

при температуре T_N = 39 К с намагниченностью

разбавленным спиновым цепочкам, состоит в обна-

подрешеток, достигающей при низких температурах

ружении «скрытого» конечно-температурного скей-

значения 0.5 μ_B на ион Cu²⁺ [22]. Следовательно,

линга локального динамического структурного фак-

ее низкотемпературная термодинамика не должна

тора [28-30]. Любой фрагмент цепочки длиной L бу-

иметь ничего общего со свойствами идеальной спи-

дет иметь спиновую щель Δ = Δ₀/L, где Δ₀ ∼ 3.65J

новой цепочки. Тем не менее было показано, что на

(J — обменная константа) [23]. Вследствие распреде-

энергиях свыше 25 мэВ ∼ 260 K в спектре возбуж-

ления фрагментов по длине в макроскопическом об-

дений преобладает одномерное поведение, описыва-

разце, в спектре появляется псевдощель. Очевидно,

емое выражением (10). Это открытие подчеркивает

динамические масштабированные соотношения для

основное преимущество спектроскопии над статиче-

бесконечной спиновой цепочки (10) перестают вы-

скими или низкочастотными экспериментами. Даже

полняться. Однако можно доказать, что в этом слу-

если в гамильтониане присутствуют члены, отдаля-

чае локальный динамический структурный фактор

ющие систему от квантового критического состоя-

S(ω) можно записать в виде произведения структур-

ния, можно изучать квантовую критическую дина-

ных факторов идеальных цепочек S_∞(ω) и «огиба-

мику и измерять предсказанные масштабированные

ющей» функции, определяемой концентрацией де-

соотношения на высоких энергиях. Этот «прием»

фектов x [29,30]:

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая критическая динамика и скейлинг.. .

т. е. скейлинг нарушается за счет дефектов. Однако

нормировка этих данных на соответствующие вы-

численные огибающие функции сводит их на одну

0.1

кривую (см. рис. 2б). Более того, перенормирован-

ные данные хорошо согласуются с известной скей-

линговой функцией для K = 1/2: S_T (ω) ∝ th(ω), по-

0.01

казанной сплошной линией. Для гейзенберговской

спиновой цепочки в этой формуле точно известен

даже коэффициент пропорциональности, таким об-

разом, согласие с экспериментами на рис. 2б достиг-

нуто без каких-либо подгоночных параметров.

2.1.3. Внешнее поле

0.1

Выше были описаны эксперименты, выполнен-

6 K

15 K

50 K

ные в нулевом внешнем поле. По этой причине в них

+ 1 % Ni

45 K

75 K

90 K

100 K

не было ограничений по выбору материалов и энер-

6 K

150 K

+ 2 % Ni

8 K

180 K

гетическому разрешению спектроскопических изме-

25 K

рений, которые накладываются при использовании

0.1

100

реалистичных магнитных полей. При попытке изу-

ћ /2k T_B

чения динамического скейлинга во внешнем поле,

способном существенно изменить параметр Латтин-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Из работы [28]. Локальный ди-

жера K для спиновой цепочки, эти соображения

намический структурный фактор, измеренный в разбав-

ленных квазиодномерных соединениях при различных тем-

приобретают первостепенное значение.

пературах при помощи времяпролетной (светлые симво-

Рассмотрим схему на рис. 3а. В нулевом поле ди-

лы) и трехосной (закрашенные символы) методик нейт-

намический структурный фактор изотропен и на-

ронной спектроскопии. а) Измеренные интегральные по

ходится внутри границ двухспинонного континуу-

q интенсивности. б) Те же данные, нормированные на

ма. Проявление свойств латтинжеровской жидкости

огибающую функцию для исключения спиновой псевдо-

ожидается в довольно широком диапазоне энергий

щели. Сплошные линии — точная скейлинговая функ-

и импульсов с приблизительно линейной дисперси-

ция для идеальной гейзенберговской спиновой цепочки

ей спинонов (заштрихованный прямоугольник). Во

= 1/2 без подгоночных параметров. Данные полу-

внешнем поле спектр изменяется. Континуумы, со-

чены на времяпролетных инструментах SEQUOIA (На-

ответствующие поперечным и продольным по от-

циональная лаборатория Оак Ридж, США), спектромет-

ношению к полю спиновым флуктуациям, разде-

рах MAPS и MERLIN (Лаборатория Резерфорда Апплто-

на, Великобритания), а также на трехосных спектромет-

ляются, как показано на рис. 3б. В пределе низ-

рах IN22 и IN8 (Институт Лауэ - Ланжевена, Гренобль,

ких энергий оба канала демонстрируют характерное

Франция), PUMA (Forschungsneutronenquelle Хайнц - Май-

для латтинжеровской жидкости скейлинговое пове-

ер - Лейбниц, Мюнхен, Германия) и 4F2 (Лаборатория

дение, однако с различными значениями критиче-

Леона Бриллюэна, CEA-CNRS, Сакле, Франция)

ских индексов и на различных критических волно-

вых векторах (продольные возбуждения становятся

)₂

несоизмеримыми) [8]. Разделять обе спектральные

⁽ xΔ₀

⁽ xΔ₀ )

S(ω, T ) = S_∞(ω, T )

sh-2

(11)

компоненты при помощи поляризованных нейтро-

ℏω

нов нецелесообразно, поскольку это связано с боль-

Нормировка на эту огибающую функцию должна

шим проигрышем в интенсивности. Для измерения

восстановить скейлинговое поведение, что наблюда-

одной из групп критических флуктуаций необходи-

ется экспериментально. На рис. 2а [28] показана ин-

мо значительно сузить окно измерений в непосред-

тегральная по q интенсивность неупругого рассея-

ственной близости от соответствующего волнового

ния нейтронов, измеренная в абсолютных единицах

вектора (заштрихованная область на рис. 3б для по-

при нескольких температурах в SrCuO₂ и Sr₂CuO₃

перечных флуктуаций). Для увеличения окна и за-

с различными концентрациями дефектов, построен-

метного изменения K требуется сильное поле, ко-

ная в зависимости от ω. Как видно, данные при раз-

торое существенно намагничивает спиновую цепоч-

ных температурах не совмещаются друг с другом,

ку. Реалистичный предел значений поля в приме-

А. Желудев

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

ћ , meV

H = 7.5 T

3.5

10²

Zero field

2.0 K

K = 0.64(5)

3.0

4.0 K

1.4 K

2.5

S_xx

0.80 K

2.0

1.5

10¹

0.25 K

1.0

0.5

0.085 K

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

q, r.l.u.

10⁰

ћ , meV

3.5

H||z

3.0

OSIRIS/ISIS

S_xx

2.5

DCS/NCNR

–1

2.0

10^-1

10⁰

10¹

10²

ћ /(k T)_B

1.5

Рис. 4. (В цвете онлайн) Из работы [31]. Масштабиро-

1.0

ванная зависимость для S(0, ω), измеренная в 2(1,4-Dio-

xane) · 2(H2O) · CuCl2 при условии K = 0.64. Сплошная

0.5

линия — формула (10). Данные получены на спектромет-

ре обратного рассеяния OSIRIS (Лаборатория Резерфорда

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

Апплтона, Великобритания) и на времяпролетном инстру-

q, r.l.u.

менте DCS (Национальный институт стандартов и техно-

логий, Мэриленд, США)

Рис. 3. Из работы [31]. Схематическое изображение спект-

ра спиновых возбуждений антиферромагнитной гейзенбер-

говской спиновой цепочки S = 1/2 в нулевом магнитном

поле (а) и в магнитном поле, равном половине поля на-

ментах, в особенности если в них используется прин-

сыщения (б). Численные значения соответствуют соедине-

цип обратного рассеяния. Соответствующие экспе-

нию 2(1,4-Dioxane) · 2(H2O) · CuCl2, в котором поле насы-

рименты [31, 32] были выполнены на спин-цепочеч-

щения приблизительно равно 15 Тл. Штриховкой показа-

ном соединении 2(1,4-Dioxane) · 2(H₂O) · CuCl₂ для

на примерная область, в которой корреляции обусловлены

которого можно вырастить монокристаллы очень

физикой латтинжеровской жидкости

большого размера. Обменная константа в данной си-

стеме составляет J = 0.92 мэВ, что соответствует

полю насыщения μ₀H ≈ 15 Тл [33]. К сожалению,

няемых для нейтронных экспериментов раздельных

спиновые цепочки имеют чередующийся g-тензор,

магнитах составляет примерно 10 Тл в зависимо-

из-за чего в магнитном поле открывается неболь-

сти от установки. Например, для измерения в по-

шая щель. Как и в случае межцепочечных взаимо-

лях 50 % от поля насыщения обменная константа J

действий в KCuF₃, влияния этого нежелательного

должна быть порядка 1 мэВ, что сужает окно из-

малого члена в гамильтониане можно избежать пу-

мерений всего до 0.5 мэВ и требует очень высоко-

тем измерений с большой передачей энергии. Хо-

го разрешения по энергии на уровне как минимум

тя это еще сильнее уменьшает и без того узкое ок-

50 мкэВ.

но измерений, можно получить довольно хорошую

Необходимое разрешение находится на пределе

масштабированную зависимость (рис. 4, из работ

доступного в современных времяпролетных инстру-

[31, 32]). В данном случае критический индекс по

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая критическая динамика и скейлинг.. .

оси y, 2-1/2K, определялся экспериментально так,

чтобы увеличить перекрытие данных, полученных

при различных температурах. Это достигается при

K = 0.64(5), что хорошо соответствует теоретиче-

скому значению K = 0.65 для данного значения

внешнего поля. Сплошная линия проведена по фор-

муле (10) с произвольным нормировочным множи-

телем и хорошо согласуется с результатами измере-

ний.

2.2. Спиновые лестницы в магнитном поле

Гейзенберговская цепочка спинов S = 1/2 в лю-

бом случае удовлетворяет условию K ≤ 1, т. е. яв-

ляется системой фермионов с отталкиванием. Как

упоминалось выше, частично намагниченная гей-

зенберговская антиферромагнитная спиновая лест-

ница S

= 1/2 может проявлять свойства латт-

инжеровской жидкости с K

> 1 [15, 34-38]. Это

не всегда так. Хорошо изученная система спино-

вых лестниц с сильными связями на ступеньках

(C₅H₁₂N)₂CuBr₄ (BPCB) имеет K < 1 во всем диа-

пазоне внешнего поля между H_c и H_sat [38, 39]. В

Рис. 5. (В цвете онлайн) Из работы [42]. Магнитный дина-

отличие от нее, родственное соединение с сильны-

мический структурный фактор DIMPY в магнитном поле

ми связями вдоль ножек (C₇H₁₀N)₂CuBr₄ (DIMPY)

μ0H = 7 Тл. Данные неупругого рассеяния были получе-

является латтинжеровской жидкостью с притяже-

ны при T = 70 мК в режимах с низким Ei = 4.2 мэВ (а)

нием во всех полях выше перехода с закрытием ще-

и высоким Ei = 2.2 мэВ (б) разрешением. в,г) Результа-

ли. Это исключительно хорошо характеризованное

ты DMRG-вычислений, свернутых с аппаратной функцией.

соединение с обменными константами вдоль ножек

Штриховыми линиями показана граница упругого некоге-

Jleg = 1.42 мэВ и на ступеньках Jrung = 0.82 мэВ

рентного фона. Сплошные линии обозначают конус дис-

персии бесщелевых возбуждений. Все критические спино-

лестницы [15, 34, 40, 41] и чрезвычайно малым вза-

вые флуктуации в латтинжеровской жидкости лежат ниже

имодействием между лестницами J^′ = 6 мкэВ [15].

0.4 мэВ. Данные получены на времяпролетном спектро-

Расчеты методом ренормгруппы матрицы плотно-

метре LET (Лаборатория Резерфорда Апплтона, Велико-

сти (DMRG), основанные на этих значениях, пре-

британия)

красно воспроизводят наблюдаемые изменения тер-

модинамических свойств в поле [15,38,41] и полный

спектр спиновых возбуждений [15,41-43]. Скорость,

на рис. 5 (из работ [41, 42]). На верхних и нижних

извлекаемая из теплоемкости по формуле (8), и па-

панелях показаны результаты измерений неупруго-

раметр Латтинжера, определяемый из формул (8)

го рассеяния нейтронов и расчетов DMRG соответ-

и (9) [15, 35, 38, 41], а также из измерений времени

ственно. Большая часть наблюдаемого рассеяния

релаксации ЯМР [36] и трехмерного упорядочения

не имеет отношения к критическим флуктуациям.

[15,41], возникающего при очень низких температу-

Оно или появляется на энергиях, где дисперсия воз-

рах благодаря наличию J^′, подтверждают результат

буждений перестает описываться линейным зако-

расчета DMRG: в DIMPY параметр K равен едини-

ном (что является предпосылкой спин-жидкостного

це при μ₀H_c = 2.62 Тл, затем монотонно возрастает

поведения), или происходит от щелевых спектраль-

до величины K ≈ 1.3 при 15 Тл, после чего снова

ных компонент, не имеющих отношения к перехо-

уменьшается до единицы при μ₀H_sat = 29 Тл.

ду в спин-жидкостную фазу с обращением щели в

Как и в случае намагниченных спиновых цепо-

нуль при μ₀H_c. Настоящее критическое рассеяние

чек, изучение критической динамики в спин-жид-

можно беспрепятственно наблюдать только в части

костной фазе DIMPY весьма затруднительно из-за

спектра с передачей энергии меньше приблизитель-

узости измерительного окна. Рассмотрим полный

но 0.4 мэВ. В то же время нужно держаться вдали

спектр возбуждений при μ₀H = 7.5 Тл, показанный

от неизбежного в нейтронных экспериментах обыч-

ЖЭТФ, вып. 1 (7)

А. Желудев

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

словленных внешним магнитным полем. Наиболее

очевидным примером является переход в полностью

поляризованное состояние в сильном поле в боль-

шинстве неферромагнитных XXZ-систем. Кроме

того, данный случай проще всего описывается, по-

скольку спектр возбуждений при H > H_sat являет-

ся щелевым и точно вычисляется в теории спиновых

волн. Магнонная щель закрывается на критическом

волновом векторе точно в поле H = H_sat. При этом

на малых энергиях дисперсия является квадратич-

ной, поэтому для данной ККТ z = 2.

Считая оператор

S^- оператором рождения маг-

нона можно непосредственно отобразить эту задачу

на случай бозе-газа с сильным отталкиванием. При

данном отображении плотность бозонов ρ соответ-

Рис. 6. (В цвете онлайн) Из работы [37]. Локальный дина-

ствует уменьшению намагниченности NS -

S^ztotal, а

мический структурный фактор S(ω), измеренный в DIMPY

их химический потенциал μ — расстоянию до крити-

в поле μ0H = 9 Тл при нескольких температурах, постро-

ческого поля gμ_B(H - H_sat). Как известно, в трех-

енный в масштабированном представлении с различными

мерном случае это позволяет рассматривать насы-

показателями. Стрелки указывают на очевидные наруше-

щение как бозе-эйнштейновскую конденсацию маг-

ния скейлинга при неоптимальных значениях показателя.

нонов [44]. В одномерном случае в полях ниже H_sat

Сплошной линией показана точная скейлинговая функция

система является латтинжеровской жидкостью.

для латтинжеровской жидкости с параметром K = 1.25.

На вставке: мера совпадения данных в зависимости от по-

В одномерном случае следствия отображения на

казателя степени. Все данные получены на спектрометре

LET (Лаборатория Резерфорда Апплтона, Великобрита-

модель бозонов с отталкиванием оказываются еще

ния)

более значительными, чем для случая d = 3 [46]. Это

происходит потому что в пределе малой плотности

ного сильного упругого некогерентного рассеяния.

магнонов (вблизи H_sat) свойства одномерного бо-

Несмотря на эти трудности, измерения в магнитном

зе-газа с отталкиванием не зависят от взаимодейст-

поле μ₀H = 9 Тл были успешно выполнены на уста-

вия (например, от радиуса отталкивания) и явля-

новке с чрезвычайно высоким разрешением (δE ≈

ются полностью универсальными. Универсальность

≈ 25 мкэВ) [37,41]. На рис. 6 приведена полученная

относится не только к виду скейлинговых функ-

масштабированная зависимость для динамического

ций, но даже к общему численному коэффициен-

структурного фактора. Три набора данных соответ-

ту [47-49]. Это называется «нулевой нормировочной

ствуют трем различным значениям показателя тем-

универсальностью» [46]. Все свойства за исключе-

пературы, в данных обозначениях выражаемого в

нием отталкивания на узлах будут полностью ана-

виде 1/2K - 1. На двух из них очевидно присут-

логичны свойствам невзаимодействующих бозонов,

ствие «разрывов», указывающих на плохое совме-

которые в свою очередь точно отображаются на

щение данных. Оптимальное совмещение достига-

свободные фермионы путем преобразования Йорда-

ется при значении K = 1.25(5) (средний набор то-

на - Вигнера. Это немедленно дает точные результа-

чек). Получившийся результат прекрасно согласует-

ты для термодинамических свойств, которые спра-

ся с теоретической скейлинговой функцией (сплош-

ведливы вне зависимости от особенностей спинового

ная линия), полученной из уравнения (10). Для из-

гамильтониана [46]. Показатели в уравнениях (3) по-

вестных значений обменных констант в DIMPY, рас-

лучаются из условий d = 1, z = 2, а также необходи-

чет DMRG дает K = 1.2 для μ₀H = 9 Тл [37, 41].

мости выполнения соотношения zν = 1, поскольку

зеемановский член, обусловливающий переход, ком-

мутирует с остальным гейзенберговским гамильто-

3. НУЛЕВАЯ НОРМИРОВОЧНАЯ

УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ

нианом [50]. Скейлинговые функции с точностью до

абсолютных значений предыинтегральных множи-

Переходим к описанию квантовых критических

телей соответствуют случаю свободных фермионов

точек в гейзенберговских спиновых цепочках, обу-

и легко вычисляются:

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая критическая динамика и скейлинг.. .

-1

-(1+a)

С_p, J mol 1 K^--1

С_pT-a

, J mol

расширения, магнитострикции и магнитокалоричес-

1.8

кого эффекта были недавно красиво проверены в

4.0 T

7.0 T

1.2

a = 1/2

4.5 T

7.5 T

1.6

измерениях на системе спиновых цепочек S = 1/2

5.0 T

8.0 T

1.4

= 1

1.0

CuPzN в окрестности H_sat [51]. Поведение теплоем-

5.5 T

8.5 T

1.2

6.0 T

9.0 T

кости и намагниченности было также изучено для

0.8

6.5 T

1.0

перехода с закрытием щели в системе спиновых

0.6

0.8

0.3

0.5

0.7

лестниц (C₅H₁₂N)₂CuBr₄ (BPCB) [45, 52]. На рис. 7

0.6

1.2

MSE

0.4

4.0

10^-3

представлены результаты измерений теплоемкости

0.4

1.0

3.5

0.2

в окрестности H_c при различных температурах (а)

0.2

3.0

0.8

и соответствующая масштабированная зависимость

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-8 -6 -4 -2

(б). Сплошная линия проведена по формуле (13)

T, K r = g

(H - H )/

B 0

(k_BT)1/z

без каких-либо подгоночных параметров (магнон-

ная масса непосредственно измеряется с помощью

Рис. 7. (В цвете онлайн) Из работы [45]. а) Типичные за-

неупругого рассеяния нейтронов). Все расхождения

висимости магнитного вклада в теплоемкость от темпера-

туры в BPCB при фиксированных значениях поля, направ-

обусловлены отклонением реальной дисперсии маг-

ленного вдоль оси b. б) Символы: магнитная теплоемкость,

нонов от идеальной параболы при высоких энерги-

измеренная при 0.17 ≤ T

≤ 0.5, построенная в приве-

ях [52].

денных переменных с критическими индексами a = 1/2

и zν = 1. Сплошная линия — скейлинговая функция для

свободных фермионов в одномерном случае, построенная

3.1. Динамика

без подгоночных параметров. На вставке: условное цвет-

В данной ККТ с d = 1, z = 2 динамических

ное изображение эмпирической меры совмещения данных

структурный фактор удовлетворяет соотношению

в зависимости от критических индексов. Оптимальное со-

(4) с x = 1/2. Интересно, что корреляционная функ-

гласование достигается при a = 0.57(10) и b = 1.01(10)

ция известна точно [54]. К сожалению, она не запи-

сывается в простом виде, а выражается через де-

^√2πmk_B

терминанты Фредгольма. Ее асимптотическое пове-

M(x) = gμ_B

πℏ

дение при ω → 0 и ω → ∞ хорошо известно [46]. В

∫∞

общем случае она получается при помощи доволь-

× dy

(12)

но утомительного, но простого численного метода

exp(y² - x) + 1

[52, 53]. Типичные результаты показаны на рис. 8.

Первая попытка экспериментальной проверки этих

предсказаний была предпринята на примере систе-

^√2πmk_B

C(x) = k_B

мы спиновых цепочек S = 1/2 K₂CuSO₄Cl₂ с по-

πℏ

лем насыщения μ₀H_sat = 4.47 Тл [32, 55]. Выясни-

∫∞

(y² - x)² exp(y² - x)

лось, что критические флуктуации перекрываются

× dy

(13)

(exp(y² - x) + 1)²

с плотным континуумом некритического рассеяния,

которое возникает по мере удаления от ККТ. Это

где m — магнонная «масса», а их дисперсия при H =

иллюстрируется на рис. 9. В левой колонке приве-

= H_c имеет вид ℏω = ℏ²q²/2m.

дены нейтронные спектры, измеренные при различ-

Эти универсальные результаты можно также

ных температурах в поле H = H_sat. Критическое

применить к переходам с закрытием щели в поле

рассеяние возникает благодаря магнонам с косину-

в димеризованных антиферромагнитных спиновых

соидальной дисперсией, которая четко видна при са-

цепочках, халдейновских системах и антиферромаг-

мой низкой температуре. Некритическое рассеяние

нитных спиновых лестницах. В этих случаях крити-

возникает в виде ветви с «перевернутой» дисперси-

ческая точка снова отделяет неупорядоченную ще-

ей при низких температурах и быстро растет, об-

левую фазу при H < H_c от состояния латтинже-

разуя широкий континуум при повышении темпе-

ровской жидкости в более сильных полях. Бозо-

ратуры. Расчеты DMRG при конечной температу-

ны с отталкиванием на узлах соответствуют ниж-

ре показывают, что эти некритические флуктуации

ней компоненте магнонного триплета в щелевой фа-

происходят из двухмагнонных состояний и поляри-

зе, которая смягчается при H → H_c. Предсказан-

зованы параллельно внешнему полю. В отличие от

ные зависимости для теплоемкости и восприимчи-

них, критические флуктуации соответствуют одно-

вости, а также точные результаты для теплового

магнонным возбуждениям и поэтому связаны с пе-

А. Желудев

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

h = -0.5

h = 0

h = 0.5

h = 1.0

T-DMRG

TOF neutron data

Chain-MF + RPA

1.0

-2

0.5

–1.0

–0.5

–1.0

–0.5

1.0

–2

0.5

–2

-1.0

-0.5

-1.0

-0.5

1.0

Рис. 8. (В цвете онлайн) Из работы [53]. Графики рас-

четного поперечного динамического структурного факто-

0.5

ра бозонов с отталкиванием на узлах в одномерном слу-

чае при различных значениях химического потенциала

h = -0.5, 0, 0.5, 1.0 и температуры T = 0.2,0.5,1.0

-1.0

-0.5

-1.0

-0.5

1.0

реворотом спина и имеют поперечную к полю поля-

ризацию.

0.5

Задача состоит в разделении критического попе-

речного и некритического продольного рассеяния. В

-1.0

-0.5

-1.0

-0.5

принципе, это можно сделать с помощью поляризо-

1.0

ванных нейтронов. Как упоминалось выше, эта ме-

тодика обычно связана с большим проигрышем в ин-

0.5

тенсивности и поэтому плохо пригодна для измере-

ния слабых сигналов. Однако при изучении спино-

-1.0

-0.5

-1.0

-0.5

вых лестниц можно использовать следующий при-

ем. Гамильтониан таких систем обладает дополни-

1.0

тельной симметрией — перестановкой ножек лест-

ницы. При антиферромагнитном взаимодействии на

0.5

ступеньках магноны являются нечетными по отно-

шению к этому элементу симметрии [39, 56]. Это

–1.0

–0.5

–1.0

–0.5

означает, что самое сильное одномагнонное рассея-

q_||/2

ние осуществляется с передачей импульса q_⊥ = π/l

перпендикулярно направлению ножки (l — длина

Рис. 9. (В цвете онлайн) Из работы [53]. Измеренные и вы-

численные спектры спиновых возбуждений в соединении

ножки в данном соединении), тогда как у двухмаг-

нонных процессов, наоборот, q_⊥ = 0. Низкоэнергети-

с гейзенберговскими спиновыми цепочками K2CuSO2Cl2

вблизи насыщения. В первой колонке приведены данные

ческий спектр спиновой лестницы вблизи H_c каче-

неупругого рассеяния нейтронов, полученные в непосред-

ственно аналогичен спектру спиновой цепочки вбли-

ственной близости от насыщения в поле μ0H = 4.5 Тл

зи H_sat с тем отличием, что критические и некри-

(μ0Hsat = 4.47 Тл) при различных температурах. Эти гра-

тические флуктуации разделены в обратном про-

фики соответствуют сечениям, интегрированным в преде-

странстве и могут измеряться независимо. Эту идею

лах q_⊥/2π = 0±0.1 и полностью вдоль бездисперсионного

успешно применили при измерении критической ди-

направления qinter. Во второй колонке приведены резуль-

намики в лестничном соединении BPCB [45]. Полу-

таты численного расчета, в котором безцепочечное взаи-

чившаяся масштабированная зависимость для S(ω)

модействие учитывается в рамках комбинированного под-

показана на рис. 10. Наилучшее совмещение данных

хода для цепочек в среднем поле и приближения случай-

ных фаз. Все данные получены на времяпролетном инстру-

достигается с показателем x = 0.57(1) при теорети-

менте LET (Лаборатория Резерфорда Апплтона, Велико-

ческом значении x = 1/2. Сплошной линией пока-

британия)

зана точная скейлинговая функция для свободных

фермионов.

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая критическая динамика и скейлинг.. .

коммутирует с остальным гамильтонианом и, сле-

довательно, зеемановская энергия не является про-

стой добавкой к закону дисперсии магнонов, как в

b = 0

аксиальном случае. Вместо этого дисперсия магно-

нов имеет «релятивистский» вид: (ℏω)² = (ℏuq)² +

+ g²μ2B(H - H_c)² [3, 7]. В отличие от аксиального

10¹

b = 0.5

случая, именно магнонная «масса», а не его «хи-

мический потенциал» обращается в нуль при H_c.

В самом критическом поле дисперсия является ли-

нейной, что соответствует случаю z = 1. На кри-

b = 1.0

тическом волновом векторе щель линейно зависит

от (H - H_c), поэтому также выполняется соотноше-

1.0

ние zν = 1. В ККТ система похожа на латтинже-

0.9

ровскую жидкость тем, что она бесщелевая, име-

10⁰

0.8

ет линейный спектр и подчиняется фермионному

0.7

описанию, в данном случае через действительные

0.6

(майорановские) фермионы [7]. В результате дли-

0.5

1.0

на корреляции убывает по закону 1/T , а динамиче-

ский структурный фактор определяется выражени-

ем (10) с необычным значением K = 4 [3, 57]. Соот-

10^-1

10⁰

10¹

ветственно, показатель температуры в формуле (4)

x = ћ /k_BT

равен x = 7/4.

Рис. 10. (В цвете онлайн) Из работы [45]. Масштабирован-

Хотя имеются некоторые потрясающе краси-

ная зависимость антисимметричного поперечного локаль-

вые экспериментальные данные о возбуждениях

ного динамического структурного фактора S^⊥-(ω), изме-

в (квази)одномерных изинговских системах с обе-

ренного в BPCB вблизи критического поля μ0H = 6.5 Тл.

их сторон от перехода в поперечном поле [59],

Для предсказанного показателя b = 1/2 все три набора

исследований критической динамики при конеч-

данных совмещаются в единую непрерывную линию. На

ных температурах не так много. Один из таких

вставке показана мера совмещения данных для различ-

ных значений критического индекса. Наилучшее совпаде-

экспериментов был осуществлен в соединении

ние достигается при b = 0.57(10). Сплошная линия соот-

с анизотропными спиновыми цепочками S

= 1

ветствует расчетной скейлинговой функции. Все данные

Ni(C₉H₂₄N₄)(NO₂)(ClO₄) (NTENP). Чередова-

получены на времяпролетном инструменте LET (Лабора-

ние обменных констант между J₁

= 2.1 мэВ и

тория Резерфорда Апплтона, Великобритания)

J₂

4.7

мэВ приводит к образованию диме-

ризованного синглетного основного состояния,

отличающегося от халдейновского состояния [60]. В

4. МОДЕЛЬ ИЗИНГА С d = 1 В

системе имеется сильная одноионная анизотропия,

ПОПЕРЕЧНОМ ПОЛЕ

в результате чего нижний по энергии триплет

возбуждений расщепляется на дублет со щелью

Последний из обсуждаемых в обзоре случаев,

Δ₁ = 1.07 мэВ и синглет на уровне Δ₂ = 1.91 мэВ.

модель Изинга в поперечном поле, наверное, явля-

Если магнитное поле приложено перпендикулярно

ется наиболее показательным примером квантово-

оси анизотропии, аксиальная симметрия полностью

го фазового перехода [3]. Он возникает при всех

нарушается, что приводит к переходу типа модели

тех же условиях, которые были описаны в преды-

Изинга в поперечном поле в состояние, которое

дущем разделе (насыщение, закрытие щели в маг-

при T = 0 в поле μ₀H_c ≈ 11 Тл оказывается упо-

нитном поле), однако при наличии анизотропии, на-

рядоченным антиферромагнетиком

[61].

«Окно»,

рушающей аксиальную симметрию вокруг направ-

в котором можно надеяться на измерение крити-

ления магнитного поля. Этот переход также связан

ческих флуктуаций, ограничено сверху средней

со смягчением моды возбуждений — щель в спек-

компонентой магнонного триплета с энергией Δ₁,

тре магнонов обращается в нуль при H = H_c, од-

которая сама по себе не имеет никакого отношения

нако имеются два ключевых различия. Во-первых,

к критическому рассеянию. К сожалению, из-за

ККТ разделяет две фазы, обе из которых являют-

наличия в данном соединении ранее неизвестного

ся щелевыми [7]. Во-вторых, зеемановский член не

структурного перехода в нем имеется небольшое

А. Желудев

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

одну линию в двойном логарифмическом масштабе

(рис. 11) означает только, что рассеяние не зависит

от температуры при k_BT

≫ ℏω. Однако зависи-

мость наклона данных, полученных при каждой

температуре, от энергии является нетривиальным

результатом: он устанавливает степенное поведение

S(ω) в пределе T → 0.

5. ВЫВОДЫ

Однажды Тим Займан (Институт Лауэ - Лан-

жевена) в шутку заметил, что такая деятельность

напоминает «измерение числа π»: точно извест-

но, что получится при правильной постановке

эксперимента. Такая критика оправдана лишь

частично. С одной стороны, верно, что описан-

ные здесь эксперименты служат для проверки

давно известных точных теоретических результа-

тов, не подвергаемых какому-либо сомнению. С

другой стороны, даже число π на всякий случай

надо измерить несколько раз. Именно на таких

измерениях, осуществленных в античные време-

на, основана наша непоколебимая уверенность в

Рис. 11. (В цвете онлайн) Из работы [58]. Масштабирован-

применимости геометрии к описанию реальной

ная зависимость локального динамического структурного

вселенной. Еще более важен другой аспект. Ожи-

фактора, измеренного в NTENP с изинговским критиче-

дается, что по своей природе теория скейлинга

ским индексом x - 1 = 0.75. Черная линия соответствует

применима только в непосредственной близости

точной теоретической скейлинговой функции для кванто-

вой критической точки изинговской цепочки в поперечном

к квантовой критической точке, на очень малых

магнитном поле. Экспериментальные данные получены на

импульсах и энергиях. Описанные в данном обзоре

трехосных спектрометрах IN-14 (Институт Лауэ - Ланже-

исследования проверяют, до какой степени эти

вена, Гренобль, Франция) и FLEXX (Центр Гельмгольца,

результаты применимы к реальным соединениям

Берлин, Германия), а также на времяпролетном инстру-

и к экспериментам с реалистичной чувствительно-

менте LET (Лаборатория Резерфорда Апплтона, Велико-

стью и разрешением. В них не измеряется число

британия)

π, в них проверяется, существуют ли в природе

реальные круги, которые с некоторой точностью

можно аппроксимировать идеальной окружностью.

чередование g-тензора, которое не позволяет ще-

ли полностью закрыться: в поле H_c ее величина

Обзор посвящен памяти академика А. С. Боро-

составляет

0.2

мэВ [32, 58]. Это задает нижний

вика-Романова. Автору посчастливилось проходить

предел, на котором флуктуации можно считать

под его руководством дипломную практику в Ин-

критическими.

ституте физических проблем им. П. Л. Капицы.

Несмотря на эти ограничения, измеренный в

Основополагающие работы Боровика-Романова в

NTENP локальный динамический структурный

области антиферромагнетизма и спиновых волн

фактор прекрасно согласуется с теоретическими

заложили основу всей научной карьеры автора.

предсказаниями (см. рис. 11). Соответствующий

Неизменное уважение, с которым он относился к

критический индекс x-d, определенный из экспери-

людям, стало примером настоящего достоинства в

мента, составляет 0.77(2), что близко к ожидаемому

науке.

значению 3/4. К сожалению, эти данные не пере-

крывают весь важный режим релаксации ω ≲ 1.

Благодарности. Основная часть эксперимен-

Тот факт, что данные, измеренные на одной частоте

тальных данных, вошедших в настоящий обзор,

при различных температурах, укладываются на

была получена при поддержке Швейцарского на-

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

Квантовая критическая динамика и скейлинг.. .

ционального научного фонда, отдел 2, в рамках

T. Giamarchi, Quantum Physics in One Dimension,

диссертационных работ, которые успешно защитили

Clarendon Press (2003).

в Федеральной высшей технической школе (ВТШ)

I. Affleck and F. D. M. Haldane, Phys. Rev. B 36,

Цюриха Д. Шмидигер [41], М. Хельг [32], Г. Симу-

5291 (1987).

тис [29] и Д. Блоссер [52]. Существенное участие

во многих экспериментах приняли К. Поваров,

10.

S. Yamamoto, Phys. Rev. B 51, 16128 (1995).

С. Гвасалия, В. Лоренц и Д. Хьювонен (ВТШ,

11.

B. Lake, A. M. Tsvelik, S. Notbohm, D. Alan Ten-

Цюрих). Эти эксперименты были бы невозможны

nant, T. G. Perring, M. Reehuis, C. Sekar, G. Krab-

без квалифицированной помощи, которую оказали

bes, and B. Buchner, Nat. Phys. 6, 50 (2010).

специалисты пользовательских центров нейтронно-

12.

T. Yankova, D. Huevonen, S. Muhlbauer, D. Schmi-

го рассеяния: T. Perring, D. Voneshen, R. Bewley,

diger, E. Wulf, S. Zhao, A. Zheludev, T. Hong,

H. C. Walker, D. T. Adjora, F. Demmel и T. Guidi

V. O. Garlea, R. Custelcean, and G. Ehlers, arXiv:

(Rutherford Appleton Laboratory, UK); J. Robert и

1110.6375v1 (2011).

S. Petit (Laboratoire Leon Brillouin, CEA-CNRS,

Saclay, France); M. Stone, A. I. Kolesnikov и

13.

F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 45, 1358 (1980).

A. T. Savichi (Oak Ridge National Laboratory,

14.

T. Hikihara and A. Furusaki, Phys. Rev. B 63, 134438

USA); L. P. Regnault и F. Bourdarot (CEA Grenoble,

(2001).

France); O. Sobolev (Forschungsneutronenquelle Heinz

Maier-Leibnitz, Munich, Germany); N. P. Butch

15.

D. Schmidiger, P. Bouillot, S. Muehlbauer, S. Gva-

(National Institute of Standards and Technology,

saliya, C. Kollath, T. Giamarchi, and A. Zheludev,

USA); D. L. Quintero-Castro (Helmholtz-Zentrum

Phys. Rev. Lett. 108, 167201 (2012).

Berlin, Germany); A. Piovano и M. Boehm (Institut

16.

H. J. Schulz, Phys. Rev. Lett. 77, 2790 (1996).

Laue-Langevin, Grenoble, France). Большая часть

образцов, исследованных в описанных экспери-

17.

O. Starykh, A. W. Sandvik, and R. R. P. Singh,

ментах, выращена в ВТШ (Цюрих), кристаллы

Physica B 241-243, 563 (1998).

купратов с линейными цепочками получены в

18.

D. C. Dender, P. R. Hammar, D. H. Reich, C. Bro-

лабораториях Б. Бюхнера (Институт Лейбница,

holm, and G. Aeppli, Phys. Rev. Lett. 79,

1750

Германия), Т. Масуды (Университет Токио, Япо-

(1997).

ния) и А. Ревколевски (Университет Париж-юг,

Орсэ, Франция).

19.

P. R. Hammar, M. B. Stone, D. H. Reich, C. Broholm,

P. J. Gibson, M. M. Turnbull, C. P. Landee, and

M. Oshikawa, Phys. Rev. B 59, 1008 (1999).

ЛИТЕРАТУРА

20.

D. C. Dender, Ph.D. Thesis, Johns Hopkins Univer-

1. H. E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and

sity (1997).

Critical Phenomena, Oxford Univ. Press (1971).

21.

B. Lake, D. A. Tennant, C. D. Frost, and S. E. Nagler,

2. M. F. Collins, Magnetic Critical Scattering, Oxford

Nat. Mater. 4, 329 (2005).

Univ. Press (1989).

22.

M. T. Hutchings, E. J. Samuelsen, G. Shirane, and

3. S. Sachdev, Quantum Phase Transitions, Cambridge

K. Hirakawa, Phys. Rev. 188, 919 (1969).

Univ. Press, Cambridge, UK (1999).

23.

S. Eggert and I. Affleck, Phys. Rev. B 46, 10866

(1992).

4. M. A. Continentino, Quantum Scaling in Many-Body

Systems, World Sci. Publ. Co. Pte. Ltd., Singapore

24.

S. Fujimoto and S. Eggert, Phys. Rev. Lett. 92,

(2001).

037206 (2004).

5. G. L. Squires, Introduction to the Theory of Thermal

25.

J. Sirker, S. Fujimoto, N. Laflorencie, S. Eggert, and

Neutron Scattering, Cambridge Univ. Press (1978).

I. Affleck, J. Stat. Mech.: Theory Exp. 2008, P02015

(2008).

6. S. W. Lovesey, Theory of Neutron Scattering from

Condensed Matter, Clarendon Press, Oxford, UK

26.

K. Karmakar and S. Singh, Phys. Rev. B 91, 224401

(1984).

(2015).

7. A. Tsvelik, Quantum Field Theory in Condensed

27.

G. Simutis, S. Gvasaliya, F. Xiao, C. P. Landee, and

Matter Physics, Cambridge Univ. Press (2007).

A. Zheludev, Phys. Rev. B 93, 094412 (2016).

А. Желудев

ЖЭТФ, том 158, вып. 1 (7), 2020

28.

G. Simutis, S. Gvasaliya, N. S. Beesetty, T. Yoshida,

42.

D. Schmidiger, P. Bouillot, T. Guidi, R. Bewley,

J. Robert, S. Petit, A. I. Kolesnikov, M. B. Stone,

C. Kollath, T. Giamarchi, and A. Zheludev, Phys.

F. Bourdarot, H. C. Walker, D. T. Adroja, O. Sobo-

Rev. Lett. 111, 107202 (2013).

lev, C. Hess, T. Masuda, A. Revcolevschi, B. Büchner,

43.

D. Schmidiger, P. Bouillot, G. Ehlers, S. Mühlbauer,

and A. Zheludev, Phys. Rev. B 95, 054409 (2017).

A. M. Tsvelik, C. Kollath, T. Giamarchi, and A. Zhe-

ludev, Phys. Rev. B 88, 094411 (2013).

29.

G. Simutis, Ph.D. Thesis, ETH Zurich

(2016),

https://doi.org/10.3929/ethz-a-010811102.

44.

E. G. Batyev and L. S. Braginski, Sov. Phys. JETP

60, 781 (1984).

30.

G. Simutis, S. Gvasaliya, M. Mansson, A. L. Cher-

nyshev, A. Mohan, S. Singh, C. Hess, A. T. Savici,

45.

D. Blosser, V. K. Bhartiya, D. J. Voneshen, and

A. I. Kolesnikov, A. Piovano, T. Perring, I. Zaliznyak,

A. Zheludev, Phys. Rev. Lett. 121, 247201 (2018).

B. Büchner, and A. Zheludev, Phys. Rev. Lett. 111,

46.

S. Sachdev, T. Senthil, and R. Shankar, Phys. Rev.

067204 (2013).

B 50, 258 (1994).

31.

M. Hälg, D. Hüvonen, N. P. Butch, F. Demmel, and

47.

I. Affleck, Phys. Rev. B 41, 6697 (1990).

A. Zheludev, Phys. Rev. B 92, 104416 (2015).

48.

I. Affleck, Phys. Rev. B 43, 3215 (1991).

32.

M. Haelg, Ph.D. Thesis, ETH Zurich

(2015),

49.

E. S. Sorensen and I. Affleck, Phys. Rev. Lett. 71,

https://doi.org/ 10.3929/ethz-a-010573756.

1633 (1993).

33.

T. Hong, R. Custelcean, B. C. Sales, B. Roessli,

50.

S. Sachdev, Zeitschrift für Physik B Condensed

D. K. Singh, and A. Zheludev, Phys. Rev. B 80,

Matter 94, 469 (1994).

132404 (2009).

51.

O. Breunig, M. Garst, A. Klümper, J. Rohrkamp,

34.

T. Hong, Y. H. Kim, C. Hotta, Y. Takano, G. Tre-

M. M. Turnbull, and T. Lorenz, Sci. Adv. 3 (2017),

melling, M. M. Turnbull, C. P. Landee, H.-J. Kang,

10.1126/sciadv.aao3773.

N. B. Christensen, K. Lefmann, K. P. Schmidt,

52.

D. Blosser, Ph.D. Thesis, ETH Zurich (2019).

G. S. Uhrig, and C. Broholm, Phys. Rev. Lett. 105,

137207 (2010).

53.

D. Blosser, N. Kestin, K. Y. Povarov, R. Bewley,

E. Coira, T. Giamarchi, and A. Zheludev, Phys. Rev.

35.

K. Ninios, T. Hong, T. Manabe, C. Hotta, S. N. Her-

B 96, 134406 (2017).

ringer, M. M. Turnbull, C. P. Landee, Y. Takano, and

54.

V. E. Korepin and N. A. Slavnov, Comm. Math. Phys.

H. B. Chan, Phys. Rev. Lett. 108, 097201 (2012).

129, 103 (1990).

36.

M. Jeong, H. Mayaffre, C. Berthier, D. Schmidiger,

55.

M. Hälg, W. E. A. Lorenz, K. Y. Povarov, M. Mans-

A. Zheludev, and M. Horvatić, Phys. Rev. Lett. 111,

son, Y. Skourski, and A. Zheludev, Phys. Rev. B 90,

106404 (2013).

174413 (2014).

37.

K. Y. Povarov, D. Schmidiger, N. Reynolds, R. Bew-

56.

T. Barnes and J. Riera, Phys. Rev. B 50, 6817 (1994).

ley, and A. Zheludev, Phys. Rev. B 91, 020406 (2015).

57.

S. Sachdev, Nucl. Phys. B 464, 576 (1996).

38.

M. Jeong, D. Schmidiger, H. Mayaffre, M. Klanjšek,

58.

M. Hälg, D. Hüvonen, T. Guidi, D. L. Quintero-Cast-

C. Berthier, W. Knafo, G. Ballon, B. Vignolle, S. Krä-

ro, M. Boehm, L. P. Regnault, M. Hagiwara, and

mer, A. Zheludev, and M. Horvatić, Phys. Rev. Lett.

A. Zheludev, Phys. Rev. B 92, 014412 (2015).

117, 106402 (2016).

59.

R. Coldea, D. A. Tennant, E. M. Wheeler, E. Wawr-

39.

P. Bouillot, C. Kollath, A. M. Läuchli, M. Zvonarev,

zynska, D. Prabhakaran, M. Telling, K. Habicht,

B. Thielemann, C. Rüegg, E. Orignac, R. Citro,

P. Smeibidl, and K. Kiefer, Science 327, 177 (2010).

M. Klanjšek, C. Berthier, M. Horvatić, and T. Gia-

60.

A. Zheludev, T. Masuda, B. Sales, D. Mandrus,

marchi, Phys. Rev. B 83, 054407 (2011).

T. Papenbrock, T. Barnes, and S. Park, Phys. Rev.

B 69, 144417 (2004).

40.

D. Schmidiger, S. Mühlbauer, S. N. Gvasaliya,

T. Yankova, and A. Zheludev, Phys. Rev. B 84,

61.

L. P. Regnault, A. Zheludev, M. Hagiwara, and

144421 (2011).

A. Stunault, Phys. Rev. B 73, 174431 (2006).

62.

J. Cadry, Scaling and Renormalization in Statistical

41.

D. Schmidiger, Ph.D. Thesis, ETH Zurich (2014),

Physics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK

https:// doi.org/10.3929/ethz-a-010379214.

(2003).