ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 3, стр. 424-433

СОЛИТОНЫ В ХИРАЛЬНОЙ СРЕДЕ

А. А. Заболотский^*

Институт автоматики и электрометрии Cибирского отделения Российской академии наук

630090, Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 18 ноября 2020 г.,

после переработки 18 ноября 2020 г.

Принята к публикации 20 ноября 2020 г.

Исследуется динамика поля в тонком волноводе, окруженном спирально расположенными двухуровне-

выми атомами. Взаимодействие индуцированных поляризаций атомов с полем, распространяющимся

внутри волновода, описывается системой редуцированных уравнений Максвелла- Блоха в приближении

однонаправленного распространения поля. Нелокальное диполь-дипольное взаимодействие поляризаций

атомов в спирали описывается в приближении взаимодействия ближайших соседей в криволинейной

среде. Методом, основанном на задаче Римана с нулями, найдены солитонные решения интегрируемой

редукции системы уравнений, описывающие несимметричное распространение импульсов поля в вол-

новоде в прямом и обратном направлениях. Показано, что в зависимости от знака хиральности или

направления распространения импульс поля в волноводе может иметь форму либо острого пика, либо

близкую прямоугольной. Решения, описывающие эволюцию импульсов поля на ненулевом пьедестале,

показывают, что форма и амплитуда импульсов поля могут контролироваться параметрами внешней

накачки.

DOI: 10.31857/S0044451021030044

Изучение нелинейных невзаимных эффектов

представляет как теоретический, так и прикладной

интерес, поскольку формирование ультрокоротких

1. ВВЕДЕНИЕ

импульсов поля в несимметричных, хиральных и

криволинейных средах может существенно отли-

Асимметричное распространение волн, вызван-

чаться от случаев однородных и симметричных

ное нелинейностью, возникает в различных облас-

сред. Аналитическую информацию об эволюции

тях физики, включая нелинейную оптику. Элект-

оптических и других импульсов в нелинейных

ронный диод, основанный на эффекте Фарадея, яв-

средах можно получить, решая начально-краевые

ляется ключевым компонентом в оптических и мик-

задачи для полностью интегрируемых уравнений

роволновых системах [1-3]. Так называемый полно-

[15-17]. Первые полностью интегрируемые уравне-

стью оптический диод был предсказан в [4-8], а за-

ния Максвелла - Блоха, описывающие эволюцию

тем реализован экспериментально в [9]. В качест-

электромагнитных волн в двухуровневой системе

ве основы диода предлагалось использовать лево-

(ДУС), были выведены Лэмбом

[18] в рамках

сторонние метаматериалы [10], квазипериодические

приближения медленно меняющейся огибающей.

системы [11], связанные линейные и нелинейные

Позже были найдены интегрируемые обобще-

резонаторы [12-14]. Асимметричное пропускание в

ния этих уравнений, описывающие эволюцию

структурах метаматериалов возникает, если распро-

электромагнитных импульсов как с применением

странение сопровождается преобразованием поля-

приближения медленной огибающей, так и вне его,

ризации [6, 8]. В оптике простейший изолятор, ис-

см. обзоры [16,17]. Различие нелинейных эффектов,

пользующий невзаимное пропускание циркулярно

определяющих эволюцию возбуждений в прямо-

поляризованного света, состоит из пары поляриза-

линейных и изогнутых молекулярных цепочках, в

торов и вращателя Фарадея и для него требуется

рамках интегрируемых моделей показано в [19, 20].

статическое магнитное поле. Аналогичный подход

используется и для микроволновых устройств [1].

Если расстояние между атомами намного мень-

ше резонансной длины волны, то нелокальное ди-

^* E-mail: zabolotskii@iae.nsk.su

поль-дипольное взаимодействие (ДДВ) может ока-

424

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Солитоны в хиральной среде

зывать существенное влияние на формирование воз-

модействия поля

^E(s) с поляризацией среды

^P(s) =

∑

буждений в дипольных средах и на многие другие

P_m,

= n^gd(s-sn)ρ(sn)пропорциональна-E ·

линейные и нелинейные процессы [21-29]. В прибли-

где s_n = an, n = . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . , — коорди-

жении взаимодействия ближайших соседей взаимо-

наты атомов на кривой, ρ — индуцированная по-

действие диполей, расположенных на искривленных

ляризация одного атома, g_d — коэффициент взаи-

поверхностях, описывается лапласианом в криволи-

модействия. Знак тильда над функциями означает,

нейных координатах [30]. В двумерных и трехмер-

что они определены в точке на кривой s ∈ γ(s).

ных структурах, например, в магнитах и жидких

Для расстояний, много меньших длины волны, поле

кристаллах, эффекты, связанные с ДДВ и геометри-

диполя убывает как куб расстояния, поэтому для

ческими факторами, играют решающую роль. Оп-

упрощения модели используем приближение взаи-

тические хиральные среды могут быть сформиро-

модействия только с ближайшими соседями, кото-

ваны из спирально расположенных атомов, см., на-

рое ранее успешно применялось к аналогичным мо-

пример, [20].

лекулярным цепочкам, см., например, [21,24]. С уче-

В настоящей работе интегрируемая модель при-

том полей поляризаций только ближайших соседей

меняется для описания влияния хиральности и

нелокальная поляризация имеет вид

нелинейной обратной связи на распространение им-

^P(s_n) ≈ g_d(0)ρ(γ(s_n)) +

пульсов поля. В следующем разделе статьи пред-

ставлена базовая система редуцированных уравне-

+ g_d(s_n - sn-1)ρ(γ(sn-1))+

ний Максвелла - Блоха (РУМБ), описывающая ди-

+ g_d(s_n - sn+1)ρ(γ(sn+1)).

(1)

намику ультракоротких импульсов поля в волново-

В декартовых координатах e_x,y,z спираль γ(s) имеет

де, окруженном спиралями с ДУС. В разд. 3 при-

вид

ведено ее представление нулевой кривизны. Свойст-

ва симметрии описаны в разд. 4. Метод, основан-

γ(s) = R [e_x cos(φ) + e_y sin(φ)] + e_zCφP.

(2)

√

ный на решении задачи Римана с нулями [15], опи-

Здесь φ = s/L, L =

P² + R², R и P — соответ-

сан в разд. 5. Солитонные решения представлены в

ственно радиус и шаг спирали, C = ±1 — хираль-

разд. 6. Выводы даны в Заключении.

ность спирали. Для рассматриваемых здесь симмет-

ричных спиралей кривизна C_h = R/L², а также кру-

= CP/L² — константы. Мы предполагаем,

чение T_h

2. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ

что s_n - sn-1 ≪ R, P. Разность между проекция-

ми спиральных положений атомов на продольную

Хиральная среда, изучаемая в данной работе,

координату z имеет вид

показана на рис. 1. Атомы или молекулы, модели-

рованные ДУС, имплантированы в кривые, образу-

z_n - zn-1 = (s_n - sn-1)CP/L ≡ aCP/L.

(3)

ющие спирали. Осциллирующие дипольные момен-

Тангенциальный T = ∂_sγ(s), нормальный N и би-

ты переходов в атомах создают электромагнитное

нормальный B векторы образуют базис Френе -

поле

^E, которое распространяется вдоль и против

Серре [30]. Для простоты полагаем, что Ch

→

направления оси z в волноводе. Для цепочки ато-

→ 0. В итоге движение возбуждения по спирали

мов, расположенных на кривой γ(s), энергия взаи-

сводится к вращению нормального и бинормаль-

ного векторов вокруг оси z. Чтобы учесть влия-

ние полей наведенных диполей соседних атомов,

перейдем к вращающейся системе координат

ρ =

^M (Ch → 0)P,

^M (Ch → 0)E, где P =

= {P_x, P_y, P_z}^T , E = {Ex, Ey, Ez}T . Здесь и ниже

функции без тильды определены на оси z. При сме-

щении s → s±a вектор поляризации P_⊥ = {P_x, P_y}^T

вращается P_⊥(s) →

M_⊥(s)-1 Mˆ_⊥(s ± a)P_⊥(s ± a) =

=Mˆ_⊥(±a)P_⊥(s±a). Это вращение описывается мат-

рицей

M_⊥(±a):

⎡

⎤

Рис. 1. Вид хиральной среды. Направление распростра-

- cosφ

- sinφ

нения импульсов параллельно оси z показано стрелками.

M_⊥(s) = ⎣

⎦.

(4)

Сферы обозначают атомы, расположенные на спиралях

sinφ

- cosφ

425

А. А. Заболотский

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

В этом приближении находим из (1) с учетом про-

мо для N_a ≲ 10-18 см-3. Формально условие можно

екции на ось z

представить в виде

∂_z + ε∂_ct ≪ ∂_t, ∂_z,

(7)

M_⊥(a)P_⊥(s + a) +

M_⊥(-a)P_⊥(s - a) =

[

]

где ε = 1 соответствует направлению распростране-

IP_⊥(s) - 2a²Th

∂_zP_⊥(z)+

ния поля слева направо, а ε = -1 — противополож-

-1

ному направлению.

I∂2sP_⊥(s) + O(a³),

(5)

При условиях (7) уравнения (6) принимают вид

∂E_x

∂P_x

∂²P_y

где

I — единичная 2×2-матрица. Во втором члене в

(8)

∂χ

∂τ

∂τ²

правой части уравнения (5) использована проекция

на ось z с учетом (3).

∂E_y

∂P_y

∂²P_x

-b

(9)

Интегрируемость модели позволяет выявить

∂χ

∂τ

∂τ²

определяющие нелинейные эффекты, проанализи-

Здесь E_x,y = d₀E_x,y/(ℏω), τ = tω, ϵ = εC = ±1 и

ровать начальные условия и провести сравнение с

результатами численного анализа исходной более

-ϵg₀ω

= ϵf²,

(10)

общей модели. Чтобы найти полностью интегриру-

(1 + 2g₀) Lc

(

)

емую модель, мы предполагаем помимо стандарт-

∂

-ℏc²

∂

-ϵ

(11)

ных условий, таких как отсутствие потерь и одно-

∂χ

4π N_ad2aω₀ (1 + 2g₀)

∂z

c∂t

мерность волновода, что второй производной по s в

правой части уравнения (5) можно пренебречь. Это

Для диполь-дипольного взаимодействия g₀ < 0 и,

условие обсуждается в разд. 5. Уравнения Макс-

считая, что 1 + 2g₀ > 0, полагаем b = ϵf², f ∈ R.

велла, описывающие эволюцию двухкомпонентного

Знак ϵ определяется как хиральностью спирали, так

электрического поля в прямолинейном волноводе,

и направлением распространения импульсов поля.

распространяющегося в направлении оси z или про-

В безразмерных переменных уравнения, описы-

тив нее, см. рис. 1, с учетом поляризаций спирально

вающие динамику ДУС во внешнем поле вращени-

расположенных атомов имеют вид

ем вектора Блоха S = {S₁, S₂, S₃}, [32] совместно с

уравнениями (8), (9) представим в виде

[

]

4πN_ad_a

∂2z -

∂²

E_⊥ =

∂_τ S = iS - iES₃,

(12)

c²

[

(

)

]

∂_τ S₃ =

(ES^∗ - E^∗S),

(13)

×∂²

(1 + 2g₀) + γ_c

∂_z P_⊥,

(6)

(

)

-1

∂_xE = ∂_τ

S - iϵf²∂_τS

(14)

Здесь E = E_x +iE_y, S = S₁ +iS₂, S₁ = P_x, S₂ = P_y и

где g₀

= g_d(±a), g_d(0) = 1, γc

= -g₀2a²CP/L,

S₃ — нормированная разность населенностей уров-

— фазовая скорость поля в среде и E_⊥

ней энергетического перехода ДУС.

= {E_x(z, t), E_y(z, t)}^T . Второй матричный член в пра-

вой части уравнений (6) обусловлен влиянием кри-

волинейного расположения атомов вокруг волново-

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ

да.

При условии 4πN_ad2a/ℏω_a ≤ 1, где N_a, d_a, ω_a —

Система (12)-(14) является условием совместно-

плотность ДУС, дипольный момент и частота пере-

сти следующих линейных систем:

хода соответственно, применимо приближение одно-

[

]

направленного распространения волновых пакетов

-i ζU

∂_tΦ = Lψ ≡

Φ,

(15)

[31]. Для оптических полей приближение выполни-

f² - ζ²

-ϵζU^∗ i

⎡

⎤

f² + ζ²

S₃

ζ√cS - ϵ δ(ζ)f2US

⎢

⎥

⎢

f² - ζ²

⎥

∂_zΦ = AΦ ≡

(16)

⎣

⎦^Φ

f² - ζ² + 2ϵ

f² + ζ²

-ϵζ

√cS^∗ + δ(ζ)f²U^∗S₃

-i

S₃

f² - ζ²

426

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Солитоны в хиральной среде

где U = E/√c, c = 1 + ϵf2 и

Таким образом, асимптотика вектор-функции при

λ → ∞ (ζ → ±f) имеет вид

f² - ζ² + 2ϵ

δ(ζ) = ζ

(17)

⎛

⎞

f² - ζ²

⁽1⁾

φ = ^⎝ iρ-1

⎠e-iλu(τ)+O(1) + O

(26)

Существует бесконечное количество интегрируе-

мых уравнений, отличающихся калибровочными

преобразованиями представления нулевой кривиз-

где

ны. Система (15), (16) подобрана с целью удобства

∫τ

)

(√

применения метода решения с использованием

u=τ +

1 + ϵf²|U|2 dt - 1

(27)

задачи Римана с нулями [15].

−∞

Для анализа аналитических свойств функций

Йоста представим компоненты первого столбца

Из (26), (27) следует, что вместо τ удобно ввести

функции Φ в виде

новую переменную u. При этом спектральная проб-

⎛

⎞

лема (15) принимает вид

∫

[

]

φ₁ = exp^⎝-iλτ + ρ(ζ, t)dt⎠ ,

(18)

∂Φ

-iV₃

ζV

Φ,

(28)

-∞

∂u

f² - ζ²

−ϵζV^∗ iV₃

⎛

⎞

∫

где V = {V₁, V₂, V₃}, V = V₁ + iV₂ и

φ₂ = φ₀ exp^⎝-iλτ + ρ(ζ, t)dt⎠ ,

(19)

-∞

V₃ =

√

V =

√

(29)

(

)-1

1 + ϵf²|U²|

где λ(ζ) = ϵ

f² - ζ²

и φ₀ не зависит от ζ. Счита-

ем, что λ лежит в верхней полуплоскости комплекс-

ной плоскости. Подставляя (18), (19) в систему (15),

4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ

получаем

(

)

Перечислим свойства симметрии линейных си-

(

)

ζF∂_τ

=λ

2iΓ - ζ²|U|² - Γ²

(20)

стем (16), (28) и соответствующих матричных функ-

ζU

ций Φ:

где Γ = ζUφ₂/φ₁. Пусть разложение Γ по степеням

iλ имеет вид

L^∗(ζ^∗) = M(ζ)L(ζ)M-1(ζ),

(30)

∑

A^∗(ζ^∗) = M(ζ)A(ζ)M-1(ζ),

(31)

Γ = γ_k (iλ)^-k .

(21)

n=1

Φ^∗(ζ^∗) = M(ζ)Φ(ζ)M-1(ζ),

(32)

Подставив (21) в уравнение (20), получаем рекур-

(

)

сию

M (ζ) =

;

(33)

−1

∑

2iγ_n - i^kf²|U|²δk0 +

γ_k-nγ_n =

II)

n=0

⁽γk-1)

σ-13L(-ζ)σ₃ = L(ζ),

(34)

= iU∂_τ

(22)

σ-13A(-ζ)σ3 = A(ζ),

(35)

Отсюда находим интегральную плотность

σ-13Φ(-ζ)σ₃ = Φ(ζ),

(36)

(

√

)

γ₀ = i

1±

1 + ϵf²|U|²

(23)

σ_i — матрицы Паули;

III)

Сравнивая с разложением ρ по степеням iλ

-1

M_H(ζ)L^†(ζ^∗)M_H

(ζ) = -L(ζ),

(37)

∑

ρ = ρk (iλ)-k ,

(24)

M_H(ζ)A^†(ζ^∗)M-1H(ζ) = -A(ζ),

(38)

n=1

(

)

находим из уравнения (20)

M_H(ζ) =

(39)

ρ_n = -iγn+1.

(25)

427

А. А. Заболотский

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Свойства симметрии I определяют вид функции

Из

(34),

(35) и

(16),

(28) следует, что

Φ(ζ_j ) = Φ_j ,

J^†(ζ^∗)M_H(ζ)-1J(ζ)M_Hζ) — постоянная матрица и,

как следует из асимптотики ζ → ∞, единичная:

(

)

ψj1

-ϵψ∗j2

Φ^±j =

(40)

J_N (ζ)M_H(ζ)J^†(ζ^∗)M_H(ζ)-1 = 1.

(51)

ψj2

ψ^∗

Из условия отсутствия сингулярностей в (51) при

ζ →ζ_k

находим систему линейных уравнений:

5. МЕТОД РЕШЕНИЯ

{

[

]}

∑

A^†n(ζ^∗n)

Будем строить N-солитонное решение методом

A_kM_H I +

M-1H =

решения задачи Римана с нулями [15]. Считаем,

ζ_k - ζ^∗n

ζ_k + ζ^∗

n=1

что все полюсы простые. Функция Йоста J_N (ζ) —

= 0.

(52)

решение системы (16), (28) — строится «одевани-

ем» исходного решения J₀(ζ), которое определяется

Обозначим x_n = x(ζ_n), β_n = β(ζ_n), . . .,etc, n = 1,

начально-краевыми условиями:

2, . . . , N и представим матрицы A_n в виде

(

)

J_N (ζ) = G_N (ζ)J₀(ζ),

(41)

xnβn xnαn

A_n =

(53)

nβn ynαn

где G_N (ζ) — мероморфная функция с 2N полюсами

со свойствами симметрии I и II, см. разд. 4:

Подстановка в (63) дает систему уравнений

J^∗N (ζ^∗) = MJ_N(ζ)M-1,

(42)

β_k +

B_knx^∗n = 0,

(54)

J_N (-ζ) = σ₃J_N (ζ)σ-13,

(43)

ζ2k - ζ∗2

G^∗N (ζ^∗) = MG_N(ζ)M-1,

(44)

ϵα_k +

A_kny^∗n = 0,

(55)

ζ2k - ζ∗2

G_N (-ζ) = σ₃G_N (ζ)σ-13.

(45)

где

Если ζ_n — простой полюс G_N (ζ), то из-за сим-

B_kn = (β_kβ^∗nζ^∗n + ϵ α_kζ_kα^∗n),

(56)

метрии (34), (35) -ζ_n тоже простой полюс G_N (ζ),

т. е.

A_kn = (β_kζ_kβ^∗n + ϵ α_kα^∗nζ^∗n).

(57)

G_N (ζ) = C_N H_N (ζ),

(46)

Подставляя решения систем

(54),

(55), которые

[

]

можно найти с помощью формул Крамера, в выра-

∑

A_n

жение (47), находим матричную функцию

H_N (ζ) = I +

(47)

ζ-ζ_n

ζ+ζ_n

n=1

∑

ζ∗2k - ζ2n

Здесь C_N — 2 × 2-матрица, не зависящая от ζ. Мат-

H_N = I -

f²⁰ - ζ²

рицы C_N , H_N обладают той же симметрией, что

n=0 k=0

[

]

и G_N:

∗

ζ_nβ_n(B^∗nk)-1β^∗k f₀α_n(B^∗nk)-1β

(58)

ϵf₀β_n(A^∗nk)-1α^∗k ϵζ_nα_n(A^∗nk)-1α^∗

C_N = σ₃C_N σ-13, H_N (-ζ) = σ₃H_N (ζ)σ-13,

(48)

Для определения функций α_n, β_n перейдем к

где

пределу ζ → ζ_n в линейных системах (16), (28):

A_n = -σ₃A_nσ-13.

(49)

∂_x (C_N A_nJ₀(ζ_n)) = LC_N A_nJ₀(ζ_n),

(59)

∂_t (C_N A_nJ₀(ζ_n)) = AC_N A_nJ₀(ζ_n).

(60)

Для определения C_N рассмотрим предел ζ → ∞ в

системах (16) и (28):

Поскольку detA_n = 0, находим, что

∂_τ,xC_N H_N (∞) = ∂_τ,xC_N → 0.

(50)

{β_n, α_n}J₀(λ_n) = {b_n, a_n},

(61)

Из (48), (50) следует, что C_N

— действительная

где a_n, b_n — произвольные константы, задаваемые

постоянная диагональная матрица, которая может

начально-краевыми условиями. Без потери общнос-

быть устранена калибровочным преобразованием.

ти достаточно найти

428

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Солитоны в хиральной среде

(0)

β_n

J₁

-J⁽⁰⁾¹¹r_n

6. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

ρ_n =

(62)

α_n

ϵJ(0)∗12 + J(0)∗

Для начально-краевых условий U(0, τ)

= 0,

где r_n = b_n/a_n и J(0)ij — элементы матрицы J₀.

S(0, χ) = 0 с точностью до сдвигов переменных на-

Преобразование решения Йоста, относящегося к

ходим

N -1-солитонному решению, в решение G_N, отвеча-

ющее N-солитонному решению, удовлетворяет сис-

J₀(ζ, u, χ) = eσ3Θ,

(66)

теме уравнений

∂_xG_N = L_NG_N - G_N LN-1,

(63)

где

∂_tG_N = A_N G_N - G_N AN-1.

(64)

⎡

⎤

∫

Повторяя это преобразование, получаем уравнения,

-iϵ

f² + ζ²

связывающие G_N и G₀. Переходя к пределу ζ → ±f

Θ=

⎣_u-

S₃(0, s)ds^⎦.

(67)

f²-ζ²

f²-ζ²+2ϵ

в уравнении (63), находим в итоге связь между

−∞

N-солитонным (2N-полюсным) решением V_N и ис-

ходным решением V₀:

Найдем решения для N

= 1. Используя (58),

(V_N · σ) = C_N H_N (±f) (V₀ · σ) H-1N(±f)C-1N.

(65)

(65), находим для ϵ = 1

16f²η²ξ

V₃ = 1 -

(68)

[(f - ξ)² + η²] [(f + ξ)² + η²] [-η² + ξ² + (η² + ξ²) ch(4θ)]

{

[

]

[

]}

2fξe-2θ-2iψ

ηe4θ(η - iξ)

f² + (η + iξ)²

- η(η + iξ)

f² + (η - iξ)

V =

;

(69)

[(f - ξ)² + η²] [(f + ξ)² + η²] [ξ ch(2θz) + iη sh(2θ)]²

и для ϵ = 1

16f²η²ξ

V₃ = 1 +

(70)

[(f - ξ)² + η²] [(f + ξ)² + η²] [(η² + ξ²) ch(4θ) + η² - ξ²]

[

(

)

(

)]

16fηξe4θ-2iψ

η ch(2θ)

f² + η² + ξ²

+ iξ sh(2θ)

-f² + η² + ξ

V =

(71)

[(f - ξ)² + η²] [(f + ξ)² + η²] [e4θ(η - iξ) + η + iξ]²

Здесь θ = ImΘ, ψ = Re Θ.

Зависимость E от τ представлена в неявном ви-

В рамках приближения однонаправленного распро-

де:

странения (7) U_b(z) = U_b(vτ), где v — фазовая ско-

∫

рость поля в волноводе. Решение линейных систем

V (u)

(16), (28) имеет вид

U (τ) =

τ = τ₀ + V₃(χ,u^′)du^′.

(72)

V₃(u)

-∞

{

{φ₁, φ₂} =

√ϵ^} e^σ3(θ+iψ),

(74)

На рис. 2 и 3 показаны формы импульсов для

разных значений f.

где θ = Im Θ₀, ϑ = - Re Θ₀,

Для исследования новых механизмов управле-

ния ипульсами поля в невзаимных системах рас-

[(

√

)

Θ₀ =

G₀ +

-ϵU₀ζ

смотрим случай ненулевого пьедестала фонового ре-

f² - ζ²

шения U₀ = 0, S(χ) = 0, S₃(χ) = const. Простейшее

(

) ]

f² + ζ²

√

решение отвечает вращающейся поляризации поля

- S₃

-ϵ ζU₀

χ ,

(75)

f² - ζ² + 2ϵ

в волноводе:

U_b(z) = U₀e-2iΘ0z/v.

(73)

U₀ = E₀/√c.

429

А. А. Заболотский

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

{

[

(

)

Y_- = 2e4θ

8fFηξ

ξ sin(4ψ)

η² + ξ² - f²

sh(2θ) -

(

)

]

− η cos(4ψ)

f² + η² + ξ²

ch(2θ)

[

(

)

+G_-

f⁴(η - ξ)(η + ξ) + 2f²

η⁴ + 6η²ξ² + ξ⁴

(

)₂]

(

)

+ (η - ξ)(η + ξ)

η² + ξ²

+G_-

η² + ξ²

[

]

}

(

)

× f⁴+2f²(η-ξ)(η+ξ)+

η²+ξ²

ch(4θ)

(76)

(

)(

)

Z₁ =

(f - ξ)² + η²

(f + ξ)² + η²

[

(

)₂

(

)₂]

× η²

e4θ + 1

+ξ²

e4θ - 1

;

(77)

{

X_- = -e-2iψ

8f²Fη²ξ²e-4iψ +

(

)

+ 4iηξ

-f² + η² + ξ²

sh(2θ) ×

[

(

)

]

Рис. 2. Форма солитонов для ϵ = 1, η = 1, ξ = 1 и нулевого

-2fG_-ξ + Fe4iψ

f² + η² + ξ²

ch(2θ)

[

(

)]

пьедестала в безразмерных переменных. Значения f = 0.2,

+ Fe4iψ

f²(η + ξ) + (η - ξ)

η² + ξ²

0.55, 0.666 отвечают сплошной (красной), штриховой (си-

[

(

)]

f²(η - ξ) + (η + ξ)

η² + ξ²

ch(4θ) -

ней) и штрихпунктирной (черной) линиям соответственно

(

)

− 8fη²G_-ξ

f² + η² + ξ²

ch(2θ) +

(

)(

)}

+ Fe4iψ

η²+ξ²

(f-ξ)²+η²

(f+ξ)²+η²

(78)

[

(

)₂]

Z₂ = 2

f⁴ + 2f²(η - ξ)(η + ξ) +

η² + ξ²

× (η ch(2θ) - iξ sh(2θ))².

(79)

Решение для V₃ = X₊/Z₃, V

= Y₊/Z₄, G₊ =

√

1 - f²U²⁰, ϵ = 1 записывается как

[

(

)

(

)

Y₊ = G

f⁴

ξ² - η²

- 2f²

η⁴ + 6η²ξ² + ξ⁴

(

)₂]

(

)

− (η² - ξ²)

η² + ξ²

ch(4θ) ×

(

)(

)

(f - ξ)² + η²

(f + ξ)² + η²

[

(

)

+ 8fηHξ

η sh(2θ)cos(4ψ)

f² + η² + ξ²

(

)]

− ξ ch(2θ)sin(4ψ)

-f² + η² + ξ²

(80)

[

(

)₂]

Z₃ = 2

f⁴ + 2f²(η - ξ)(η + ξ) +

η² + ξ²

[

]

η² sh²(2θ) + ξ² ch²(2θ)

(81)

Рис. 3. Форма солитонов для ϵ = -1, η = 0.2, ξ = 1.5

и нулевого пьедестала в безразмерных переменных. Зна-

{

(

)

(

)₂

чения f = 0.2, 0.666, 1 отвечают сплошной (красной),

X₊

=e-2iψ

-Hξ²e4iψ ch²(2θ) f⁴ +

η² + ξ²

−

штриховой (синей) и штрихпунктирной (черной) линиям

(

)

соответственно

− 4f²η²Hξ²e-4iψ - 4fη²Gξ sh(2θ)

f² + η² + ξ²

[

(

)

− 2iηξ ch(2θ)

2fGξ

-f² + η² + ξ²

(

)₂)]

+ He4iψ sh(2θ)

f⁴ -

η² + ξ²

[

(

)₂)

+ He4iψ

η² sh²(2θ)

f⁴ +

η² + ξ²

(

)]}

Решение для V₃ = Y_-/Z₁, V = X_-/Z₂, F = U₀f,

(

)

√

+ f²

-η⁴ + ξ⁴ +

η² + ξ²

² ch(4θz)

(82)

G_- =

1 + f²U²⁰ и ϵ = -1 имеет вид

430

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Солитоны в хиральной среде

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Интегрируемая система уравнений

(12)-(14),

описывающая невзаимное распространение элект-

ромагнитных импульсов в нелинейной среде,

выведена с использованием приближения однона-

правленного распространения. Это приближение

позволяет использовать РУМБ для моделирования

процессов, происходящих на расстояниях порядка

длины волны. Пространственная анизотропия в

исследуемой системе

— следствие спирального

положения ДУС вокруг волновода. Эффект невза-

имного распространения возникает из-за локальной

анизотропии и взаимодействия импульса поля

с наведенной поляризацией ДУС. При выводе

Рис. 4. Форма солитонов для ϵ = -1, η = 0.2, ξ = 1.5,

уравнений для сохранения полной интегрируемо-

f = 1.5 и ненулевого пьедестала в безразмерных перемен-

сти члены дисперсии второго порядка в правых

ных. Графики для U0f = 0.5, 0, 2 показаны сплошной

частях уравнений (5) (∝ ∂2zP_⊥) были отброшены.

(красной), штриховой (синей) и штрихпунктирной (чер-

Эти члены возникают из-за ДДВ в приближении

ной) линиями соответственно

сильной связи. Ими можно пренебречь при усло-

вии, что ∂z ≪ 2Th или 2λlight ≫ L, где λlight —

длина волны света, соответствующая энергии

перехода ДУС. Последнее неравенство означает,

что количество спиральных колец, расположенных

на расстоянии длины волны, больше единицы.

Таким образом, интегрируемая система РУМБ

может быть использована для анализа экситонных

возбуждений в спиральных молекулах. Эффекты,

связанные с хиральностью длинных молекулярных

систем, состоящих из молекул белка или ДНК,

изучены недостаточно полно. В то же время их

роль важна при описании спинтроники и близких

явлений. Сложные молекулярные среды, такие как

J-агрегаты красителей, могут образовывать длин-

ные пучки из нитей, закрученных в виде спирали

вокруг оси [28]. Приближения двухуровневых сред

нередко используются для описания возбуждений в

Рис. 5. Форма солитонов для ϵ = 1, η = 1, ξ = 1, f = 0.55

агрегатах на масштабах порядка длины волны. Эво-

и ненулевого пьедестала в безразмерных переменных. Гра-

люция экситонных импульсов в такой среде может

фики для U0f = 0.5, 0, 1 показаны сплошной (красной),

также быть описана в рамках близкой модели.

штриховой (синей) и штрихпунктирной (черной) линиями

Как показано в настоящей работе, хиральность

соответственно

среды может критическим образом влиять на фор-

му и динамику импульсов поля. Анализ получен-

(

)₂

Z₄ = f⁴ + 2f²(η² - ξ²) +

η² + ξ²

(83)

ных решений показал, что формой ипульсов можно

управлять, создавая фоновое поле U₀, т. е. основа-

Формы солитонов для различных значений ам-

ние, на фоне которого импульсы распространяются.

плитуды поля фона U₀ показаны на рис. 4 и 5. Об-

Решения идеализированной модели хиральной нели-

наружено, что в случае ϵ = 1 увеличение |U₀| при-

нейной среды, изученные в настоящей работе, де-

водит к значительному росту амплитуды импульса.

монстрируют дополнительные возможности управ-

В случае ϵ = -1 рост |U₀| приводит к увеличению

ления импульсами, которые дают искривленные и

ширины как светлого, так и темного импульсов.

хиральные среды вместо прямолинейных.

431

А. А. Заболотский

ЖЭТФ, том 159, вып. 3, 2021

Финансирование. Работа выполнена при фи-

12.

M. Krause, H. Renner, and E. Brinkmeyer, Electron.

нансовой поддержке базового бюджета Министерст-

Lett. 44, 691 (2008), DOI: 10.1049/el:20080791.

ва науки и высшего образования Российской Феде-

рации.

13.

V. Grigoriev and F. Biancalana, Opt. Lett. 36, 2131

(2011), https://doi.org/10.1364/OL.36.002131.

14.

C. G. Poulton, R. Pant, A. Byrnes, S. Fan,

M. J. Steel, and B. J. Eggleton, Opt. Express

ЛИТЕРАТУРА

20,

21235

(2012), https://doi.org/10.1364/OE.20.

021235.

B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of

15.

S. P. Novikov, S. V. Manakov, L. P. Pitaevskii, and

Photonics, Wiley-Interscience (2007).

V. E. Zakharov, Theory of Solitons: The Inverse Scat-

tering Method, Springer-Verlag, Berlin (1984).

V. N. Konotop, J. Yang, and D. A. Zezyulin,

Rev. Mod. Phys. 88, 035002 (2016), https://doi.org/

16.

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Op-

10.1103/RevModPhys.88.035002.

tical Waves, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1999),

DOI:10.1007/978-94-017-2448-7.

C. Caloz, A. Alú, S. Tretyakov, D. Sounas,

K. Achouri, and Z.-L. Deck-Léger, Phys. Rev. Appl.

17.

A. A. Zabolotskii, Eur. Phys. J. Special Topics 173,

10,

047001

(2018), DOI:https://doi.org/10.1103/

193

(2009), https://doi.org/10.1140/epjst/e2009-

PhysRevApplied.10.047001.

01074-x.

M. Scalora, J. P. Dowling, C. M. Bowden, and

18.

G. L. Lamb, Jr., Rev. Mod. Phys. 43, 99 (1971), DOI:

M. J. Bloemer, J. Appl. Phys. 76, 2023 (1994), DOI:

https://doi.org/10.1103/RevModPhys.43.99.

10.1103/PhysRevLett.73.1368.

19.

A. A. Zabolotskii, Phys. Rev. A 80, 063616 (2009),

M. D. Tocci, M. J. Bloemer, M. Scalora, J. P. Dow-

DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevA.80.063616.

ling, and C. M. Bowden, Appl. Phys. Lett. 66, 2324

(1995), https://doi.org/10.1063/1.113970.

20.

А. А. Заболотский, Письма в ЖЭТФ 110, 303

(2019).

V. A. Fedotov, P. L. Mladyonov, S. L. Prosvirnin,

A.V. Rogacheva, Y. Chen, and N. I. Zheludev, Phys.

21.

J. M. Hyman, D. W. McLaughlin, and A. C. Scott,

Rev. Lett. 97, 167401-4 (2006), DOI:https://doi.org/

Physica D, Nonlin. Phenom. 3, 23 (1981), https://

10.1103/PhysRevLett.97.167401V.

doi.org/10.1016/0167-2789(81)90117-2.

I. V. Shadrivov, V. A. Fedotov, D. Powell, Y. S. Kiv-

22.

M. C. Benedict, V. A. Malyshev, E. D. Trifonov, and

shar, and N. I. Zheludev, New J. Phys. 13, 033025

A. I. Zaitsev, Phys. Rev. A 43, 3845 (1991).

(2011), DOI:10.1088/1367-2630/13/3/033025.

23.

C. M. Bowden and J. P. Dowling, Phys. Rev. A 47,

C. Menzel, C. Helgert, C. Rockstuhl, E.-B. Kley,

1247 (1993), DOI: 10.1103/physreva.47.1247.

A. Tunnermann, T. Pertsch, and F. Lederer, Phys.

Rev. Lett.

104,

253902-4

(2010), DOI:https://

24.

Yu. B. Gaididei, K. Ø. Rasmussen, and P. L. Chris-

doi.org/10.1103/PhysRevLett.104.253902.

tiansen, Phys. Rev. E 52, 2951 (1995), DOI:https://

doi.org/10.1103/PhysRevE.52.2951.

K. Gallo, G. Assanto, K. R. Parameswaran, and

M. M. Fejer, Appl. Phys. Lett. 79,

314

(2001),

25.

А. А. Заболотский, ЖЭТФ 154, 526 (2018), DOI:

https://doi.org/10.1063/1.1386407.

10.1134/S1063776118090121.

26.

S. V. Sazonov and N. V. Ustinov, Phys. Scripta 94,

10.

M. W. Feise, I. V. Shadrivov, and Y. S. Kivshar,

115206 (2019).

Phys. Rev. E 71, 037602 (2005), https://doi.org/

10.1103/PhysRevLett.95.193903.

27.

F. Wurthner, T. E. Kaiser, and Ch. R. Saha-Mul-

11.

F. Biancalana, J. Appl. Phys. 104, 093113 (2008),

ler, Angew. Chem. Int. Ed. 50, 3376 (2011), DOI:

https://doi.org/10.1063/1.3010299.

10.1002/anie.201002307.

432