Известия РАН. Энергетика, 2022, № 2, стр. 73-78

К основным методам изучения динамики распространения тепла в твердых телах относится аналитическая теория теплопроводности [1, 4]. При этом главной задачей при проведении таких исследований следует считать нахождение температурного поля внутри объема при заданных краевых условиях. Во многих случаях практики элементы конструкций, подвергнутые тепловому воздействию, являются многослойными [1–3]. Причем каждый из слоев, как правило, обладает своими свойствами, в том числе и теплофизическими. Необходимо отметить, что неоднородность составных тел приводит к существенному математическому усложнению при определении неустановившихся температурных полей. Однако в ряде случаев эти затруднения могут быть преодолены, если составное тело имеет ограниченное число слоев.

Проиллюстрируем рекомендуемый подход на примере трехслойной пластины, рассмотренном в работе [3]. Аналитическая постановка задачи, исследованной в [3], включает в себя следующие уравнения

при дополнительных условиях

Здесь использованы общепринятые обозначения, которые указаны в [3]. Применяя метод Лапласа, авторы данной статьи получили аналитическое решение поставленной задачи для искомых температурных полей в следующем безразмерном виде в форме бесконечных рядов

Здесь параметр $k$ равен

а собственные числа задачи ${{\mu }_{n}}$ являются корнями характеристического уравнения где коэффициент $r$ равен

Основная математическая сложность при использовании в инженерных расчетах формул (6) и (7) заключается в определении собственных чисел уравнения (9). Особенно это важно при изучении начальной стадии теплового процесса в рассматриваемой конструкции, для которой безразмерное число Фурье ${\text{Fo}}$ будет небольшим. Затабулировать зависимость (9) довольно затруднительно, что обусловлено наличием в ней нескольких параметров (k, r, ${\text{Bi}}$).

Для преодоления этого затруднения целесообразно исследовать зависимость (9) для ряда фиксированных величин от наиболее важного в данном случае параметра k. В самом общем варианте он теоретически может меняться от 0 до бесконечности. Поэтому за первое предельное значение принимаем $k = 0.$ Тогда (9) можно представить в существенно более простом виде

где $\beta = r\mu ,$ ${\text{Bi*}} = r{\text{Bi}}{\text{.}}$

Хорошо известно, что выражение типа (11) подробно изучено, например, в [4]. Так в монографии академика А.В. Лыкова [4] приведена весьма подробная таблица для первых шести корней уравнения (11), вычисленных с высокой точностью. Кроме этого, как показано в работе [2], первый корень выражения (11) может быть определен с необходимой точностью для любой величины ${\text{Bi*}}$ по сравнительно простой аналитической формуле

В качестве примера возьмем случай ${\text{Bi*}} = 1.$ Тогда на основе (12) получим $\beta _{1}^{2} = 0.7408523,$ т.е. ${{\beta }_{1}} = 0.8607.$ Согласно табличным данным, приведенным в монографии [4], при ${\text{Bi*}} = 1$ первое собственное число ${{\beta }_{1}} = 0.8603,$ т.е. расхождение составляет менее 0.05%.

Далее берем реперную величину коэффициента $k = 1.$ При такой величине $k$ выражение (9) можно записать также в форме (11), но при этом следует понимать под $\beta $ и ${\text{Bi*}}$ величины

и тогда, очевидно, методика вычисления корней $\beta $ будет подобна вышеизложенной. Важно отметить, что если заданный по условию параметр $k$ находится в интервале то рекомендуемые расчеты ${{\beta }_{n}}$ для вариантов $k = 0$ и $k = 1$ будут являться оценочными “сверху” и “снизу” для искомых корней при условиях соответствующих ограничениям (14).

В завершение предлагаемого способа нахождения корней ${{\beta }_{n}}$ примем, что параметр $k$ велик и с математической точки зрения его можно принять как $k \to \infty .$ Для такого предельного случая исходное уравнение (9) может быть записано в виде

где обозначения $\beta $ и ${\text{Bi*}}$ те же самые, что и в соотношении (11). Для определения первых шести чисел ${{\beta }_{n}},$ удовлетворяющих формуле (15), могут быть использованы табличные данные, приведенные в классической монографии [4] и соответствующие характеристическому уравнению

Для применения зависимости (16) вместо (15) необходимо принять, что

Таким образом, если исходная величина параметра $k$ уравнения (9) находится в интервале

то вычисленные реперные величины ${{\beta }_{n}}$ по $k = 1$ и $k \to \infty $ будут являться оценочными для действительного параметра k, находящегося в указанных пределах (18).

В таблице 1 приведены результаты вычислений первых двух корней уравнения (9) для ряда значений параметра k. При этом для всех вариантов были приняты ${\text{Bi}} = {\text{1}}$ и $r = {\text{2}}{\text{.}}$ Следует отметить, что для $k = 0,$ $k = 1$ и $k \to \infty $ собственные значения были определены разработанным аналитическим методом.

Рассмотрим подробнее следующее характеристическое уравнение

Задача заключается в нахождении аналитическим путем первых шести корней данного уравнения. Единое решение такого уравнения, наверное, получить сложно. Поэтому целесообразно искать решение зависимости (1) поэтапно. Первый этап заключается в получении зависимостей для начального интервала безразмерного числа Био. Наиболее подходящим таким интервалом является

Тогда первый корень ${{\mu }_{1}}$ соотношения (19), наиболее важный, может быть определен с высокой степенью точности по формуле

Из выражения (21) следует, что при ${\text{Bi}} = {\text{0}}$ корень ${{\mu }_{1}} = 0,$ а при ${\text{Bi}} = {\text{1}}$

т.е. данное выражение дает практически точные значения ${{\mu }_{1}}$ на участке $0 \leqslant {\text{Bi}} \leqslant {\text{1}}{\text{.}}$ Последующие корни зависимости (1) на том же интервале ${\text{Bi}}$ ($0 \leqslant {\text{Bi}} \leqslant {\text{1}}$) $n = 2,3,4,5,6$ могут быть вычислены также по сравнительно простому соотношению где $n = 2,3,4,5,6$ и т.д.

Согласно (22), получим при ${\text{Bi}} = {\text{0}}$ и $n = 2$ ${{\mu }_{2}} = 4.4934.$ Эта величина полностью соответствует табличному значению [4]. Аналогичные результаты дают расчеты по (22) и для последующих корней ${{\mu }_{n}}$ ($n = 3,4,5,6$ и т.д.).

Таким образом, предлагаемые расчетные зависимости (21) и (22) полностью охватывают область $0 \leqslant {\text{Bi}} \leqslant {\text{1}}{\text{.}}$

Далее исследуем вторую важную область значений ${\text{Bi,}}$ а конкретно $1 \leqslant {\text{Bi}} \leqslant {\text{2}}{\text{.}}$ В этом случае приемлемо следующее исходное выражение для искомых корней ${{\mu }_{n}}.$

где порядковый номер $n$ проходит все значения от 1. Дополнительное слагаемое ${{\alpha }_{n}}$ в соотношении (23) находится по несложной зависимости, если использовать выражение [5]

Следовательно, уравнение (19) можно преобразовать к виду

Отсюда удается получить приближенное аналитическое выражение

Подставляя (26) в (23), получим следующее окончательное расчетное соотношение для нахождения корней ${{\mu }_{n}}$ на участке $1 \leqslant {\text{Bi}} \leqslant {\text{2}}$

В качестве примера на основе (27) вычислим ${{\mu }_{1}}$ для ${\text{Bi}} = {\text{2}}{\text{.}}$

табличное значение ${{\mu }_{1}} = 2.0288,$ т.е. имеет место хорошее согласование. Рассчитаем по (27) ${{\mu }_{6}}$ для того же числа ${\text{Bi}} = {\text{2}}$Табличное значение ${{\mu }_{6}}$ полностью совпадает с вычисленной величиной. Наверное, рекомендуемые расчетные выражения (26) и (27) можно применить и в тех случаях, когда число Био превышает названный предел 2.

Далее проведем подобное исследование для варианта, когда заданная величина параметра ${\text{Bi}}$ является большой, например ${\text{Bi}} \geqslant {\text{10}}{\text{.}}$ Тогда используя изложенный прием, можно принять, что искомые корни ${{\mu }_{n}}$ подчиняются зависимости

Следовательно, будет справедливо соотношение [5]

Это означает, что уравнение (19) в этом случае можно записать

В приближенном виде равенство (30) допустимо представить

На основе (31) получаем квадратное алгебраическое уравнение

решение которого имеет вид

Следовательно, с учетом (28) окончательно имеем

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть $n = 1$ и ${\text{Bi}} = {\text{11}}{\text{.}}$ Тогда, согласно (34), получим

табличное значение [4] равно ${{\mu }_{1}} = 2.8628,$ невязка составляет всего $\delta = 0.02\% ,$ а теперь $n = 6$ и ${\text{Bi}} = {\text{11,}}$ тогда

Табличное значение равно ${{\mu }_{6}} = 17.7908$ и, следовательно, расхождение тоже оказывается весьма малым.

Анализ предлагаемого решения (34) показывает, что оно может быть эффективно применено в более широком интервале величин ${\text{Bi,}}$ а именно, начиная с ${\text{Bi}} \geqslant {\text{5}}{\text{.}}$ Таким образом, выведены аналитические формулы, позволяющие вычислять корни трансцендентного характеристического уравнения типа (19) с высокой точностью для любых величин параметра Био ($0 \leqslant {\text{Bi}} < \infty $) и для всех нужных порядковых номеров n. Следует заметить, что предложенный метод исследования характеристических уравнений может быть успешно распространен и на многие другие подобные задачи нестационарного теплообмена.