1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 3, 2023

Известия РАН. Механика твердого тела, 2023, № 3, стр. 163-176

СВЯЗАННАЯ ТЕРМОУПРУГОСТЬ ГЕМИТРОПНЫХ СРЕД. ПСЕВДОТЕНЗОРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА

Е. В. Мурашкин a, *, Ю. Н. Радаев a, **

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: evmurashkin@gmail.com
** E-mail: radayev@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 15.01.2023
После доработки 22.01.2023
Принята к публикации 23.01.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

В статье рассматривается проблема вывода определяющих уравнений для микрополярного термоупругого континуума GN-I в специфике стандартного псевдотензорного формализма. Псевдотензорный подход в большинстве случаев оправдан при моделировании гемитропных микрополярных тел, термомеханические свойства которых чувствительны к зеркальным отражениям трехмерного пространства. Приводятся минимально необходимые для понимания сведения из теории псевдотензоров. Привлекаются общие термодинамические подходы, обсуждаются уравнения баланса энтропии и различные формы баланса внутренней и свободной энергии Гельмгольца. Устанавливаются веса основных термомеханических псевдотензоров. В линейном приближении выводятся определяющие уравнения гемитропного микрополярного термоупругого континуума (GN-I) первого типа. В линейном приближении получена связанная система дифференциальных уравнений теплопроводности и динамических уравнений микрополярного термоупругого континуума GN-I.

Ключевые слова: псевдотензор, термодинамический потенциал, связанная термоупругость, теплопроводность, микроповорот, перемещение, микрополярный геми-тропный континуум

1. Введение. Изучение термомеханических свойств современных конструкционных материалов и метаматериалов [1–6] оказывается возможным в результате синтеза аппарата современной термодинамики [7–9] и микроструктурных представлений [10–12]. Большинство биоматериалов и метаматериалов с точки зрения их термомеханических свойств чувствительны к преобразованиям, изменяющим ориентацию пространства11, например, зеркальным отражениям и инверсиям пространства22. Однако, следует понимать, что определяющие тензоры и определяющие постоянные линейных изотропных микрополярных сред не проявляют чувствительность к указанным преобразованиям. Наиболее простой моделью, с определяющими псевдоскалярами, чувствительными к упомянутым преобразованиям пространства, оказывается гемитропная микрополярная среда, задающаяся девятью определяющими псевдоскалярами.

Термодинамические процессы, протекающие в термодинамических системах, с точки зрения математической модели определяются эволюцией параметров состояния33, составляющих термодинамический базис. Термодинамические процессы можно условно разделить на равновесные и неравновесные. Равновесным называется такой термодинамический процесс, при котором все состояния, через которые последовательно эволюционирует система, с достаточной степенью точности являются равновесными состояниями, т.е. когда все термодинамические характеристики чрезвычайно близки к своим средним значениям44. К таким процессам можно отнести медленно протекающие процессы, когда время релаксации достаточно мало, по сравнению с характерным временем перехода между двумя соседними равновесными состояниями. В этом случае процессы чаще всего рассматриваются как квазистатические, поскольку для динамических процессов высказанные условия в большинстве случаев нарушаются.

Кроме того, термодинамические процессы, можно разделить на обратимые и необратимые. Обратимым называется такой термодинамический процесс, для любых двух состояний которого фактически реализуются термодинамические процессы как в прямом, так и в обратном направлениях. Поясним сказанное на двух простых примерах. Рассмотрим в качестве примера модель атермической деформации цилиндрического упругопластического образца до и за пределом упругости (см. рис. 1). При значениях силовой нагрузки, ниже предела упругости ${{\sigma }_{E}}$, что на рисунке соответствует точкам кривой между состояниями 1 и 2, термодинамический процесс будет обратимым и разгрузка образца вернет процесс к начальному состоянию 1 [17]. При нагружении образца выше предела текучести (состояния 3 и 4) образец начнет проявлять неупругие свойства и процесс разгрузки пойдет по пути 4–5, а не вернется в состояние 1 по траектории $4 - 3 - 2 - 1$, что означает необратимость процесса 1–4. В термодинамически необратимых процессах наблюдается неконтролируемое (неуправляемое, самопроизвольное) производство энтропии (uncontrollable entropy production).

Рис. 1.

Одноосное растяжение образца за предел текучести.

Для описания состояния термодинамической системы используются функции, функционально зависящие от базиса термодинамических переменных (параметров состояния: энтропия, деформация, температура), и термодинамические потенциалы состояния (внутренняя энергия, свободная энергия Гельмгольца и другие энергетические формы).

Термодинамический подход к исследованию процессов деформирования микрополярных материалов использовался, например, в работах [10–12] и работах авторов [6, 18, 19], где проводится построение определяющих уравнений для упругих микрополярных материалов в терминах абсолютных тензоров. Однако, построение определяющих уравнений и термодинамических потенциалов для гемитропных микрополярных термоупругих сред на корректной основе требует привлечения аппарата алгебры псевдотензоров (см., например, [14, 20, 21]).

В настоящей работе обсуждаются вопросы вывода определяющих соотношений для микрополярного термоупругого континуума GN-I в терминах псевдотензоров. Приводятся (правда, в минимальной степени) основные понятия алгебры и анализа псевдотензоров [22–28]. Обсуждаются уравнения баланса энтропии и различные формы баланса внутренней и свободной энергии Гельмгольца. Вычисляются веса основных термомеханических величин. В линейном приближении выводятся определяющие уравнения гемитропного микрополярного связанного термоупругого континуума GN-I.

2. Псевдотензоры в трехмерном евклидовом пространстве. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство55. Выберем в пространстве криволинейную систему координат ${{x}^{k}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (k = 1,2,3)$. Метрика пространства задается квадратом линейного элемента длины согласно

(2.1)
$d{{s}^{2}} = {{g}_{{ij}}}d{{x}^{i}}d{{x}^{j}}$
где ${{g}_{{ij}}}$ – компоненты метрического тензора. Компоненты фундаментального тензора gij связаны с метрическим тензором соотношением

(2.2)
${{g}^{{ij}}}{{g}_{{jk}}} = \delta _{k}^{i}$

И метрический, и фундаментальный тензоры являются абсолютными (истинными) тензорами. То же самое относится к символу Кронекера $\delta _{k}^{i}$.

Введем в рассмотрение локальные базисные триэдры, связанные с выбранной координатной системой в трехмерном пространстве: $\mathop \imath \limits_\mathfrak{a} $ ($\mathfrak{a} = 1,2,3$) – локальный ковариантный базис; $\mathop \imath \limits^\mathfrak{b} $ ($\mathfrak{b} = 1,2,3$) – локальный контравариантный (взаимный) базис.

Базисные векторы и взаимные базисные векторы удовлетворяют следующему соотношению:

$\mathop \imath \limits_\mathfrak{a} \; \cdot \mathop \imath \limits^\mathfrak{b} = \mathop {\mathop \delta \limits_\mathfrak{a} }\limits^\mathfrak{b} \quad (\mathfrak{a} = 1,2,3;\mathfrak{b} = 1,2,3)$

Метаиндексы $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ (в отличие от тензорных индексов) записываются шрифтом “fraktur”.

С ориентацией локальных базисов связан фундаментальный объект псевдотензорной алгебры и многомерной геометрии – символы перестановок [23–25], которые не являются абсолютными тензорами и определяются согласно соотношениям:

(2.3)
${{\epsilon }_{{ijk}}} = {{\epsilon }^{{ijk}}} = \left\{ \begin{gathered} + 1,\quad {\text{для}}\;{\text{троек}}\;(1,2,3),\;(2,3,1),\;(3,1,2) \hfill \\ - 1,\quad {\text{для}}\;{\text{троек}}\;(3,2,1),\;(1,3,2),\;(2,1,3) \hfill \\ - 0,\quad {\text{во}}\;{\text{всех}}\;{\text{остальных}}\,\,{\text{случаях}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Заметим, что $\epsilon $-символы нарушают основные привила тензорного формализма, что видно уже по (2.3). Символы перестановок ${{\epsilon }_{{ijk}}}$ и ${{\epsilon }^{{ijk}}}$ являются относительными ковариантными тензорами (псевдотензорами) веса –1 (${\text{w}}{\text{.g}}{\text{.t}}. = - 1$) и одновременно – относительными контравариантными тензорами веса +1 (${\text{w}}{\text{.g}}{\text{.t}}. = + 1$), поэтому было бы корректно использовать для них следующие обозначения:

Далее сверху корневого символа относительного тензора в квадратных скобках будем отмечать его вес. Нулевой вес, присущий абсолютным тензорам, не отражается нами в обозначениях.

Введем в рассмотрение ориентирующий трехмерное пространство псевдоскаляр (относительный скаляр веса +1 (${\text{w}}{\text{.g}}{\text{.t}}. = + 1$)), представляющий собой смешанное произведение базисных векторов:

(2.4)
$e = \mathop e\limits^{[ + 1]} = (\mathop \imath \limits_1 \; \times \mathop \imath \limits_2 ) \cdot \mathop \imath \limits_3 {\kern 1pt} $
и относительный скаляр отрицательного веса $ - 1$ (${\text{w}}{\text{.g}}{\text{.t}}. = - 1$):

(2.5)
$\frac{1}{e} = \mathop e\limits^{[ - 1]} {{\,}^{{ - 1}}} = (\mathop \imath \limits^1 \; \times \mathop \imath \limits^2 ) \cdot \mathop \imath \limits^3 $

Обратим внимание, что псевдоскаляр (2.4) с точностью до знака совпадает с объемом параллелепипеда, построенного на базисных векторах $\mathop \imath \limits_\mathfrak{a} $. Нетрудно показать, что в евклидовом пространстве справедливо равенство

(2.6)
${{e}^{2}} = g > \mathop 0\limits^{[2]} $
где g – детерминант метрического тензора. Условие $g = 1$ (${\text{|}}e{\text{|}} = 1$) является фундаментальным для развития общей теории относительности [29] и, например, математической теории пластичности [30]. Важно отметить, что в этом случае абсолютные тензоры совпадают с псевдотензорами с точностью до знака, учитывая уравнение (2.8) получим

(2.7)

Откуда следует, что псевдотензоры меняют свой знак на противоположный при изменении ориентации координатного репера если их вес нечетный. Подчеркнем, что e > 0 для правоориентированной координатной системы, e < 0 для левоориентированной координатной системы.

Псевдотензор веса g ранга $n = s + r$ с помощью степеней фундаментального ориентирующего псевдоскаляра можно преобразовать к абсолютному тензору того же ранга согласно

(2.8)

В дальнейшем изложении у фундаментальных символов, таких как e и g, указание на их вес будем опускать.

Ковариантная производная псевдотензорного поля была введена О. Вебленом [26, 27] и вычисляется согласно [14, 24]:

(2.9)
$\begin{gathered} {{\nabla }_{p}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }} = {{\partial }_{p}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }} + \Gamma _{{qp}}^{{{{h}_{1}}}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{q{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }} + \cdots + \Gamma _{{qp}}^{{{{h}_{s}}}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots q \cdot \cdot \ldots \cdot }}\, - \\ \, - \Gamma _{{{{k}_{1}}p}}^{q}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot q{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }} - \cdots - \Gamma _{{{{k}_{r}}p}}^{q}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots q}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }} - {\text{g}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }}\Gamma _{{qp}}^{q} \\ \end{gathered} $

В частности, для псевдоскаляра ковариантная производная, независимо от веса ${\text{g}}$, примет вид

(2.10)
${{\nabla }_{p}}\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} = {{\partial }_{p}}\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} - {\text{g}}\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} \Gamma _{{sp}}^{s}$
где

$\Gamma _{{sp}}^{s} = \frac{{{{\partial }_{p}}e}}{e}$

Учитывая свойства символов Кристоффеля $\Gamma _{{sp}}^{s}$ и соотношение (2.6), получим выражение для ковариантной производной (2.10)

(2.11)
${{\nabla }_{p}}\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} = {{\partial }_{p}}\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} - {{e}^{{ - 1}}}{\text{g}}\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} {{\partial }_{p}}e$

Однако, существуют альтернативные подходы реализации ковариантного дифференцирования псевдотензора. Определим ковариантную производную псевдотензора произвольного ранга и целого веса ${\text{g}}$ с помощью соотношения:

(2.12)
${{\nabla }_{p}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }} = {{e}^{{\text{g}}}}{{\nabla }_{p}}({{e}^{{ - {\text{g}}}}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }}){\kern 1pt} $

Кроме того, реализовать ковариантное дифференцирование псевдотензора с целым положительным весом (${\text{g}} > 0$) можно с помощью символов перестановок согласно правилу66

(2.13)
$\begin{gathered} {{\nabla }_{p}}\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }} = (N{{!)}^{{ - {\text{g}}}}}\underbrace {\mathop \epsilon \limits^{[ + 1]} {{{\kern 1pt} }^{{{{k}_{{r + 1}}} \ldots {{k}_{{r + N}}}}}} \cdots \mathop \epsilon \limits^{[ + 1]} {{{\kern 1pt} }^{{{{k}_{{r + ({\text{g}} - 1)N + 1}}} \ldots {{k}_{{r + N{\text{g}}}}}}}}}_{\text{g}} \times \\ \, \times {{\nabla }_{p}}(\mathop {\mathop T\limits^{[{\text{g}}]} }\limits_{(n)} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \ldots \cdot {{k}_{1}}{{k}_{2}} \ldots {{k}_{r}}}}^{{{{h}_{1}}{{h}_{2}} \ldots {{h}_{s}} \cdot \cdot \ldots \cdot }}\underbrace {{{{\mathop \epsilon \limits^{[ - 1]} }}_{{{{k}_{{r + 1}}} \ldots {{k}_{{r + N}}}}}} \cdots {{{\mathop \epsilon \limits^{[ - 1]} }}_{{{{k}_{{r + ({\text{g}} - 1)N + 1}}} \ldots {{k}_{{r + N{\text{g}}}}}}}}}_{\text{g}}){\kern 1pt} \\ \end{gathered} $

Все три вида реализации ковариантной производной (2.9), (2.12) и (2.13) являются эквивалентными, что было продемонстрировано в работе [31].

3. Термодинамические потенциалы состояния для гемитропных микрополярных термоупругих сред GN-I. Введем в рассмотрение внутреннюю энергию u в расчете на единицу массы. Понятие внутренней энергии, как физической величины, характеризующей элементарную термодинамическую систему, подробно обсуждается в классической монографии [16, С. 25–28]. Стандартное статистическое определение внутренней энергии элементарной термодинамической системы можно найти там же [16, c. 103–105]. В статистической физике во внутреннюю энергию системы включают энергию разных видов движения и взаимодействия входящих в систему частей: энергию поступательного, вращательного и колебательного движений атомов и молекул, энергию внутри- и межмолекулярного взаимодействия, энергию электронных оболочек атомов и др. В этом случае внутренняя энергия трактуется как физическая величина.

Помимо трактовки u как физической величины, связанной с элементарной термодинамической системой, в механике континуума ее приходится рассматривать как непрерывное физическое поле (physical field), поскольку континуум является объединением элементарных термодинамических систем. В механике континуума значение u как физической величины не представляет интереса ни в теоретическом, ни в прикладном плане. Подлинный интерес представляет трактовка внутренней энергии как термодинамического потенциала состояния, т.е. как однозначной, непрерывной и ограниченной снизу функции базиса термодинамических переменных (параметров состояния). Чертой сверху будем в дальнейшем обозначать потенциалы состояния. Например $\bar {u}$ означает, что внутренняя энергия u рассматривается как термодинамический потенциал состояния, зависящий от некоторого конечного набора базисных термодинамических переменных (параметров состояния). В термомеханике микрополярных континуумов имеем:

• s – энтропия в расчете на единицу массы (абсолютный скаляр);

• – асимметричный тензор деформации;

• – псевдотензор деформации изгиба–кручения.

Поворот ϕj может трактоваться двояко: либо как ковариантный псевдовектор отрицательного веса ${{\mathop \phi \limits^{[ - 1]} }_{{j}}}$, либо как контравариантный псевдовектор положительного веса . В настоящей работе в качестве псевдовектора поворота мы будем использовать контравариантный псевдовектор положительного веса . Перечисленные выше переменные мы считаем образующими термодинамический базис в случае микрополярного термоупругого континуума GN-I.

Все сказанное выше можно выразить следующим уравнением:

(3.1)

Фундаментальным утверждением (3.1) постулируется равенство физического значения внутренней энергии $u$ (абсолютного скаляра, не зависящего от зеркальных отражений и инверсий трехмерного пространства) и значения функциональной зависимости $\bar {u}$.

Сопряженной к энтропии величиной в термодинамике выступает термодинамическая температура (абсолютная температура). Термодинамическая температура может вводиться статистически, как модуль канонического распределения Гиббса [16, c. 104–105]. В термомеханике континуума абсолютная температура $\theta $ (абсолютный скаляр) определяется как функция параметров термодинамического состояния и вычисляется как частная производная потенциальной функции (3.1) по энтропии s, т.е.

(3.2)
$\theta = \frac{{\partial{ \bar {u}}(s,{{\epsilon }_{{ij}}},\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} \,_{{i \cdot }}^{{ \cdot j}})}}{{\partial s}}$

Формула (3.2) наглядно демонстрирует отличие $u$ от $\bar {u}$. В работах некоторых авторов [8, 7 ] приоритет отдается обратной к температуре величине $\frac{1}{\theta }$ – холодности (coldness).

Уравнение баланса внутренней энергии для линейных микрополярных теорий, как хорошо известно, имеет следующий вид

(3.3)

Здесь ${{\partial }_{ \cdot }}$ – производная по времени при фиксированных координатах xk, ${{t}^{{ik}}}$ – тензор силовых напряжений, $\rho $ – массовая плотность (абсолютный скаляр), – псевдотензор моментных напряжений, q – лучистое тепло (абсолютный скаляр), ${{h}^{i}}$ – абсолютный вектор потока тепла. В приближении малых деформаций мы считаем $\dot {a} = {{\partial }_{ \cdot }}a$.

В конвенциональном виде уравнение баланса энтропии примем

(3.4)
$\rho \dot {s} = - {{\nabla }_{j}}{{J}^{j}} + \rho \sigma + \rho \xi $
где ${{J}^{j}}$ – абсолютный вектор потока энтропии, $\xi $ – неконтролируемое производство энтропии77 (в единицу времени в расчете на единицу массы), $\sigma $ – контролируемое производство энтропии (в единицу времени в расчете на единицу массы). Отметим, что $\xi $ и $\sigma $ являются абсолютными скалярами.

В термомеханике широко используется еще один термодинамический потенциал – свободная энергия Гельмгольца. Минуя статистический смысл свободной энергии, приписывая ей отрицательный знак, введем с помощью преобразования Лежандра внутренней энергии

(3.5)
$ - \bar {\psi }(\theta ,{{\epsilon }_{{ij}}},\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} \,_{{i \cdot }}^{{ \cdot j}}) = \theta s - \bar {u}(s,{{\epsilon }_{{ij}}},\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} \,_{{i \cdot }}^{{ \cdot j}}),\quad \theta = \frac{{\partial{ \bar {u}}}}{{\partial s}}$

Преобразование Лежандра и его основные свойства подробно обсуждаются в монографии [30, c. 155–157].

На основания инволютивности преобразования Лежандра, получим

(3.6)
$\bar {u}(s,{{\epsilon }_{{ij}}},\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} \,_{{i \cdot }}^{{ \cdot j}}) = \theta s - ( - \bar {\psi }(\theta ,{{\epsilon }_{{ij}}},\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} \,_{{i \cdot }}^{{ \cdot j}})),\quad s = - \frac{{\partial{ \bar {\psi }}}}{{\partial \theta }}$
откуда следует

(3.7)
$s = \bar {s}(\theta ,{{\epsilon }_{{ij}}},\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} \,_{{i \cdot }}^{{ \cdot j}}),\quad \bar {s} = - \frac{{\partial{ \bar {\psi }}}}{{\partial \theta }}$

4. Определяющие уравнения гемитропного микрополярного термоупругого континуума GN-I. Уравнение баланса свободной энергии можно получить подстановкой соотношений (3.4) и (3.5) в уравнение (3.3). В результате несложных преобразований получим

(4.1)

В предположении

(4.2)
$\theta {{J}^{j}} = {{h}^{j}},\quad \sigma \theta = q$
уравнение (4.1) преобразуется к одной из приведенных форм

(4.3)

Для необратимых термодинамических процессов справедливо следующее фундаментальное неравенство:

(4.4)
где

$C = \rho \frac{{\partial{ \bar {\psi }}}}{{\partial \theta }} + \rho \bar {s}$
(4.5)
${{A}^{{ij}}} = \rho \frac{{\partial{ \bar {\psi }}}}{{\partial {{\epsilon }_{{ij}}}}} - {{t}^{{ij}}}$
$\mathop B\limits^{[ - 1]} \,_{{ \cdot k}}^{{i \cdot }} = \rho \frac{{\partial{ \bar {\psi }}}}{{\partial \mathop \kappa \limits^{[ + 1]} {\kern 1pt} _{{i \cdot }}^{{ \cdot k}}}} - \mathop \mu \limits^{[ - 1]} {\kern 1pt} _{{ \cdot k}}^{{i \cdot }}$

Откуда следуют определяющие соотношения

$\bar {s} = - \frac{{\partial{ \bar {\psi }}}}{{\partial \theta }}$
(4.6)
${{J}^{j}} = {{\overline J }^{j}}({{\nabla }_{k}}\ln \theta )$

Для неконтролируемого производства энтропии справедливо уравнение

(4.7)
$\rho \xi = - {{\theta }^{{ - 2}}}{{h}^{j}}{{\nabla }_{j}}\theta = - {{\theta }^{{ - 1}}}{{J}^{j}}{{\nabla }_{j}}\theta = - {{\overline J }^{j}}({{\nabla }_{k}}\ln \theta ){{\nabla }_{j}}\ln \theta ,\quad \inf \theta > 0$

На основании уравнения баланса энтропии (3.4) при учете (4.6) получаем нелинейное уравнение теплопроводности

(4.8)

Линеаризованную по базисным термодинамическим переменным, свободную энергию для микрополярного термоупругого континуума GN-I можно принять в форме

(4.9)

Здесь ${{\mathop H\limits_1 }^{{islm}}}$, , , ${{\mathop G\limits_1 }^{{is}}}$, , $F$ – определяющие тензоры и псевдотензоры микрополярного термоупругого континуума GN-I, $\theta \to \theta - {{\theta }_{0}}$ – малый температурный инкремент (считается малой первого порядка), θ0 – референциальная температура. Веса определяющих псевдотензоров сведены в таблицу 1. Отметим, что и являются определяющими псевдотензорами, чувствительными к преобразованиям зеркального отражения трехмерного пространства.

Для определяющих псевдотензоров ${{\mathop H\limits_1 }^{{islm}}}$, справедливы условия симметрии

Воспользовавшись определяющими соотношениями (4.6), в итоге получим

(4.10)
$\begin{gathered} {{t}^{{is}}} = {{\mathop H\limits_1 }^{{islm}}}{{\epsilon }_{{lm}}} + \frac{1}{2}\mathop {\mathop H\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \cdot m}}^{{isl \cdot }}\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} {\kern 1pt} _{{l \cdot }}^{{ \cdot m}}\, + \frac{1}{2}{{\mathop G\limits_1 }^{{is}}}\theta {\kern 1pt} \\ \mathop \mu \limits^{[ - 1]} {\kern 1pt} _{{ \cdot s}}^{{i \cdot }}\, = \mathop {\mathop H\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {\kern 1pt} _{{ \cdot s \cdot m}}^{{i \cdot l \cdot }}\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} {\kern 1pt} _{{l \cdot }}^{{ \cdot m}} + \frac{1}{2}\mathop {\mathop H\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {\kern 1pt} _{{ \cdot \cdot \cdot s}}^{{lmi \cdot }}{{\epsilon }_{{lm}}} + \frac{1}{2}\mathop {\mathop G\limits_2 }\limits^{[ - 1]} {\kern 1pt} _{{ \cdot s}}^{{i \cdot }}\theta {\kern 1pt} \\ 2\rho \bar {s} = - {{\mathop G\limits_1 }^{{is}}}{{\epsilon }_{{is}}} - \mathop {\mathop G\limits_2 }\limits^{[ - 1]} {\kern 1pt} _{{ \cdot s}}^{{i \cdot }}\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} {\kern 1pt} _{{i \cdot }}^{{ \cdot s}} - 2F\theta {\kern 1pt} \\ {{h}^{i}} = - {{\mathop G\limits_3 }^{{is}}}{{\nabla }_{s}}\theta \\ \end{gathered} $

5. Линейный гемитропный микрополярный термоупругий континуум. Полученная энергетическая форма (4.9) используется, как правило, при построении моделей гемитропных микрополярных упругих континуумов. Определяющие тензоры и псевдотензоры для линейного гемитропного микрополярного упругого континуума нечувствительны к поворотам координатного репера, поэтому для них будут справедливы следующие координатные представления88

${{\mathop H\limits_1 }^{{islm}}} = \mathop a\limits_1 {{g}^{{is}}}{{g}^{{lm}}} + \mathop b\limits_1 {{g}^{{il}}}{{g}^{{sm}}} + \mathop c\limits_1 {{g}^{{im}}}{{g}^{{sl}}}{\kern 1pt} $
(5.1)
$\begin{gathered} \mathop {\mathop H\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {{{\kern 1pt} }^{{islm}}}\; = \mathop {\mathop a\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {{g}^{{is}}}{{g}^{{lm}}} + \mathop {\mathop b\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {{g}^{{il}}}{{g}^{{sm}}} + \mathop {\mathop c\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {{g}^{{im}}}{{g}^{{sl}}}{\kern 1pt} \\ \mathop {\mathop H\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{{\kern 1pt} }^{{islm}}}\; = \mathop {\mathop a\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{is}}}{{g}^{{lm}}} + \mathop {\mathop b\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{il}}}{{g}^{{sm}}} + \mathop {\mathop c\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{im}}}{{g}^{{sl}}}{\kern 1pt} \\ \end{gathered} $

Здесь $\mathop {\mathop a\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop b\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop c\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop d\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $ ($\mathfrak{a} = 1,2,3;$ ${\text{g}} = 0, - 1, - 2$) – двенадцать определяющих псевдоскаляры гемитропного микрополярного термоупругого тела GN-I. Метаиндекс $\mathfrak{a}$ – нумерует определяющие псевдоскаляры. С точки зрения тензорной алгебры $\mathop {\mathop a\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop b\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop c\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop d\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, как минимум, являются полуизотропными инвариантами.

Подставив координатные представления (5.1) в определяющие соотношения (4.10), получим

$\begin{gathered} {{t}^{{is}}} = (\mathop a\limits_1 {{g}^{{is}}}{{g}^{{lm}}} + \mathop b\limits_1 {{g}^{{il}}}{{g}^{{sm}}} + \mathop c\limits_1 {{g}^{{im}}}{{g}^{{sl}}}){{\epsilon }_{{lm}}} + \\ \, + \frac{1}{2}(\mathop {\mathop a\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{is}}}{{g}^{{lm}}} + \mathop {\mathop b\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{il}}}{{g}^{{sm}}} + \mathop {\mathop c\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{im}}}{{g}^{{sl}}}){{\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} }_{{lm}}} + \frac{1}{2}\mathop d\limits_1 \theta {{g}^{{is}}}{\kern 1pt} \\ \end{gathered} $
(5.2)
$\begin{gathered} {{\mathop \mu \limits^{[ - 1]} }^{{is}}} = (\mathop {\mathop a\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {{g}^{{is}}}{{g}^{{lm}}} + \mathop {\mathop b\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {{g}^{{il}}}{{g}^{{sm}}} + \mathop {\mathop c\limits_2 }\limits^{[ - 2]} {{g}^{{im}}}{{g}^{{sl}}}){{\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} }_{{lm}}} + \\ \, + \frac{1}{2}(\mathop {\mathop a\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{is}}}{{g}^{{lm}}} + \mathop {\mathop b\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{il}}}{{g}^{{sm}}} + \mathop {\mathop c\limits_3 }\limits^{[ - 1]} {{g}^{{im}}}{{g}^{{sl}}}){{\epsilon }_{{lm}}} + \frac{1}{2}\mathop {\mathop d\limits_2 }\limits^{[ - 1]} \theta {{g}^{{is}}} \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} 2\rho \bar {s} = - {{g}^{{is}}}\mathop d\limits_1 {\kern 1pt} {{\epsilon }_{{is}}} - {{g}^{{is}}}\mathop {\mathop d\limits_2 }\limits^{[ - 1]} {{\mathop \kappa \limits^{[ + 1]} }_{{is}}} - 2F\theta \\ {{h}_{i}} = - \mathop d\limits_3 {\kern 1pt} {{\nabla }_{i}}\theta . \\ \end{gathered} $

Вместо определяющих псевдоскаляров $\mathop {\mathop a\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop b\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop c\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop d\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $ можно перейти к конвенциональным определяющим псевдоскалярам, таким как: G – модуль сдвига; $\nu $ – коэффициент Пуассона; $\mathop L\limits^{[ - 1]} $ – характерная микродлина; , , ${{\mathfrak{c}}_{3}}$, ${{\mathfrak{c}}_{4}}$, ${{\mathfrak{c}}_{5}}$, ${{\mathfrak{c}}_{6}}$ – не имеющие физической размерности псевдоскаляры; $\mathop \alpha \limits_* $ – коэффициент линейного теплового расширения; $\mathop {\mathop \beta \limits_* }\limits^{[ + 1]} $ – коэффициент теплового изгиба–кручения; λ – коэффициент теплопроводности; c – теплоемкость на единицу массы при ${{\epsilon }_{{is}}} = 0$ (см. [36, 37]). В этом случае характерная микродлина $L$ будет псевдоскаляром отрицательного веса –1.

Сравнивая (5.2) с аналогичными формулами в [37, формулы (2.12)]:

(5.3)
$\begin{gathered} \mathop A\limits_1 = G\nu {{(1 - 2\nu )}^{{ - 1}}},\quad \mathop {\mathop A\limits_2 }\limits^{[ - 2]} = G\mathop L\limits^{[ - 1]} \mathop L\limits^{[ - 1]} {{c}_{3}},\quad \mathop A\limits_3 = G \\ \mathop {\mathop A\limits_4 }\limits^{[ - 2]} = G\mathop L\limits^{[ - 1]} \mathop L\limits^{[ - 1]} ,\quad \mathop {\mathop A\limits_5 }\limits^{[ - 2]} = 2G{{\mathop c\limits^{[ - 2]} }_{{1}}},\quad \mathop A\limits_6 = 2G\mathop L\limits^{[ - 1]} \mathop L\limits^{[ - 1]} {{\mathop c\limits^{[ + 2]} }_{{2}}} \\ \mathop {\mathop A\limits_7 }\limits^{[ - 1]} = G\mathop L\limits^{[ - 1]} {{c}_{4}},\quad \mathop {\mathop A\limits_8 }\limits^{[ - 1]} = G\mathop L\limits^{[ - 1]} {{c}_{5}},\quad \mathop {\mathop A\limits_9 }\limits^{[ - 1]} = G\mathop L\limits^{[ - 1]} {{c}_{6}} \\ \end{gathered} $
для безразмерных определяющих псевдоскаляров удобно ввести новые обозначения

(5.4)

Подставляя (5.4) в (5.3), получим

(5.5)
откуда, учитывая определяющие уравнения (5.2), можно установить

(5.6)
$\begin{gathered} \mathop a\limits_1 = 2\mathop A\limits_1 ,\quad \mathop b\limits_1 \; + \mathop c\limits_1 = 2\mathop A\limits_3 ,\quad \mathop b\limits_1 \; - \mathop c\limits_1 = {{e}^{2}}\mathop {\mathop A\limits_5 }\limits^{[ - 2]} \\ \mathop {\mathop a\limits_2 }\limits^{[ - 2]} = 2\mathop {\mathop A\limits_2 }\limits^{[ - 2]} ,\quad \mathop {\mathop b\limits_2 }\limits^{[ - 2]} + \mathop {\mathop c\limits_2 }\limits^{[ - 2]} = 2\mathop {\mathop A\limits_4 }\limits^{[ - 2]} ,\quad \mathop {\mathop b\limits_2 }\limits^{[ - 2]} - \mathop {\mathop c\limits_2 }\limits^{[ - 2]} = {{e}^{{ - 2}}}\mathop A\limits_6 \\ \mathop {\mathop a\limits_3 }\limits^{[ - 1]} = 2\mathop {\mathop A\limits_7 }\limits^{[ - 1]} ,\quad \mathop {\mathop b\limits_3 }\limits^{[ - 1]} + \mathop {\mathop c\limits_3 }\limits^{[ - 1]} = 2\mathop {\mathop A\limits_8 }\limits^{[ - 1]} ,\quad \mathop {\mathop b\limits_3 }\limits^{[ - 1]} - \mathop {\mathop c\limits_3 }\limits^{[ - 1]} = - \mathop {\mathop A\limits_9 }\limits^{[ - 1]} \\ \end{gathered} $

Подставляя (5.5) в (5.6) и выражая $\mathop {\mathop a\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop b\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, $\mathop {\mathop c\limits_\mathfrak{a} }\limits^{[{\text{g}}]} $, в итоге получим

(5.7)
$\mathop d\limits_1 = - 4G\frac{{1 + \nu }}{{1 - 2\nu }}\mathop \alpha \limits_* ,\quad \mathop {\mathop d\limits_2 }\limits^{[ - 1]} = - 4G\mathop L\limits^{[ - 1]} \mathop L\limits^{[ - 1]} \mathop {\mathop \beta \limits_* }\limits^{[ + 1]} ,\quad \mathop d\limits_3 = k,\quad F = - \frac{{\rho c}}{{{{\theta }_{0}}}}$

Принимая обозначения для определяющих постоянных

(5.8)
$c_{4}^{'} = {{c}_{4}} + \frac{1}{2}{{c}_{5}} + \frac{1}{4}{{c}_{6}},\quad c_{5}^{'} = \frac{1}{2}{{c}_{5}} - \frac{1}{4}{{c}_{6}},\quad c_{6}^{'} = - {{c}_{6}}$
или, с учетом (5.4)
(5.9)
$c_{4}^{'} = 2{{\mathfrak{c}}_{6}} + {{\mathfrak{c}}_{4}} - {{\mathfrak{c}}_{5}},\quad c_{5}^{'} = {{\mathfrak{c}}_{4}} + {{\mathfrak{c}}_{5}},\quad c_{6}^{'} = 4{{\mathfrak{c}}_{5}}$
уравнение теплопроводности и динамические уравнения можно представить в окончательной форме
${{\nabla }_{s}}{{\nabla }^{s}}\theta - \frac{{c\rho }}{\lambda }{{\partial }_{ \cdot }}\theta - 2G\mathop \alpha \limits_* \frac{{1 + \nu }}{{1 - 2\nu }}\frac{{{{\theta }_{0}}}}{\lambda }{{\nabla }_{s}}{{\partial }_{ \cdot }}{{u}^{s}} - 2G\mathop L\limits^{[ - 1]} \mathop L\limits^{[ - 1]} \mathop {\mathop \beta \limits_* }\limits^{[ + 1]} \frac{{{{\theta }_{0}}}}{\lambda }{{\nabla }_{s}}{{\partial }_{ \cdot }}{{\mathop \phi \limits^{[ + 1]} }^{s}} + \frac{{\rho q}}{\lambda } = 0$
где  fi – вектор массовых сил, $\Im $ – момент микроинерции, li – вектор массовых моментов.

Заключение. В настоящей статье рассмотрен сравнительно новый подход к математическому моделированию связанной термоупругой гемитропной среды.

1. Предложены новые подходы к построению энергетических форм и уравнений механики микрополярной термоупругости.

2. Получены уравнение теплопроводности и динамические уравнения гемитропного микрополярного термоупругого GN-I континуума в пседотензорной формулировке.

3. Использовались общие термодинамические принципы неравновесной термодинамики.

4. Анизотропные определяющие псевдотензоры в представлении квадратичной энергетической формы включают: 3 псевдотензора четвертого ранга, 3 псевдотензора второго ранга и один абсолютный скаляр.

5. Анизотропная энергетическая форма редуцировалась к гемитропной с помощью специальных координатных представлений для определяющих псевдотензоров.

6. Рассмотрены различные варианты определяющих скаляров и псевдоскаляров, в том числе, конвенционально используемые материальные псевдоскаляры: модуль сдвига, коэффициент Пуассона, характерная микродлина (являющаяся псевдоскаляром отрицательного веса, чувствительным к отражениям трехмерного пространства), коэффициент линейного теплового расширения; коэффициент теплового искажения, коэффициент теплопроводности, теплоемкость на единицу массы и псевдоскаляры, не имеющие физической размерности.

Благодарности. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-21-00262).

Таблица 1.

Веса определяющих тензоров и псевдотензоров связанной термоупругой гемитропной среды

Терминологическое обозначение Символьное обозначение Вес Преобразование к абсолютному тензору
определяющий тензор i (first constitutive tensor) ${{\mathop H\limits_1 }^{{islm}}}$ 0  
определяющий псевдотензор ii (second constitutive pseudotensor) –2
определяющий псевдотензор iii (third constitutive pseudotensor) –1
определяющий тензор iv (firth constitutive tensor) ${{\mathop G\limits_1 }^{{is}}}$ 0  
определяющий псевдотензор v
(fifth constitutive pseudotensor) 		–1
определяющий скаляр vi (sixth constitutive scalar)      

Список литературы

  1. Turpin J.P., Bossard J.A., Morgan K.L. et al. Reconfigurable and tunable metamaterials: a review of the theory and applications // Int. J. Antennas Propag. 2014. V. 2014. P. 429837. https://doi.org/10.1155/2014/429837

  2. Giorgio I., Hild F., Gerami E. et al. Experimental verification of 2D cosserat chirality with stretch-micro-rotation coupling in orthotropic metamaterials with granular motif // Mech. Res. Commun. 2022. P. 104020. https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2022.104020

  3. Reasa D.R., Lakes R.S. Nonclassical Chiral Elasticity of the Gyroid Lattice // Phys. Rev. Lett. 2020. V. 125. P. 205502. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.205502

  4. Askari M., Hutchins D.A., Thomas P.J. et al. Additive manufacturing of metamaterials: A review // Addit. Manuf. 2020. V. 36. P. 101562. https://doi.org/10.1016/j.addma.2020.101562

  5. Kovalev V.A., Murashkin E.V., Radayev Yu.N. Metamaterial models of continuum multiphysics // Труды международной школы-конференции молодых ученых “Механика 2016”. Цахкадзор, Армения, 03–07 октября 2016. Ереван: Национальный университет архитектуры и строительства Армении, 2016. С. 160–163.

  6. Ковалев В.А., Мурашкин Е.В. О принципе термомеханической ортогональности в проблемах моделирования сложных сред и метаматериалов // Вестн. Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Сер.: Мех. пред. сост. 2019. № 1(49). P. 20–31. https://doi.org/10.26293/chgpu.2019.39.1.003

  7. Müller I., Ruggeri T. Rational extended thermodynamics. Berlin: Springer Science & Business Media, 2013. 411 p.

  8. Truesdell C. Rational thermodynamics: a course of lectures on selected topics. New York: McGraw-Hill, 1969. 208+ix p.

  9. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories // Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Ed. by S. Flügge. Berlin, Heidelberg: Springer, 1960. P. 226–858. https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2

  10. Besdo D. Ein beitrag zur nichtlinearen theorie des Cosserat-kontinuums // Acta Mech. 1974. V. 20. № 1. P. 105–131. https://doi.org/10.1007/BF01374965

  11. Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Springer, 1972. 286 p. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9

  12. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986. 383 p.

  13. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 668 с.

  14. Радаев Ю.Н., Мурашкин Е.В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82. № 4. С. 399–412. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412

  15. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 592 с.

  16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. Часть 1. М.: Физматлит, 2001. 616 с.

  17. Радаев Ю.Н. Задачи и теоремы по курсу “Математическая теория пластичности”. Самара: Самарский гос. ун-т, 1996. 80 с.

  18. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. 328 с.

  19. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты. М.: Физматлит, 2009. 156 с.

  20. Murashkin E.V., Radayev Yu.N. On a micropolar theory of growing solids // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2020. Т. 24. № 3. С. 424–444. https://doi.org/10.14498/vsgtu1792

  21. Kovalev V.A., Murashkin E.V., Radayev Yu.N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2020. Т. 24. № 4. С. 752–761. https://doi.org/10.14498/vsgtu1799

  22. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с.

  23. Schouten J.A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1965. 434 p.

  24. Sokolnikoff I. Tensor Analysis: Theoryand Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York: John Wiley & Sons Inc., 1964. 361 p.

  25. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Toronto: Toronto University Press, 1949. 334 p.

  26. Veblen O., Thomas T.Y. Extensions of relative tensors // Trans. Am. Math. Society. 1924. V. 26. P. 373–377.

  27. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms. Cambridge: The University Press, 1933. 102 p.

  28. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ: С приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. 411 с.

  29. Копф А. Основы теории относительности Эйнштейна. М.: ГТТИ, 1933. 175 с.

  30. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Самар. гос. ун-т, 2006. 340 p.

  31. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестн. Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Сер.: Мех. пред. сост. 2022. № 1(51). P. 17–26. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002

  32. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge: Cambridge University Press, 1931. 101 p.

  33. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 p.

  34. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестн. Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Сер.: Мех. пред. сост. 2022. № 2(52). P. 106–115. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002

  35. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестн. Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Сер.: Мех. пред. сост. 2022. № 2(52). P. 118–127. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002

  36. Радаев Ю.Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2018. V. 22. № 3. P. 504–517. https://doi.org/10.14498/vsgtu1635

  37. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Об определяющих псевдоскалярах гемитропных микрополярных сред в инверсных координатных системах // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2021. Т. 25. № 3. С. 457–474. https://doi.org/10.14498/vsgtu1870

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал