Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 3, стр. 26-35
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФУЗИИ ГАЗА В ВАКУУМЕ
В. А. Котельников 2, *, М. В. Котельников 2, Г. С. Филиппов 1, 2, **, М. А. Платонов 2
1 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Москва, Россия
2 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ)
Москва, Россия
* E-mail: mvk_home@mail.ru
** E-mail: filippov.gleb@gmail.com
Поступила в редакцию 06.09.2018
Принята к публикации 31.01.2020
Аннотация
Методами математического моделирования исследована эффузия газа через небольшое отверстие прямоугольной формы в разреженное пространство. Получены функции распределения частиц газа, истекающих из отверстия и моменты этих функций: поля концентраций и скоростей частиц газа. Исследована зависимость эффузии от объема, из которого происходит истечение.
Истечение газа через относительно малые отверстия в результате теплового движения молекул часто встречается в природе и современной технике. Например, при движении космических аппаратов в ионосфере всегда существует опасность разгерметизации жилых отсеков в результате столкновений с метеоритами, частицами космического мусора, деградации сварных швов, различных аварий и других причин. Появлению больших течей часто предшествуют малые течи, которые трудно поддаются диагностике. Авария на орбитальной станции “Мир” в 1997 году привела к разгерметизации одного из ее модулей [1]. Тогда удалось изолировать поврежденный модуль, однако в конечном итоге это повлияло на срок ее функционирования.
Появление электроракетных двигателей (ЭРД) привело к необходимости создания вакуумных стендов больших размеров для их исследования, диагностики, совершенствования конструкции. Первые работы в области создания ЭРД начались в 60-х годах прошлого столетия по инициативе С.П. Королева и продолжаются до настоящего времени [2]. В практике использования вакуумных стендов приходится уделять много внимания исключению течей при герметизации люков, смотровых окон, в местах введения измерительных систем, в сварных швах и т.д.
Явление эффузии лежит в основе ряда технологических процессов, связанных с разделением смесей газов на отдельные компоненты путем ее пропускания через пористые вещества.
В настоящей статье методами математического моделирования исследуется эффузия газа в разреженное пространство. По этому вопросу встречается достаточно много опубликованных работ [3–18], однако строгого решения задачи на кинетическом уровне найти не удалось. Отсутствуют детальные исследования особенностей функций распределения частиц газа, истекающих в разреженное пространство.
При выборе физических, математических и численных моделей эффузии газа авторы использовали опыт, накопленный при исследовании динамики потоков разреженной плазмы в теоретических и прикладных задачах [19–22].
Физическая, математическая и численная модели задачи. Рассмотрим разреженный газ, истекающий из объема V в вакуумное пространство через отверстие, размер которого много меньше средней длины свободного пробега частиц газа. Газ в объеме V предполагается равновесным, толщиной стенок пренебрегаем, в струе газа, истекающей из отверстия, столкновениями пренебрегаем.
В общем случае такая задача оказывается шестимерной в фазовом пространстве и нестационарной [19–22]. С целью сокращения размерности задачи отверстие, через которое происходит утечка газа, берется в форме удлиненного прямоугольника. Соответствующие этой физической модели проблемы встречаются на практике в виде малых течей через трещины в обшивках летательных аппаратов и корпусах вакуумных камер.
С учетом сдвиговой симметрии математическая модель задачи оказывается четырехмерной. В декартовой системе координат (рис. 1) функция распределения частиц газа зависит от четырех фазовых переменных ($x$, $y$, ${{{v}}_{x}}$, ${{{v}}_{y}}$) и времени t.
В этом случае кинетическое уравнение (уравнение Власова) имеет вид [19–22]
(1)
$\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + {{{v}}_{x}}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + {{{v}}_{y}}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 0.$Уравнение (1) решается при следующих начальных и граничных условиях: за начальный момент времени принимается момент образования щели. На срезе отверстия (граница “втекания”) функция распределения предполагается Максвелловской [24]
(2)
${{\left. f \right|}_{\begin{subarray}{l} {\text{граница}} \\ {\text{втекания}} \end{subarray} }} = \frac{{{{n}_{0}}}}{\pi }{{\left( {\frac{m}{{2kT}}} \right)}^{{3/2}}}\exp \left[ { - \frac{m}{{2kT}}({v}_{x}^{2} + {v}_{y}^{2})} \right],$Функция распределения f на срезе отверстия совпадает с (2) с учетом того, что по мере истечения газа из объема V концентрация частиц ${{n}_{0}}$ изменяется со временем.
На границе “вытекания” ставились “мягкие” граничные условия, получаемые путем экстраполяции функции распределения с прилегающих расчетных слоев.
Формулы для расчета средних скоростей частиц газа и их потоков имеют вид
(3)
$\left\langle {{{{v}}_{x}}} \right\rangle = \frac{{\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{v}}_{x}}fd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}}} } }}{{\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {fd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}}} } }},\quad \left\langle {{{{v}}_{y}}} \right\rangle = \frac{{\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{v}}_{y}}fd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}}} } }}{{\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {fd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}}} } }},$(4)
${{J}_{{{\text{из}}\;{\text{отверстия}}}}} = {{\left( {\frac{{2kT}}{m}} \right)}^{{1/2}}}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_0^{ + \infty } {{{{\left. {{{{v}}_{y}}f({{{v}}_{x}},{{{v}}_{y}})} \right|}}_{\begin{subarray}{l} {\text{граница}} \\ {\text{втекания}} \end{subarray} }}} } } dxd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}},$(5)
$\begin{gathered} {{J}_{{{\text{внешняя}}\;{\text{граница}}}}} = {{\left( {\frac{{2kT}}{m}} \right)}^{{1/2}}}\int\limits_0^{{{x}_{\infty }}} {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^0 {{{{v}}_{y}}f(t,x,{{y}_{0}},{{{v}}_{x}},{{{v}}_{y}})} } } dxd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}} + \\ + \;{{\left( {\frac{{2kT}}{m}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}\int\limits_0^{{{x}_{\infty }}} {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\int\limits_0^{ + \infty } {{{{v}}_{y}}f(t,x,{{y}_{\infty }},{{{v}}_{x}},{{{v}}_{y}})} } } dxd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}} + \\ + \;{{\left( {\frac{{2kT}}{m}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}\int\limits_0^{{{y}_{\infty }}} {\int\limits_{ - \infty }^0 {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{v}}_{y}}f(t,{{x}_{0}},y,{{{v}}_{x}},{{{v}}_{y}})} } } dyd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}} + \\ + \;{{\left( {\frac{{2kT}}{m}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}\int\limits_0^{{{y}_{\infty }}} {\int\limits_0^{ + \infty } {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{v}}_{y}}f(t,{{x}_{\infty }},y,{{{v}}_{x}},{{{v}}_{y}})} } } dyd{{{v}}_{x}}d{{{v}}_{y}}. \\ \end{gathered} $Математическая модель (1)–(5) приводилась к безразмерному виду с помощью системы масштабов: ${{M}_{n}} = {{n}_{\infty }}$ – масштаб концентраций; ${{M}_{L}} = d$ – масштаб длины; ${{M}_{V}} = {{\left( {2kT{\text{/}}m} \right)}^{{1/2}}}$ – масштаб скорости. Остальные масштабы выражаются через данные по формулам размерности.
Вычислительная модель задачи основана на методе последовательных итераций по времени, когда моделируется переходный процесс от начального к конечному стационарному состоянию, которое соответствует установлению параметров газа в расчетной области. При этом уравнение Власова (1) решается методом характеристик [23].
Алгоритм расчета реализован в виде компьютерной программы на языке С++ с использованием средств графической библиотеки Open GL. При этом были задействованы более миллиарда ячеек расчетной сетки (400 × 400 × 80 × 80). Область исследования струи имела размер 10 × 10 безразмерных единиц. Расчет на настольном компьютере (четырехъядерный процессор Intel Core i7-6700K, тактовая частота каждого ядра составляет 4 ГГц, оперативная память компьютера 32 Гб) продолжался 44 часа.
Контроль времени окончания счета (момента установления решения) осуществляется визуально с использованием графического окна, выводимого на экран монитора в режиме реального времени [24]. Визуально фиксировался момент, когда поток частиц, вытекающий из отверстия, становился равным потоку через внешние границы расчетной области (рис. 2).
Это свидетельствовало о сохранении массы газа в расчетной области в установившемся стационарном состоянии при реализации вычислительного алгоритма.
Результаты вычислительных экспериментов. На рис. 3 представлены функции распределения частиц истекающего из отверстия газа на различных расстояниях от отверстия на оси симметрии.
На рис. 4 для наглядности те же функции распределения представлены на плоскости (${{{v}}_{x}}$, ${{{v}}_{y}}$) в виде изолиний.
Из графиков следует, что функция распределения частиц газа деформируется с удалением от отверстия. Каждая последующая функция является частью предыдущей, что является следствием рассеяния струи. Таким образом, форма функции распределения зависит от взаимного расположения исследуемой точки и эффузионного отверстия.
Изменение формы функции распределения при перемещении по оси y ведет к смещению ее “центра тяжести” в сторону увеличения составляющей ${{{v}}_{y}}$. В свою очередь смещение “центра тяжести” функции распределения ведет к увеличению средней скорости частиц в струе (рис. 5).
На рис. 6, 7 показана зависимость функции распределения частиц газа и ее изолиний от координаты x. Отчетливо просматривается рассеивание частиц газа с ростом координаты x. Если на оси симметрии струи (рис. 6а, 7а) средняя скорость частиц направлена по оси y, то с увеличением x угол поворота вектора средней скорости относительно оси симметрии струи увеличивается (рис. 6б, в; 7б, в).
Перейдем теперь к рассмотрению моментов функции распределения. На рис. 8а, б приведено поле концентраций в расчетной области при t = 1.5 (начало эволюции) и в момент t = 30 (установившееся решение).
Распределение концентрации частиц газа вдоль оси симметрии струи приведено на рис. 9.
На рис. 10 дано поле скоростей частиц газа на момент установления решения. Поле скоростей имеет осевую симметрию. Из рис. 10 видно, что рассеяние струи усиливается к краям отверстия.
Уточнение граничного условия на срезе отверстия. Граничная функция распределения на срезе отверстия (2) содержит параметр ${{n}_{0}}$, соответствующий невозмущенной концентрации газа в объеме V. Этот параметр принят за масштаб концентрации, вследствие чего не входит в безразмерный вид уравнений. Для корректной интерпретации полученных результатов необходимо учитывать, что концентрация в объеме V вследствие эффузии уменьшается. Поэтому зависимость ${{n}_{0}}\left( t \right)$ является частью решения данной задачи.
Рассмотрим следующую модельную задачу. Имеется резервуар объемом V (например, жилой отсек космической станции), заполненный газом при нормальных условиях. На стенке резервуара образуется микротрещина площадью S, через которую начинает истекать газ. Считаем, что температура T газа в резервуаре постоянна и равновесное состояние газа со временем не нарушается вследствие малого размера микротрещины. Число частиц $\Delta N$ в объеме V, участвующих в хаотическом движении и пересекающих площадку S за интервал времени $\Delta t$ равно [25]
Если в момент времени $t = 0$ концентрация частиц ${{n}_{0}}$, то в момент времени $t = \Delta t$ концентрация равна ${{n}_{1}}$, в момент $t = 2\Delta t$ – ${{n}_{2}}$ и т.д. Элементарный расчет позволяет получить
Итак,
(7)
$\frac{{n\left( t \right)}}{{{{n}_{0}}}} = {{\left( {1 - \frac{{\left\langle {v} \right\rangle S}}{{6V}}\Delta t} \right)}^{{\frac{t}{{\Delta t}}}}}.$При этом должно выполняться неравенство $\frac{{\left\langle {v} \right\rangle S}}{{6V}}\Delta t < 1$, или $\Delta t < \frac{{6V}}{{\left\langle {v} \right\rangle S}}$.
Численные эксперименты показали, что расчет $\frac{{n\left( t \right)}}{{{{n}_{0}}}}$ по формуле (7) практически не зависит от шага по времени $\Delta t$, если безразмерный шаг по времени
Еще один вывод зависимости ${{n}_{0}}\left( t \right)$ приведен в работе [6].
(8)
$\frac{{n\left( t \right)}}{{{{n}_{0}}}} = {{e}^{{ - \frac{1}{6}\left\langle {v} \right\rangle \frac{S}{V}t}}}.$Расчет зависимости $\frac{{n\left( t \right)}}{{{{n}_{0}}}}$ по формулам (7) и (8) практически совпадает и приведен на рис. 11, при этом параметр S/V варьировался.
При исследовании эффузии методами математического моделирования установление решения в расчетной области наступает при времени расчета t = 30 единиц безразмерного времени. При ширине микротрещин d = 10–4 м [6]
(9)
${{t}_{{{\text{уст}}}}} = {{t}_{{{\text{безраз}}}}}{{M}_{t}} \approx 7.5 \times {{10}^{{ - 6}}}\;{\text{с}}.$Из (7) и (9) следует, что изменение концентрации в резервуаре в результате эффузии за время установления решения незначительно и им можно пренебречь.
Заключение. Математическое моделирование эффузии разреженного газа в вакуумное пространство позволило получить функции распределения истекающих частиц. Исследована эволюция этих функций в процессе установления решения. Получена зависимость функции распределения от координат ($x$, $y$). Вычислены моменты функций распределения: поля концентраций частиц и их скоростей. Сравнение полученных данных с результатами работ [5] и [6] показало удовлетворительное согласование.
Приведенные результаты математического моделирования эффузии газа в вакуумное пространство могут быть полезны разработчикам портативных приборов диагностики малых течей, используемых в вакуумной промышленности и в космической технике. Разработанный оригинальный программный код, основанный на кинетическом подходе к решению эффузионных задач, который сопровождается компьютерной графикой, позволяющей получить наглядное представление об исследуемых физических явлениях, может быть полезен специалистам в области математического моделирования, а также в учебном процессе.
Список литературы
Пономарева В.Л. Космонавтика в личном измерении. М.: Космоскоп, 2016. 386 с.
Кубарев Ю.В. Полеты на Марс, электрореактивные двигатели настоящего и будущего // Наука и технологии в промышленности. 2006. № 2. С. 19.
Дэшман С. Научные основы вакуумной техники. М.: Мир, 1964. 715 с.
Саксаганский Г.Л. Молекулярные потоки в сложных вакуумных структурах. М.: Атомиздат, 1980. 216 с.
Ананьин А.А., Занин А.Н., Семкин Н.Д. Моделирование процессов утечки газа из модуля космического аппарата // Измерительная техника. 2001. № 4. С. 29.
Занин А.Н. Устройство регистрации места утечки воздуха из модуля космической станции: Дисс…. к.т.н. СГАУ, 2009. 185 с.
Нестеров С.Б., Васильев Ю.И., Андросов А.В. Расчет сложных вакуумных систем. М.: МЭИ, 2001. 180 с.
Нестеров С.Б., Асташина М.А., Незнамова Л.О., Васильев Ю.К. Задачи и методы исследования среды разреженного газа вблизи космического аппарата // Вакуумная техника и технология. 2007. Т. 18. № 3. С. 183.
Асташина М.А. Молекулярные потоки в сложных объектах с учётом газовыделения поверхностей. Дисс…. к.т.н. М.: МЭИ, 2009. 156 с.
Розанов Л.Н., Скрябнев А.Ю. Течение газа через круглый трубопровод при больших перепадах давления // Вакуумная техника и технология. 2010. Т. 20. № 1. С. 3.
Скрябнев А.Ю. Вакуумметрический метод мониторинга герметичности крупных технических объектов. Дисс…. к.т.н. Санкт-Петербург. СПбГПУ, 2012. 146 с.
Tang M.J., Cox R.A., Kalberer M. Compilation and evaluation of gas phase diffusion coefficients ofreactive trace gases in the atmosphere: v. 1. Inorganiccompounds // Atmos. Chem. Phys. 2014. № 14. P. 9233.
Krewinkel R. A review of gas turbine effusion cooling studies // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2013. V. 66. P. 706.
Schumacher J.C., Zupanc F.J. Rodolphe Dudebout Segmented effusion cooled gas turbine engine combustor // US Patent US7546737B2, 2006.
Wahlbeck P.G. Effusion. VII. The Failure of Isotropy of a Gas in an Effusion Cell and the Transition Region // J. Chem. Phys. 2003. V. 55. № 1709 (1971).
Malhotra M., Kumar S. Thermal gas effusion from diamond-like carbon films // Diamond and Related Materials, 1997. V. 6. Iss. 12. P. 1830.
Bronson T.J., Zupanc F.J., Yankowich P., Rudrapatna N. Effusion cooled dual wall gas turbine combustors // US Patent US9897320B2, 2010.
Iczkowski R.P., Margrave J.L., Robinson S.M. Effusion of Gases through Conical Orifices // J. Phys. Chem. 1963. № 67. 2. P. 229.
Котельников В.А., Ульданов С.В., Котельников М.В. Процессы переноса в пристеночных слоях плазмы. М.: Наука, 2004. 422 с.
Котельников В.А., Котельников М.В., Гидаспов В.Ю. Математическое моделирование обтекания тел потоками столкновительной и бесстолкновительной плазмы. М.: Физматлит, 2010. 266 с.
Котельников М.В., Котельников В.А., Морозов А.В. Математическое моделирование взаимодействия потока разреженной плазмы с поперечным магнитным полем. М.: Издательство МАИ, 2015. 170 с.
Котельников В.А., Гурина Т.А., Демков В.П., Попов Г.А. Математическое моделирование электродинамики летательного аппарата в разреженной плазме. М.: Изд-во Нац. Акад. Прикл. Наук РФ, 1999. 255 с.
Котельников М.В., Котельников В.А. Усовершенствованный метод характеристик // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 5. С. 85.
Котельников М.В., Нгуен Суан Тхау. Методика использования компьютерной графики в вычислительных экспериментах // Электронный журнал “Труды МАИ”. 2011. № 53.
Савельев И.В. Курс физики. М.: Наука, главная редакция физ. мат. Литературы. 1989. Т. 1. 352 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Проблемы машиностроения и надежности машин