Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2023, № 5, стр. 73-79

1. ВВЕДЕНИЕ

При пересечении заряженной частицей границы раздела двух сред возникает переходное излучение (ПИ) [1, 2]. Влияние многократного рассеяния заряженной частицы атомами среды на спектрально-угловую плотность ПИ в аморфной среде обсуждалось в работах [3–5]. В работах [3, 4] влияние многократного рассеяния, соответственно, на спектр и угловую плотность ПИ рассматривалось на качественном уровне, а в работе [5] – с использованием строгого кинетического подхода к усреднению спектрально-угловой плотности ПИ по всем возможным траекториям движения электрона в веществе.

Переходное излучение, возникающие на передней границе монокристаллической мишени, дифрагирует на системе параллельных атомных плоскостей кристалла, образуя в направлении близком к направлению рассеяния Брэгга в узком спектральном диапазоне дифрагированное переходное излучение (ДПИ) [6–8]. Важно отметить, что в рентгеновском диапазоне частот экспериментально может быть обнаружено и исследовано ДПИ от одной границы мишени, в отличие от ПИ, которое можно наблюдать только от двух границ, т.е. в условиях значительного влияния на спектрально-угловую плотность излучения интерференции волн ПИ от разных границ и фотопоглощения волн материалом мишени. При этом ПИ имеет еще и очень широкий спектр, что значительно снижает возможности исследования влияния многократного рассеяния релятивистских электронов на спектрально-угловую плотность ПИ. ДПИ имеет очень узкий частотный диапазон, является по сути переходным излучением только от одной границы, поэтому, по мнению авторов, является важным и удобным объектом для исследования влияния многократного рассеяния излучающих релятивистских электронов на угловую плотность ПИ.

В работах [9–11] влияние расходимости электронного пучка на спектрально-угловые характеристики ДПИ и параметрического рентгеновского излучение (ПРИ) исследовалось в геометрии рассеяния Лауэ.

Настоящая работа посвящена исследованию ДПИ, возбуждаемого пучком релятивистских электронов, пересекающих монокристаллическую пластинку произвольной толщины в геометрии рассеяния Брэгга с учетом многократного рассеяния пучка релятивистских электронах на атомах мишени. Для учета многократного рассеяния используется традиционный метод усреднения спектрально-угловой и угловой плотностей излучений по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий электронов.

2. ГЕОМЕТРИЯ ПРОЦЕССА ИЗЛУЧЕНИЯ

Рассмотрим пучок релятивистских электронов, пересекающих монокристалл в геометрии рассеяния Брэгга (рис. 1). Введем угловые переменные ${\mathbf{\psi }}{\text{,}}$ ${\mathbf{\theta }}$ и ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}}$ в соответствии с определениями скорости выделенного в пучке релятивистского электрона ${\mathbf{V}}$ и единичных векторов: ${\mathbf{n}}$ – в направлении импульса фотона, излученного вблизи направления вектора скорости электрона, и ${{{\mathbf{n}}}_{{\mathbf{g}}}}$ – в направлении рассеяния Брэгга:

где ${\mathbf{\theta }}$ – угол излучения, отсчитываемый от оси детектора излучения ${{{\mathbf{e}}}_{2}},$ ${\mathbf{\psi }}$ – угол отклонения рассматриваемого электрона в пучке, отсчитываемый от оси электронного пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}}$ – угол между направлением распространения падающего фотона и осью ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ $\gamma = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}$ – Лоренц-фактор электрона. Угловые переменные рассматриваются в виде суммы составляющих параллельных и перпендикулярных плоскости рисунка: ${\mathbf{\theta }} = {{{\mathbf{\theta }}}_{{||}}} + {{{\mathbf{\theta }}}_{ \bot }},$ ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}} = {{{\mathbf{\theta }}}_{0}}_{{||}} + {{{\mathbf{\theta }}}_{0}}_{ \bot },$ ${\mathbf{\psi }} = {{{\mathbf{\psi }}}_{{||}}} + {{{\mathbf{\psi }}}_{ \bot }}.$ ψ₀ – начальная расходимость электронного пучка, N – нормаль к поверхности мишени, $\delta $ – угол между кристаллографической дифрагирующей плоскостью и поверхностью мишени, ${{\theta }_{{\text{B}}}}$ – угол Брэгга.

3. СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВАЯ И УГЛОВАЯ ПЛОТНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ

В работе [12] в рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции была развита теория когерентного рентгеновского излучения, возбуждаемого в монокристалле в геометрии рассеяния Брэгга пучком релятивистских электронов в направлении n (рис. 1) близком к направлению ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ оси пучка. Были получены выражения, описывающие амплитуды напряженностей электрических полей волн параметрического рентгеновского излучение вблизи направления скорости релятивистского электрона (ПРИВ) и переходного излучения (ПИ). На их основе были получены и исследованы выражения, описывающие спектрально-угловые характеристики ПРИВ, ПИ и их интерференционное слагаемое.

Используя обозначения и рассуждения аналогичные проведенным в работе [11], в настоящей работе мы получили выражение для амплитуды напряженности когерентного рентгеновского излучения $E_{{Rad}}^{{(s)}},$ возбуждаемого в тонкой непоглощающей монокристаллической мишени релятивистским электроном, движущегося в пучке под углом ${\mathbf{\psi }}({{\psi }_{\parallel }},{{\psi }_{ \bot }})$ к оси пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}}.$ Амплитуда поля излучения была представлена в виде суммы полей, одно из которых соответствует вкладу механизма ПРИ $\left( {E_{{{\text{PXR}}}}^{{(s)}}} \right),$ а другое вкладу ДПИ $\left( {E_{{{\text{DTR}}}}^{{{\text{(}}s{\text{)}}}}} \right).$ Амплитуда поля ДПИ имеет вид:

где $\chi _{0}^{'}$ – действительная часть средней диэлектрической восприимчивости монокристалла, $\chi _{{\mathbf{g}}}^{'}$ – действительная часть коэффициента Фурье разложения диэлектрической восприимчивости монокристалла по векторам обратной решетки g: где F(g) – форм фактор атома, содержащего Z электронов; S(g) – структурный фактор элементарной ячейки, содержащей ${{N}_{0}}$ атомов; ${{u}_{\tau }}$ – среднеквадратичная амплитуда тепловых колебаний атомов кристалла. В работе рассматривается рентгеновская область частот $(\chi _{{\mathbf{g}}}^{'} < 0,\chi _{0}^{'} < 0).$

Так как в области рентгеновских частот выполняется неравенство $\frac{{2{{{\sin }}^{2}}{{\theta }_{{\text{B}}}}}}{{{{V}^{2}}\left| {\chi _{{\mathbf{g}}}^{'}} \right|{{C}^{{(s)}}}}} \gg 1,$ то ${{\eta }^{{(s)}}}(\omega )$ является быстрой функцией от частоты $\omega {\kern 1pt} .$ Для дальнейшего анализа спектров ПРИ и ДПИ удобно рассматривать ${{\eta }^{{(s)}}}(\omega )$ (или ${{\xi }^{{(s)}}}\left( \omega \right)$) в качестве спектральной переменной, характеризующей частоту $\omega {\kern 1pt} .$

Параметр ${{\nu }^{{(s)}}},$ принимающий значения в промежутке $0 \leqslant {{\nu }^{{(s)}}} \leqslant 1,$ определяет степень отражения поля волны излучения от рассматриваемой системы параллельных атомных плоскостей монокристалла, которая обусловливается характером интерференции волн, отраженных от разных плоскостей. Параметр $\varepsilon $ для фиксированного значения ${{\theta }_{{\text{B}}}}$ определяет ориентацию входной поверхности мишени относительно отражающей системы параллельных атомных плоскостей монокристалла.

Подставляя (2) в известное выражение для спектрально-угловой плотности рентгеновского излучения:

получаем выражение для спектрально-угловой плотности ДПИ релятивистского электрона, учитывающие отклонение направления его скорости ${\mathbf{V}}$ относительно оси электронного пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ (угол ${\mathbf{\psi }}({{\psi }_{ \bot }},{{\psi }_{{||}}})$): где

4. УЧЕТ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В МОНОКРИСТАЛЛЕ

Рассмотрим один электрон, движущийся в составе падающего на монокристаллическую мишень пучка электронов под углом ${\mathbf{\psi }}$ относительно оси пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}}.$ В результате многократного рассеяния на атомах мишени направление его движения по отношению к оси пучка будет изменяться как функция пройденного в мишени пути $t{\text{:}}$ ${\mathbf{\psi }} \to {\mathbf{\psi }} + \Delta {\mathbf{\psi }}(t).$

Компоненты $\Delta {{\psi }_{ \bot }},$ $\Delta {{\psi }_{\parallel }}$ угла рассеяния $\Delta {\mathbf{\psi }}$ будем описывать функцией Гаусса, меняющейся с длиной пути прохождения в мишени $t{\text{:}}$

${{\psi }_{0}}$ – начальная расходимость электронного пучка,

$\psi _{s}^{2} = \frac{{E_{s}^{2}}}{{{{m}^{2}}{{\gamma }^{2}}}}\frac{1}{{{{L}_{R}}}}{{\left( {1 + 0.038{\text{ln}}\left( {\frac{t}{{{{L}_{R}}}}} \right)} \right)}^{2}}$ – средний квадрат угла многократного рассеяния электрона на единице длины как функция пути $t,$ пройденного электроном в монокристаллической мишени [13], ${{E}_{s}} \approx 21\,\,{\text{МэВ}}.$

В результате усреднения выражения (5) для спектрально-угловой плотности ДПИ одного электрона, полагая ${{\psi }_{0}} = 0$ в (7), получим:

где $\Delta {\text{*}}({{\theta }_{ \bot }},{{\theta }_{\parallel }},{{\psi }_{ \bot }} + \Delta {{\psi }_{ \bot }},{{\psi }_{\parallel }} + \Delta {{\psi }_{\parallel }})$ = γ^–2 + $ + \,\,{{({{\theta }_{ \bot }} - ({{\psi }_{ \bot }} + \Delta {{\psi }_{ \bot }}))}^{2}}$ + ${{({{\theta }_{{||}}} + ({{\psi }_{\parallel }} + \Delta {{\psi }_{\parallel }}))}^{2}}.$

По величине $t,$ которая представляет путь, пройденный электроном в мишени, мы проводим интегрирование в пределах от нуля до полной длины пути электрона в мишени ${{L}_{e}}.$

Проанализируем влияние многократного рассеяния электронов атомами среды на спектрально-угловую плотность дифрагированного переходного излучения для различных значений энергии электрона, которая определяется Лоренц-фактором $\gamma .$ Угловая плотность ПИ на передней границе мишени, согласно (5а) пропорционально следующему выражению:

Первый член в скобке соответствует полю электрона в вакууме, второй – полю электрона в монокристалле. Видно, что в случае большой энергии электронов $\left( {{{\gamma }^{{ - 2}}} \ll \left| {\chi _{0}^{'}} \right|} \right),$ подавляющий вклад в угловую плотность ДПИ, а значит и ПИ, дает первое слагаемое, соответствующее полю электрона в вакууме. Так как максимум угловой плотности ДПИ соответствует углу $\theta \approx {{\gamma }^{{ - 1}}},$ то многократное рассеяние в веществе в этих условиях никак не повлияет на угловую плотность ДПИ (или ПИ), поскольку второе слагаемое ничтожно мало по сравнению с первым. Так как эксперименты по изучению свойств ПИ, ДПИ проводятся в основном при высоких энергиях $\left( {{{\gamma }^{{ - 2}}} \ll \left| {\chi _{0}^{'}} \right|} \right),$ то влияние многократного рассеяния на ДПИ (или ПИ) в этом случае не существенно и считается отсутствующим.

В случае же малых энергий электронов $\left( {{{\gamma }^{{ - 2}}} \geqslant \left| {\chi _{0}^{'}} \right|} \right),$ в выражении (9) второе слагаемое по величине будет сопоставимо с первым, что приведет практически к отсутствию ДПИ (и ПИ). Многократное рассеяние может существенно повлиять на угловую плотность ДПИ (и ПИ), поскольку приведет к уменьшению второго слагаемого в (9) и ослаблению компенсации первого слагаемого вторым. Таким образом, многократное рассеяние при малых энергиях релятивистского электрон $\left( {{{\gamma }^{{ - 2}}} \gg \left| {\chi _{0}^{'}} \right|} \right)$ может на порядки увеличить угловую плотность ДПИ. Данный эффект многократного рассеяния в угловой плотности ДПИ (и ПИ) ранее никем не заявлялся и не исследовался ни теоретически, ни экспериментально.

Переходное излучение формируется в виде разности между полем электрона, которое он имел при влете в мишень, и экранированным полем электрона в среде. Многократное рассеяние может влиять только на составляющую поля волны переходного излучения, которая формируется при движении электрона в веществе мишени. В этой связи в выражении для спектрально-угловой плотности ДПИ (8), учитывающем многократное рассеяние электрона, мы ввели замену $\Delta \to \Delta {\text{*}}$ только во втором слагаемом, описывающем поле электрона в материале мишени.

Усредняя выражение (8) по всем возможным начальным прямолинейным траекториям электрона в пучке, получим выражение, описывающее спектрально-угловую плотность ДПИ пучка релятивистских электронов, с учетом многократного рассеяния в монокристалле, нормированную на один электрон:

В выражении (10) излучение рассматривается в виде суммы вкладов электронов пучка с различными значениями углов падения относительно оси пучка ${\mathbf{\psi }},$ которые задаются нормированной функцией углового распределения пучка электронов. Вклад многократного рассеяния представлен добавкой к ширине распределения $\psi _{0}^{2} \Rightarrow \psi _{0}^{2} + \psi _{s}^{2}t.$ ${{\psi }_{0}}$ – начальная расходимость электронного пучка. Фактически, таким образом мы проводим усреднение угловой плотности ДПИ по расширяющемуся пучку прямолинейных траекторий излучающих электронов. Выражения (8) и (10), описывающее спектрально-угловую плотность ДПИ с учетом многократного рассеяния релятивистских электронов в монокристалле, является главным результатом настоящей работы.

Поскольку электроны в пучке возбуждают излучение не когерентно, то мы можем рассматривать влияние многократного рассеяния на угловую плотность ДПИ на примере одного излучающего электрона, пересекающего переднюю границу монокристаллической мишени вдоль оси ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ (${\mathbf{\psi }} = 0$). Численные расчеты спектрально-угловой плотности ДПИ без учета многократного рассеяния проведем по формуле (5), а с учетом по формуле (8). Будем рассматривать релятивистский электрон с энергией $\gamma = 100,$ пересекающий монокристалл углерода $С(111),$ с параметрами процесса: ${{\theta }_{{\text{B}}}} = 16.2^\circ ,$ ${{\omega }_{{\text{B}}}} = 10{\kern 1pt} 900\,\,{\text{эВ}},$ $\varepsilon = 1.$

На рис. 2 представлены кривые, построенные по формуле (5), описывающие спектрально-угловую плотность ДПИ при фиксированном угле наблюдения без учета многократного рассеяния. Рисунок демонстрирует рост амплитуды спектра ДПИ при увеличении толщины мишени и насыщении роста приблизительно при $L = 5\,\,мкм.$ Рассматриваемые условия показали, что такая толщина монокристалла является предельной для генерации ДПИ.

На рис. 3 представлены кривые, описывающие спектрально-угловые плотности ДПИ для различных углов наблюдения ${{\theta }_{ \bot }},$ при ${{\theta }_{\parallel }} = 0.$ Из рисунка видно, что спектрально-угловая плотность максимальна при угле приближенном ${{\theta }_{ \bot }} = 6\,\,{\text{мрад}}{\text{.}}$

На рис. 4 представлены кривые, построенные по формулам (5) и (8), которые описывают спектр ДПИ с учетом (пунктирная кривая) и без учета (сплошная кривая) многократного рассеяния электрона на атомах мишени толщиной $L = 5\,\,мкм$ и угле наблюдения ${{\theta }_{ \bot }} = 6\,\,{\text{мрад,}}$ ${{\theta }_{\parallel }} = 0.$ Из рисунка следует, что в рассматриваемых условиях учет многократного рассеяния дает приблизительно пятикратное увеличение амплитуды спектрально-угловой плотности ДПИ по сравнению с расчетом без учета многократного рассеяния. Кривые на рис. 2–4 построены для энергии электрона, соответствующей Лоренц-фактору ($\gamma = 100$). Аналогичные кривые на рис. 5–7 построены для большей энергии электрона ($\gamma = 300$). При такой энергии электрона (рис. 7) влияние многократного рассеяния электронов на атомах среды на спектрально-угловую плотность излучения становится значительно более слабым. В случае увеличения энергии электронов $\gamma > 300$ влияние многократного рассеяния на спектрально-угловую плотность ДПИ будет пренебрежимо малым.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе развита динамическая теория дифрагированного переходного излучения, генерируемого пучком релятивистских электронов в монокристаллической пластине в геометрии рассеяния Брэгга в условиях многократного рассеяния падающих частиц. Получены выражения, описывающие спектрально-угловую плотность ДПИ как с учетом, так и без учета многократного рассеяния электронов пучка атомами мишени. Исследовано влияние многократного рассеяния электрона на спектрально-угловую плотность ДПИ. Расчеты угловой спектрально-угловой плотности ДПИ демонстрируют рост угловой плотности ДПИ при увеличении толщины мишени. Главным новым результатом работы является установление факта значительного роста спектрально-угловой плотности дифрагированного переходного излучения в условиях многократного рассеяния излучающих электронов на атомах монокристаллической мишени.

Результаты данной работы могут быть полезными при постановке новых экспериментов по исследованию свойств ПРИ и ДПИ и интерпретации результатов экспериментов при небольших энергиях электронов ($\gamma \leqslant 100$), в которых принципиально важно правильно учитывать вклад ДПИ.