Акустический журнал, 2019, T. 65, № 2, стр. 166-181

Исходные уравнения

Вначале рассмотрим задачу в базовой постановке [13]. Плоскость $(x,\,\,y)$ декартовых координат совпадает с границей $z = 0$ твердое тело– жидкий слой. Ось z направлена вертикально вниз. Верхняя граница жидкого слоя – это плоскость $z = - h.$ Акустические поля в такой системе рассматривались ранее и описаны, например, И.А. Викторовым [13]. Однако для новых приложений требуется некоторое развитие теории. Здесь нужно кратко повторить основные известные результаты, чтобы затем их обобщить.

Смещение U элемента твердой среды выражается через скалярный $\Phi $ и векторный ${\mathbf{\Psi }}$ потенциалы:

При этом для двумерной задачи (в которой смещение вдоль координаты y отсутствует, а потенциалы от y не зависят) отлична от нуля только одна y-компонента векторного потенциала ${\mathbf{\Psi }} = \left( {0,\Psi ,0} \right)$ и смещения по осям x и z имеют вид: Потенциалы удовлетворяют волновым уравнениям, а для монохроматических волн – уравнениям Гельмгольца: В уравнениях (1) введены волновые числа: ${{k}_{l}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{l}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{l}}}}$ – для продольных волн и ${{k}_{t}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{t}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{t}}}}$ – для поперечных волн. Скорости волн выражаются через параметры Ламэ λ и μ: ${{c}_{l}} = \sqrt {{{\left( {\lambda + 2\mu } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\lambda + 2\mu } \right)} \rho }} \right. \kern-0em} \rho }} ,$ ${{c}_{t}} = \sqrt {{\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu \rho }} \right. \kern-0em} \rho }} .$

Решения уравнений (1) отыскиваются в виде плоских волн, бегущих вдоль горизонтальной оси x и убывающих с координатой z:

Здесь $q = \sqrt {{{k}^{2}} - k_{l}^{2}} ,$ $s = \sqrt {{{k}^{2}} - k_{t}^{2}} $ – масштабы убывания продольной и поперечной компонент поля вглубь подложки. Согласно (2), отыскивается волна с частотой ω и горизонтальным волновым числом k, которое должно быть найдено из дисперсионного уравнения.

Рассмотрим теперь поле в жидком слое $ - h < z < 0.$ Вначале считаем жидкость идеальной и пользуемся линеаризованными уравнениями Эйлера и непрерывности:

Здесь ${\mathbf{u}}$ – вектор колебательной скорости частиц жидкости, ${{\rho }_{0}}$ и $\rho {\text{'}}$ – равновесная плотность и ее акустическое приращение, $p{\text{'}} = \rho {\text{'}}c_{0}^{2}$ – акустическое давление, ${{c}_{0}}$ – скорость звука.

Для жидкости тоже удобно ввести скалярный потенциал φ. Соответствующие выражения для акустических переменных и волновое уравнение, получаемые из (3), имеют вид:

Решение (4) ищем в виде бегущей вдоль границы волны с неизвестной зависимостью $D(z)$ амплитуды от вертикальной координаты: Здесь ${{k}_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{0}}}}$ – волновое число в жидкости. Определяя функцию $D(z),$ запишем решение: Таким образом, акустическое поле в подложке описывается потенциалами (2), поле в жидком слое – потенциалом (5). Связи между амплитудами волн и волновое число k должны быть найдены из характеристической системы и дисперсионного уравнения, отвечающих граничным условиям задачи.

Нужно удовлетворить следующим условиям.

1. На границе раздела $z = 0$ равны смещения по вертикали, то есть

Это соотношение должно быть выполнено при любых $x,t.$ Следовательно, получаем связь между константами $A,B,{{C}_{1}},{{C}_{2}}:$

В дальнейшем экспоненциальный множитель, отмечающий распространение волны вдоль границы раздела, будем опускать.

2. На границе $z = 0$ равны нормальные напряжения: ${{\sigma }_{{zz}}} = - p.$ Нормальное напряжение в твердом теле:

Давление в жидкости на границе: Приравнивая два последних выражения, получаем вторую связь между константами:

3. На границе $z = 0$ касательные напряжения в твердом теле равны нулю, поскольку жидкость считается идеальной. Касательное напряжение:

Отсюда получаем третью связь:

4. На свободной поверхности жидкости – верхней границе жидкого слоя $z = - h$ – акустическое давление $p{\text{'}}$ равно нулю:

Отсюда получается последняя – четвертая – связь:

Итак, есть четыре однородных уравнения (6)–(9) для определения неизвестных амплитуд A, B, ${{C}_{1}},$ ${{C}_{2}}$ и волнового числа k. Дисперсионное уравнение находится из условия равенства нулю детерминанта этой системы:

Заметим, что уравнение (10) отличается от дисперсионного уравнения (1.58) в книге [13]. Если в (10) плотность жидкости ${{\rho }_{0}}$ или толщину слоя h положить равными нулю, получается обычное дисперсионное уравнение для рэлеевских волн, бегущих вдоль границы твердое тело–вакуум. Правая часть (10) учитывает влияние жидкого слоя.

Верхняя строка в правой части (10) соответствует такому решению этого уравнения, при котором скорость волны в системе больше скорости звука в жидкости, но меньше скоростей продольной и поперечной волн в твердом теле: ${{c}_{0}} < c < {{c}_{t}} < {{c}_{l}}.$ Нижняя строка в правой части (10) соответствует скорости волны, меньшей скорости звука в жидкости: $c < {{c}_{0}}.$ При этом $r = ir*,$ $r* = \sqrt {{{k}^{2}} - k_{0}^{2}} .$

Дисперсионные зависимости

Подставляя в (10) выражения $k = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c},$ ${{k}_{l}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{l}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{l}}}},$ ${{k}_{t}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{{c}_{t}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{t}}}},$ q = $\omega \sqrt {{{c}^{{ - 2}}} - c_{l}^{{ - 2}}} ,$ s = $\omega \sqrt {{{c}^{{ - 2}}} - c_{t}^{{ - 2}}} ,$ $r = \omega \sqrt {c_{0}^{{ - 2}} - {{c}^{{ - 2}}}} ,$ запишем дисперсионное уравнение (10) в виде:

Здесь $H = {{{{\omega \,h} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \,h} c}} \right. \kern-0em} c}}_{0}}$ – волновая толщина слоя. Поскольку переменная H содержит частоту, возникает дисперсия для этого типа волн.

Анализ уравнения (11) удобно провести, нормируя все скорости в формуле (11) на скорость поперечной волны ${{c}_{t}}.$ Чтобы избежать неточных утверждений, имеющихся в литературе [13], рассмотрим вначале простой частный случай, положив ${{c_{l}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c_{l}^{2}} {c_{t}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{t}^{2}}} = 2.$ В этом случае корень дисперсионного уравнения, отвечающий рэлеевской волне (бегущей вдоль границы твердого полупространства с вакуумом), находится аналитически: ${{c_{R}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c_{R}^{2}} {c_{t}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{t}^{2}}}$ ≡ X_R = $3 - \sqrt 5 \approx 0.764.$ Дисперсионное уравнение (11) при этом упрощается. Явное выражение для волновой толщины слоя имеет вид

Здесь мы обозначили $X = {{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {c_{t}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{t}^{2}}}$ и положили для определенности ${{c_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c_{0}^{2}} {c_{t}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{t}^{2}}} \equiv {{X}_{0}} = 0.5.$ Величина ${{X}_{S}} \approx 0.442$ равна значению X, при котором аргумент гиперболического арктангенса в (12) обращается в единицу. Соответствующая скорость волны оказывается равной скорости волны Стоунли ${{c}_{S}}$ на границе твердого и жидкого полупространств. Она, как известно [13], несколько меньше, чем скорость волны в неограниченной жидкости (${{c}_{S}} < {{c}_{0}}$), для которой $X = {{X}_{0}} = 0.5$ в формуле (12). Точка ${{X}_{0}} = 0.5$ разделяет области применимости первой и второй формул (12). Значение $\,n = 0$ отвечает нулевой моде, а $\,n = 1,\,2,...$ – модам с более высокими номерами.

Дисперсионные кривые, рассчитанные по формулам (12), построены на рис. 1 для мод с номерами 0, 1 и 2. Нужно обратить внимание, что скорости распространения высших мод при увеличении толщины слоя H стремятся к скорости звука в жидкости, в то время как для нулевой моды скорость стремится к скорости волны Стоунли.

На рис. 2 иллюстрирована дисперсионная зависимость для использованной в экспериментах [14] системы: пленка водного раствора на подложке из ниобата лития. Заданы следующие параметры. Жидкость (вода): плотность ${{\rho }_{0}} = 1$ г/см³, скорость звука ${{c}_{0}} = 1500$ м/с. Подложка (ниобат лития): плотность $\rho = 4.7$ г/см³, скорость продольных волн ${{c}_{l}} = 7250$ м/с, скорость поперечных волн ${{c}_{t}} = 3750$ м/с, скорость рэлеевской волны ${{c}_{R}} = 3480$ м/с. Частота волны 15 МГц. Изображена зависимость от толщины жидкого слоя H относительного отклонения скорости волны c от скорости рэлеевской волны ${{c}_{R}}.$ При малых H для основной моды эти скорости различаются слабо. При увеличении H скорость c уменьшается, и при больших толщинах стремится к скорости волны Стоунли ${{c}_{S}},$ которая для заданных параметров очень близка к скорости звука в жидкости ${{c}_{0}}.$ Наряду с этим, при увеличении H возникает следующая (первая) мода, ее скорость при $H \to \infty $ стремится к скорости звука в жидкости. В точке рождения первой моды ее скорость равна скорости поперечных волн в подложке ${{c}_{t}}.$ Обычно в экспериментах толщина слоя оказывается много меньшей длины волны ($H \ll 1$), и скорость $c$ мало отличается от скорости рэлеевской волны ${{c}_{R}}.$ Таким образом, можно ожидать, что период образующейся структуры из наночастиц будет равен примерно половине длины рэлеевской волны.

Учет поверхностного натяжения

На характер действующих на взвешенные частицы радиационных сил и особенности формирующихся упорядоченных структур могут повлиять дополнительные факторы, обычно не учитываемые при расчете поверхностных волн. Один из таких факторов – поверхностное натяжение жидкого слоя. При его учете в базовой задаче изменится условие 4 (формула (9)) на свободной поверхности жидкости. Остальные граничные условия (формулы (6)–(8)) останутся прежними. Новое условие – давление на свободной границе $z = - h$ при наличии поверхностного натяжения – определяется формулой Лапласа:

Здесь $\sigma $ – коэффициент поверхностного натяжения, $\xi $ – смещение поверхности. Продифференцируем (13) по времени. Затем выразим давление p в (13) через потенциал скорости φ и воспользуемся очевидным соотношением ${{\partial \xi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \xi } {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}} = {{u}_{z}} = {{\partial \varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \varphi } {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}}$ для вертикальной компоненты скорости. В результате получим: Здесь также учтено, что от координаты y смещение не зависит. Подставляя выражение для потенциала (5) в граничное условие (14), придем к уравнению ${{\rho }_{0}}{{\omega }^{2}}D + \sigma {{k}^{2}}D{\text{'}} = 0,$ откуда следует обобщение соотношения (9) между константами: В соотношении (15) введена эффективная толщина слоя: Поскольку выражение (15) по форме совпадает с (9), то в результате дисперсионное уравнение с учетом поверхностного натяжения будет иметь такой же вид (10), как и в задаче без его учета, но при замене реальной высоты жидкого слоя на эффективную высоту $h \to {{h}_{{{\text{eff}}}}}.$

Выражение (17) показывает, что поверхностное натяжение приводит к уменьшению действующей высоты жидкого слоя. Проанализируем возможные эффекты, вызванные поверхностным натяжением. Учитывая выражение для волнового числа r, перепишем величину $\Sigma $ через параметры задачи $\Sigma = \frac{\sigma }{{{{\rho }_{0}}{{c}^{2}}}}\frac{{2\pi f}}{{{{c}_{0}}}}\sqrt {1 - {{c_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c_{0}^{2}} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}}} .$ Переходя к безразмерным величинам, использованным при записи выражения (12), получим:

При $X < {{X}_{0}}$ по аналогии с (12) нужно изменить знак подкоренного выражения в (18) и заменить в (17) функцию arctg на arth. Порядок величины $\Sigma $ определяется первым множителем в (18). Зададим следующие значения параметров, характерные для эксперимента [14]: частота волны $f = 15$ МГц, жидкость – вода с плотностью ${{\rho }_{0}} = 1000$ кг/м³ и скоростью звука ${{c}_{0}} = 1500$ м/с. Коэффициент поверхностного натяжения для воды при температуре 20°С равен $\sigma = 0.72$ Н/м. Тогда оказывается $\Sigma \sim {{10}^{{ - 5}}}.$ Заменяя в этом случае $arctg\Sigma $ значением его аргумента, получим выражение для эффективной высоты жидкого слоя ${{h}_{{{\text{eff}}}}} \approx h - {\Sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\Sigma r}} \right. \kern-0em} r}$ = $h - \frac{\sigma }{{{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}\frac{{{{X}_{0}}}}{X}.$ Поправка на высоту жидкого слоя в этом случае уже не зависит от частоты, а ее характерное значение для выбранных параметров задачи составляет $\delta h = {\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma {{{\rho }_{0}}{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{0}}{{c}^{2}}}}\sim {{10}^{{ - 9}}}$ м. Наибольшие характерные значения коэффициента поверхностного натяжения для классических материалов составляют порядка 5 Н/м (ртуть при 25°С, жидкое олово при 400°С), что увеличивает величину эффекта приблизительно на порядок, однако и в этом случае поверхностное натяжение оказывает несущественное влияние. Согласно (18) для достижения максимально возможного проявления влияния поверхностного натяжения нужно, помимо увеличения соответствующего коэффициента σ, увеличивать частоту, например, переходить к гиперзвуку, уменьшать плотность и скорость звука в жидком слое. Все это обеспечивает максимальное значение арктангенса, равное только ${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2},$ так что максимальное изменение действующей высоты жидкого слоя определяется величиной r : ${{h}_{{{\text{eff}}}}} = h - {{r}^{{ - 1}}}\operatorname{arctg} \Sigma \to h - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {2r}}} \right. \kern-0em} {2r}},$ ${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {2r}}} \right. \kern-0em} {2r}} = {{{{c}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{0}}} {4f}}} \right. \kern-0em} {4f}}\sqrt {1 - {{{{X}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{X}_{0}}} X}} \right. \kern-0em} X}} $ и для параметров задачи ${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi {2r}}} \right. \kern-0em} {2r}}\sim {{10}^{{ - 4}}}$ м. Таким образом, влиянием поверхностного натяжения на динамику процессов в жидком слое действительно можно пренебречь. Однако в особых случаях, например, когда при высыхании раствора взвешенные частицы образуют полимерную пленку малой толщины, а эффективный коэффициент поверхностного натяжения может существенно возрастать, учет натяжения может представить интерес и влиять на характеристики формирующейся структуры.

Влияние диссипации звука в жидкости

Еще одним фактором, способным влиять на структуру полей в рассматриваемой системе, является затухание звука в жидкости, обусловленное ее вязкостью. Для точного расчета полей с учетом вязкости необходимо рассматривать расширенную по сравнению с рассмотренной выше системой (3) систему уравнений гидродинамики, включающую уравнение Навье–Стокса. В этом случае полное акустическое поле в жидком слое будет также складываться как из потенциальной, так и вихревой компонент, как и в твердой подложке. Отличие только в том, что сдвиговые компоненты акустического поля в жидкости обусловлены вязкостью и поэтому быстро затухают. Однако наличие вязкости и вихревой компоненты изменяет граничные условия и их количество. А именно, появляется ненулевая правая часть в условии равенства касательных напряжений на границе твердая подложка–жидкий слой, а также добавляются два новых условия – равенства касательных смещений на границе подложка–жидкий слой и равенства нулю касательных напряжений на верхней границе жидкого слоя. В результате для нахождения дисперсионного уравнения получается детерминант размером не 4 × 4, как выше, а уже 6 × 6. Нахождение скорости поверхностной волны в этом случае требует использования упрощающих предположений или численных методов.

Расчет полей ПАВ на границе вязкой жидкости в более простой постановке – на границе двух полупространств и для волн Лэмба – проведен в ряде работ, в частности [15–17]. В этих работах показано, что, во-первых, для слабовязких жидкостей, например воды, изменение дисперсионных характеристик, скоростей ПАВ при наличии вязкости незначительно. Это означает, что при расчете амплитуд акустического поля для прикладных целей можно пользоваться упрощенными моделями, две из которых будут рассмотрены ниже. С другой стороны, учет вихревых компонент приводит к значительному возрастанию затухания ПАВ, что важно при рассмотрении волновых процессов в протяженных системах.

Модель 1. Учет затухания звука в объеме жидкого слоя

При наличии затухания в объеме жидкости в уравнении движения (3) появится дополнительное слагаемое, содержащее b – эффективный коэффициент вязкости. Волновое уравнение (4) примет вид:

Изменится также и связь между акустическим давлением и потенциалом скорости: $p{\text{'}} = - {{\rho }_{0}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + b\Delta \varphi .$ Соответственно, вместо граничного условия на свободной поверхности жидкости, приводящего к (9), получим ${{\left. {p{\text{'}}} \right|}_{{z = - h}}} = {{\left. {\left( {i\omega {{\rho }_{0}}\varphi + b\Delta \varphi } \right)} \right|}_{{z = - h}}} = 0.$

Решение уравнения (19) имеет форму (5), однако вместо параметра r в нем следует положить ${{r}_{1}} = \sqrt {k_{1}^{2} - {{k}^{2}}} ,$ где $k_{1}^{2} = k_{0}^{2}{{\left( {1 - i\delta } \right)}^{{ - 1}}}$ – комплексное волновое число в жидкости. Такую же замену $r \to {{r}_{1}}$ следует произвести и в дисперсионном уравнении (10). Параметр $\delta = {{\omega \,b} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \,b} {{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}$ мал, если поглощение в жидкости на расстояниях порядка длины волны можно считать слабым. Например, для жидкого слоя $b \approx {{10}^{{ - 3}}}$ Па с и при характерных мегагерцовых частотах получаем $\delta \sim {{10}^{{ - 4}}}.$ Таким образом, применение упрощенной модели в данном случае обосновано.

Поскольку основной интерес представляет тонкий слой – высыхающая пленка жидкости, ограничимся рассмотрением нулевой моды в дисперсионном уравнении (10), (11). Разлагая $\operatorname{tg} \left( {{{r}_{1}}h} \right)$ при малых толщинах слоя в ряд и полагая значения параметров теми же, что и в формуле (12), получим упрощенное дисперсионное соотношение

Видно, что единственный мнимый член в правой части (19) пропорционален не только малому параметру δ, но и кубу малой волновой толщины слоя H. Такую же зависимость от параметров δ и H будут иметь мнимые добавки к $X,\,\,c$ и волновому числу. Это означает, что при высыхании жидкой пленки затухание быстро уменьшается и становится пренебрежимо малым. Очевидно, что затухание в системе во всех случаях меньше, чем в неограниченной жидкости, поскольку основная часть волновой энергии сосредоточена в идеальной среде – твердом полупространстве.

Найдем приближенное выражение для коэффициента затухания волны при произвольной толщине жидкого слоя. Представим волновое число в виде и подставим его в уравнение (10), считая, что действительная часть $k{\text{'}}$ удовлетворяет уравнению (10) без диссипации. После вычислений получаем выражение для мнимой части волнового числа:

Здесь введены обозначения ${{X}_{L}} = {{c_{l}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c_{l}^{2}} {c_{t}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{t}^{2}}},$

При малых H величина Q стремится к нулю со стороны положительных значений. Это означает, что мнимая добавка к волновому числу положительна и при записи фазового множителя в виде $\exp \left( { - i\omega t + ikx} \right)$ = определяет затухание волны по мере распространения.

На рис. 3 изображены рассчитанные по точной формуле (10) с учетом замены $r \to {{r}_{1}}$ дисперсионные кривые (зависимости скорости звука от толщины слоя) при наличии затухания в жидкости для двух значений δ. По оси абсцисс отложена нормированная высота жидкого слоя H, по оси ординат – относительное отклонение скорости граничной волны от скорости рэлеевской волны (на границе твердого тела и вакуума) ${{\left( {c - {{c}_{R}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {c - {{c}_{R}}} \right)} {{{c}_{r}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{r}}}}.$ Сплошная линия – дисперсионные кривые для идеальной жидкости, квадратики – для вязкой жидкости. Видно, что при $\delta = 0.01$ дисперсионные кривые практически не изменились, а при $\delta = 0.05$ наиболее заметно изменяются зависимости для высших мод. Нулевая мода практически не изменилась. На рис. 4 изображена зависимость мнимой добавки к скорости c", ответственной за затухание и вводимой в соответствии с выражением от толщины жидкого слоя. На всех графиках видны три моды. Таким образом, затухание в жидкости сильнее сказывается на высших модах, и практически не сказывается на дисперсионной кривой первой моды, затухание высших мод также оказывается более значительным.

Модель 2. Учет вязких напряжений на границе жидкого слоя и подложки

Сдвиговая вязкость создает дополнительный механизм взаимодействия волн на границе жидкого слоя и подложки. Нужно отметить, что при предельном переходе к среде с нулевым сдвиговым модулем или нулевой вязкостью первым выпадает условие равенства касательных смещений на границе. Поэтому основные эффекты содержатся в граничном условии равенства касательных напряжений при $z = 0.$ При учете вязких сдвиговых напряжений вместо уравнения (8) получим:

После подстановки в эту формулу выражений (2), (5) для потенциалов и использования первого граничного условия (6) удается получить связь

Используя остальные граничные условия, найдем константы и затем – дисперсионное уравнение

Вклад касательных напряжений содержится в левой части (22) и определяется параметром $\beta $, который обычно мал. Оценим его характерное значение. Для воды коэффициент вязкости $\eta \sim {{10}^{{ - 3}}}$ Па с, сдвиговый модуль твердой подложки $\mu = \rho c_{t}^{2}$ и для ниобата лития $\mu \approx 4.7 \times {{10}^{3}} \times {{3.8}^{2}} \times {{10}^{6}} \approx 6.8 \times {{10}^{{10}}}$ Па. На частоте $f = 15$ МГц получаем $\beta \sim {{10}^{{ - 6}}}.$ С учетом малости β и волновой толщины H жидкого слоя получается дисперсионное соотношение, аналогичное (19):

Заменим в соотношении (23) X на $X\left( {1 + i\Delta } \right),$ где Δ – малая добавка. После вычисления Δ удается рассчитать коэффициент затухания – мнимую часть волнового числа:

Видно, что при малой толщине жидкого слоя волна затухает примерно так, как затухала бы сдвиговая волна в твердом теле с вязкостью, равной вязкости жидкости.

Для произвольных значений толщины жидкого слоя можно получить следующее выражение для коэффициента затухания:

где нужно подставить волновое число k, найденное из уравнения (10).

Таким образом, во всех случаях коэффициент затухания оказывается достаточно малым, что позволяет для практических расчетов использовать упрощенные подходы для его расчета, не привлекая полную схему с учетом вихревых компонент акустического поля в вязкой жидкости.

Акустическое поле в жидком слое

Поскольку потенциал дается выражением (5), определив константы ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}},$ можно записать:

Из формулы (24) находятся компоненты колебательной скорости: Таким образом, амплитуды горизонтальной и вертикальной компонент скорости равны

Стоячая волна в жидком слое

Пусть теперь по подложке распространяются две встречные волны. Потенциал волны, бегущей в положительном направлении оси x, определяется выражением (24). Волну, распространяющуюся в отрицательном направлении $( - x),$ можно получить, произведя в (24) формальную замену $k \to - k.$ Суммарный потенциал равен:

Потенциал (25) соответствует стоячей волне с амплитудой, периодически зависящей от горизонтальной координаты x.

Из формулы (25) находятся действительные компоненты колебательной скорости и акустическое давление:

Здесь введено обозначение для амплитудного множителя:

Затухание приведет к изменению волновых чисел k и r, каждое из которых получает мнимую добавку. Полученные выше выражения для комплексных амплитуд при учете только объемного затухания сохранятся, однако при переходе к действительным величинам необходимо явно выписать все мнимые добавки. В общем случае величина $D\left( z \right)$ получит мнимую добавку $i\Delta D,$ а профиль амплитуды вдоль горизонтальной оси будет определяться выражением = – В результате для потенциала по аналогии с (25) можно записать выражение

Таким образом, затухание приводит к появлению второй гармонической составляющей, т.е. к появлению зависящего от координаты сдвига фазы. Это может повлиять на характер формирования пространственной структуры.

Характер движения частиц малого размера в жидкости

Радиационное давление звука описано во многих обзорах (см., например, [18]). Давление, действующее со стороны акустического поля произвольной конфигурации на взвешенную частицу, рассчитано в работе [19]. Причиной появления радиационной силы [19] является реакция частицы на рассеяние падающей волны. Однако для частиц малого размера такой механизм, видимо, не является основным. Как известно, доля рассеянной частицей волновой энергии пропорциональна ${{\left( {kR} \right)}^{4}}$, где R – радиус частицы (см., например, [20]). Например, для частиц полистирола с радиусом 100 нм, облучаемых волной на частоте 15 МГц [14], этот параметр имеет порядок 10^–9. Поэтому преобладающим оказывается следующий механизм: частицы, ввиду их малого размера, могут полностью увлекаться акустическим течением в жидкости и перемещаться вместе с ней.

Рассмотрим частицу малого размера в колеблющейся жидкости. Уравнение движения имеет вид (см., например, [21]):

Здесь ${{X}_{S}}$ – смещение частицы, $\,\,\xi $ – акустическое смещение жидкости в месте нахождения частицы, ${{F}_{{{\text{diss}}}}}$ – диссипативная сила, связанная с обтеканием частицы, F – радиационная сила. Если частица имеет сферическую форму, то где ${{m}_{S}},\,\,R$ – масса частицы и ее радиус, ${{m}_{0}}$ – масса вытесненной жидкости, ${{\rho }_{S}},\,\,{{\rho }_{0}}$ – соответствующие плотности. Если плотности различны, в акустическом поле на частицу действуют силы, как не зависящие от вязкости среды, так и зависящие от нее.

Переходя в (27) к скоростям частицы $v = {{d{{X}_{S}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{X}_{S}}} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ и жидкости $u = {{d\xi } \mathord{\left/ {\vphantom {{d\xi } {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ и конкретизируя выражение для диссипативной силы [21], получим уравнение:

Рассмотрим задачу в отсутствие радиационной силы. Тогда сила в правой части состоит из трех частей. Первое слагаемое является источником вынужденного движения частицы. Второе слагаемое отвечает за затухание относительного движения частицы, третье представляет добавку к инерционному члену. При учете только первого слагаемого скорость частицы получает дополнительную поправку по сравнению со скоростью частиц среды, пропорциональную разности плотностей. При учете диссипативной силы решение имеет структуру вида

где ${{v}_{0}}$ и ${{u}_{0}}$ – начальные амплитуды скорости частицы и жидкости, γ – комбинация параметров среды, определяющая вынужденное движение частицы, ${{t}_{0}}$ – характерное время затухания:

Отсюда видно, что собственное движение частицы на больших временах затухает. Для случая изменения скорости жидкости по гармоническому закону ${{u}_{0}}{{e}^{{i\omega t}}}$ коэффициент перед вынужденным решением равен $\gamma = {{i{{\omega }_{0}}{{t}_{0}}{{u}_{0}}m{\text{'}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{\omega }_{0}}{{t}_{0}}{{u}_{0}}m{\text{'}}} {\left( {1 - i{{\omega }_{0}}{{t}_{0}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {1 - i{{\omega }_{0}}{{t}_{0}}} \right)}}.$ Если ${{\omega }_{0}}{{t}_{0}} \ll 1,$ то $\gamma \approx i{{\omega }_{0}}{{t}_{0}}{{u}_{0}}m{\text{'}}$ – малая поправка к скорости движения частицы относительно жидкости. В противоположном случае ${{\omega }_{0}}{{t}_{0}} \gg 1,$ т.е. высокочастотного по сравнению с релаксационными процессами воздействия, $\gamma \approx i{{u}_{0}}m{\text{'}}$ и движение определяется только внешним акустическим воздействием и не зависит от характеристик среды.

Оценим характерные значения параметров, определяющих поведение наночастицы в акустическом поле. В первом слагаемом для времени затухания величина ${{2{{\rho }_{0}}{{R}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{\rho }_{0}}{{R}^{2}}} {9\eta }}} \right. \kern-0em} {9\eta }}$ для частиц полистирола оказывается равной $\sim {{10}^{{ - 8}}} - {{10}^{{ - 9}}}$ с, поправка, связанная с частотой, оказывается незначительной (~0.1, вплоть до ~1) и не влияет на порядок величины. Второе слагаемое имеет приблизительно такой же порядок $\sim {{10}^{{ - 8}}}$ с. Такие времена соответствуют частотам порядка сотен мегагерц. Соответственно, для частот порядка десятков мегагерц параметр ${{\omega }_{0}}{{t}_{0}}$ является малой величиной. Это означает, что при воздействии акустических полей с частотами порядка десятков мегагерц и ниже можно пренебречь собственным движением частиц малого размера и считать, что частицы полностью увлекаются жидкостью. При воздействии высокочастотных акустических полей (порядка сотен мегагерц) собственные движения могут оказать влияние на конечную конфигурацию частиц, однако, как уже указывалось, радиационное давление, связанное с рассеянным частицами малого размера полем, в любом случае оказывается малым по сравнению с радиационным давлением на элемент объема жидкости. Поэтому при расчете радиационного давления на частицы следует использовать формулы для давления на элемент объема жидкости, содержащий взвешенные наночастицы.

В стационарном потоке, когда скорости ${{v}_{{st}}},\,\,{{u}_{{st}}}$ от времени не зависят, их разность будет определяться только действием радиационной силы F и силы Стокса. Первая стремится увеличить скорость частиц относительно течения, вторая, напротив, уменьшает ее. Используя формулу Горькова для радиационного давления на частицу в поле стоячей волны [19], приведем уравнение (28) к следующему виду:

Здесь ${{u}_{0}}$ – амплитуда колебательной скорости жидкости. Оценки по этой формуле показывают, что для использованных в экспериментах [14] частиц разность скоростей не превышала ${{10}^{{ - 7}}} - {{10}^{{ - 8}}}$ м/с. Таким образом, гипотеза о практически полном увлечении малых частиц акустическим течением и возможность пренебрежения радиационной силой, действующей непосредственно на частицы, представляется правдоподобной.

Радиационное давление на жидкость

Радиационная сила ${{F}_{i}}$ выражается через тензор радиационных напряжений ${{\Pi }_{{ik}}}$ [22]:

Здесь угловые скобки означают усреднение по периоду акустической волны, ε – параметр нелинейности жидкости. Для ненулевых компонент тензора из (29) следуют выражения: Таким образом, вклад в силу дают как диагональные, так и недиагональные элементы тензора радиационных напряжений. Вычисляя усредненные значения акустических величин, получаем: Соответственно, компоненты тензора радиационных напряжений равны:

Вычислим теперь компоненты радиационной силы:

Выражения (30), (31) удобны для анализа радиационных сил в жидком слое малой толщины, когда скорость поверхностной волны больше скорости звука в жидкости, поскольку в этом случае все коэффициенты положительны и можно легко определить знаки входящих в формулы слагаемых. Множитель в скобках для горизонтальной силы ${{F}_{x}}$ всегда отрицателен для всех значений z, так что направление ${{F}_{x}}$ определяется только горизонтальной координатой $x$. Поскольку зависимость по $x$ периодическая, то образуются максимумы силы и минимумы, в которых сила равна нулю. По-видимому, в этих областях в основном группируются взвешенные частицы. Аналогичный множитель в скобках для вертикальной силы положителен для всех значений x, так что направление вертикальной компоненты силы не зависит от горизонтальной координаты x и определяется только координатой z. Анализ дисперсионных кривых показал, что параметр $rh$ может меняться в пределах от нуля до ${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ с дальнейшим периодическим сдвигом на $\pi n$, n – целое. Это означает, что множитель $\sin 2r\left( {z + h} \right)$ положителен, и вертикальная компонента радиационной силы стремится собрать взвешенные частицы на свободной поверхности жидкости. Это значит, что при уменьшении толщины испаряющегося слоя сгруппированные частицы оседают на поверхность подложки.

Поскольку радиационные силы квадратичны по акустическому полю, то период пространственной структуры, возникающей под их воздействием в горизонтальном направлении, равен не длине акустической волны, а ее половине, так как $2k = 2 \times {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. \kern-0em} \lambda } = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {\left( {{\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)}}.$

Потенциал радиационного давления

Радиационное давление в общем случае является тензорной величиной, однако в данной задаче $rot{\mathbf{F}} = 0,$ т.е. силу радиационного давления можно представить в виде градиента некоторого потенциала ${\mathbf{F}} = - gradV.$ Найдем этот потенциал, используя выражения (30)–(31):

где константа интегрирования введена так, что на поверхности слоя при $z = - h$ гидродинамическое давление, связанное с акустическими течениями (см. следующий раздел) равно нулю. Характерный вид потенциала для рассмотренных выше параметров сред приведен на рис. 5а. На рис. 5б показаны профили потенциала для двух сечений – вблизи границы раздела твердая подложка—жидкий слой и вблизи свободной поверхности жидкого слоя. Сплошная линия соответствует потенциалу вблизи границы раздела сред, пунктирная – вблизи поверхности. Вертикальные линии отмечают положения экстремумов потенциала. Видно, что горизонтальная структура потенциала при изменении вертикальной координаты не изменяется и содержит минимумы, что говорит о возможности сгущения частиц в этих областях. Абсолютные минимумы потенциала находятся вблизи свободной поверхности жидкого слоя, в тоже время вблизи границы раздела сред потенциальная яма оказывается уже. Таким образом, при уменьшении толщины слоя оседающие частицы дополнительно концентрируются в областях минимума потенциала.

Акустические течения, вызванные радиационным давлением

Радиационное давление приводит жидкость в движение, вынуждая ее течь. Структура установившихся течений при малых гидродинамических числах Рейнольдса рассчитывается на основе системы уравнений [23]:

Здесь ${{{\mathbf{U}}}_{{\text{т }}}}$ – скорость акустического течения, P – давление потока. Применяя к первому уравнению (32) операцию rot и учитывая потенциальность радиационной силы ${\mathbf{F}}$, получим бигармоническое уравнение для функции тока:

К уравнениям необходимо добавить следующие граничные условия. На границе $z = 0$ с твердым полупространством скорость течения равна нулю (${{U}_{{{\text{т }}x}}} = {{U}_{{{\text{т }}z}}} = 0$); на свободной границе жидкости $z = - h$ отсутствуют вертикальный поток (${{U}_{{{\text{т }}z}}} = 0$) и давление на поверхность ($P = 0$).

Учитывая структуру рассчитанного поля радиационных сил, ищем решение со следующей зависимостью от горизонтальной координаты:

Из формул (34), определяющих функцию тока, следует, что существуют связи $A = \Psi _{0}^{'},$ $B = - 2k{{\Psi }_{0}},$ $B{\text{'}} = - 2kA.$ Интегрируя уравнение для линий тока ${{dx} \mathord{\left/ {\vphantom {{dx} {{{U}_{{{\text{т }}x}}} = {{dz} \mathord{\left/ {\vphantom {{dz} {{{U}_{{{\text{т }}z}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{{\text{т }}z}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{{\text{т }}x}}} = {{dz} \mathord{\left/ {\vphantom {{dz} {{{U}_{{{\text{т }}z}}}}}} \right. \kern-0em} {{{U}_{{{\text{т }}z}}}}}}},$ с учетом этих связей получаем уравнение ${{\Psi }_{0}}\sin (2kx) = {\text{const}}{\text{.}}$ Видим, что на прямых $x = {{\pi n} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi n} {2k}}} \right. \kern-0em} {2k}}$ в плоскости $(x,\,z)$ скорость течения обращается в ноль. Эти прямые разделяют на плоскости $(x,\,z)$ области с противоположно направленными скоростями (см. рис. 6).

Этот качественный результат подтверждается результатом расчета линий тока. Из бигармонического уравнения (33) получается обыкновенное дифференциальное уравнение для функции ${{\Psi }_{0}}(z),$ которое затем решается:

Здесь константы α, β, γ, δ определяются граничными условиями. Из условий на границе раздела $z = 0$ находим $\beta = 0,$ $\delta = - 1.$ В итоге для функции тока и компонент скорости течения находим выражения: Условие ${{U}_{{{\text{т }}z}}}\left( {z = - h} \right) = 0$ определяет вид γ, а константа α выражается через радиационное давление:

Окончательное решение для функции тока имеет вид:

Это выражение использовано для построения линий тока акустического течения. Как видно из рис.6, линии тока гуще расположены в окрестностях линий $2kx = \pi n.$ Это означает, что при наличии сил взаимодействия между частицами, которые могут быть как гидродинамического, так и иного происхождения (например, иметь электрическую или химическую природу), взвешенные частицы будут концентрироваться преимущественно в этих областях. Таким образом, стоячая поверхностная волна может быть управляющим фактором для формирования упорядоченных структур взвешенных в жидкости наночастиц.