Акустический журнал, 2020, T. 66, № 5, стр. 489-508

МОТИВИРОВКА

Наряду с привычной, плавной изменяемостью дифракционной картины в волноводе при вариации частоты волны, приходящей из бесконечности, в спектре возникают особые изолированные частоты, около которых картина приобретает разнообразные “всплески” и “провалы”, т.е. ее изменения происходят в “быстром” масштабе. Настоящая статья посвящена описанию именно этих особых частот (пороги, собственные числа, точки комплексного резонанса) и сопутствующих разнообразных аномалий рассеяния волн. Такие объекты далее выделены аббревиацией и определены при первом появлении в тексте.

Точки отсечки (ТО) в спектре цилиндрических акустических волноводов, называемые также порогами (рис. 1a), характеризуются тем, что в них, во-первых, происходят скачок кратности непрерывного спектра и перестройка базиса распространяющихся волн, и во-вторых, появляются волна, не зависящая от продольной координаты, и волна, линейно растущая на бесконечности. Именно с последней обычно связываются разнообразные аномалии дифракционной картины в волноводе с резонатором (рис. 2a), однако в работах [1, 2] при помощи асимптотического анализа было обнаружено, что, наоборот, за аномалии рассеяния ответственны волны на пороговой частоте, которые ограничены и, что главное, не переносят энергию на бесконечности. Такие волны, именуемые “почти стоячими” (рис. 1в), оказывают влияние на многие результаты применения асимптотических процедур (см. [3–6] и др.), а сам феномен их возникновения был назван пороговым резонансом (ПР).

В акустическом волноводе с жесткими стенками на нулевой частоте всегда наблюдается ПР, так как постоянная функция – ограниченное решение однородной задачи Неймана для уравнения Лапласа, однако ПР на внутренних (положительных) ТО – явление неустойчивое: сколь угодно малое возмущение стенок резонатора способно уничтожить его. В то же время устранение порожденных ПР аномалий (ср. рис. 3в и рис. 3г) обычно требует точной настройки параметров возмущения стенок волноводов.

Существенный cпектр ${{\sigma }_{e}}$ волноводов с гофрированными стенками (рис. 2б) зачастую устроен более сложно, нежели непрерывный спектр ${{\sigma }_{c}} = [0, + \infty )$ волноводов с цилиндрическими рукавами: между спектральными сегментами (зоны прохождения волн) могут образоваться открытые лакуны (зоны торможения волн), а также изолированные собственные частоты (СЧ) – точки дискретного спектра ${{\sigma }_{d}}$. В случае цилиндрических рукавов все СЧ располагаются на непрерывном спектре, образуют точечный спектр ${{\sigma }_{p}}$ и оказываются неустойчивыми, покидающими вещественную ось и превращающимися в точки комлексного резонанса при “почти всех” малых вариациях стенок (см. [7, 8] и др.). Однако в статьях [1, 9] было введено понятие “принудительной устойчивости” СЧ, опирающееся на процедуру “точной настройки” нескольких параметров профиля возмущения и обеспечивающее как захват волны, так и сохранение СЧ вкрапленным в непрерывный спектр (рис. 1б и рис. 3в). Нарушение настройки провоцирует аномалию Вуда (рис. 3в). Еще однo околопороговое явление – аномалия Вайнштейна схематично изображена на рис. 4.

Интересное и малоисследованное явление – вырожденные пороги и сопутствующие ПР, характеризующиеся тем, что помимо линейных возникают полиномиально растущие волны высоких порядков. В цилиндрических акустических и квантовых¹¹ волноводах все пороги невырожденные и, в частности, поэтому СЧ, порожденная ПР, неспособна подняться выше ТО. Однако для гофрированных стенок или волноводов иной природы, например, упругих²², вырожденные пороги существуют, и в этом случае возможно совершенно необычное явление – СЧ внутри непрерывного спектра поднимается вверх от ТО.

Еще один примечательный феномен на пороге – полное разногласие известных принципов излучения: принцип Зоммерфельда идентификации направления распространения волн не годится из-за линейного роста одной из волн, принцип предельного поглощения распознает все, даже незатухающие почти стоячие волны как захваченные, и только применение принципа излучения Умова–Мандельштама не влечет за собой видимых противоречий, т.е. этот энергетический принцип оказывается универсальным, так как вне порогов все три типа условий излучения равноценны.

Данная статья носит обзорный характер и в ней перечислены известные автору факты об упомянутых характеристиках волноводов, а также сформулированы открытые вопросы. Схематичное и упрощенное изображение обсуждаемых эффектов представлено на рис. 1, 3, 4.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ И ИХ СПЕКТРЫ

Акустический волновод $\Omega $ с жесткими стенками $\partial \Omega $ (рис. 2a) состоит из двух цилиндрических рукавов

и резонатора $\Theta $ – ограниченного открытого множества внутри слоя $\{ x:z: = {{x}_{d}} \in ( - \ell ,\ell )\} $. Для простоты формулировок считаем, что $\Omega $ – область с гладкой (класса ${{C}^{\infty }}$) ($d - 1$)-мерной границей $\partial \Omega $, в частности, при $d = 3$ сечение $\omega $ цилиндра $\Pi = \omega \times \mathbb{R}$ ограничено простым гладким замкнутым контуром $\partial \omega $. Вместе с тем приведенные результаты в абсолютном большинстве верны и для липшицевых областей, например, областей с кусочно-гладкими границами.

Волновые процессы в волноводе $\Omega $ описываются при помощи решений задачи Неймана

где ${{\Delta }_{x}}$ – оператор Лапласа в декартовых координатах $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{d}})$, $\lambda = \rho {{\kappa }^{2}}$ – спектральный параметр, $\rho > 0$ – плотность среды (далее полагаем $\rho = 1$ после обезразмеривания) и $\kappa > 0$ – частота гармонических во времени колебаний, а ${{\partial }_{\nu }}$ – производная вдоль внешней нормали.

Непрерывный спектр ${{\sigma }_{c}}$ задачи (2) занимает замкнутую положительную полуось $\overline {{{\mathbb{R}}_{ + }}} = [0, + \infty )$ (см., например, книги [10, 11]) и ТО (порогами)

разбивается на участки постоянной кратности, т.е. при в прямом цилиндре $\Pi $ имеются $2m$ распространяющиеся волны с ингредиентами

Здесь фигурируют собственные числа (СЧ) (3) модельной задачи на сечении цилиндра

а соответствующие собственные функции ${{U}_{1}},{{U}_{2}},$ ${{U}_{3}}, \ldots ,{{U}_{m}}, \ldots $ подчинены условиям ортогональности и нормировки где ${{\delta }_{{j,k}}}$ – символ Кронекера, а ${{( \cdot , \cdot )}_{\omega }}$ – натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега ${{L}^{2}}(\omega )$. Нормирующие множители ${{a}_{j}}$ и волновые числа $ \pm {{\alpha }_{j}}$ из формул (5) и (6) в дальнейшем играют важную роль.

ВОЛНОВОДЫ С ГОФРИРОВАННЫМИ СТЕНКАМИ

В статье описаны разнообразные аномалии дифракционной картины в волноводе $\Omega $ на околопороговых частотах, как ниже, так и выше ТО. Некоторые особенности строения спектра и характеристик рассеяния (лакуны, вырожденные пороги и пр.) отсутствуют в цилиндрических акустических волноводах, но проявляются в волноводах иной природы, например, упругих, а также в случае гофрированных рукавов, имеющих периодически изменяющееся сечение. Поэтому далее обсуждается и задача (2) на множестве $\Omega $, у которого рукава

отсечены от периодического квазицилиндра $\Pi $ с ячейкой периодичности $\varpi $ (рис. 2б)

При этом масштабированием период сведен к единице, а декартовы координаты и все геометрические параметры, в частности, полудлина $\ell $ резонатора $\Theta = \Omega {\kern 1pt} \backslash {\kern 1pt} \overline {({{\Pi }_{ - }} \cup {{\Pi }_{ + }})} $ сделаны безразмерными. Известно (см. публикации [12–16] и др.), что согласно теории Флоке–Блоха–Гельфанда существенный спектр³³ ${{\sigma }_{e}} = {{\sigma }_{c}} \cup ({{\sigma }_{p}}{\kern 1pt} \backslash {\kern 1pt} {{\sigma }_{d}})$ у задачи (2) в волноводе $\Omega $ с жесткими и гладкими по предположению стенками $\partial \Omega $ и периодическими рукавами (9) имеет зонное строение

а спектральные сегменты (зоны прохождения волн) определяются по СЧ модельной задачи на ячейке периодичности которая снабжена условиями квазипериодичности на торцах ${{\theta }_{ \pm }} = \{ x \in \Pi :z = \pm {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}\} $, включающими параметр Флоке $\eta \in [ - \pi ,\pi ]$ (двойственную переменную преобразования Гельфанда [17]),

СЧ (12) задачи (13), (14) оказываются вещественными и непрерывно и $2\pi $-периодически зависят от переменной $\eta $, т.е. в самом деле ${{\beta }_{j}}$ – компактные связные множества на полуоси $[0, + \infty )$. Каждая спектральная пара $\{ {{\Lambda }_{m}}(\eta ),{{\mathcal{U}}_{m}}(x;\eta )\} $ с параметром⁴⁴ $\eta \in ( - \pi ,\pi ]$ порождает волну Флоке

которая удовлетворяет задаче (2) в (невозмущенном) квазицилиндре $\Pi $ и становится гладкой благодаря условиям квазипериодичности (14). Функция (15) осциллирует в двух масштабах: с периодом ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \eta }} \right. \kern-0em} \eta }$ из-за первого сомножителя в правой части и с периодом $1$ из-за второго. Волна Флоке (15) называется элементарной, однако на порогах (см. ниже) возникают и полиномиальные волны Флоке где $\mathcal{U}_{m}^{{(0)}}, \ldots ,\mathcal{U}_{m}^{{(K - 1)}}$ – $1$-периодические функции переменной $z$. Разумеется, элементарная волна Флоке принимает вид (16) c $k = 0$, причем $\mathcal{U}_{m}^{{(0)}}(y,z) = {{e}^{{ - i\eta z}}}{{\mathcal{W}}_{m}}(y,z)$ зависит $1$-периодически от продольной координаты $z$.

Цилиндрические рукава (1) можно считать $1$-периодическими, и следовательно, непрерывный спектр ${{\sigma }_{c}} = [0, + \infty )$ также представим в виде (10), но в нем соседние спектральные сегменты ${{\beta }_{j}}$ и ${{\beta }_{{j + 1}}}$ примыкают один к другому или пересекаются, а значит, ${{\sigma }_{c}}$ – связное множество. В самом деле, “обычная” волна ${{e}^{{i\zeta z}}}{{U}_{m}}(y)$, удовлетворяющая задаче (2) с параметром

превращается в волну Флоке следующим образом:

При этом целое число $p \in \mathbb{Z}$ выбрано так, что $\eta = \zeta - 2\pi p \in ( - \pi ,\pi ]$, а функция $\varpi \mathrel\backepsilon (y,z) \mapsto $ $ \mapsto {{U}_{{n(m,p)}}}(y,z;\eta )$ – решение задачи (13), (14) с параметром

В итоге график (17) – парабола на рис. 5а – превращается в набор дисперсионных дуг (19), образующих связную “ферму” на рис. 5б.

В периодической ситуации между соседними расцепленными сегментами ${{\beta }_{j}}$ и ${{\beta }_{{j + 1}}}$ может быть открыта спектральная лакуна (зона торможения волн)

а именно, непустой интервал, свободный от существенного спектра (10), но имеющий обе концевые точки в нем.

Один из способов образования лакун – малое периодическое возмущение прямых цилиндрических волноводов: регулярное, пологое с высотой $\varepsilon \ll 1$ (рис. 6а), или сингулярное, с отверстиями диаметром ${{\varepsilon }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 d}} \right. \kern-0em} d}}}}$ (рис. 6б). В работах [18–21] и др. показано, что при подходящих параметрах возмущения стенок узлы, помеченные символом $ \circ $ на рис. 5б, дробятся и между сглаженными дисперсионными кривыми раскрываются лакуны шириной $O(\varepsilon )$ как внутри зоны Бриллюена, так и выше нее. Отметим, что узлы, отмеченные значками ▶ и ◀ на рис. 5б и полученные пересечением двух восходящих или нисходящих дуг, не распадаются и не формируют лакуны (пояснения см., например, в статье [21]).

Многочисленные примеры зонного строения спектров волноводов, предложенные изначально в оригинальных работах [22, 23] и [24–26] и нашедшие продолжение в публикациях [27–31] и др., опираются на асимптотический анализ дифференциальных уравнений с контрастными коэффициентами и краевых задач на сочленениях областей различных предельных размерностей (см. статьи [32, 33] и [35–42], а также многие другие) и получаются вариацией физических или геометрических параметров. В первом случае (рис. 7а и 7б) акустическая среда является кусочно-однородной и возникновение раскрытых лакун как в низко-, так и в среднечастотном диапазонах спектра обусловлено контрастными свойствами разных сред: отношение скоростей распространения волн в них – малый или большой параметр.

Во втором случае (рис. 7в и 7г), как и у волноводов на рис. 6, лакуны появляются при малом геометрическом параметре $\varepsilon $: волноводы образованы периодическим семейством массивных контейнеров, соединенных тонкими, диаметром $O(\varepsilon )$, каналами, соответственно короткими или длинными. В противоположность графикам на рис. 5в, где спектральные сегменты и лакуны приобрели соответственно размеры $O(1)$ и $O(\varepsilon )$ при $\varepsilon \to + 0$, спектральные сегменты у графиков на рис. 7д для волновода с короткими каналами (рис. 7г) имеют длину $O(\varepsilon )$, локализованы около точек дискретного спектра задачи Неймана в изолированном контейнере и отделены один от другого лакунами шириной $O(1)$. В случае длинных каналов (рис. 7в) предельный спектр прирастает СЧ задачи Дирихле на оси канала. Для таких периодических квазицилиндров можно образовать любое наперед заданное количество непустых лакун. Проведенный анализ для волноводов на рис. 7г и 7б приспособлен [43, 44] к задачам теории упругости, однако для волноводов на рис. 6а, 6б и рис. 7в, 7а аналогичные результаты неизвестны до сих пор, так как в большинстве ситуаций векторные задачи оказываются значительно более сложными, чем скалярные, и нуждаются в новых методах исследования.

Упомянем гипотезу Бете–Зоммерфельда о том, что в спектрах многомерных ($d > 1$) волноводов количество раскрытых лакун всегда конечно, – она подтверждена лишь для некоторых краевых задач, и задача Неймана в этот список не входит. В работе [45] рассмотрен волновод на рис. 7г, однако при условии, что поперечные размеры соединительных каналов между контейнерами с номерами $N$ и $N \pm 1$ стремятся к нулю при $N \to \pm \infty $. В этом случае существенным спектром служит счетное множество на полуоси $[0, + \infty )$ без конечных точек сгущения⁵⁵, и в нем обнаруживается бесконечное количество лакун. Вместе с тем нарушена периодичность волновода и в упомянутой работе не получена полная информация о дискретном спектре ${{\sigma }_{d}}$ (изолированные СЧ) и точечном спектре ${{\sigma }_{p}}$ (бесконечнократные СЧ).

Еще одна специфическая черта периодических волноводов – возможность “схлопывания” какого-то сегмента (11) в точку, когда СЧ ${{\Lambda }_{j}}(\eta )$ задачи (13), (14) не зависит от парaметра Флоке $\eta $, а значит, становится бесконечнократным в задачe Неймана в самом квазицилиндре $\Pi $. Соответствующие примеры известны для волноводов различной физической природы (см. [46–48] и др.), а невозможность коллапса любого из сегментов установлена при существенных геометрических ограничениях (см. [49–51] и др.). Вместе с тем в цилиндрах $\Pi = \omega \times \mathbb{R}$ бесконечнократных собственных чисел нет (ср. [52], [16; замечание 3.1.5]), т.е. ${{\sigma }_{{{\text{ess}}}}} = {{\sigma }_{c}}$ в случае рукавов (1).

ПОРОГОВЫЕ РЕЗОНАНСЫ

В работах [3, 4] при изучении сочленений полубесконечных квантовых волноводов (спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа) было введено понятие порогового резонанса (ПР) – он возникает при условии, что у задачи со спектральным параметром, лежащим на нижней грани непрерывного спектра (нижней точки отсечки), есть нетривиальное ограниченное решение (ОР), которое не обязательно затухает на бесконечности, но может быть и захваченной волной, исчезающей на бесконечности с экспоненциальной скоростью. Наличие или отсутствие ПР в узлах решетки тонких квантовых волноводов предопределяют структуру асимптотической одномерной модели решетки, на которую (модель) влияют и указанные качества ОР (подробности см. в статье [4]). В работе [53] было сформулировано достаточное условие отсутствия ПР, а в работе [54] – два разных по существу критерия, названные критериями отсутствия и существования ПР, причем второй из них позволяет узнать качества ОР. Кроме того, в публикациях [55–58, 53, 5 ] и др. разобраны многие конкретные сочленения квантовых волноводов и проверено отсутствие ПР или окольным путем доказано их появление при изолированных значениях варьируемого геометрического параметра. В периодической ситуации аналогичные результаты неизвестны.

Если какое-либо нетривиальное ОР на пороге исчезает на бесконечности и тем самым оказывается истинной собственной функцией, то порог – СЧ оператора задачи, но в том случае, когда все ОР не затухают, говорим, что ПР подлинный (ППР).

Замечание 1. Привести пример СЧ на пороге непрерывного спектра квантового волновода $\Omega $ нетрудно. Пусть у области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ есть плоскость зеркальной симметрии $\{ x:{{x}_{2}} = 0\} $, а $0 < {{\Lambda }_{1}} < {{\Lambda }_{2}}$ – первые два СЧ задачи Дирихле на сечении $\omega $. Используя прием из статьи [59], рассмотрим задачу Дирихле на половине волновода ${{\Omega }_{ + }} = \{ x \in \Omega :{{x}_{1}} > 0\} $, у которой (задачи) по предположению ТО непрерывного спектра – число ${{\Lambda }_{2}}$. Согласно классическому результату [60] раздутие $\Theta (\gamma ) = \{ x:{{\gamma }^{{ - 1}}}x \in \Theta \} $ резонатора $\Theta $ обеспечивает при больших $\gamma > 1$ возникновение изолированного СЧ $\lambda (\gamma )$ в спектре квантового волновода ${{\Omega }_{ + }}(\gamma ) = {{\Pi }_{ + }} \cup \Theta (\gamma ) \cup {{\Pi }_{ - }}$, причем $\lambda (\gamma ) \to + 0$ при $\gamma \to + \infty $. Поскольку $[1, + \infty ) \mathrel\backepsilon \gamma \mapsto (0,{{\Lambda }_{2}}]$ – непрерывная монотонно убывающая функция, то СЧ $\lambda (\gamma *)$ попадает при каком-то $\gamma * > 1$ на истинную ТО ${{\Lambda }_{1}}$ целого волновода $\Omega $. Более богатая геометрическая симметрия волновода дает возможность по намеченной схеме образовать СЧ на любом внутреннем пороге непрерывного спектра. Так, двойная зеркальная симметрия позволяет построить пример акустического волновода $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ с СЧ ${{\Lambda }_{2}} > 0$. Впрочем, открытым остается вопрос, можно ли обеспечить одновременное включение нескольких членов последовательности (3) в точечный спектр ${{\sigma }_{p}}$.

В акустическом волноводе нижняя ТО ${{\Lambda }_{1}}$ нулевая и в ней всегда реализуется ППР: постоянная функция – ОР задачи (2) с $\lambda = 0$. Поскольку других ОР нет, такой резонанс имеет кратность один. Помимо нижнего порога $\lambda = {{\Lambda }_{1}}$ ПР можно приписать и внутренним (положительным) порогам $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ при $m > 1$, однако прежнее определение [3] не годится, так как ограниченной оказывается любая распространяющаяся волна.

Пусть ${{\Lambda }_{m}}$ – СЧ задачи (7) с кратностью ${{\varkappa }_{m}}$, т.е.

в последовательности (5). Тогда список волн (5) заменяется таким:

Решение $u$ задачи (2) назовем почти стоячей волной (ПСВ), если для него справедливо разложение

где остаток $\tilde {u}(x)$ исчезает при $z \to \pm \infty $ со скоростью $O({{e}^{{ - |z|\sqrt {{{\Lambda }_{{m + 1}}} - {{\Lambda }_{m}}} }}})$, ${{a}^{ \pm }} = (a_{{k = m{{ - }_{m}} + 1}}^{ \pm }, \ldots ,a_{m}^{ \pm })$ – столбцы коэффициентов, а ${{\chi }^{ \pm }}$ – гладкие срезающие функции, служащие для локализации волн в рукавах,

ПСВ характеризуются важным свойством: они не переносят энергию на бесконечность (ср. форму переноса энергии (28)). Такое определение ПСВ годится и для периодических волноводов (см. работу [61]).

ПР возникает при $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ в том случае, если имеется хотя бы одна нетривиальная ПСВ. Линейную оболочку таких решений обозначим через ${{\mathcal{L}}^{{st}}}$, а пространство захваченных волн (собственных функций, отвечающих СЧ $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$) – через ${{\mathcal{L}}^{{tr}}}$. В обоих пространствах можно ввести вещественные базисы. Если ${{\mathcal{L}}^{{tr}}} = \{ 0\} $, т.е. нет нетривиальных решений (23) со столбцами ${{a}^{ \pm }} = 0$, то возникает ППР и размерность $dim{{\mathcal{L}}^{{st}}}$ – его кратность.

Для периодических рукавов ПР могут быть устроены более сложно. Сами пороги – точки экстремума или перегиба дисперсионных кривых (ср. рис. 5б и рис. 7д). Края лакун и точка $\Lambda = 0$ – внешние пороги, но остальные пороги – внутренние точки существенного спектра (последние отсутствуют на рис. 7д, но их можно обнаружить на рис. 5в). Пусть $\Lambda = {{\Lambda }_{m}}({{\eta }^{0}})$ – порог, т.е. ${{\partial }_{\eta }}{{\Lambda }_{m}}({{\eta }^{0}}) = 0$ при некотором ${{\eta }^{0}} \in ( - \pi ,\pi ]$ и

В случае $K = 1$ порог называется невырожденным, но он имеет порядок вырождения $K$ при $K > 1$. Вырожденные пороги обладают многими необычными свойствами, в частности, для них приходится изменить определение ПСВ, а порожденные ими волны Флоке (16) – полиномы переменной $z$ порядка не выше $K - 1$ c $1$-периодическими коэффициентами в квазицилиндре $\Pi $ (см. [16; гл. 3, §4]). Для цилиндрических акустических и квантовых волноводов все пороги невырожденные, а полиномиальная зависимость от $z$ становится линейной (см. формулы (22)).

Замечание 2. Если для периодических акустических волноводов вырожденные пороги – явление неординарное и редкое, то для цилиндрических и периодических упругих волноводов, в частности, для бесконечных пластин Кирхгофа (см. [62; §30]) нижняя точка отсечки $\Lambda = 0$ непрерывного спектра – вырожденный порог порядка четыре всегда (см. [63, 64] и др.). Это обстоятельство предопределяет существенное отличие дифракционных задач для систем и дифференциальных уравнений высших порядков от обсуждаемых скалярных задач для оператора Лапласа.

УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Для цилиндрических волноводов во внепороговой ситуации простейшим в применении является принцип излучения Зоммерфельда (см. [10, 11] и др.), и в соответствии с ним знак $ \pm $ волнового числа $ \pm {{\alpha }_{j}}$ определяет направление “от $ \mp \infty $ к $ \pm \infty $” распространения волны (5). Такая же классификация порождена энергетическим принципом излучения Умова–Мандельштама [65, 66] или принципом предельного поглощения (см., например, [16, 1 ] и [68, 69]).

Как обычно (ср. монографии [10, 11] и др.), решению неоднородной задачи Неймана

с финитной (для простоты формулировок) правой частью $f$ предписано такое поведение на бесконечности:

Здесь $\tilde {u}(x)$ – остаток, затухающий на бесконечности со скоростью $O({{e}^{{ - |z|\sqrt {{{\Lambda }_{{m + 1}}} - \lambda } }}})$, коэффициенты при волнах (5) определяются при решении задачи и потому зависят от внешнего воздействия $f$, а в остальном использованы те же обозначения, что и в разложении (23). Понятно, что однородной ($f = 0$) задаче (25), (26) удовлетворяет любая захваченная волна $u \in {{\mathcal{L}}^{{tr}}}$, у которой, конечно же, $a_{j}^{ \pm } = 0$. Кроме того, условиями разрешимости задачи (25), (26) служат равенства

Таким образом, оператор задачи с условиями излучения обладает нулевым индексом, т.е. размерности его ядра ${{\mathcal{L}}^{{tr}}}$ и коядра (количество линейно независимых условий ортогональности (27)) совпадают. Корректную постановку задачи (25), (26) на специальных весовых пространствах с отделенной асимптотикой можно найти в книге [16; гл. 5], статьях [1, 69] и др. публикациях.

Перезапись волн (5) в форме Флоке (18) демонстрирует проблему применения принципа излучения Зоммерфельда в периодических волноводах: положительному волновому числу $\zeta \in (\pi ,2\pi )$ в левой части (18) отвечает отрицательный показатель $\eta \in ( - \pi ,0)$ в правой. Вместе с тем принцип предельного поглощения и энергетический принцип Умова–Мандельштама приспособлены и к гофрированным волноводам: если показатель $\eta $ в (15) располагается на восходящем (нисходящем) участке дисперсионной кривой, то волна ${{\mathcal{W}}_{m}}$ оказывается уходящей (приходящей) в рукаве ${{\Pi }_{ + }}$, но, разумеется, меняет свое существо в ${{\Pi }_{ - }}$. Итак, во внепороговой ситуации соответствующие классификации и обозначения $w_{1}^{ \pm }, \ldots ,w_{m}^{ \pm }$ для элементарных волн Флоке (15) полностью сохраняют постановку задачи (25) с условиями излучения (26) и указанные выше ее основные свойства.

На порогах принцип излучения Зоммерфельда неприменим хотя бы потому, что в списке (22) фигурируют линейно растущие волны, а принцип предельного поглощения также может привести к ошибочному результату (см. замечание 3). Единственно универсальным остается энергетический принцип излучения Умова–Мандельштама [65, 66], в котором классификация волн основана на применении симплектической (полуторалинейной и антиэрмитовой) формы переноса энергии

которая пропорциональна проекции вектора Умова–Пойнтинга [65, 70] на ось $z$ (см. [16; гл. 5], а также [1, 71] и др.). Именно, согласно принципу излучения Умова–Мандельштама направление “от $ \mp \infty $ к $ \pm \infty $” распространения волны $w_{j}^{\vartheta }$ связывается со знаком $ \pm $ в правой части соотношений которые включают индексы проверяются непосредственными вычислениями при учете выражений (6) для ингредиентов волн и содержат сечение $\omega (R) = \{ x \in \Pi :z = R\} $. Происходя от формулы Грина для оператора Гельмгольца, интеграл (28) не зависит от параметра $R$ для любых решений задачи Неймана в прямом цилиндре $\omega \times \mathbb{R}$.

На пороге $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ при ограничении (20) волны (21) удовлетворяют соотношениям (29) с $j,k = 1, \ldots ,m - {{\varkappa }_{m}}$, однако $Q(w_{j}^{0},w_{j}^{0}) = 0$ и $Q(w_{j}^{1},w_{j}^{1}) = 0$ для волн (22) ввиду их вещественности. Следуя [16; гл. 5], введем линейные комбинации

Нетрудно убедиться в том, что благодаря условиям ортогональности и нормировки (8) для набора волн (22), (31) выполнены соотношения (29) при всех индексах (30). В результате и на пороге задача (25), (26) сохраняет все перечисленные выше свойства.

Приведенные определения на основе формы переноса энергии (29) годятся и для волноводов с периодическими рукавами (9), причем ввиду $1$-периодичности в качестве области интегрирования в (28) можно взять любую ячейку ${{\varpi }_{k}}$ вместо сечения $\omega (R)$. В [16; гл. 5] доказано, что волны Флоке (16), периодически и полиномиально зависящие от $z$, всегда можно выбрать так, чтобы были выполнены условия ортогональности и нормировки (29), и тем самым указать направление распространения каждой из волн в базисе $\{ w_{1}^{ \pm }, \ldots ,\,\,w_{m}^{ \pm }\} $, а затем и сформировать условия излучения (26).

Замечание 3. Согласно принципу предельного поглощения [68, 67 ] решение задачи (25) с соответствующими условиями излучения определяется как предел при $\varepsilon \to + 0$ решения ${{u}^{\varepsilon }}$ задачи (25) с комплексным параметром

Такая задача однозначно разрешима в пространстве Соболева ${{H}^{1}}(\Omega )$, и ее решение допускает разложение

в котором фигурируют экспоненциально затухающие при $z \to \pm \infty $ остаток ${{\tilde {u}}^{\varepsilon }}$ и “возмущенные” волны (21) и (22) с показателями

Ясно, что $\alpha _{j}^{{\varepsilon \pm }} \to \pm {{\alpha }_{j}}$ и $\alpha _{k}^{{\varepsilon \pm }} \to 0$ при $\varepsilon \to + 0$, а значит, принцип предельного поглощения устанавливает такие условия излучения:

Решение (32) оказывается ограниченным в отличие от решения (26). Вместе с тем условия излучения, назначенные принципом предельного поглощения на пороге, обладают следующими видимыми недостатками: во-первых, любая, даже незатухающая ПСВ – решение однородной задачи (2), (32), во-вторых, в случае ПР условия разрешимости (27) необходимо расширить за счет равенств

и, в-третьих, пороговая матрица рассеяния (см. ниже) теряет важное свойство унитарности и ее даже не всегда удается определить в случае ПР (см. [63, 71] и др.).

КЛАССИЧЕСКАЯ, ПОРОГОВАЯ И РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ

Классический объект теории дифракции – матрица рассеяния $s(\lambda )$ (МР), составленная из коэффициентов рассеяния (КР) в разложении

решений задачи (2) со спектральным параметром (4), которые инициированы приходящими в рукавах ${{\Pi }_{ \mp }}$ волнами $w_{j}^{ \pm }$ из списка (5). В (33) остаток $\mathop {\widetilde \zeta }\nolimits_j^ \pm $ такого же качества, что и $\widetilde u$ в разложении (26), а ($2m \times 2m$)-матрица $s(\lambda )$ унитарная и симметричная благодаря условиям ортогональности и нормировки (29) и связям $w_{j}^{ - } = \overline {w_{j}^{ + }} $.

Как показано в [16; гл. 5] (см. также [1, 69]), благодаря сохранению условий (29) для волн (21), (31) на пороге $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ по-прежнему существуют решения $\zeta _{1}^{ \pm }, \ldots ,\zeta _{m}^{ \pm }$ задачи (2), а их КР образуют унитарную и симметричную ($2m \times 2m$)-матрицу ${\mathbf{s}}({{\Lambda }_{m}})$, называемую пороговой матрицей рассеяния (ПМР). Выделим из нее нижний правый блок ${{{\mathbf{s}}}^{{\centerdot \centerdot }}}({{\Lambda }_{m}})$ размером $2{{\varkappa }_{m}} \times 2{{\varkappa }_{m}}$. В статьях [69, 57, 54 ] установлена формула

где ${{\mathbb{I}}_{J}}$ – единичная ($J \times J$)-матрица. Иными словами, размерность пространства ПСВ без учета захваченных волн совпадает с кратностью собственного числа $ - 1$ блока ${{{\mathbf{s}}}^{{\centerdot \centerdot }}}({{\Lambda }_{m}})$. Положительность величины (34) – достаточное условие возникновения ПР. Если известно, что $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ не является СЧ и ${{\mathcal{L}}^{{tr}}} = \{ 0\} $, то оно становится критерием ППР и указывает размерность подпространства ПСВ.

Вернемся к рассмотрению внепороговой ситуации (4). Помимо распространяющихся волн (5) в цилиндре $\Pi $ возникают экспоненциальные волны, затухающие (плюс) или растущие (минус) при $z \to + \infty $,

которые имеют прежние атрибуты (6). По причине вещественности волны (35) аннулируют квадратичный функционал $Q(w,w)$, однако для похожих на (31) линейных комбинаций соотношения (31) выполнены при всех $j,k \in \mathbb{N}$. Таким образом, энергетический принцип Умова–Мандельштама приписывает направление распространения “от $ \mp \infty $ к $ \pm \infty $” линейным комбинациям (36), образованным искусственно и не имеющим физического смысла. Вместе с тем включение в анализ таких “волн” позволяет применить весь технический аппарат теории рассеяния и ввести объекты, полезные для выяснения настоящих физических характеристик волноводов.

Зафиксируем такое натуральное число $N > m$, что ${{\Lambda }_{{N + 1}}} > {{\Lambda }_{N}}$. Как показано в [16; гл. 5], вне зависимости от того, является или нет число $\lambda $ собственным, задача (2) обладает решениями

инициированными “приходящими” волнами в рукаве ${{\Pi }_{ \mp }}$ и имеющими остатки $\tilde {Z}_{j}^{ \pm }(x) = O({{e}^{{ - |z|\sqrt {{{\Lambda }_{{N + 1}}} - \lambda } }}})$. Коэффициенты разложений (37) образуют унитарную и симметричную ($2N \times 2N$)-матрицу $S(\lambda )$, которая названа [16; гл. 5], [72, 1 ] расширенной матрицей рассеяния (РМР). Представим ее в виде где блок ${{S}_{{\sharp \sharp }}}(\lambda )$ имеет те же размеры, что и обычная МР $s(\lambda )$, однако, вообще говоря, отличается от нее, так как поля $Z_{j}^{ \pm }$ при $j = 1, \ldots ,m$ не совпадают с полями (33) из-за присутствия в правой части (37) экспоненциально растущих на обеих бесконечностях составляющих (36). Нижний левый блок ${{S}_{{\centerdot \centerdot }}}$ матрицы (38) фигурирует в формуле (см. [73, 1, 69 ] и др.) где $\mathcal{L}_{N}^{{{\text{tr}}}}(\lambda )$ – подпространство захваченных волн, которые затухают на бесконечности не быстрее ${{e}^{{ - |z|\sqrt {{{\Lambda }_{{N + 1}}} - \lambda } }}}$. Равенство (39) можно интерпретировать как достаточное условие существования захваченной волны: если $ - 1$ – СЧ блока ${{S}^{{\centerdot \centerdot }}}(\lambda )$, то волновод $\Omega $ на частоте $\kappa = \sqrt \lambda $ производит захват одной или нескольких волн. Вместе с тем соотношение $dimker\left( {{{S}_{{\centerdot \centerdot }}}(\lambda ) + {{\mathbb{I}}_{{N - m}}}} \right) > 0$ не является критерием⁶⁶, так как могут существовать захваченные волны, затухающие быстрее $O({{e}^{{ - |z|\sqrt {{{\Lambda }_{{N + 1}}} - \lambda } }}})$.

Замечание 4. МР восстанавливается по блокам РМР (38) при помощи формулы (см. [1] и др.)

которая может оказаться полезной для многих целей. Например, в статье [75] на основе (40) выявлена математическая природа резонансов Фано (РФ) (см. [76], а также [77–79] и др.). Представим пояснения. Пусть СЧ $\lambda $ отвечает мода $v \in \mathcal{L}_{N}^{{{\text{tr}}}}$, а значит, ${{S}_{{\centerdot \sharp }}}(\lambda ) + {{\mathbb{I}}_{{N - m}}}$ – особенная матрица в силу соотношения (39). Однако ввиду унитарности всей РМР (38) для ее блоков верно высказывание

Кроме того, ${{S}_{{\centerdot \sharp }}}(\lambda )$ – транспонированный блок ${{S}_{{\sharp \centerdot }}}(\lambda )$ из-за симметричности РМР и, следовательно, равенство (40) сохраняется в сингулярном случае. Теперь возможен такой сценарий: при искажении стенок волновода блоки матрицы (38) приобретают возмущения и в правой части (40) возникает малый знаменатель в том случае, если матрица ${{S}_{{\centerdot \centerdot }}}(\lambda ) + {{\mathbb{I}}_{{N - m}}}$ становится неособенной и одновременно $\lambda $ перестает быть СЧ. Этот механизм проявляется при анализе аномалий Вуда в следующем разделе.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ И ОБОСТРЕНИЕ АНОМАЛИЙ ВУДА

В случае порогового резонанса (например, $\Omega = \Pi $ – цилиндр или квазицилиндр) малые локальные возмущения стенок волновода, а также появление каверны или другого дефекта (рис. 8а, 8б и 8в) могут спровоцировать непропорционально быструю изменяемость дифракционной картины вблизи точек отсечки непрерывного спектра, называемую аномалией Вуда [80] (АВД) (см. также [81, 82] и др.). Опишем обнаруженные в работе [83] эффекты на примере пологого искажения волновода-полосы ${{\Pi }^{0}}$ (рис. 8а); при этом возмущение стенок волновода

описывается гладкими профильными функциями ${{H}_{ \pm }}$, обращающимися в нуль при $\left| z \right| > \ell > 0$, т.е. рукава (1) остаются прямыми.

Рассмотрим ТО $\kappa _{m}^{0} = \pi m$ при некотором $m \in \mathbb{N}$ и возмущенный спектральный параметр

расположенный ниже порога ${{\lambda }^{0}} = {{\pi }^{2}}{{m}^{2}}$ и вкрапленный в непрерывный спектр. Для того чтобы исследовать асимптотику МР при $\varepsilon \to + 0$ для волновода (42), воспользуемся схемой [83], упомянутой в замечании 4, а именно, найдем асимптотические представления блоков РМР ${{S}^{\varepsilon }}({{\lambda }^{\varepsilon }})$, которые (представления) устроены значительно более просто, и восстановим ${{s}^{\varepsilon }}({{\lambda }^{\varepsilon }})$ по формуле (40). Еще один трюк, предложенный в статье [83] и упрощающий вычисления, состоит в том, что расширение МР производится только в одном рукаве ${{\Pi }_{ + }}$ и тем самым размеры РМР уменьшаются на единицу, в частности, блок $S_{{\centerdot \centerdot }}^{\varepsilon }({{\lambda }^{\varepsilon }})$ становится скаляром, а блок $S_{{\sharp \centerdot }}^{\varepsilon }({{\lambda }^{\varepsilon }})$ – столбцом

Расчеты, проведенные в [83], показывают, что, во-первых, РМР гладко зависит от параметра $\tau > 0$ и, во-вторых, главные асимптотические члены элементов РМР

принимают вид где ${{\alpha }_{j}} = \pi \sqrt {{{m}^{2}} - {{j}^{2}}} $ (см. равенства (6)) и

Эти формулы позволяют обнаружить первичную АВД. Заметим, что

и рассмотрим два случая⁷⁷и

В первом случае ингредиенты $S_{{\sharp \sharp }}^{'}(\tau )$ и $S_{{\sharp \centerdot }}^{0}(\tau )$, $S_{{\centerdot \sharp }}^{0}(\tau )$ вытекающего из (40) представления

гладко зависят от параметра $\tau \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$, а знаменатель не обращается в нуль в силу соотношений (45) и (48). Таким образом, какие-либо аномалии не наблюдаются.

В случае (49) знаменатель $1 + S_{{\centerdot \centerdot }}^{0}(\tau )$ обращается в нуль в точке $\tau = {{\tau }_{ * }}$ и формула (50) теряет смысл при условии

причем ввиду унитарности РМР разложение (44) и соотношения (51), (47) обеспечивают неравенство

Введем “быструю” переменную

и при учете (45), (47), (51) преобразуем формулу (50) к виду

Теперь в силу неравенства (52) знаменатель отличен от нуля при всех $t \in \mathbb{R}$. Таким образом, в отличие от соотношения (50), справедливого при ограничении (48) и обуславливающего гладкую зависимость МР от переменной $\tau > 0$, главный член асимптотики (54) в случае (49) характеризуется быстрой изменяемостью МР в масштабе (53), так как

Иными словами, приращение спектрального параметра ${{\lambda }^{0}} - {{\varepsilon }^{2}}\tau _{m}^{2}$ на величину $O({{\varepsilon }^{3}})$ приводит к кардинальной перестройке всей МР согласно формуле (54). Именно в этом и состоит одно из проявлений АВД.

В силу соотношений (45) и (46) выбор профильных функций ${{H}_{ \pm }}$ позволяет обеспечить равенство

В этом случае вычитаемое в правой части (54) становится нулевым, однако это обстоятельство вовсе не означает, что АВД исчезает или сглаживается, – наоборот, аномалия может усилиться. Будем считать, что профильные функции в волноводе (42) сами зависят от малого параметра $\varepsilon $, а именно,

Пусть еще для интегралов (46) выполнены требования (49) и (55). Как показано в [83], поправки $H_{ \pm }^{'}(z)$ в правой части (56) можно подобрать так, чтобы выполнялись соотношения

При этом формула (46) для МР превращается в

где используется сверхбыстрая переменная а знаменатель не обращается в нуль, так как выполнено аналогичное (52) неравенство ${\text{Re}}S_{{\centerdot \centerdot }}^{{'''}}({{\tau }_{m}}) > 0$.

При малом $\varepsilon $ переменной (58) свойственен значительно более быстрый рост, чем у прежней переменной (53), а значит, соотношение (57) следует интерпретировать как обострение АВД.

Замечание 5. Одно из толкований АВД и РФ – возникновение точек комплексного резонанса (ТКР), приближенных к вещественной оси. Асимптотические формулы для этих точек и проистекающие от них наблюдения приведены в статье [83]. В частности, описанное обострение АВД обусловлено уменьшением расстояния от ТКР до вещественной оси. В принципе за счет выбора профилей $H_{ \pm }^{'}(z,\varepsilon )$ в формулах (42), (56) этому расстоянию можно придать порядок ${{\varepsilon }^{{2K - 1}}}$ с любым заданным наперед $K \in N$.

СГЛАЖИВАНИЕ АНОМАЛИЙ ВУДА – ОБРАЗОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Продолжим рассмотрение возмущенной полосы (42) с профильными функциями (56). Допустим, что выполнены соотношения (49) и (55), способные привести к обострению АВД, однако произведем дальнейшую настройку профилей, применив предложенную в [73, 1 ] процедуру образования СЧ (43), вкрапленного в непрерывный спектр.

Поскольку у задачи (2) в прямой полосе ${{\Pi }^{0}} = ({{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2},{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \mathbb{R}$, разумеется, нет захваченных волн, упомянутое в предыдущем разделе достаточное условие $S_{{\centerdot \centerdot }}^{\varepsilon }({{\lambda }^{\varepsilon }}) = - 1$ превращается в критерий захвата волны, который, следуя работам [1, 83], переформулируем в виде

причем фаза $\psi $ зафиксирована так, что величина ${{e}^{{2i\psi }}}$ не является СЧ матрицы $S_{{\sharp \sharp }}^{0}({{\pi }^{2}}{{m}^{2}})$, состоящей из $m$ блоков $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ 1&0 \end{array}} \right)$ на ее диагонали; например, $\psi = \frac{\pi }{4}$. Вычисления, доказывающие эквивалентность равенств (59) упомянутому критерию, приведены в статьях [1, 83].

Нужные профили будем искать в виде (56), где

а СЧ – в виде

Образуем вектор неизвестных параметров

Наконец, назначим условия ортогональности и нормировки для компонент $H$ и $H_{\vartheta }^{{(q)}}$, согласованные с формулами (59):

В результате при учете асимптотических формул (45) переписываем соотношения (59) как векторное трансцендентное уравнение в евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{{2m - 1}}}$ для неизвестных (62)

со сжимающим оператором ${{B}^{\varepsilon }}$ на шаре $\mathbb{B}_{\rho }^{{2m - 1}} \subset {{\mathbb{R}}^{{2m - 1}}}$ некоторого радиуса $\rho > 0$. При малом $\varepsilon $ принцип Банаха сжимающих отображений (см., например, [84; гл. 2, §4]) доставляет единственное решение $\beta \in \mathbb{B}_{\rho }^{{2m - 1}}$, которое к тому же допускает оценку

В итоге найдены профили (56), (60) и спектральный параметр (61), при которых выполнены соотношения (59), а значит, и достаточное условие $S_{{\centerdot \centerdot }}^{\varepsilon }({{\lambda }^{\varepsilon }}) = - 1$ (критерий в данном случае) захвата волны.

Благодаря формулам (41) и (40) справедливо равенство ${{s}^{\varepsilon }}({{\tau }_{k}}) = S_{{\sharp \sharp }}^{\varepsilon }({{\tau }_{k}})$, а значит, АВД сглаживается. Напомним, что исчезновение этой аномалии также происходит при соблюдении неравенства (48) или сохранении ПР (см. пояснения в работе [83]).

Подчеркнем, что на этапе решения транcцендентного уравнения (64) формулы (62) для СЧ и (61) для профильных функций становятся неявными. В статье [85] пояснено, как следует толковать приближенное (например, численное) решение ${{\beta }_{{{\text{appr}}}}}$ уравнения (64). Условия (63), наложенные на составляющие разложения (60), можно соблюсти многими способами (один из них – вариация фазы $\psi $ в (59)), причем каждый набор функций $\{ H_{ \pm }^{{1\vartheta }}, \ldots ,H_{ \pm }^{{m - 1\vartheta }}\} $ порождает свои профили (61) для СЧ (62).

Намеченная процедура “точной настройки” успешно применялась в разных вариантах для построения околопороговых СЧ (см. [73, 86, 1, 87, 69 ] и др.), но также для сохранения ПР [83] или СЧ внутри непрерывного спектра [9]. Кроме того, она же позволяет построить примеры “невидимости” препятствий в акустическом волноводе на заданных наперед частотах (см. [88–90] и др.).

В статье [59] предложен уже обсуждавшийся в замечании 1 наиболее простой и изящный прием построения СЧ в непрерывном спектре симметричного акустического волновода – постановка искусственного условия Дирихле на средней линии (ось $z$ на рис. 2а), которые образуют искусственную ТО $\lambda _{D}^{\dag } > 0$ в спектре ополовиненного волновода. Найти СЧ смешанной краевой задачи на интервале $(0,\lambda _{D}^{\dag })$ удается при помощи простого вариационного подхода (см. [59, 91, 92, 55 ] и многие др.), и это же СЧ попадает на непрерывный спектр исходного акустического волновода.

У задачи (2) в волноводе с цилиндрическими рукавами (1) дискретный спектр заведомо пуст, так как непрерывный спектр занимает всю положительную полуось $[0, + \infty )$. При раскрытии лакун в них все-таки могут появиться изолированные СЧ. Неожиданно применить вариационный подход для их отыскания не удалось, однако работает описанный выше асимптотический метод (см., например, статью [69]), причем со значительными упрощениями (не нужно проводить настройку) и явными выражениями для членов асимптотических формул.

Результат [91] о появлении СЧ ниже ТО в спектре изогнутого квантового двумерного волновода постоянной ширины (рис. 8а) нашел многочисленные применения и обобщения (см. обзор в книге [93]). Пример двумерного акустического волновода постоянной ширины, у которого в непрерывном спектре имеется СЧ, не построен до сих пор. В трехмерном случае известны [94] примеры непустого точечного спектра ${{\sigma }_{p}}$ у волновода

с постоянным сечением $\omega \subset {{R}^{2}}$ и изогнутой осью $Y$ в плоскости $\{ x:{{y}_{2}} = 0\} $, на которой введены локальные криволинейные координаты $(n,s)$, где $s$ – длина дуги, а $n$ – ориентированное расстояние до $Y$. Именно, при двойной симметрии сечения

и любой нетривиальной кривизне $\varkappa $ оси всегда имеется СЧ на интервале $(0,{{\Lambda }_{1}})$, а в случае полной потери симметрии сечением $\omega $ удается построить СЧ ${{\lambda }^{\varepsilon }} = {{\Lambda }_{1}} - {{\varepsilon }^{2}} + O({{\varepsilon }^{3}})$ при специально подобранной малой кривизне $\varkappa (x) = O(\varepsilon )$ конечного участка оси. Наконец, в работе [95] показано, что подбором положения патрубка единичной ширины в плоском коленчатом волноводе на рис. 8б, можно добиться возникновения СЧ внутри непрерывного спектра.

Замечание 6. Поясним, почему при локальном возмущении формы волновода с цилиндрическими рукавами (1) СЧ не имеет возможности подняться вверх от порога непрерывного спектра, но в гофрированном волноводе может отцепиться в обе стороны от вырожденного порога (ср. замечание 2).

В цилиндрическом волноводе $\Pi = \omega \times \mathbb{R}$ все пороги $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ невырожденные, причем $K = 1$ и $\partial _{\eta }^{2}{{\Lambda }_{m}}(0) < 0$ в формуле (24) при интерпретации его как $1$-периодического множества. У задачи

имеются следующие волны:

В случае $\vartheta = - $, т.е. ниже ТО ${{\Lambda }_{m}}$ исчезающие при $z \to \mp \infty $ волны (65) могут породить захваченную волну в возмущенном волноводе ${{\Omega }_{\varepsilon }}$ – процедура точной настройки профиля возмущения стенок представлена в работе [1] и др. Если $\vartheta = + $ и точка ${{\Lambda }_{m}} + \vartheta {{\varepsilon }^{2}}$ расположена выше порога $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$, в списке (66) нет затухающих волн и построение захваченной волны, происходяшей от порога, невозможно (строгое доказательство этого факта приведено в [1, 96]).

Пусть в спектре квазицилиндра $\Pi $ найден простой вырожденный порог, причем ${{\eta }^{0}} = 0$, $K = 3$ и $\partial _{\eta }^{4}{{\Lambda }_{m}}(0) < 0$ в формуле (24) (ср. замечание 2). Классические результаты [97; гл. 7], [98; гл. 9] (см. также статью [71]) о возмущении СЧ операторных пучков показывают, что у задачи (65) в квазицилиндре при $\vartheta = - $ имеются волны

а при $\vartheta = + $ – волны

При этом показатели экспонент удовлетворяют соотношениям

а амплитудные части $\mathcal{U}_{{m\varepsilon }}^{{ \ldots \pm }}(y,z)$ имеют главным асимптотическим членом собственную функцию $\mathcal{U}_{m}^{0}(y,z)$ задачи (13), (14) с $\eta = 0$ и $\Lambda (\eta ) = {{\Lambda }_{m}}(0)$, но различаются в младших асимптотических членах. В итоге, и при $\vartheta = - $ в (67), и при $\vartheta = + $ в (68) около порога $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ существуют затухающие при $z \to \mp \infty $ волны $w_{{m\varepsilon }}^{{{\text{dec}} \pm }}$ и $w_{{m\varepsilon }}^{{{\text{exp}} \pm }}$ соответственно. Таким образом, процедура точной настройки параметров возмущения позволяет построить СЧ и захваченные волны как ниже, так и выше порога $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$.

К сожалению, автор не знает конкретного гофрированного акустического волновода, у которого в спектре существует вырожденный порог, однако в публикациях [99] и [64] эффект поднятия СЧ с вырожденного порога подтвержден для задач теории упругости и теории пластин Кирхгофа. Остался открытым вопрос о построении возмущения, при котором у волновода возникает максимально возможное количество СЧ – два ниже и одно выше ТО.

АНОМАЛИИ ВАЙНШТЕЙНА

В акустических и квантовых волноводах АВД и СЧ могут возникать только ниже невырожденного порога, а выше него зачастую образуются аномалии Вайнштейна (АВН), связанные с почти полным отражением (ППО) или почти полным прохождением (ППП) некоторых волн. Впервые такая необычная дифракционная картина была описана в книге [100], где на основе явных формул для акустического поля было обнаружено ППО поршневой моды в полубесконечной цилиндрической круговой трубе, открытой в пространство. Изучению АВН посвящено большое количество публикаций (см. [101, 96, 2, 102–105 ] и др.), в том числе и для упругих волноводов [106].

Приведем один из результатов статьи [2], относящихся к цилиндрическим волноводам с резонаторами (рис. 2а), и для упрощения формулировок предположим зеркальную симметрию волновода относительно плоскости $\{ x:z = 0\} $ (ср. замечание 6), перпендикулярной оси цилиндра $\Pi $. Рассмотрим какое-то простое СЧ ${{\Lambda }_{m}}$ модельной задачи (7) и отвечающую ему частоту отсечки ${{\kappa }_{\dag }} = \sqrt {{{\lambda }_{\dag }}} $. Спектральному параметру

отвечают $2m$ распространяющихся волн (5), причем у волн $w_{j}^{{\varepsilon \pm }}$ с индексами $j = 1, \ldots ,m - 1$ волновые числа $\alpha _{j}^{\varepsilon } = \sqrt {{{\Lambda }_{m}} - {{\Lambda }_{j}} + {{\varepsilon }^{2}}} $ (см. определение (6)) имеют порядок единицы, но волновое число $\alpha _{m}^{\varepsilon } = \varepsilon $ оказывается малым, т.е. нормирующий множитель $a_{m}^{\varepsilon } = {{(2\varepsilon )}^{{ - 1/2}}}$ становится большим. Интерес представляют коэффициенты отражения $R_{m}^{\varepsilon } = S_{{ - m, - m}}^{\varepsilon }$ и коэффициенты прохождения $T_{m}^{\varepsilon } = S_{{ - m, + m}}^{\varepsilon }$ высокоамплитудной волны $w_{j}^{{\varepsilon + }}$, приходящей из бесконечности в рукаве ${{\Pi }_{ - }}$ (см. разложение (33)). Предположим, что при $\lambda = {{\Lambda }_{m}}$ в задаче (2) реализуется ПР с кратностью $k$, для которой ввиду простоты СЧ возможны три значения $0$, $1$ и $2$. Проведенный в [2] асимптотический анализ показал, что

$1^\circ .$ при $k = 0$ (нет ПСВ) происходит ППО, т.е.

$2^\circ .$ при $k = 1$ (пространство ПСВ одномерно) происходит ППП, т.е.

$3^\circ .$ при $k = 2$ (есть две линейно независимые ПСВ) происходит ППО, т.е.

Ситуации $1^\circ $ и $3^\circ $ можно смоделировать при помощи слабопроницаемой перегородки на торце $\omega ( - \ell )$ рукава ${{\Pi }_{ - }}$, причем она мягкая в случае $1^\circ $ и жесткая в случае $3^\circ $. Ясно, что ПР – неустойчивый феномен, и в статье [94] описана процедура, позволяющая сохранить его, но, как и в случае СЧ, вкрапленного в непрерывный спектр, требующая “точной настройки” формы возмущения стенок. Поэтому $1^\circ $ – ситуация общего положения. Пример ПР с кратностью $k = 1$ очевиден: прямой цилиндр или полоса. Известный автору пример⁸⁸ ситуации $3^\circ $ весьма экзотичен, а именно, два полуцилиндра соединены тонкими изогнутыми трубками в количестве $N \leqslant 8$ штук при специальном подборе их длин (см. схему на рис. 9а).

Как упоминалось, на нулевой ТО реализуется простой ПР. Рассмотрим задачу рассеяния на низких частотах $\kappa \ll 1$ в волноводе $\Omega $, состоящем из конечного ядра $\Theta $ и полуцилиндров ${{\Pi }_{1}}, \ldots ,{{\Pi }_{N}}$ (рис. 9б с $N = 3$), т.е. задачу Неймана (2) с малым параметром $\lambda = {{\kappa }^{2}}$. Пусть сечения рукавов

одинаковы; здесь ${{y}^{n}} = (y_{1}^{n}, \ldots ,y_{{d - 1}}^{n})$ и ${{z}_{n}}$ – локальные декартовы координаты. Поршневая мода $w_{m}^{ - }({{z}_{m}}) = {{e}^{{ - i\kappa {{z}_{m}}}}}$ приходит из бесконечности в рукаве ${{\Pi }_{m}}$ и рассеивается в рукавах (70) с коэффициентами $S_{{m1}}^{\kappa }, \ldots ,S_{{mN}}^{\kappa }$. Простой асимптотический анализ приводит к формулам

Таким образом, при $N = 1$ и $N = 2$ реализуются ППО ($S_{{11}}^{0} = 1$) и ППП ($S_{{22}}^{0} = 0$ и $S_{{21}}^{0} = 1$) соответственно, однако в случае $N\,\, \geqslant \,\,3$ никаких особенностей в картине рассеяния нет.

Замечание 6. При $N = 2$ при разных площадях сечений рукавов или при потере волноводом зеркальной симметрии ПСВ приобретают разложение

причем ${{K}_{ - }} \ne {{K}_{ + }}$ и

В этом случае согласно вычислениям из [2] коэффициенты отражения и прохождения на частоте ${{\kappa }^{\varepsilon }}$ из (69) принимают вид

Ясно, что в случае $\left| {{{K}_{ - }}} \right| = \left| {{{K}_{ + }}} \right|$ реализуется ППП и без симметрии волновода, но в случаях ${{K}_{ - }} = 0$ или ${{K}_{ + }} = 0$ – ППО.

Работа финансово поддержана Российским научным фондом (проект 17-11-01003).