Акустический журнал, 2020, T. 66, № 5, стр. 509-516

1. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Большинство методов калибровки акустических излучателей в бассейне с отражающими границами основаны на выделении прямого сигнала, приходящего в точки приема без отражения от границ. Чаще всего используется облицовка границ поглощающим покрытием для ослабления отраженных сигналов и/или селекция прямых сигналов по времени распространения [1, 2]. Эти подходы эффективны лишь на достаточно высоких частотах. При калибровке низкочастотных излучателей задача усложняется, и ее решение требует применения специальных методов обработки сигналов [3–5].

В недавней работе [6] развит альтернативный подход, позволяющий провести калибровку излучателя в бассейне без выделения прямого сигнала. Он базируется на использовании метода эквивалентных источников (ЭИ) [7–12]. Предполагается, что поля, возбуждаемые калибруемым излучателем и в бассейне, и в свободном пространстве могут быть представлены в виде суперпозиции полей одних и тех же акустических монополей, играющих роль ЭИ, с одними и теми же амплитудами. Амплитуды ЭИ восстанавливаются по данным измерений в бассейне. Необходимые для решения этой обратной задачи значения функции Грина уравнения Гельмгольца измеряются с помощью процедуры, названной в [6] калибровкой бассейна. Она заключается в том, что эталонный акустический монополь поочередно помещается в точки расположения ЭИ и сигналы, излучаемые им из этих точек, регистрируются всеми приемниками. Искомое поле излучателя в свободном пространстве затем легко вычисляется с использованием найденных амплитуд ЭИ и известного выражения для функции Грина свободного пространства.

Возможности этого способа калибровки существенно ограничивает отсутствие обоснованных общих рекомендаций по выбору количества ЭИ и точек их размещения, гарантирующих эффективность моделирования поля произвольного источника звука суперпозицией полей ЭИ [8, 12]. Однако такие рекомендации можно сформулировать для низкочастотного излучателя с размерами меньше длины волны, поле которого в свободном пространстве можно представить в виде суперпозиции монопольной, дипольных и квадрупольных компонент. В данной статье показано, что возможность пренебрежения вкладами высших мультиполей сильно упрощает анализ и позволяет сформулировать требования к расположению ЭИ и точек приема, достаточные для реконструкции поля калибруемого источника в свободном пространстве.

Материалы статьи расположены в следующем порядке. Для удобства читателя в разд. 2 кратко изложена основная идея метода из работы [6]. Требования к выбору координат ЭИ сформулированы в разд. 3. Анализу условий, при выполнении которых одни и те же ЭИ представляют поле излучателя и в бассейне, и в свободном пространстве, посвящен разд. 4. Критерий правильного выбора количества и позиций точек приема установлен в разд. 5. Эффективность найденных условий, обеспечивающих возможность решения обратной задачи, продемонстрирована на численном примере в разд. 6. Итоги работы подведены в разд. 7.

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

В этом разделе мы кратко изложим идею подхода, предложенного в [6], и поставим вопросы, на которые нужно ответить для формулировки условий его применимости.

Процедура измерений схематически проиллюстрирована на рис. 1. Поле $u$, возбуждаемое на несущей частоте $f$ в бассейне, заполненном водой с постоянной скоростью звука $c$, регистрируется в точках ${{R}_{m}}$, $m = 1, \ldots ,\,M$, расположенных на поверхности $\sigma $, охватывающей излучатель [7–12].

Обсуждаемый подход базируется на аппроксимации поля излучателя на поверхности $\sigma $ суперпозицией полей ЭИ. Последние представляют собой акустические монополи, расположенные внутри $\sigma $ в точках ${{r}_{n}}$, $n = 1, \ldots ,N$. Их суммарное поле в свободном пространстве с такой же скоростью звука, как в бассейне, равно

где $R$ – точка наблюдения, – функция Грина уравнения Гельмгольца в свободном пространстве, $k = {{2\pi f} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi f} c}} \right. \kern-0em} c}$, ${{A}_{n}}$ – комплексные амплитуды ЭИ [13]. Временной множитель ${{e}^{{ - 2\pi ift}}}$ здесь и далее опускаем.

При применении метода ЭИ монополи нередко располагают внутри области, ограниченной поверхностью излучателя [8, 12]. Здесь мы не накладываем такого ограничения, что отражено на рис. 1.

Предполагается, что в бассейне с отражающими границами излучаемое поле $\tilde {u}\left( R \right)$ может быть представлено в виде суперпозиции полей, возбужденных теми же ЭИ, т.е. акустическими монополями, размещенными в тех же точках ${{r}_{n}}$ и имеющими те же амплитуды ${{A}_{n}}$. Это значит, что

где $\tilde {G}\left( {R,r} \right)$ – функция Грина в бассейне. Результаты измерения поля $\tilde {u}$ образуют вектор $\tilde {u} = {{\left[ {\tilde {u}\left( {{{R}_{1}}} \right), \ldots ,\tilde {u}\left( {{{R}_{M}}} \right)} \right]}^{T}}$, где символ $T$ обозначает транспонирование. Для отыскания неизвестных амплитуд ЭИ, мы получаем систему линейных уравнений, которая в матричных обозначениях принимает вид где $\tilde {G}$ – $M \times N$ матрица с элементами ${{\tilde {G}}_{{mn}}} = \tilde {G}\left( {{{R}_{m}},{{r}_{n}}} \right)$, $A = $ ${{\left[ {{{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{N}}} \right]}^{T}}$ – вектор искомых амплитуд. Матричные элементы ${{\tilde {G}}_{{mn}}}$ измеряются с использованием эталонного монополя, который поочередно помещается во все точки ${{r}_{n}}$, и сигналы, излученные из каждой точки, регистрируются всеми $M$ приемниками. Эта процедура в [6] названа калибровкой бассейна.

Для решения системы уравнений (4) применим сингулярное разложение матрицы $\tilde {G}$ [14, 15]

где ${{\gamma }_{l}}$ – сингулярные числа, ${{\xi }_{l}}$ и ${{\eta }_{l}}$ – сингулярные векторы, символ $H$ означает эрмитово сопряжение. Псевдообратная к $\tilde {G}$ матрица имеет вид суммы в которой учитываются лишь ${{L}_{1}} \leqslant L$ первых (относительно больших) сингулярных чисел. Соотношение дает оценку вектора $A$. Подставляя это решение в (1), находим искомое поле калибруемого излучателя в свободном пространстве.

Как отмечено во Введении, применение описанной процедуры далеко не всегда гарантирует правильную реконструкцию поля излучателя. Для формулировки условий применимости обсуждаемого подхода нужно ответить на следующие вопросы:

1. Как выбрать количество акустических монополей и их координаты, чтобы сумма (1) могла с высокой точностью аппроксимировать поле калибруемого излучателя в свободном пространстве?

2. Когда поле излучателя в бассейне может быть аппроксимировано суммой (3) с теми же амплитудами ЭИ $\;{{A}_{n}}$, что и в свободном пространстве?

3. При каких условиях амплитуды ЭИ ${{A}_{n}}$ могут быть найдены с приемлемой точностью из системы линейных уравнений (4), связывающих их с измеренными амплитудами поля $\tilde {u}\left( {{{R}_{m}}} \right)$? Погрешность оценки (7) может быть велика из-за того, что система (4) недоопределена, а матрица $\tilde {G}$ плохо обусловлена. Кроме того, совпадение суперпозиции полей ЭИ с полем калибруемого излучателя в $M$ точках измерительной поверхности $\sigma $, в особенности, если $M$ невелико, еще не гарантирует близости этих полей в других точках $\sigma $.

В данной работе ответы на эти вопросы будут получены в предположении, что мультипольное разложение поля калибруемого излучателя полностью определяется вкладами монополя, диполей и квадруполей, а вкладами мультиполей более высоких порядков можно пренебречь. Это условие обычно выполняется для излучателя с размерами меньше длины волны [16].

3. ВЫБОР ПОЗИЦИЙ ЭИ

Начнем с ответа на вопрос 1. Введем сферическую систему координат $\left( {R,\,\theta ,\,\varphi } \right)$, где $R = \left| R \right|$, а $\theta $ и $\varphi $ – полярный и азимутальный углы точки $R$. Начало системы координат поместим в центре излучателя. Вне излучателя звуковое поле можно представить в виде [17, 18]

где $C_{\nu }^{\mu }$ – коэффициенты разложения, – сферические функции Ханкеля, – сферические гармоники, $P_{\nu }^{\mu }\left( x \right)$ – присоединенные полиномы Лежандра.

Далее нам понадобится разложение (8) поля $n$-го ЭИ

для коэффициентов которого имеется известное аналитическое выражение [17, 18] где $\left( {{{r}_{n}},\,{{\theta }_{n}},\,{{\varphi }_{n}}} \right)$ – сферические координаты точки ${{r}_{n}}$, ${{j}_{\nu }}\left( x \right)$ – сферические функции Бесселя первого рода [19].

Переобозначим $C_{\nu }^{\mu }$, $Q_{{n,\,\nu }}^{\mu }$ и $S_{\nu }^{\mu }\left( R \right)$, заменив их соответственно на ${{C}_{q}}$, ${{Q}_{{n,\,q}}}$ и ${{S}_{q}}\left( R \right)$, где

Правило (13) устанавливает взаимно однозначное соответствие между парами индексов $\left( {\nu ,\,\mu } \right)$ и индексами $q$, представленными натуральными числами. В новых обозначениях разложения (8) и (11) переходят соответственно в

и

Вклады монопольной, дипольных и квадрупольных компонент поля $u\left( R \right)$ формируются слагаемыми ряда (8) с $\nu \leqslant 2$ [17, 18], которые образуют первые девять членов ряда (14). Наше предположение о поле излучателя, сформулированное в конце предыдущего раздела, означает, что все слагаемые с $q > 9$ в правой части (14) малы и их можно отбросить. Поэтому достаточным условием представления $u\left( R \right)$ в виде суперпозиции полей ЭИ (1) является возможность приближенного представления каждой из функций ${{S}_{q}}\left( R \right)$ с $q \leqslant 9$ в виде

Коэффициенты ${{P}_{{qn}}}$ нужно подобрать таким образом, чтобы левая и правая части были максимально близки в точках поверхности $\sigma $.

Для простоты будем рассматривать ситуацию, когда все ЭИ расположены так близко к началу координат, что

Принимая во внимание асимптотическую формулу для функции ${{j}_{\nu }}\left( x \right)$ при малом значении аргумента [19]

видим, что при условии (17) величина $\left| {C_{\nu }^{\mu }} \right|$ быстро спадает с ростом $\nu $ и, соответственно, $\left| {{{C}_{q}}} \right|$ уменьшается с ростом $q$.

Полагаем, что для всех точек $R$ поверхности $\sigma $ выполняется условие

Благодаря этому значения сферических функций Ханкеля $h_{\nu }^{{(1)}}\left( {k\left| R \right|} \right)$ в точках поверхности $\sigma $ не растут неограниченно с ростом $\nu $ и при выполнении (17) в бесконечной сумме в правой части (15) можно ограничиться учетом конечного числа слагаемых. Тогда в качестве коэффициентов ${{P}_{{qn}}}$ в (16) можно взять элементы матрицы $P$, которая псевдообратна к матрице $Q$ с коэффициентами ${{Q}_{{nq}}}$. Найденные таким образом аппроксимации сферических функций ${{S}_{q}}\left( R \right)$ правыми частями (16) являются приближенными. Точность этого приближения для любого конкретного выбора точек ${{r}_{n}}$ легко оценить количественно. Полагая, что расстояния от центра излучателя до точек $\sigma $ не сильно отличаются от некоторого среднего радиуса ${{R}_{0}}$, в качестве оценки точности аппроксимации примем

где интегрирование идет по ${{\sigma }_{0}}$ – поверхности сферы радиуса ${{R}_{0}}$, $ds$ – элемент площади, – невязка. Критерием правильности выбора позиций ЭИ является выполнение условий

4. ПОЛЯ, СОЗДАННЫЕ ОДНИМИ И ТЕМИ ЖЕ ЭИ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ И В БАССЕЙНЕ

Перейдем к ответу на вопрос 2. Предполагается, что объемные скорости монополей, представляющих ЭИ, одинаковы и в свободном пространстве, и в бассейне. Кроме того, каждая точка поверхности калибруемого источника в бассейне и свободном пространстве осциллирует одинаково.

Поле $\tilde {u}\left( R \right)$, возбуждаемое ЭИ в бассейне, представим в виде $\tilde {u}\left( R \right) = u\left( R \right) + v(R)$, где $u\left( R \right)$ – поле, возбужденное теми же источниками в свободном пространстве, а $v(R)$ – компонента, формируемая отражениями от границ. Функция $v\left( R \right)$ представляет решение уравнения Гельмгольца в бассейне с граничными условиями, которые задаются значениями поля $u\left( R \right)$ и его производных вблизи стенок бассейна.

Поле, возбуждаемое в бассейне излучателем, обозначим $\tilde {u}{\kern 1pt} '\left( R \right)$ и представим его в аналогичном виде $\tilde {u}{\kern 1pt} '\left( R \right) = u{\kern 1pt} '\left( R \right) + v{\kern 1pt} '(R)$, где $u{\kern 1pt} '\left( R \right)$ – поле в свободном пространстве, а $v{\kern 1pt} '(R)$ – вклад волн, отраженных от границ. Поля $u\left( R \right)$ и $u{\kern 1pt} '\left( R \right)$ различаются вблизи излучателя и ЭИ, но на поверхности $\sigma $ они совпадают. Следовательно, они совпадают во всей области $\Gamma $ между $\sigma $ и границей бассейна. Поэтому функции $v\left( R \right)$ и $v{\kern 1pt} '(R)$ являются решениями уравнения Гельмгольца с одинаковыми граничными условиями.

Различие между $v\left( R \right)$ и $v{\kern 1pt} '(R)$ обусловлено тем фактом, что $v\left( R \right)$ представляет решение в пустом бассейне (рассеяния волн на точечных ЭИ не происходит), а $v{\kern 1pt} '\left( R \right)$ – решение в присутствии излучателя конечного размера. Если рассеяние на излучателе пренебрежимо мало, то компоненты полей $v\left( R \right)$ и $v{\kern 1pt} '\left( R \right)$ всюду совпадают за исключением небольшой области вблизи излучателя. При этом на измерительной поверхности $\sigma $ суммарные поля $\tilde {u}\left( R \right)$ и $\tilde {u}{\kern 1pt} '\left( R \right)$ тоже совпадают.

Интуитивно понятно, что рассеянием на излучателе можно пренебречь, если его объем достаточно мал. Количественный критерий малости получен в работе [6] в предположении, что размеры излучателя меньше длины волны и при оценке интенсивности рассеянного поля его можно заменить твердой сферой такого же объема. В этом случае интенсивность рассеянного поля у границы бассейна будет много меньше интенсивности падающего, если

где ${{V}_{s}}$ – объем излучателя, $b$ – характерный размер бассейна. При выполнении данного условия одни и те же ЭИ аппроксимируют поле излучателя и в свободном пространстве, и в бассейне.

Отметим, что представление акустического поля суперпозицией полей ЭИ, как правило, неоднозначно [13]. Даже при фиксированном выборе точек расположения монополей ${{r}_{n}}$ может существовать бесконечно много векторов $A$, “обеспечивающих” выполнение равенств (1) и (3). Это происходит, если $M < N$ и система (4) недоопределена. Такая ситуация часто возникает при использовании метода ЭИ, поскольку количество приемников обычно меньше количества ЭИ [13]. Однако неоднозначность выбора $A$ не противоречит получению однозначного решения нашей обратной задачи. Ведь любые два вектора $A$ и $A{\kern 1pt} '$, которые определяют поля $u$ и $u{\kern 1pt} '$ в свободном пространстве, совпадающие на поверхности $\sigma $, задают поля $\tilde {u}$ и $\tilde {u}{\kern 1pt} '$ в бассейне, тоже совпадающие на $\sigma $. В этом легко убедиться с помощью рассуждения, аналогичного приведенному выше, при сравнении полей излучателя и моделирующих его ЭИ. Оба рассуждения фактически основаны на однозначности решения уравнения Гельмгольца с граничными условиями, заданными на замкнутой поверхности [20]. Точно также можно показать, что любой вектор $A$, который задает поле (3), аппроксимирующее поле излучателя на поверхности $\sigma $ в бассейне, одновременно задает поле (1), аппроксимирующее поле излучателя в свободном пространстве.

5. ВЫБОР КООРДИНАТ ПРИЕМНИКОВ

Принимая во внимание соотношения (14) и (16), поле в бассейне можно представить в виде

где

Переход от (14) к (22) является аналогом перехода от (1) к (3). Использование априорной информации об излучателе (пренебрежение вкладами высших мультиполей) позволило свести задачу отыскания $N$ неизвестных коэффициентов ${{A}_{n}}$ к отысканию девяти коэффициентов ${{C}_{q}}$. Связь между ${{A}_{n}}$ и ${{C}_{q}}$ выражается соотношением

которое легко получить, подставляя (23) в (22) и сравнивая найденное выражение с (3).

Таким образом, от системы линейных уравнений (4) мы переходим к системе

где $C$ – вектор размера $9 \times 1$ с элементами ${{C}_{q}}$, $q = 1, \ldots 9,$ а $\tilde {S}$ – матрица размера $M \times 9$, столбцами которой служат векторы ${{\left[ {{{{\tilde {S}}}_{q}}\left( {{{R}_{1}}} \right), \ldots ,{{{\tilde {S}}}_{q}}\left( {{{R}_{M}}} \right)} \right]}^{T}}$. Предполагается, что $M \geqslant 9$, т.е. поле в бассейне измеряется, как минимум, в девяти точках. В противном случае система (25) будет недоопределена, ее решение будет неоднозначным, и в отсутствие дополнительной априорной информации об источнике мы не сможем снять эту неопределенность. При $M \geqslant 9$ решение (25) равно $C = {{\tilde {S}}^{ + }}\tilde {u}$, где ${{\tilde {S}}^{ + }}$ – матрица, обратная или псевдообратная к $\tilde {S}$. Для того чтобы решение было слабо чувствительно к влиянию шумов и погрешностей измерений, нужно, чтобы матрица $\tilde {S}$ была хорошо обусловлена. Это значит, что число обусловленности, которое в данном случае выражается отношением первого (наибольшего) сингулярного числа $\tilde {S}$ к девятому (наименьшему), должно быть не слишком велико. Точки приема $R = {{R}_{m}}$, удовлетворяющие условию (18), должны быть выбраны таким образом, чтобы это требование выполнялось. В совокупности с условиями, выраженными неравенствами (17) и (20), данное требование дает ответ на вопрос 3 из разд. 2 о достаточном условии правильной реконструкции амплитуд ЭИ. После того, как коэффициенты ${{C}_{q}}$ найдены, амплитуды ЭИ ${{A}_{n}}$ находятся по формуле (24).

Искомое поле калибруемого источника в свободном пространстве затем вычисляется подстановкой найденных ${{A}_{n}}$ в (1) или, что эквивалентно, подстановкой найденных ${{C}_{q}}$ в первые девять слагаемых суммы в правой части (14) и отбрасыванием остальных слагаемых.

6. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР

Для иллюстрации описанной процедуры рассмотрим реконструкцию поля идеализированной модели излучателя, имеющего форму куба с длиной ребра $a = 0.3$ м, две пары противоположных граней которого осциллируют вдоль своих нормалей (рис. 2). Комплексные амплитуды скоростей у каждой пары одинаковы. Они равны $V$ у одной пары и $ - V$ у другой. Две оставшиеся грани неподвижны.

Излучатель работает на частоте $f = 1000$ Гц в бассейне, тоже имеющем форму куба с ребром длиной 3 м и твердыми границами. Бассейн заполнен водой со скоростью звука $c = 1500$ м/с. Поскольку длина волны $\lambda = 1.5$ м велика по сравнению с размером нашего источника, его поле в дальней зоне должно быть близко к полю квадруполя.

Поля, возбужденные в свободном пространстве и бассейне, рассчитывались методом конечных элементов. Грани излучателя располагались параллельно граням бассейна, а его центр был смещен на 0.5 м вдоль одного из ребер. При анализе поля использовалась сферическая система координат, центр которой совпадал с центром источника.

В качестве измерительной поверхности $\sigma $, на которой располагались точки приема, была взята сфера радиусом $R = 1.4$ м. Она приблизительно равномерно была покрыта $M = 150$ точками приема ${{R}_{m}}$. ЭИ располагались в 27 точках, образующих куб размером $3 \times 3 \times 3$ см с расстоянием между ближайшими точками (шагом кубической решетки) 0.015 м. Для выбранных точек расположения ЭИ и приемников условия (17) и (18) выполняются.

При вычислении матрицы $P$, псевдообратной к $Q$, использован тот же метод, базирующийся на сингулярном разложении, который применялся при вычислении псевдообратной матрицы ${{\tilde {G}}^{ + }}$ (см. (6)). Матрица $Q$ имеет размер $N \times K$, где $K$ – количество слагаемых, удерживаемых в сумме (15). Величина $K$ определяется тем, насколько быстро уменьшаются амплитуды коэффициентов $\left| {{{Q}_{{nq}}}} \right|$ с ростом $q$. В нашем примере значения $\left| {{{Q}_{{nq}}}} \right|$ резко спадают при $q > 9$, и поэтому мы выбрали $K = 9$. Результаты моделирования показывают, что увеличение $K$ не повышает точности реконструкции.

Величины параметров ${{\varepsilon }_{q}}$, заданные (19), в нашем примере не превышают 0.01, т.е. критерий правильности выбора позиций ЭИ (20) выполняется. Отношение наибольшего сингулярного числа матрицы $\tilde {S}$ к наименьшему равно 60, что свидетельствует о хорошей обусловленности данной матрицы.

На рис. 3 показан результат реконструкции диаграммы направленности нашего источника в свободном пространстве

Поскольку амплитуда возбуждаемого поля прямо пропорциональна скорости пульсации граней $V$, диаграмма направленности от $V$ не зависит. На рис. 3а показана диаграмма $D\left( {\theta ,\,\varphi } \right)$, найденная путем прямого расчета поля в свободном пространстве, а на рис. 3б – диаграмма ${{D}_{r}}\left( {\theta ,\,\varphi } \right)$, реконструированная по значениям $\tilde {u}$ в указанных выше точках ${{R}_{m}}$. Точность реконструкции количественно характеризуется параметром

который в нашем примере равен 0.13. Практически такой же результат получается, если из 150 точек приема ${{R}_{m}}$ оставить лишь 9. При этом нужно, чтобы эти точки были расположены достаточно далеко друг от друга, так как в противном случае у матрицы $\tilde {S}$ могут оказаться близкие столбцы и она станет плохо обусловленной. Во всех рассмотренных нами примерах хорошо обусловленной матрицы $\tilde {S}$ (с числом обусловленности менее 1000) параметр $\mu $ принимал значения, не превышающие 0.25. Аналогичные результаты были получены при реконструкции поля другого модельного источника, представляющего собой твердый цилиндр с пульсирующими основаниями.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Условия применимости метода ЭИ, неизвестные в общем случае [8, 12], в данной работе сформулированы для источника, в мультипольном разложении поля которого в свободном пространстве все компоненты, кроме монопольной, дипольных и квадрупольных, пренебрежимо малы. В этом случае реконструируемое поле представлено суммой первых девяти членов ряда (14), и задача заключается в отыскании неизвестных амплитуд ${{C}_{1}}, \ldots ,{{C}_{9}}$. Для решения задачи ЭИ должны быть расположены таким образом, чтобы суперпозиции их полей могли аппроксимировать каждую из девяти функций ${{S}_{q}}\left( R \right)$ (условие (20)). При этом поле в бассейне будет представлено в виде суперпозиции девяти функций ${{\tilde {S}}_{q}}\left( R \right)$ с теми же амплитудами ${{C}_{1}}, \ldots {{C}_{9}}$, что и в свободном пространстве. Для восстановления этих амплитуд достаточно, чтобы система уравнений (25) состояла всего из девяти уравнений. Поэтому при регистрации излученного поля нет необходимости в том, чтобы точки приема ${{R}_{m}}$ плотно покрывали поверхность $\sigma $. Достаточно иметь всего 9 правильно (с учетом введенных требований) выбранных точек приема.

Основным результатом данной статьи является формулировка достаточных условий применимости метода калибровки акустического излучателя, идея которого предложена в [6]. Следует отметить, что необходимость найденных условий здесь не доказана. Предполагается, что точки ${{r}_{n}}$ и ${{R}_{m}}$ выбираются эмпирически с соблюдением неравенств (17) и (18). Правильность выбора затем проверяется с помощью критериев, установленных в разд. 3 и 5: должны выполняться неравенства (20) и матрица $\tilde {S}$ должна быть хорошо обусловлена. Еще одним условием применимости обсуждаемого подхода является малость объема источника, который должен удовлетворять критерию (21).

В данной работе мы не рассматривали влияния внешних шумов и неточности измерений, приводящих к тому, что вектор $\tilde {u}$ всегда известен с некоторой ошибкой. Этот вопрос требует специального изучения. Здесь мы отметим лишь, что вследствие хорошей обусловленности матрицы $\tilde {S}$ малые изменения вектора $\tilde {u}$ вызывают малые изменения решения системы (25) и, соответственно, приводят к относительно небольшим ошибкам в реконструкции поля источника.

Результаты численного моделирования подтверждают эффективность введенных критериев. Вместе с тем вопрос оптимального выбора количества ЭИ и их позиций остается открытым.

Неисследованным пока остается и вопрос об условиях применимости сделанного в начале разд. 4 предположения том, что отражения волн от границ бассейна не приводят к заметному изменению скорости осцилляций поверхности излучателя по сравнению со случаем свободного пространства. Ответ на этот вопрос для каждого конкретного источника должен быть получен с использованием соответствующих уравнений электромеханического преобразования и оценок радиационного импеданса источника в бассейне [21, 22].

Работа выполнена в рамках государственного задания ИПФ РАН (проекты 0035-2019-0019 и 0035-2019-0006).