Акустический журнал, 2020, T. 66, № 5, стр. 467-474

ВВЕДЕНИЕ

Использование новых материалов влечет за собой активное развитие методов неразрушающего контроля для изготовленных из них конструктивных элементов. В этом процессе свою нишу занимает исследование распространения волн в неоднородных волноводах. При том, что однородные волноводы исследованы достаточно подробно [1] на основе аналитических методов, исследование волновых процессов в функционально-градиентных и кусочно-неоднородных волноводах осуществляется в основном численно. Для успешного решения обратной задачи по идентификации скрытых (внутренних) дефектов требуется развитие методик решения прямых задач о распространении волн в неоднородных волноводах с дефектами. Для исследования волновых процессов в однородных структурах с дефектами в основном используются методы, базирующиеся на закономерностях распространения волн Лэмба [2]. В [3] осуществляется идентификация размеров и глубины отслоения по изменению резонансных частот. Дальнейшее продвижение в исследовании волновых процессов в неоднородных структурах осуществляется обычно разбиением на кусочно-однородные области либо построением решений для неоднородностей простого вида. Экспоненциальный закон использован в [4] для описания деформирования неоднородной плоскости с разрезом. В работе [5] найден способ построения приближенного решения задачи о дискообразной трещине в функционально-градиентном пространстве путем рассмотрения задачи, в которой произвольный закон неоднородности заменяется аппроксимацией некоторой системой функций.

Математический аппарат для решения задач о волнах в протяженных объектах с дефектами обычно основывается на применении метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) [6, 7] или применении метода конечных элементов (МКЭ) [8, 9], дополненного неотражающими граничными условиями. ГИУ возникают при решении задач с раскрытыми трещинами, причем интегральные уравнения формируются относительно скачков перемещений и являются гиперсингулярными. При использовании МКЭ основной проблемой является корректный переход от неограниченной структуры к ограниченной и выявление структуры решения в окрестности вершин трещин.

В рамках первого подхода можно выделить различные способы решения задачи. Так, в [6] методом разложения в ряд по параметру решена задача о трещине на границе полосы и полуплоскости; решение зависит от соотношения упругих модулей на границе раздела сред. Составлена и решена на основе метода “больших $\lambda $” система интегральных уравнений с гиперсингулярными ядрами. Другой способ нахождения решения основан на построении интерполяционных многочленов для функций раскрытия и сведении задачи к решению алгебраической системы. Таким методом в статье [10] решена задача для полосы с трещиной, заполненной клеевым составом. В [11] решена задача о полосовой трещине на границе двух полупространств. Для решения возникающего гиперсингулярного ГИУ применялся метод Бубнова–Галеркина с разложением по ортогональным полиномам Чебышева второго рода. Построены асимптотики ядер интегральных уравнений, предложена формула, уточняющая квазистатическое приближение. В работе [12] исследовано явление блокирования волн в полуплоскости и в слое с продольной трещиной. Для полуплоскости решение строится аналогично работе [11], а для полосы осуществляется разложение решения ГИУ по нормальным модам, и задача сведена к бесконечной алгебраической системе.

В рамках второго подхода возможно моделирование волновода практически любой формы, содержащего дефекты любой природы в ограниченной области. В работе [8] решение задачи строится путем сопряжения численного решения в конечной неоднородной области с аналитическими решениями в полубесконечных областях. В [9] для расчета полей в неограниченном теле с дефектом применен МКЭ совместно с масштабирующими граничными условиями (разновидность граничных условий неотражающего типа).

В настоящем исследовании использован метод ГИУ. В силу переменности коэффициентов дифференциального оператора, возникающего во вспомогательной задаче для трансформант Фурье, не удается применить методику учета трещины путем добавления в уравнение массовых сил [13]. Ядра системы интегральных уравнений относительно скачков перемещений построены на основе решения вспомогательных задач Коши в пространстве трансформант [14], а само решение ГИУ построено на основе метода граничных элементов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим волны в неоднородном по радиальной координате цилиндрическом волноводе с кольцевым поперечным сечением ($a \leqslant r \leqslant b$), содержащем осесимметричную область с отслоением (замкнутая трещина конечной ширины, занимающая область $\left\{ {\left( {r,\varphi ,z} \right){\kern 1pt} :\,\,r = {{r}_{1}},} \right.$ $\left. {\varphi \in \left[ {0,2\pi } \right),\,\,{{z}_{1}} \leqslant z \leqslant {{z}_{2}}} \right\}$). Колебания волновода вызываются действием распределенной осесимметричной нагрузки на внешней границе волновода $q\left( z \right)$ (рис. 1). Внутренняя граница волновода и берега отслоения свободны от напряжений, т.е. трещина считается раскрытой. Осесимметричная форма уравнений установившихся колебаний с частотой ${\omega }$ в цилиндрической системе координат имеет вид [15]

Компоненты тензора напряжений Коши для изотропного цилиндра выражаются следующими формулами:

где ${{u}_{r}},\,{{u}_{z}}$ – компоненты вектора перемещений, ${{\sigma }_{r}}$, ${{\sigma }_{{rz}}}$, ${{\sigma }_{{zr}}}$, ${{\sigma }_{\varphi }}$, ${{\sigma }_{z}}$ – компоненты тензора напряжений Коши, $\lambda ,\;\mu $ – параметры Ламе, которые также могут зависеть от радиальной координаты. Замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения [16].

Введем следующие безразмерные параметры и переменные:

Цилиндрическая поверхность отслоения в безразмерных координатах задается множеством $\left\{ {\left( {x,y} \right){\kern 1pt} :\,\,x = {{\xi }_{1}} \in \left( {{{\xi }_{0}},1} \right),} \right.$ $\left. {y \in \left[ { - {{l}_{0}},{{l}_{0}}} \right]} \right\}$. Здесь и далее в силу осевой симметрии задачи опущено условие на окружную координату $\varphi \in \left[ {0,2\pi } \right)$. Будем считать, что внешняя нормальная нагрузка, вызывающая распространение волн в волноводе, приложена в области $\left\{ {\left( {x,y} \right){\kern 1pt} :x = 1,y \in \left[ {{{l}_{1}},{{l}_{2}}} \right]} \right\}$.

Выполним интегральное преобразование Фурье вдоль продольной координаты в областях ${{S}_{1}} = \left\{ {\left( {x,y} \right){\kern 1pt} :{{\xi }_{0}} \leqslant x \leqslant {{\xi }_{1}},} \right.$ $\left. { - \infty < y < \infty } \right\}$ и ${{S}_{2}} = \left\{ {\left( {x,y} \right){\kern 1pt} :{{\xi }_{1}} \leqslant x \leqslant 1,} \right.$ $\left. { - \infty < y < \infty } \right\}$ при условии, что известно поле перемещений на условной границе $x = {{\xi }_{1}}$, базируясь на работе [14]. Введем следующее обозначение для трансформант

С целью исследования произвольной неоднородности, связанной с переменностью упругих параметров, сформируем каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:

где ${\mathbf{\tilde {X}}} = {{\left( {{{{\tilde {X}}}_{1}},\,\,{{{\tilde {X}}}_{2}},\,\,{{{\tilde {X}}}_{3}},\,\,{{{\tilde {X}}}_{4}}} \right)}^{T}}$.

Приведем лишь ненулевые коэффициенты матриц:

Введенные в уравнении (2) матрицы имеют переменные коэффициенты, являющиеся рациональными функциями относительно $x$, ${{x}^{2}}$, ${{g}_{1}}\left( x \right)$, ${{g}_{2}}\left( x \right)$ и ограниченными в силу условий ${{g}_{1}}\left( x \right),{{g}_{2}}\left( x \right) > 0$, ${{\xi }_{0}} > 0$. Таким образом, решение уравнения (2) может быть построено численно как при непрерывных, так и при кусочно-непрерывных функциях ${{g}_{1}}\left( x \right)$, ${{g}_{2}}\left( x \right)$ с разрывами первого рода.

Сформулируем ряд вспомогательных задач Коши для (2)

Векторы ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$, ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$, ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 3 \right)}}}$, ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 4 \right)}}}$ являются решениями уравнения (2) с граничными условиями (3), (4), (5) и (6), соответственно. Для их численного нахождения использованы схемы Рунге–Кутта 4–5 порядка.

Пусть колебания волновода вызваны нагрузкой $q\left( z \right) = \delta \left( z \right)$, приложенной на его внешней границе, а внутренняя граница свободна от напряжений. Решение этой задачи в пространстве трансформант строится как линейная комбинация ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 0 \right)}}} = {{q}_{1}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 1 \right)}}} + {{q}_{2}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$. Рассматриваемое ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 0 \right)}}}$ автоматически удовлетворяет граничным условиям на границе $x = {{\xi }_{0}}$. Выбирая ${{q}_{1}},\,{{q}_{2}}$, обеспечим выполнение следующих условий $\tilde {Z}_{3}^{{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) = 1$, $\tilde {Z}_{4}^{{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) = 0$ на границе $x = 1$. Для этого решим систему

Теперь сконструируем решения, которые дают единичные скачки радиальных и продольных перемещений на трещине для задачи в трансформантах. Составим следующие линейные комбинации ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 1 \right)}}} = {{p}_{1}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 1 \right)}}} + {{p}_{2}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ + ${{p}_{3}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 3 \right)}}} + {{p}_{4}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 4 \right)}}}$, ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 2 \right)}}} = {{d}_{1}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 1 \right)}}} + {{d}_{2}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ + ${{d}_{3}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 3 \right)}}} + {{d}_{4}}{{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 4 \right)}}}$, причем будем считать, что ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 1 \right)}}} = {{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 2 \right)}}} \equiv 0$ в ${{{{S}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{S}_{2}}} {{{S}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{S}_{1}}}}$ и ${{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 3 \right)}}} = {{{\mathbf{\tilde {X}}}}^{{\left( 4 \right)}}} \equiv 0$ в ${{{{S}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{S}_{1}}} {{{S}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{S}_{2}}}}$. Тогда ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$ и ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$ удовлетворяют граничным условиям отсутствия напряжений на границах $x = {{\xi }_{0}}$ и $x = 1$. Обеспечим единичный скачок радиальных перемещений $\tilde {Z}_{1}^{{\left( 1 \right)}}$ и непрерывность компонент $\tilde {Z}_{2}^{{\left( 1 \right)}}$, $\tilde {Z}_{3}^{{\left( 1 \right)}}$, $\tilde {Z}_{4}^{{\left( 1 \right)}}$ на границе $x = {{\xi }_{1}}$ для решения ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 1 \right)}}}$, а также единичный скачок продольных перемещений $\tilde {Z}_{2}^{{\left( 2 \right)}}$ и непрерывность $\tilde {Z}_{1}^{{\left( 2 \right)}}$, $\tilde {Z}_{3}^{{\left( 2 \right)}}$, $\tilde {Z}_{4}^{{\left( 2 \right)}}$ для ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 2 \right)}}}$, соответственно. Для этого решим следующие алгебраические системы, записанные в сокращенной форме

Сформулированные выше линейные комбинации ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 0 \right)}}}\left( {x,\alpha } \right)$, ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 1 \right)}}}\left( {x,\alpha } \right)$, ${{{\mathbf{\tilde {Z}}}}^{{\left( 2 \right)}}}\left( {x,\alpha } \right)$ позволяют составить решение задачи о колебаниях волновода с отслоением под действием внешней распределенной нагрузки в пространстве трансформант и тогда

где $Q\left( \alpha \right) = \int_{{{l}_{1}}}^{{{l}_{2}}} {q\left( y \right){{e}^{{i\alpha y}}}dy} $ – трансформанта внешней нагрузки, приложенной в радиальном направлении, причем при $q\left( y \right) = {{q}_{0}} = {\text{const}}$, $Q\left( \alpha \right)$ = $ = i{{q}_{0}}\left( {\exp \left( {i\alpha {{l}_{1}}} \right) - \exp \left( {i\alpha {{l}_{2}}} \right)} \right){{\alpha }^{{ - 1}}}$; ${{\tilde {\chi }}_{1}}\left( \alpha \right)$ и ${{\tilde {\chi }}_{2}}\left( \alpha \right)$ – трансформанты от неизвестных скачков радиальных и продольных перемещений на отслоении.

Далее для выполнения условия равенства нулю оригинала вектора напряжений на берегах отслоения необходимо найти оригиналы полей, осуществляя обратное преобразование Фурье по формуле

Здесь контур Г совпадает с $\left[ { - \infty ,\infty } \right]$ всюду, за исключением полюсов подынтегральной функции, которые он огибает в соответствии с принципом предельного поглощения [16]. Подставляя решение (10) в формулу (11), получим

где

В соответствии с граничными условиями компоненты ${{Z}_{3}}$, ${{Z}_{4}}$ решения (12) обращаются в нуль на берегах отслоения. Это условие будет использовано для нахождения неизвестных функций ${{\chi }_{1}}\left( y \right)$, ${{\chi }_{2}}\left( y \right)$.

Введем в рассмотрение вектор ${\mathbf{f}}\left( y \right)$ = $ = - \frac{1}{{2\pi }}\int_\Gamma {Q\left( \alpha \right){{{{\mathbf{\tilde {Z}}}}}^{{\left( 0 \right)}}}\left( {{{\xi }_{1}},\alpha } \right){{e}^{{ - i\alpha y}}}d\alpha } $. Учитывая представление (13), изменим во втором и третьем слагаемом в (12) порядок интегрирования

где

Из (12) и (14) нетрудно получить следующую систему двух интегральных уравнений относительно скачков ${{\chi }_{1}}\left( \eta \right)$, ${{\chi }_{2}}\left( \eta \right)$:

Решив систему (15), можно найти поле перемещений на внешней границе волновода по формуле

где для краткости введено обозначение

При подсчете интегралов ${{k}_{{js}}}\left( t \right)$ = $ = \frac{1}{{2\pi }}\int_\Gamma {\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( {{{\xi }_{1}},\alpha } \right){{e}^{{i\alpha t}}}d\alpha } $ системы (15) учтем поведение подынтегральной функции на бесконечности. В силу того, что $\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( {{{\xi }_{1}},\alpha } \right)$, $j = 1,2,\,\,s = 3,4$ являются неубывающими функциями $\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( {{{\xi }_{1}},\alpha } \right)$ = $ = K_{{js}}^{ + }\left| \alpha \right| + K_{{js}}^{ - }\alpha + O\left( 1 \right)$ при $\alpha \to \infty $, интегралы являются расходящимися и им надо придать смысл, используя теорию обобщенных функций [17]. Чтобы выделить главные составляющие, соответствующие предельным значениям функций на бесконечности, численно найдем следующие пределы ${{K}_{{js}}} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \infty } \left( {{{\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( {{{\xi }_{1}},\alpha } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( {{{\xi }_{1}},\alpha } \right)} \alpha }} \right. \kern-0em} \alpha }} \right)$. Воспользуемся двумя методами для решения задачи.

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Система интегральных уравнений (15) для отыскания функций раскрытия может быть решена методом граничных элементов [18]. Разобьем интегралы по отрезку $\left[ { - {{l}_{0}},{{l}_{0}}} \right]$ на сумму интегралов по элементам $\left[ { - {{l}_{0}},{{l}_{0}}} \right] = \bigcup\nolimits_{p = 1}^N {{{\Delta }_{p}}} $, где ${{\Delta }_{p}} = \left[ { - {{l}_{0}} + \left( {p - 1} \right)h, - {{l}_{0}} + ph} \right]$, $h = 2{{l}_{0}}{{N}^{{ - 1}}}$; также введем координаты концов элементов ${{\eta }_{p}} = - {{l}_{0}} + \left( {p - 1} \right)h$ и точки коллокаций ${{y}_{q}} = - {{l}_{0}} + \left( {q - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)h$, полагая, что $p = 1..N$, $s = 1..N$. Будем считать, что функции ${{\chi }_{1}}\left( \xi \right)$, ${{\chi }_{2}}\left( \xi \right)$ постоянны на элементе ${{\left. {{{\chi }_{j}}} \right|}_{{{{\Delta }_{p}}}}} = {{\chi }_{{jp}}}$. Считая, что уравнения (15) выполнены в наборе точек, придем к следующим соотношениям

которые можно трактовать, как алгебраическую систему где введены следующие обозначения

Легко показать, что подынтегральные функции интегралов в (19) не имеют особенности при $\alpha = 0$, кроме того ${{\alpha }^{{ - 1}}}\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( \alpha \right) \to {\text{const}}$ при $\alpha \to \infty $. Способ вычисления коэффициентов согласно (19) зависит от четности подынтегральной функции. Несложный анализ показал, что $\tilde {Z}_{3}^{{\left( 1 \right)}}\left( \alpha \right),$ $\tilde {Z}_{4}^{{\left( 2 \right)}}\left( \alpha \right)$ четны по $\alpha $, $\tilde {Z}_{4}^{{\left( 1 \right)}}\left( \alpha \right),$ $\tilde {Z}_{3}^{{\left( 2 \right)}}\left( \alpha \right)$ – нечетны. Разобьем каждый из рассматриваемых интегралов на расходящуюся и сходящуюся части $H_{{pq}}^{{\left( {js} \right)}} = {{K}_{{js}}}SING_{{pq}}^{{\left( {js} \right)}} + REG_{{pq}}^{{\left( {js} \right)}},$ $j = 1,2,\,\,\,\,s = 3,4$:

Используем для вычисления (20) следующие формулы [17] ($Vp$ означает главное значение в смысле Коши)

Учитывая, что узловые значения ${{\eta }_{p}}$ и точки коллокаций ${{y}_{q}}$ не совпадают, получаем, что $SING_{{pq}}^{{\left( {23} \right)}} = SING_{{pq}}^{{\left( {14} \right)}} = 0,$ $SING_{{pq}}^{{\left( {13} \right)}} = SING_{{pq}}^{{\left( {24} \right)}}$ = $ = 2i\left( {\frac{1}{{{{\eta }_{{p + 1}}} - {{y}_{q}}}} - \frac{1}{{{{\eta }_{p}} - {{y}_{q}}}}} \right)$.

Используя квадратурные формулы высоких порядков для подсчета сходящихся интегралов $REG_{{pq}}^{{\left( {js} \right)}}$, решим систему уравнений (18). Получим дискретное представление для функций раскрытия. Для расчета волновых полей на внешней границе волновода воспользуемся формулой (16), где интегралы по $\left[ { - {{l}_{0}},{{l}_{0}}} \right]$ могут быть посчитаны на основе квадратурных формул и полученных дискретных представлений для функций раскрытия, а интегралы ${{m}_{{js}}}\left( {\eta - y} \right),$ $j = 1,2,\,\,s = 1,2$ вычисляются аналогично $X_{s}^{{{\text{эт}}}}\left( {x,y} \right),\,\,\,s = 1,2$.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Используя следующие обобщенные значения интегралов [17]

получим следующие представления ядер Подставляя в (15) представление (23) и вводя замену переменных по формулам $\eta = {{l}_{0}}t$, $y = {{l}_{0}}\tau $ получим

Здесь собраны слагаемые при одинаковых степенях ${{l}_{0}}$ и введены обозначения ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\chi } }_{1}}\left( t \right) = {{\chi }_{1}}\left( {{{l}_{0}}t} \right)l_{0}^{{ - 1}},$ ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\chi } }_{2}}\left( t \right) = {{\chi }_{2}}\left( {{{l}_{0}}t} \right)l_{0}^{{ - 1}},$ ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{R} }_{{js}}}\left( \tau \right) = {{R}_{{js}}}\left( {{{l}_{0}}\tau } \right)$. Будем искать решение путем разложения по ${{l}_{0}}$ в ряд Тейлора в окрестности нуля. В качестве первого приближения получим

Учитывая значение интеграла, существующего в смысле конечного значения по Адамару $ - \frac{1}{\pi }\int_{ - 1}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}{{{{{\left( {t - \tau } \right)}}^{2}}}}dt} = 1$, получим главные члены разложений: ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\chi } }_{1}}\left( t \right) = \frac{{{{f}_{3}}\left( 0 \right)}}{{{{K}_{{13}}}}}\sqrt {1 - {{t}^{2}}} $, ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\chi } }_{2}}\left( t \right) = \frac{{{{f}_{4}}\left( 0 \right)}}{{{{K}_{{24}}}}}\sqrt {1 - {{t}^{2}}} $ и, соответственно, функции раскрытия

Используя формулу (16), посчитаем поле перемещений на внешней границе волновода. Контурные интегралы ${{m}_{{js}}}\left( t \right)$, $j,s = 1,2$ могут быть посчитаны путем прямого численного интегрирования по квадратурным формулам, или с помощью теории вычетов с удержанием конечного числа слагаемых. Так как решение, полученное по теории вычетов, справедливо при больших значениях $\left| t \right|$, то решение строится при $y > {{l}_{0}} + \delta $ или при $y < - \left( {{{l}_{0}} + \delta } \right)$, где $\delta > 0$.

Подставляя (26) в (16), получим соотношения вида

Используя теорему о вычетах, получим, что ${{k}_{{js}}}\left( t \right) = i\sum\nolimits_{n = 1}^N {\mathop {{\text{res}}}\limits_{\alpha = {{\alpha }_{n}}} \left( {\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( {1,\alpha } \right)} \right){{e}^{{i{{\alpha }_{n}}t}}}} $ при $t < 0$, где ${{\alpha }_{n}}$ – это все положительные полюса функции $\tilde {Z}_{s}^{{\left( j \right)}}\left( {1,\alpha } \right)$, а также полюса, располагающиеся в верхней полуплоскости. Перейдем к пределу при ${{l}_{0}} \to 0$ в интегралах вида $\int_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \exp \left( {i{{\alpha }_{n}}{{l}_{0}}t} \right)dt} $ и получим две компоненты решения

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Воспользуемся численным и асимптотическим методами для нахождения функций раскрытия. Для этого сравним решение системы (18) с асимптотическим решением (26) при следующем наборе параметров $\kappa = 0.9$,

На рис. 2 изображены вещественная часть функции ${{\chi }_{1}}\left( \eta \right)$ и мнимая часть функции ${{\chi }_{2}}\left( \eta \right)$, полученные по методу граничных элементов (точки) и асимптотически (сплошная линия). Здесь для метода граничных элементов выбрано $N = 90$. Проведена серия расчетов, где осуществлялось уменьшение размера ${{l}_{0}}$. Расчеты показали, что уже при ${{l}_{0}} = 0.009$ относительная разница в равномерной метрике между сравниваемыми решениями не превышает 2%. Также проведена серия расчетов по увеличению числа граничных элементов $N$. При $N = 450$ величины узловых значений на элементах, прилегающих к краям, в 10 раз меньше максимальных значений функций раскрытия. Отметим, что вне окрестностей точек $\eta = \pm {{l}_{0}}$ функции раскрытия, соответствующие $N = 90$ и $N = 450$, отличаются менее чем на 1%, что позволило при расчетах ограничиться числом граничных элементов $N = 90$.

Решения, полученные двумя методами, весьма близки. Это обусловлено тем, что поправка к эталонному решению много меньше самого эталонного решения. Поэтому на рис. 3 изображены поправки к эталонному полю радиальных перемещений на внешней границе волновода, найденные двумя методами. Расчеты выполнены также при ${{l}_{0}} = 0.09$. Сплошным линиям на рисунке соответствуют вещественные части поправок, а пунктирным – мнимые, жирным выделены поправки к полю, полученные методом граничных элементов, а тонкими линиями изображены асимптотические поправки к решению, вычисленному по формуле (27). Как и в предыдущем случае, рассматриваемые поправки сближаются друг с другом при уменьшении размера ${{l}_{0}}$ и при ${{l}_{0}} = 0.009$ максимальная относительная разница между сравниваемыми функциями не превышает 1%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена задача о вынужденных колебаниях неоднородного в радиальном направлении цилиндрического волновода с кольцевым отслоением. Методом граничных элементов решена возникающая система интегральных уравнений относительно скачков радиальных и продольных перемещений на отслоении. Построено асимптотическое решение системы при малых размерах дефекта и поля перемещений на внешней границе волновода для случая с отслоением и без него. Выполнено сравнение решений, получаемых двумя методами.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-90017.