Акустический журнал, 2021, T. 67, № 3, стр. 338-344

ВВЕДЕНИЕ

Это исследование началось, когда автор обратил свое внимание на то, что Allеgro первой части Патетической сонаты Бетховена исполняется профессиональными исполнителями в темпе Presto – таком же самом быстром в музыке темпе с чередованием клавиш с частотой 11 Гц, как и быстрые этюды Шопена. Это заметно изменяет восприятие этой части сонаты, сравнительно с ее исполнением в темпе Allegro, в силу одного и весьма существенного фактора. Этот фактор состоит в том, что написанный композитором аккомпанемент в целом ряде мест сонаты при исполнении ее в темпе Presto сильно (почти на 20 дБ) ослабляется звучащей одновременно с ним мелодией, которая на 2 октавы выше. При исполнении этой сонаты во вдвое более медленном темпе столь заметного уменьшения уровня слышимости аккомпанемента не происходит.

Назовем этот эффект уменьшения уровня восприятия (слышимости) низкочастотных и кратковременных звуков рояля звучащими одновременно с ними звуками более высокой частоты “эффектом ослабления” (ЭО). Для его объяснения потребовалось провести специальное исследование с учетом различных особенностей и характеристик как самого инструмента (рояля), так и человеческого слуха.

Исследование ЭО позволяет взглянуть глубже на то, как воспринимаются человеком музыкальные звуки. Существует ли объективно зависимость уровня громкости и восприятия звуков исполняемой музыки от темпа ее исполнения и, если да, то когда и как это влияет, а когда, напротив, это не оказывает никакого заметного влияния на качество восприятия исполняемой музыки?

При выполнении исследования автор исходил из физической природы человеческого слуха [1]. Упомянутая книга [1] опирается на результаты исследований по синтезу апертуры, опубликованных в Акустическом журнале, обзор которых приведен в книге [2].

Цель настоящей статьи – провести подробный физический анализ процесса восприятия звуков рояля слушателем с учетом всей совокупности известных физических факторов, сопровождающих этот процесс. Автор надеется, что результаты такого анализа привлекут к себе внимание не только специалистов в области музыкальной акустики, но и исполнителей музыки.

ФИЗИКА СЛЫШИМОГО ЗВУКА

Известно, что мы способны в слышимом нами звуке определять частоты колебаний, из которых состоит звук – так называемый частотный спектр звуков [1, 3]. Но долгое время было неизвестно, как и где это происходит у слушателя.

В 1961 году Дьердь фон Бекеши был удостоен Нобелевской премии за работы по теории слуха человека, среди которых было и открытие закономерности колебаний базилярной мембраны улитки внутреннего уха при действии звука [4]. Эти закономерности приводят к тому, что колебания базилярной мембраны преобразуют поступающие сигналы в их частотный спектр, располагающийся вдоль улитки. Улитка в этом случае работает как преобразователь “частота–место” [5]. Это происходит благодаря тому, что скорость распространения колебаний вдоль базилярной мембраны зависит от частоты звука. Аналогичным свойством – дисперсией – обладают многие среды. В [6, 7] приведено описание принципа работы приборов спектрального анализа электрических сигналов, основой для которых послужили среды с дисперсией, подобные той, которая наблюдается в базилярной мембране внутреннего уха.

Колебания и волны базилярной мембраны внутреннего уха обладают сложной формой, вычисленной в [5] с хорошим приближением. Для нас важно, что в результате этих процессов на базилярной мембране образуется частотный спектр исходного колебания.

Математически эти закономерности, независимо от способа и путей образования спектра, описываются преобразованием Фурье вида:

где t – время в секундах; ω – круговая частота, равная 2πf, где f – частота в герцах; T – время, определяемое как обратное от величины разрешающей способности слушателя. Слух человека обладает разрешением в 1/r долю октавы, где r = 12 и выше в зависимости от способности слушателя. В соответствии с вышеизложенным, T описывается формулой: где $\Delta f$ – ширина спектра октавы, в которой находится звук частоты f. Далее формуле (2) придадим более простой и универсальный вид, учитывая, что $\Delta {{f}_{N}} \approx f$. С учетом (2) и того, что обратная к ${{\Delta }}f$ величина представляет собой Δt – период колебаний на частоте звука f, запишем (2) в виде:

Таким образом, преобразование Фурье для своего осуществления слушателем требует, чтобы прошло более r колебаний данной частоты звука независимо от того, каково ее значение. Наименьшее число колебаний получается при частотном разрешении в 1/12 октавы или, в музыкальной терминологии, на полтона. Обычно разрешение бывает выше, люди способны различать высоту звучания звуков и на четверть тона, что уже приводит в (3) к удвоению числа периодов звука, необходимых для осуществления преобразования Фурье (1).

Уровень слышимого звука и возможности определения его частоты зависят от длительности импульса (звучащей ноты). При условии, что время импульса больше, чем Т, определяемое (3), то звук слышен с уровнем, определяемым излучателем и спектральным составом, определяемым слушателем в соответствии с его возможностями.

На рис. 1 показан спектр звучания ноты “соль” на частоте 49 Гц в зависимости от числа колебаний в импульсе. Спектр показан в зависимости от частоты, а на базилярной мембране частота соответствует месту расположения соответствующего сигнала [5]. Спектр, показанный на рис. 1 для частоты 49 Гц, универсален и сохраняет свой вид для любой частоты f, записанной в виде:

где m – целое число. При этом шкалу частот следует тоже умножить на m. Например, при m = 3 спектр будет выглядеть так, как это показано на рис. 1б.

При этом получается, что при той же длине импульса на высоких частотах происходит тем больше колебаний, чем выше частота. Поэтому при длине импульса, равной 100 мс, что соответствует наиболее короткому музыкальному звуку при наивысшем темпе исполнения, обозначаемом Presto, на низких частотах, меньше 50 Гц, число колебаний недостаточно для получения полного звука. На частоте 50 Гц за время 100 мс происходит всего 5 колебаний. На частоте выше всего на 2 октавы при той же длительности звучания происходит уже 20 колебаний.

В том случае, когда длительность импульса меньше Т, картина изменяется. В этом случае падает разрешение звуков по частотам, и звук слышен с меньшим уровнем. Уровень звука при длительности импульса τ < T, как следует из (1), линейно растет по амплитуде с ростом τ, пока τ ≤ Т.

Отметим, что величина разрешения звука по частотам определяет возможность выделения звуков разных частот, звучащих одновременно. Определение частоты звука, содержащего всего один тон, как в технике, так и слухом происходит независимо от длительности звучания тона по положению максимума модуля функции (1) при условии, что уровень звука значительно превышает посторонний аддитивный шум, что всегда справедливо для музыкальных звуков. Поэтому тон звука может быть точно определен по малому числу слышимых колебаний сразу же после возникновения хорошо слышимого звука.

Акустические излучатели, работающие на низких частотах, для увеличения уровня излучаемого ими звука, как правило, используют резонанс, который тоже требует времени, независимо от того времени, которое требует преобразование Фурье. Рояль тоже использует резонанс деки рояля. Наличие резонанса оказывает влияние на спектральный состав звука, формируя тембр звучания рояля. Увеличение амплитуды звука рояля со временем определяется числом колебаний основной частоты за время установления колебаний в резонаторе после единичного толчка [8]. Таких колебаний может быть тоже порядка 12, что усилит амплитуду звука рояля в 12 раз, а мощность звука – в 144 раз или на 22 дБ. Действие резонанса эквивалентно действию преобразования Фурье в восприятии звука. Поэтому можно не рассматривать резонанс в качестве отдельного эффекта, а учесть его путем добавления этого эффекта изменения уровня звука, вызванного резонансом, к изменению уровня вызванного нашим восприятием звука, описываемого (1).

Как происходит процесс восприятия звука во времени согласно (1), показано на рис. 2 и 3. Рис. 2 и 3 построены по формуле (1) при следующих начальных условиях. Вначале нет сигнала, а затем производится нажатие на клавишу и ее удержание в нажатом положении. При этом на входе все время происходят колебания струны с постоянной частотой. Результирующий сигнал, формирующийся на выходе формулы (1), показан на рис. 2 и 3.

КАК ОБСТОИТ ДЕЛО В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ

В действительности, если нажать самую крайнюю басовую клавишу рояля, возбуждающую звук частоты 27 Гц, то мы услышим звук сразу после нажатия на эту клавишу. Никакого плавного нарастания уровня звука в течение 12 или более колебаний частотой 27 Гц за время нарастания уровня звука явно не наблюдается. Этого запаздывания нет при нажатии на любую клавишу, в том числе, самую первую басовую клавишу. Звук с полной интенсивностью возникает сразу, а не после r колебаний основной частоты, занимающих на частоте 27 Гц первой клавиши 0.436 с или более. Такой интервал возрастания уровня звука во времени должен был бы быть непременно слышен, если он есть – но никакого запаздывания нет, и это немедленно подтверждается опытом! Получился так называемый парадокс, когда опыт вступает в противоречие с теорией, относительно которой нет никаких сомнений в ее правильности.

Рассмотрим объяснение возникшему парадоксу. На рис. 4 сплошной линией показан отклик на нажатие первой клавиши рояля (частота 27 Гц) с учетом фактически имеющегося экспоненциального затухания звука инструмента и пунктиром без учета этого затухания. Слышимый нами отклик инструмента на нажатие первой клавиши достигает максимального уровня звучания за время, которое значительно короче времени полного установления уровня звучания без учета затухания звука.

Это значительное смещение максимума звучания в сторону его начала, обусловленное затуханием звука, объясняет возникший парадокс. Парадокс состоит в том, что мы фактически не слышим того запаздывания возникновения звука на низких частотах, которое показано на рис. 2 и рис. 3 даже на самой низкой частоте, где оно максимально (0.4 с). Если же учесть затухание звука, которое есть у инструмента, то, как видно по рис. 4, это запаздывание становится значительно меньше, что уже, по-видимому, лежит за пределами возможностей нашего слуха определять величину и сам факт запаздывания.

Что касается того факта, что при возникновении звука мы сразу слышим его тон еще до того момента, когда устанавливается полная разрешающая способность нашего слуха, то этот факт можно объяснить на основании рис. 1 и 3. Из этих рисунков следует, что максимум отклика по частоте с самого начала возникновения звука остается неизменным и лежит на одной частоте или в одном и том же месте базилярной мембраны. Это и объясняет мгновенное ощущение правильного тона звучания. Для этого надо учесть, что наше ощущение высоты тона звука основано на положении максимума возникающего текущего спектра звука, а не на уже сформированной разрешающей способности слуха.

КАК И КОГДА ПОЯВЛЯЕТСЯ ЭФФЕКТ ОСЛАБЛЕНИЯ

Обратим внимание на то, что затухание как функция времени слабо зависит от частоты и оно одинаково (имеет почти одинаковый декремент) практически для всех звуков, находящихся в пределах 2–3 октав. С учетом этого факта рассмотрим, что происходит с исполнением Allegro Патетической сонаты Бетховена в наиболее быстром темпе Presto.

В рассматриваемом нами примере исполнения Патетической сонаты Бетховена низкий короткий звук аккомпанемента слышен на фоне сильного и уже установившегося более высокого звука мелодии. Если бы эти два звука были неразличимы, то мы имели бы дело с логарифмом суммы двух сигналов, так как шкала уровней восприятия звуков у человека логарифмическая. Но благодаря спектральному анализу мы различаем эти звуки, и поэтому логарифмический масштаб применим к каждому из двух звуков по отдельности.

При этом нас интересует эффект уменьшения уровня аккомпанемента относительно уровня мелодии, а именно величина разностей уровней аккомпанемента и мелодии в виде функции времени. Оба сравниваемые уровня звуков одинаково затухают во времени, что не оказывает влияния на их разность в децибелах. Поэтому для сопоставления уровней этих звуков можно не учитывать их затухание во времени.

В этой сонате, в первой ее части, в нотах указан темп исполнения. В нотах [9] указано, что за одну минуту должно быть исполнено 168–176 нот длительностью в половину такта. При этом аккомпанемент в басовом ключе изложен нотами длительностью в одну восьмую такта. Длительность ноты в аккомпанементе в этом случае при минимальном указанном темпе исполнения составляет минуту (60 секунд), деленную на 168, и умноженную на 4 (число восьмых такта в половине такта). В результате получаем, что одна восьмая такта должна быть исполнена за время Δτ = 0.098 с. При этом чередование восьмых нот должно происходить с частотой 11.2 Гц.

Много это или мало и как это часто встречается, поясним, подсчитав частоту чередования нот минимальной длительности в этюде Шопена Op. 10 № 4. В этом этюде [10] указан темп Presto – самый быстрый в музыке. При этом должно быть исполнено 88 нот длительностью половины такта в минуту, а минимальная длительность ноты в этом этюде одна шестнадцатая такта, чередование которых происходит с частотой 11.75 Гц. Частота чередования нот в этом этюде Шопена близка к той, которая рекомендована и соблюдается исполнителями Патетической сонаты Бетховена, что дает нам право утверждать, что и Allegro Патетической сонаты исполняется фактически в темпе Presto, самом быстром в музыке. Но автором Патетической сонаты указан иной темп, а именно Allеgro. При темпе Presto нижняя нота аккомпанемента, обладающая частотой, близкой к 50 Гц, за отведенное время 0.098 с совершит всего 4.3 колебания. К какому ослаблению это приводит, можно судить по рис. 5. Одновременно с нотой аккомпанемента (рис. 5, пунктир) возбуждается нота мелодии (рис. 5, сплошная линия), которая на две октавы выше, и ее частота близка к 200 Гц. Время установления колебаний разных частот одинаково, если это время измерять в числе колебаний. На рис. 5 показан процесс установления колебаний во времени при условии, что это время для этих двух частот составляет равное число колебаний каждой частоты. Но при этом время установления колебаний во времени отличается в 4 раза, вследствие чего уровень звука мелодии в процессе установления остается значительно выше уровня аккомпанемента. При принятом темпе исполнения этой сонаты уровень аккомпанемента еще далек от своего установления за время звучания (98 мс), в то время как уровень мелодии уже успел установиться за время 60 мс. В результате при исполнении этой сонаты в темпе Presto, как показано на рис. 5, аккомпанемент становится слабее мелодии на 8 дБ, а с учетом резонанса это ослабление будет около 16 дБ. Учет затухания в данном случае не изменяет тот факт, что мелодия на 16 дБ (с учетом резонанса деки рояля) превышает уровень аккомпанемента, так как затухание во времени одинаково уменьшает как уровень аккомпанемента, так и уровень мелодии. Поэтому исполнение этой сонаты происходит фактически без хорошо слышимого аккомпанемента. Образно выражаясь, пианист может не играть этот аккомпанемент, слушатель это вряд ли заметит.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве вывода отметим два установленных факта из проведенного исследования.

Во-первых, рассмотренный эффект имеет значение только при исполнении предельно коротких звуков на очень низких частотах, и проявляется только при наличии одновременно звучащих звуков заметно более высокой частоты, успевших полностью сформироваться за то же самое короткое время. Такая ситуация встречается в музыке чрезвычайно редко.

Во-вторых, отметим, что затухающие со временем звуки рояля вносят существенные поправки в наше восприятие звуков, что лишает нас возможности наипростейшим путем (нажатием на басовую клавишу) убедиться в том, что звук рояля нарастает не сразу.

Автор благодарен Л.А. Островскому, А.И. Малеханову, И.Н. Диденкулову, П.И. Коротину, В.К. Стромковой за интерес к работе и замечания, которые мной учтены перед отправкой статьи в журнал.