Астрономический журнал, 2020, T. 97, № 11, стр. 954-968

2.1. Сохранение и “размножение” бортовых эфемерид

Во время своей работы приемник принимает краткосрочные бортовые эфемериды КА и использует их для получения навигационного решения, т.е. определения текущих координат потребителя. При этом после определенной доработки приемник может сохранять ряд последних принятых эфемерид в своей памяти. Когда приемник завершил решение навигационной задачи (или во время вынужденного простоя в своей работе, например, при попадании в радиотень), он может выполнить “размножение” сохраненных бортовых эфемерид КА на полном интервале применимости каждой из них. Для этого приемником используются те же стандартные алгоритмы прогнозирования параметров движения КА, что применяются им для получения навигационного решения. Это аналитические формулы в случае вычисления оскулирующих элементов орбиты КА GPS и численное интегрирование методом Рунге-Кутта 4-го порядка для прогнозирования координат КА ГЛОНАСС. Приемник может также сохранить и “размножить” эфемериды КА, полученные им не только во время последнего прохождения данного спутника в зоне видимости приемника, но и аналогичную информацию из нескольких предыдущих прохождений этого же КА. При получении новых эфемерид КА в следующем сеансе видимости они замещают собой соответствующую информацию с первого сохраненного сеанса, т.е. объем памяти приемника, необходимый для хранения всех данных, не увеличивается со временем.

2.2. Уточнение параметров движения КА на основе бортовых эфемерид

Используя сохраненные и “размноженные” на ряд моментов времени бортовые эфемериды КА в качестве фиктивных “измерений” спутника, можно уточнить ряд параметров движения этого КА, например, с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Необходимое для этого интегрирование уравнений движения спутника на всем интервале “измерений” возможно осуществлять тем же численным методом, который используется в навигационных приемниках для “размножения” бортовых эфемерид КА ГЛОНАСС. Но при этом должна применяться гораздо более точная модель возмущающих сил, чем используемая стандартным алгоритмом прогнозирования.

2.3. Прогнозирование координат спутника на расширенном интервале

По завершении процедуры автономного уточнения параметров движения КА полученное решение может быть использовано для прогнозирования координат спутника на расширенном интервале времени, существенно превышающем стандартный период применимости бортовых эфемерид. Для этого используются уточненные параметры движения КА, а также метод численного интегрирования и улучшенная модель движения КА, которые применялись на предыдущем этапе. Для ускорения вычислений координат спутника во время получения навигационного решения возможно также заранее выполнить численное интегрирование уравнений движения КА и построить аналитические полиномы (напр., Чебышева), представляющие эфемериды КА на всем расширенном интервале времени. В этом случае время вычисления координат спутника при принятии (возобновлении) навигационного сигнала и, как следствие, время получения навигационного решения не будут зависеть от периода прогнозирования движения КА.

3.1. Системы координат бортовых эфемерид КА GPS и ГЛОНАСС

Эфемериды КА GPS, передаваемые в навигационном сообщении, даны во Всемирной геодезической системе координат WGS84 (США). Векторы состояния КА ГЛОНАСС с 31.12.2013 г. заданы в системе отсчета ПЗ-90.11 (Россия). Обе системы координат отличаются от ITRF2008, практической реализации Международной земной системы координат ITRS, только постоянным сдвигом начала отсчета на величину порядка 10 см и отклонениями осей координат, не превышающими нескольких единиц миллисекунд дуги [5]. При этом ITRF2008 отличается от ITRF2014, новейшей реализации ITRS, в основном, сдвигом начала системы отсчета на величину порядка несколько мм [6]. Как следствие, в рамках точности рассматриваемой задачи можно полагать системы координат WGS84 и ПЗ-90.11, используемые для представления бортовых эфемерид КА GPS и ГЛОНАСС, идентичными и совпадающими c последней реализацией ITRS.

3.2. Геоцентрическая небесная система координат

Система координат ITRS, в которой мы в данной задаче полагаем заданными бортовые эфемериды КА ГЛОНАСС и GPS, является неинерциальной, она жестко связана с корой Земли и вращается вместе с последней. Однако интегрирование уравнений движения спутника предпочтительно осуществлять в инерциальной системе отсчета. Одной из таких систем является Геоцентрическая небесная система координат (GCRS). Для перехода между ITRS и GCRS мы будем применять классический подход [7], где точка весеннего равноденствия используется в качестве начала отсчета системы, но с модификациями, рекомендуемыми в работах [8, 9]. Во избежание некоторых неоднозначностей в определении матриц перехода между ITRS и GCRS, имеющихся в литературе, приведем ниже их краткий вид.

Пусть ${{{\mathbf{r}}}_{{{\text{ITRS}}}}}(t)$ есть вектор прямоугольных координат КА в ITRS на произвольный момент времени $t$, рассчитываемый по бортовым эфемеридам спутника, и ${{{\mathbf{r}}}_{{{\text{GCRS}}}}}(t)$ есть соответствующий ему вектор прямоугольных координат КА в GCRS. Тогда

где ${\mathbf{B}}$ – постоянная матрица, представляющая малые углы отклонений осей GCRS от осей системы координат, определяемой средней точкой весеннего равноденствия и средним экватором Земли на эпоху J2000.0 [8]; ${\mathbf{P}}(t)$ – матрица прецессии, определяющая положение текущего среднего экватора Земли на момент $t$ относительно среднего экватора Земли эпохи J2000.0, ${{{\mathbf{R}}}_{j}}(\delta )$ здесь стандартная матрица, описывающая правый поворот системы координат на угол $\delta $ вокруг оси $j$ этой системы $(j = 1,2,3)$, при этом прецессионные углы ${{\chi }_{A}}$, ${{\omega }_{A}}$, ${{\psi }_{A}}$ на момент времени $t$ и ${{\varepsilon }_{0}}$ определяются выражениями, приведенными в [10]; ${\mathbf{N}}(t)$ – матрица нутации, соответствующая отклонению истинного экватора Земли от среднего экватора планеты, где значение угла ${{\epsilon }_{A}}$ на момент времени $t$ вычисляется согласно [10], а текущие нутационные углы $\Delta \epsilon $, $\Delta \psi $ могут быть взяты из численных эфемерид планет DE-430 [11];

${\mathbf{G}}(t)$ – матрица поворота за вращение Земли, описывающая положение текущего Гринвичского меридиана относительно истинной точки весны,

где угол GST (Greenwich Sidereal Time) на момент t определяется выражениями, приведенными в [7, 12]; ${\mathbf{W}}(t)$ – матрица движения полюсов, представляющая отклонение мгновенной оси вращения Земли от оси $Z$ системы координат ITRS, однако значения координат полюса ${{x}_{p}},\;{{y}_{p}}$ в общем случае приемнику неизвестны и определяются в процессе решения задачи.

3.3. Специальная инерциальная система координат

В настоящей работе мы вводим специальный случай инерциальной системы координат. В этой системе минимизируется количество необходимых преобразований векторов сил, действующих на КА, а также объем вычислений производных от измеряемых величин по уточняемым параметрам, специфичным для нашей задачи.

Если фиксировать систему координат ITRS в инерциальном пространстве на некоторый начальный момент времени ${{t}_{0}}$, то “специальная система координат” (ССК) определяется таким образом, что вектор прямоугольных координат КА на момент ${{t}_{0}}$ в данной системе, ${{{\mathbf{r}}}_{{{\text{CCK}}}}}({{t}_{0}})$, соотносится с вектором координат КА в ITRS на этот же момент, ${{{\mathbf{r}}}_{{{\text{ITRS}}}}}({{t}_{0}})$, как

где верхний символ $T$ означает транспонирование матрицы. При этом где $\phi $ есть часть угла поворота системы координат ITRS вокруг ее оси $Z$, соответствующая возможной погрешности значения UT1–UTC на момент времени ${{t}_{0}}$, используемого при вычислении GST. (Величина UT1–UTC рассчитывается приемником по интерполяционным формулам на основе данных принятого навигационного сообщения.) Малый угол $\phi $ является, в общем случае, эмпирической поправкой, определяемой в процессе решения задачи.

Таким образом, ось $X$ ССК лежит в плоскости истинного экватора Земли и примерно направлена в Гринвичский меридиан Земли (отличается от направления на него на угол $\phi $), фиксированные на момент времени ${{t}_{0}}$. Ось $Z$ направлена к северу вдоль мгновенной оси вращения Земли на этот же момент времени, и ось $Y$ дополняет систему до правой. Поскольку момент времени ${{t}_{0}}$ является постоянным в рамках одного решения по прогнозированию бортовых эфемерид, то определенное таким образом положение осей ССК не меняется в пространстве, и ССК является инерциальной системой координат.

3.4. Перевод вектора координат КА из ССК в ITRS

Интегрирование уравнений движения КА осуществляется в ССК, и все векторы возмущающих сил, действующих на спутник, также вычисляются в ССК. Но окончательное представление эфемерид КА должно быть представлено в ITRS, в которой заданы первоначальные бортовые эфемериды спутника.

Формула перевода вектора координат КА, рассчитанном в ССК на момент времени $t$, в GCRS следующая

Объединяя уравнения (1), (8) и учитывая введение дополнительной матрицы $\Delta {\mathbf{G}}$, получим На момент ${{t}_{0}}$ векторы координат КА в ITRS и ССК отличаются между собой только поворотом на малые углы за движение полюса ${{x}_{p}}$, ${{y}_{p}}$ вокруг осей $Y$ и $X$ системы ITRS, соответственно, и дополнительным поворотом на малый угол $\phi $ вокруг оси $Z$Данные малые углы мы будем определять через обработку бортовых эфемерид наравне с начальным вектором состояния каждого КА и полагать постоянными на всем интервале расширенного прогнозирования спутника на несколько дней, т.е. Поэтому можно ввести новую матрицу ${\mathbf{H}}$, включающую в себя все три малых угла, – за счет поправки $\phi $ и координат полюса ${{x}_{p}}$, ${{y}_{p}}$, которую будем считать постоянной на всем интервале прогнозирования эфемерид КА в рамках одного решения

3.5. Перевод вектора скоростей КА из ССК в ITRS

Если в правой части уравнения (9) обозначить произведение части матриц как ${\mathbf{M}}(t)$:

то, учитывая уравнение (12), Пренебрегая на рассматриваемых нами интервалах времени в несколько дней скоростью изменения всех матриц в уравнении (13), кроме матрицы вращения Земли ${\mathbf{G}}(t)$, можно записать где ${{{\mathbf{v}}}_{{{\text{ITRS}}}}}(t)$, ${{{\mathbf{v}}}_{{{\text{CCK}}}}}(t)$ есть векторы мгновенной скорости КА в ITRS и ССК соответственно, $\omega = (0,0, - \omega )$, и $\omega $ есть средняя угловая скорость вращения Земли [12],

3.6. Обратный перевод координат и скоростей КА из ITRS в ССК

Для численного интегрирования уравнений движения КА в ССК необходимо перевести только один вектор состояния КА в эту систему координат из ITRS, а именно, координаты и скорости КА на начальный момент времени ${{t}_{0}}$. При этом ${\mathbf{M}}({{t}_{0}})$ есть единичная матрица, и из уравнений (14), (15) следует

4.1. Гравитационное поле Земли

Разложение гравитационного поля Земли в ряд по сферическим функциям в нашей задаче можно ограничить гармониками до 8-го порядка и степени включительно [1]. Тогда гравитационный потенциал несферичной Земли, $U$, действующий на КА в ITRS, вычисляется как [13]

где $r$, $\lambda $, $\varphi $ есть сферические координаты КА в ITRS (геоцентрическое расстояние, Гринвичская долгота и широта соответственно), ${{\mu }_{E}}$ – гравитационная постоянная Земли; ${{R}_{E}}$ – большая полуось земного эллипсоида, ${{\bar {C}}_{{nm}}}$, ${{\bar {S}}_{{nm}}}$ – нормализованные значения гармоник разложения геопотенциала, и ${{\bar {P}}_{{nm}}}$ – соответственно нормализованные присоединенные функции Лежандра.

Ускорение КА в ITRS, ${\mathbf{\ddot {r}}}_{{{\text{ITRS}}}}^{{(U)}}$, вызванное силой притяжения гравитационного поля Земли, есть градиент потенциала $U$. В общем случае, вектор ${\mathbf{\ddot {r}}}_{{{\text{ITRS}}}}^{{(U)}}$ на произвольный момент времени $t$ пересчитывается из ITRS в ССК, где осуществляется численное интегрирование, по формуле, вытекающей из уравнения (9). Однако для расчета соответствующей силы в рассматриваемой задаче эту процедуру можно упростить, воспользовавшись малостью значений углов поворотов за координаты полюсов ${{x}_{p}}$, ${{y}_{p}}$ и поправки $\phi $, а также относительно незначительными изменениями матриц прецессии и нутации Земли на интервале прогнозирования КА в несколько дней

При вычислении ускорений ${\mathbf{\ddot {r}}}_{{{\text{ITRS}}}}^{{(U)}}$ также необходимо пересчитывать значения текущего вектора координат КА из ССК в ITRS. Для этой (и только этой) цели на рассматриваемых интервалах времени прогнозирования $t - {{t}_{0}}$ в несколько дней можно воспользоваться приближенной формулой Воздействием приливов на движение КА ГЛОНАСС и GPS в рассматриваемой задаче можно пренебречь.

4.2. Притяжение “третьих” тел

Притяжение Солнца и Луны на КА приводит к появлению возмущающего ускорения в его движении в инерциальной ССК, $\mathop {{\mathbf{\ddot {r}}}}\nolimits_{{\text{CCK}}}^{(SM)} $, описываемого классическим уравнением

где ${{\mu }_{S}}$, ${{\mu }_{M}}$, ${\mathbf{s}}_{{{\text{CCK}}}}^{{(S)}}$, ${\mathbf{s}}_{{{\text{CCK}}}}^{{(M)}}$ есть, соответственно, гравитационные постоянные Солнца, Луны и векторы геоцентрических координат Солнца и Луны в ССК. Для вычисления данных векторов в GCRS, ${{{\mathbf{s}}}_{{{\text{GCRS}}}}}(t)$, можно использовать численные эфемериды DE-430 [11]. Далее имеем Все матрицы в правой части уравнения (23) являются постоянными и требуют своего вычисления в течение всей процедуры автономного определения орбиты КА только один раз.

Воздействие планет на движение спутника в рамках требуемой точности решения нашей задачи можно не учитывать.

4.3. Солнечное давление

Солнечное давление на КА приводит к дополнительному ускорению спутника. В рассматриваемой задаче можно ограничиться только основным радиальным компонентом вектора соответствующей силы, направленным от Солнца на спутник. Тогда выражение для вектора ускорения КА в ССК, обусловленного солнечным давлением, ${\mathbf{\ddot {r}}}_{{{\text{CCK}}}}^{{(SP)}}(t)$, можно записать (см., напр., [2, 7, 14])

где ${\mathbf{e}}_{{{\text{CCK}}}}^{{(S)}}(t)$ – единичный вектор направления на Солнце от КА в ССК на момент времени $t$; ${{r}^{{(S)}}}(t)$ – текущее расстояние от КА до Солнца, выраженное в м; 1 au – астрономическая единица, равная 149 597 870 700 м [15]; ${{P}_{0}}$ – солнечное давление на расстоянии 1 au от Солнца, примерно равное $4.56 \times {{10}^{{ - 6}}}$ Н/м² [7]; ${{C}_{R}}$ – коэффициент отражения солнечного света спутником, условно принимается здесь равным 1.21 [14]; М – масса КА, условно принимается здесь равной 1075 кг, как в [2], для целей последующего сравнения полученных результатов; A – площадь поверхности КА, условно принимается здесь равной 13.4 м², также как в [2]; $\alpha $ – дополнительный согласующий коэффициент, индивидуальный для каждого КА и определяемый из наблюдений спутника.

Уравнение (24) записано для случая, когда спутник полностью освещен Солнцем. Поскольку КА ГЛОНАСС и GPS находятся на среднеорбитальных орбитах, то время их нахождения в тени Земли относительно мало. Поэтому эффектом уменьшения влияния солнечного давления на движение КА за счет попадания спутников в тень Земли в предлагаемом алгоритме мы пренебрегаем.

5.1. Уточняемые параметры

Было проведено моделирование автономного определения параметров движения КА ГЛОНАСС и GPS в навигационном приемнике и последующее прогнозирование координат спутников на интервале времени в несколько дней. Для этого использовались реальные бортовые эфемериды КА обеих систем спутников, полученные навигационным приемником GeoS в течение двух периодов времени: 13–19.03.2015 и 19–26.01.2016. Уточнение проводилось на временном интервале от 3 ч до 2 сут, что соответствовало одному-пяти прохождениям каждого спутника в зоне видимости приемника (орбитальный период спутников ГЛОНАСС и GPS составляет примерно полсуток). Бортовые эфемериды каждого КА, полученные и “размноженные” на этих интервалах, принимались в качестве “измерений”. Далее для уточнения параметров движения спутника использовался МНК. По окончании процедуры уточнения проводилось прогнозирование параметров движения КА на интервале времени в несколько дней за пределами выбранного промежутка “измерений” и выполнялось сравнение вычисленных координат спутника с реальными бортовыми эфемеридами.

Максимальный состав уточняемых параметров включает в себя 3 координаты и 3 значения скорости каждого КА на некоторый начальный момент времени в соответствующей ССК, а также координаты полюса Земли ${{x}_{p}}$, ${{y}_{p}}$ и поправку ϕ к величине угла поворота Земли за $GST$ на этот же момент. При этом на практике мы ограничены относительно небольшим временным интервалом, на котором принятые и “размноженные” бортовые эфемериды КА могут быть сохранены в памяти приемника в качестве “измерений”. Поэтому одновременное определение всех 9 параметров приводило к существенной корреляции между уточняемыми величинами, и, как следствие, к их некорректному определению и последующему неудовлетворительному прогнозированию движения спутника. Однако в качестве начальных значений координат КА используются относительно точные бортовые эфемериды, и потенциальная ошибка этих эфемерид не приводила к существенному ухудшению точности прогнозирования координат спутника на интервале времени в несколько дней. Поэтому начальные координаты спутника были исключены из состава уточняемых параметров. Одновременное определение поправки ϕ и вектора скорости КА на рассматриваемых интервалах времени также приводило к заметной корреляции этих параметров, поэтому малый угол ϕ не уточнялся. Оставшиеся 5 параметров: 3 значения скорости КА и 2 координаты полюса ${{x}_{p}}$, ${{y}_{p}}$ на начальный момент времени, в результате, составили оптимальный набор уточняемых параметров для каждого КА. Изменением координат полюса на интервале уточнения и прогнозирования движения КА в нескольких дней в нашей задаче мы пренебрегаем.

Значение эмпирического коэффициента солнечного давления $\alpha $ в уравнении (24), специфичного для каждого КА, определялось путем варьирования этого коэффициента перед процедурой уточнения 5 выбранных параметров на обоих рассмотренных интервалах времени (в марте 2015 г. и январе 2016 г.). Значение $\alpha $, при котором в результате решения достигалось наилучшее совпадение прогнозируемых и реальных бортовых эфемерид, принималось в качестве фиксированной характеристики данного КА. При этом для каждого рассмотренного КА относительная разница в значении коэффициента $\alpha $, вычисленного на двух независимых интервалах времени, отстоящих друг от друга более чем на 10 месяцев, не превышала 1–2%. Поэтому полученные индивидуальные значения коэффициента $\alpha $ для всех КА навигационных систем ГЛОНАСС и GPS могут быть определены и сохранены в памяти приемника на этапе составления его программного обеспечения. Они не подлежат уточнению в автономном режиме.

5.2. Выбор оптимального состава “измерений”

С помощью представленного выше алгоритма было проведено исследование эффективности автономного определения параметров движения КА ГЛОНАСС и GPS на интервалах времени до 2 сут и оценка точности последующего прогнозирования координат спутников на интервалах времени до 5 сут. Для этого использовались бортовые эфемериды, полученные на протяжении от одного до пяти прохождений навигационных КА в зоне видимости приемника. Был сделан вывод, что оптимальным составом “измерений” является набор бортовых эфемерид, полученных на двух последовательных прохождениях для КА GPS и на трех последовательных прохождениях для КА ГЛОНАСС. В течение одного прохождения КА в зоне видимости приемника, длящегося в лучшем случае несколько часов, значения скоростей спутников на начальную эпоху определялись значительно хуже, чем на полусуточных и суточных интервалах “измерений”. Это приводило к большим ошибкам координат КА при их прогнозировании. Увеличение количества прохождений, содержащих “измерения”, с двух до трех практически не повышало точность прогнозирования координат КА GPS, однако, как правило, давало заметное улучшение данной характеристики для КА ГЛОНАСС. Дальнейшее увеличение количества используемых прохождений уже не оказывало существенного влияния на точность прогнозирования координат спутников обеих навигационных систем. Рисунок 1 содержит характерный пример зависимости ошибок прогнозирования положения КА ГЛОНАСС от количества зон видимости спутника, где принимались его бортовые эфемериды, используемые далее в качестве “измерений”. Данные приведены на январь 2016 г. для спутника ГЛОНАСС-М № 747.

Как следствие, все приводимые ниже результаты автономного прогнозирования движения навигационных КА соответствуют решениям, полученным на основе обработки бортовых эфемерид, накопленных на двух прохождениях для спутников GPS и на трех прохождениях для спутников ГЛОНАСС.

5.3. Точность автономного прогнозирования координат КА ГЛОНАСС и GPS

В процессе исследования было отмечено, что точность прогнозирования координат навигационных спутников на основе автономного определения их орбит зависит от поколения блока КА. Таблица 1 приводит количество блоков КА каждого типа, с которых были приняты и обработаны реальные бортовые эфемериды на каждом рассмотренном интервале времени. Среди блоков GPS наиболее старыми здесь являются блоки IIA, а наиболее новыми – IIF.

Рисунки 2–6 показывают среднеквадратические ошибки (с.к.о.) автономного прогнозирования координат КА каждого поколения. Данные с.к.о. были получены путем сравнения расчетных значений положений каждого КА, определенных в автономном решении, с принятыми реальными бортовыми эфемеридами этого же спутника на интервале времени до 5 сут. Каждый маркер на рис. 2–6 соответствует с.к.о. прогнозирования положения одного КА. Значительные с.к.о. наблюдаются для КА GPS IIA в решении, полученном по набору бортовых эфемерид на интервале времени 19–26.01.2016 (рис. 2). Однако этот спутник был выведен из эксплуатации 25.01.2016, и можно предположить, что на данном интервале его бортовые эфемериды уже не обладали стандартной точностью. Также значительное отклонение было получено для одного КА GPS IIR (рис. 3), возможно, оно объясняется результатом кратковременного сбоя приемника. Остальные с.к.о. прогнозирования положений всех спутников одного и того же поколения на обоих рассмотренных интервалах времени хорошо согласуются между собой и могут считаться типичными для соответствующего блока КА. Необходимо отметить, что информации, накопленной только по 4 старым блокам GPS IIA, выглядит недостаточно для полноценной статистики. Однако последний блок этого поколения был выведен из эксплуатации в октябре 2019 г. [16], поэтому данные по этому типу КА GPS более не актуальны.

С.к.о. прогнозирования положения КА GPS блоков IIR и IIR-M выглядят примерно одинаковыми и составляют примерно 10–15 м на интервале времени до 3 сут и 30–50 м на интервале времени до 5 сут (рис. 3, 4). Однако для новых блоков GPS IIF наблюдается заметное улучшение качества автономного решения (рис. 5); наибольшее значение с.к.о. в прогнозировании положений спутников данного поколения не превышает 5 м на интервале времени до 2 сут и 14 м на интервале времени до 5 сут. Такое повышение точности может быть объяснено улучшением позиционирования солнечных батарей КА GPS IIF и, как следствие, большей адекватностью используемого алгоритма расчета солнечного давления на спутник. С.к.о. автономного прогнозирования положений КА ГЛОНАСС-М (рис. 6) выглядят практически равным соответствующим точностным характеристикам расчета движения КА GPS IIF.

Максимальные ошибки в положении КА GPS и ГЛОНАСС, полученные при прогнозировании спутников на различных интервалах времени, приведены в табл. 2. (Данные таблицы не учитывают вероятно ошибочные определения для двух КА GPS, которые обсуждались выше.)

Полученные значения точности автономного прогнозирования движения КА GPS и ГЛОНАСС являются существенно лучшими, чем подобные характеристики, приведенные в работах [1, 2]. Но необходимо отметить, что в [1] использовались измерения только с одного прохождения для КА ГЛОНАСС и GPS, а в [2] рассматривалось одно прохождение для КА GPS и до трех прохождений для КА ГЛОНАСС. Поэтому достигнутое в нашем решении улучшение точности автономного прогнозирования эфемерид навигационных КА является, в частности, следствием оптимизации выбора интервала бортовых эфемерид КА, используемых в качестве “измерений”.

В работе [3] также рассматривался расширенный интервал времени “измерений” (до 2 недель), и использовалось несколько прохождений КА. Такой большой интервал времени обусловлен спецификой алгоритма [3]. Как пример в [3] приводится КА GPS (PRN 16), для которого в этой работе были получены наилучшие результаты автономного прогнозирования движения спутника. В качестве основной характеристики точности прогнозирования используется параметр SISRE (Signal-In-Space Range Error). Этот параметр описывает суммарную ошибку в измеренной “псевдодальности” до спутника, вызванную погрешностью часов приемника и неточностью бортовых эфемерид КА. Поскольку ошибка в значении “псевдодальности” зависит при этом и от положения приемника на Земле, то SISRE считается как максимальное значение данной ошибки по всем точкам поверхности Земли. Далее, для оценки погрешности “псевдодальности”, вызванной исключительно неточностью расчетных эфемерид КА, в значение SISRE, принятом в [3], не включается ошибка часов приемника.

В результате для КА GPS (PRN 16) в [3] было получено значение SISRE, равное примерно 2 м на интервале автономного прогнозирования движения КА в 1 сут, 3.5 м – на интервале прогнозирования 3 сут и 6 м – на интервале в 5 сут. Отметим, что в качестве источника данных в [3] использовались бортовые эфемериды этого спутника, принятые в начале 2016 г. на временном промежутке, близком к одному из интервалов, рассмотренных в настоящей работе. Оценки максимальных значений параметра SISRE при автономном прогнозировании координат этого же КА GPS (PRN 16), полученные в наших решениях по двум наборам бортовых эфемерид, приведены в табл. 3. Видим, что они близки к представленным в работе [3]. Однако бортовые эфемериды, использованные в нашем исследовании в качестве “измерений”, были приняты на интервале времени, не превышающем 18 ч, в то время как для успешной работы алгоритма [3] требуется набор бортовых эфемерид, накопленный на временном промежутке до нескольких дней.

5.4. Зависимость коэффициента $\alpha $ от поколения блока КА

Важную роль в автономном определении и прогнозировании координат спутников играет коэффициент учета солнечного давления $\alpha $, используемый в (24) и, в общем случае, индивидуальный для каждого КА. Как уже было сказано ранее, значения данного коэффициента для всех КА ГЛОНАСС и GPS определялись нами на двух независимых интервалах времени: 13–19.03.2015 и 19–26.01.2016. При этом значения коэффициентов, полученные в обоих случаях для каждого конкретного КА, отличались между собой не более, чем на 1–2%. Также для более чем 20 спутников оказалось возможным сравнить определенные нами величины коэффициента $\alpha $ с его значениями, полученными в работе [2] на интервале с июля по декабрь 2010 г. Здесь также было отмечено очень хорошее совпадение результатов, несмотря на то, что этот интервал отстоит от используемых нами примерно на 5 лет. Значения коэффициентов $\alpha $ для одних и тех же КА, полученные в [2] и настоящей работе, отличаются между собой также не более чем на 1–2%. Таким образом, можно сделать вывод, что величина коэффициента $\alpha $ для каждого конкретного КА ГЛОНАСС и GPS практически не зависит от времени.

Рисунки 7, 8 содержат полученные нами значения $\alpha $ для всех рассмотренных КА GPS и ГЛОНАСС. Выявляется заметная зависимость величины данного коэффициента от типа блока КА. При этом данные рис. 7, 8 подтверждают вывод об отсутствии сколь-либо значимой зависимости величины коэффициента $\alpha $ от времени эксплуатации спутника. Также не обнаружено зависимости данного коэффициента от орбитальной плоскости КА и точки его положения на орбите. Таким образом, можно полагать, что величина коэффициента $\alpha $ практически полностью определяется типом блока КА.

Средние значения коэффициента учета солнечного давления $\alpha $ для различных блоков КА GPS и ГЛОНАСС приведены в табл. 4. Отметим, что эти величины должны использоваться одновременно со значениями массы КА и других параметров, условно принятыми в уравнении (24). Данные табл. 4 могут использоваться в качестве начального приближения коэффициента $\alpha $ для каждого вновь запускаемого КА известного типа. (В процессе эксплуатации спутника начальное значение коэффициента может быть уточнено и перезагружено в память приемника при очередном обновлении его программного обеспечения.)

5.5. Определение координат полюса Земли

Как было отмечено ранее, в процессе автономного уточнения параметров орбиты КА необходимо одновременно определять координаты полюса Земли на дату начальных условий спутника. На рис. 9, 10 приведены результаты такого определения, полученные при решении задачи для каждого КА ГЛОНАСС и GPS на обоих рассмотренных в данном исследовании интервалах времени. Определение координат полюса в каждом решении проводилось в отсутствие какой-либо априорной информации о значениях этих параметров, т.е. начальные значения ${{x}_{p}}$, ${{y}_{p}}$ полагались равными нулю. В табл. 5, 6 приведены значения координат полюса Земли ${{x}_{p}}$, ${{y}_{p}}$, полученные осреднением соответствующих данных индивидуальных решений для каждого КА ГЛОНАСС и GPS. Также для сравнения в табл. 5, 6 указаны значения координат полюса по данным Международной службы вращения Земли (МСВЗ) [17].

По данным, приведенным на рис. 9, 10 и в табл. 5, 6, можно сделать вывод, что автономное определение координат полюса Земли по бортовым эфемеридам навигационных КА выполняется представляемым алгоритмом с точностью до нескольких единиц миллисекунд дуги.