Астрономический журнал, 2020, T. 97, № 3, стр. 206-224

2.1. Теплопроводность в магнитном поле

В работе используется приближение, в котором тензор теплопроводности $\hat {\kappa }$ определяет потоки тепла в отсутствие вектора диффузии ${{{\mathbf{d}}}_{{\mathbf{e}}}}$ (см. ниже), но при наличии диффузионного потока, связанного с термодиффузией.

Распределение температуры в коре НЗ определяется уравнением теплопроводности, которое в стационарном случае имеет вид

Здесь $\hat {\kappa }$ – тензор теплопроводности, $f$ задает источники и стоки тепла. В данной работе мы ищем стационарное распределение температуры в коре НЗ и предполагаем отсутствие стоков и источников $f = 0$.

В коре нейтронной звезды материя находится в особом состоянии кулоновского кристалла, в котором энергия электростатического взаимодействия между ионами существенно меньше энергии Ферми электронов. В таких условиях столкновения высокоэнергетических электронов с ионами приближенно можно рассматривать как столкновения со свободными частицами, т.е. как столкновения в газе. В пренебрежении во всех членах отношением масс электрона и иона ${{m}_{e}}{\text{/}}{{m}_{N}} \ll 1$ эти различия несущественны.

Тензор теплопроводности $\hat {\kappa }$ для сильно вырожденных электронов в магнитном поле получен в приближении Лоренца методом Чепмена-Энскога [18, 19]. Тензор учитывает потоки тепла вдоль и поперек магнитного поля, а также холловский поток тепла. Он записывается в декартовых координатах следующим образом [6]

где ${{n}_{e}} = \tfrac{{\rho Z}}{{A{{m}_{u}}}}$ – концентрация электронов, ${{m}_{u}}$ – атомная единица массы, $Z$ и $A$ – зарядовое и массовое числа иона соответственно; ${{k}_{B}}$ – постоянная Больцмана, $\tau = \tfrac{3}{{32{{\pi }^{2}}}}\tfrac{{{{h}^{3}}}}{{m_{e}^{*}Z{{e}^{4}}\Lambda }}$ – среднее время между электрон-ядерными столкновениями, $h$ – постоянная Планка, $\Lambda $ – кулоновский логарифм. Мы использовали значение кулоновского логарифма из работы [20] в коре и оболочке. Его значение слабо зависит от выражения, стоящего подлогарифмом, если учитывать дополнительные виды взаимодействия электронов с веществом, кроме упругих электрон-ядерных столкновений. При сильном вырождении электронов Дебаевский радиус становится меньше межатомного расстояния, поэтому вместо него в качестве максимального прицельного параметра под логарифмом необходимо использовать характерное расстояние между ионами [21]. Параметр магнетизации $\omega \tau $ существенно меняется в толщине коры НЗ, при плотности $\rho \sim {{10}^{{10}}}$ г/см³ значение параметра $\omega \tau \sim 1$ при значении индукции магнитного поля $B \sim {{10}^{{13}}}$ Гс. Для сильно вырожденных ультрарелятивистских электронов параметр $\omega \tau \sim B{\text{/}}{{\rho }^{{2/3}}}$. Из (2) следует, что коэффициенты теплопроводности поперек и вдоль магнитного поля записываются в следующем виде:

Отметим, что в лабораторной физике обычно используется другое определение коэффициента теплопроводности, когда зануляется не вектор диффузии ${{{\mathbf{d}}}_{{\mathbf{e}}}}$, а весь диффузионный поток электронов, связанный со скоростью диффузии $\left\langle {{{{\mathbf{v}}}_{{\mathbf{e}}}}} \right\rangle $. Как следует из решения уравнения Больцмана для нерелятивистского Лоренцевского электронного газа в отсутствие магнитного поля, в общем случае при наличии $\nabla T$ и ${{{\mathbf{d}}}_{{\mathbf{e}}}}$, выражения для теплового потока ${{{\mathbf{q}}}_{{\mathbf{e}}}}$ и диффузионной скорости электронов $\left\langle {{{{\mathbf{v}}}_{{\mathbf{e}}}}} \right\rangle $, определяюшей электрический ток, записываются в следующем виде [23]:

где ${{n}_{N}}$ – концентрация ядер, а функция ${{G}_{n}} \equiv $ $ \equiv {{G}_{n}}({{x}_{0}}) = \tfrac{1}{{\Gamma (n)}}\int_0^\infty \,\tfrac{{{{x}^{{n - 1}}}dx}}{{exp(x - {{x}_{0}}) + 1}}$, в которой выражение ${{x}_{0}} = \tfrac{\mu }{{{{k}_{B}}T}}$, где $\mu $ – химический потенциал электронов, $\Gamma (n)$ – гамма-функция. В настоящей работе используется коэффициент теплопроводности, соответствующий ${{{\mathbf{d}}}_{{\mathbf{e}}}} = 0$.

В лабораторных условиях считается равным нулю вектор $\left\langle {{{{\mathbf{v}}}_{{\mathbf{e}}}}} \right\rangle $, откуда находится связь ${{{\mathbf{d}}}_{{\mathbf{e}}}}$ и $\nabla T$. Подставляя эту связь в верхнюю строку (4), мы получаем другое выражение для потока тепла

В пределе сильного вырождения соответствующий коэффициент теплопроводности, употребляемый обычно в расчетах, определяется соотношением (см. вышеупомянутые работы [7, 8], а также [22]): что в 2.5 раза меньше, чем (2).

Во внешних слоях нейтронных звезд текут электрические токи, возникает термоэлектрический эффект [24], поддерживающий магнитное поле в коре и оболочке, и средняя скорость электронов не равна нулю. Перенос тепла и электропроводность определяются уже не одним, а четырьмя процессами – теплопроводностью, диффузией, термодиффузией и диффузионным термоэффектом [25]. В данной работе мы пренебрегаем всеми процессами, кроме теплопроводности, полагая равной нулю не среднюю скорость электронов, а вектор диффузии. Отметим, что оба подхода являются приближенными, и мы оставляем полное согласованное рассмотрение всех четырех процессов для будущей работы.

2.2. Конфигурация магнитного поля в коре

Конфигурация магнитного поля задается постоянным магнитным диполем в центре звезды

где ${{B}_{{{\text{pd}}}}}$ – значение индукции дипольного магнитного поля на магнитном полюсе поверхности НЗ, ${\mathbf{d}}$ – единичный вектор в направлении магнитного диполя, ${{R}_{{{\text{NS}}}}}$ – радиус НЗ. Также была рассмотрена квадрупольная конфигурация магнитного поля, задаваемая следующим образом [26]: где ${{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{z}}}}$ – единичный вектор, направленный вдоль оси z, а ${{B}_{{{\text{pq}}}}}$ – значение индукции квадрупольного поля на полюсах.

2.3. Распределение плотности в коре НЗ

Плотность $\rho $ явным образом входит в тензор теплопроводности (2) и в эффективную массу электрона. Для получения профиля плотности в коре НЗ было решено уравнение Толмена-Оппенгеймера-Волкова для невращающихся НЗ при нулевой температуре:

Здесь $G$ – гравитационная постоянная, $P$ – давление, $r$ – расстояние от центра звезды. На рис. 1 представлены графики зависимости плотности и массы НЗ от расстояния в километрах для центральной плотности ${{\rho }_{c}} = 1 \times {{10}^{{15}}}$ г/см³. Масса данной НЗ ${{M}_{{{\text{NS}}}}} = 1.42{{M}_{ \odot }}$.

Уравнение состояния взято из работы [27], результаты которой базируются на работах [28, 29]. Уравнение состояния в [27] рассчитано одним и тем же методом для коры и ядра НЗ при помощи микроскопических расчетов теории ядерной материи при нулевой температуре. Ядро НЗ при таком уравнении состояния состоит из нейтронов, протонов, электронов и мюонов.

Как и в работе [12], уравнение теплопроводности решается нами не до внешней границы внутренней коры с $\rho = {{\rho }_{{{\text{drip}}}}} = 4 \times {{10}^{{11}}}$ г/см³, а до $\rho = {{\rho }_{{{\text{out}}}}} = {{10}^{{10}}}$ г/см³, чтобы как можно больше расширить область решения трехмерной задачи. Здесь ${{\rho }_{{{\text{drip}}}}}$ задает плотность, при которой начинается испарение нейтронов из перегруженных нейтронами ядер. Таким образом, радиус внутренней границы коры ${{R}_{{{\text{in}}}}} = 10.594$ км при $\rho = {{\rho }_{{{\text{in}}}}} = 2 \times {{10}^{{14}}}$ г/см³, а радиус внешней границы коры ${{R}_{{{\text{out}}}}} = 11.618$ км при $\rho = {{10}^{{10}}}$ г/см³; толщина такой коры составляет $1.024$ км. Для полученного численно распределения плотности в коре была получена аналитическая аппроксимация решения в виде:

где $r$ – расстояние от центра НЗ в километрах; погрешность этой аппроксимации составляет менее 1.2%.

Отметим здесь также, что в данной работе во внешней оболочке (см. ниже) рассматривается полностью ионизированная плазма железа с $Z = 26$ и $A = 56$, а в коре учитывается нейтронизация вещества. Эффективные значения $Z$ и $A$ как функции плотности в коре НЗ взяты из работы [30] для $\rho < {{\rho }_{{{\text{drip}}}}}$, и из [31] для $\rho > {{\rho }_{{{\text{drip}}}}}$.

3.1. Уравнение тепловой структуры внешней оболочки

Внешние слои нейтронных звезд, при $\rho < $ < 10¹⁰ г/см³, имеют толщину $ \sim {\kern 1pt} 100$ метров, при этом в данной области происходят очень большие перепады плотности и температуры. С вычислительной точки зрения пространственно разрешить такую область на трехмерной сетке не удается. При параметрах внешней оболочки необходимо учитывать процессы радиационного переноса, поскольку в приповерхностной области они становятся доминирующими. Тепловая структура оболочки в данной работе исследуется в стационарном, локальном, плоско-параллельном приближении, для расчета связи локальной температуры поверхности ${{T}_{s}}$ с локальной температурой ${{T}_{b}}$ при $\rho = {{10}^{{10}}}$ г/см³ на дне оболочки. На всей площади поверхности принималось, что радиальный градиент температуры и тепловой поток поперек оболочки много больше, чем вдоль нее [10]. Ниже дан вывод уравнения, описывающего тепловую структуру оболочки, приведенный в работе [10]. В одномерном приближении уравнение теплопроводности имеет вид [23, 32]:

Здесь $F$ – локальная плотность потока тепла, предполагаемая постоянной поперек оболочки, $\kappa $ – эффективный коэффициент теплопроводности в направлении нормали к поверхности, $K$ – эффективная непрозрачность, соответствующая данному $\kappa $, $z = ({{R}_{{{\text{NS}}}}} - r){{e}^{{\Phi ({{R}_{{{\text{NS}}}}})}}}$ – координата поперек оболочки, ${{e}^{{\Phi ({{R}_{{{\text{NS}}}}})}}} = {{(1 - {{r}_{g}}{\text{/}}{{R}_{{{\text{NS}}}}})}^{{ - 1/2}}}$, ${{r}_{g}}$ – гравитационный радиус, $\sigma $ – постоянная Стефана–Больцмана. Отметим также, что излучение с поверхности предполагается локально чернотельным.

Интегрирование уравнения (11) дает профиль температуры в оболочке $T \approx {{T}_{s}}{{\left( {\tfrac{3}{4}\tau + \tfrac{1}{2}} \right)}^{{1/4}}}$, где $\tau = \int_{ - \infty }^z \,K\rho dz$ – оптическая толщина оболочки. Постоянная интегрирования отвечает приближению Эддингтона [23, 32] ($\tau = \tfrac{2}{3}$ на излучающей поверхности).

При $z \ll {{R}_{{{\text{NS}}}}}$ релятивистское уравнение гидростатического равновесия (первое уравнение системы (9)) может быть приведено к Ньютоновской форме: $\tfrac{{dP}}{{dz}} = {{g}_{s}}\rho $, где $P$ – давление, ${{g}_{s}} = $ $ = G{{M}_{{{\text{NS}}}}}{\text{/}}(R_{{{\text{NS}}}}^{2}\sqrt {1 - {{r}_{g}}{\text{/}}{{R}_{{{\text{NS}}}}}} )$ ускорение свободного падения на поверхности НЗ. Из этого уравнения вместе с (11) можно получить уравнение тепловой структуры оболочки

Перенос тепла в оболочке определяется суммой двух процессов – лучистой и электронной теплопроводностью. Таким образом, эффективный коэффициент теплопроводности $\kappa = {{\kappa }_{r}} + {{\kappa }_{e}}$. Его можно выразить через коэффициенты теплопроводности вдоль (${{\kappa }_{\parallel }}$) и поперек (${{\kappa }_{ \bot }}$) силовых линий магнитного поля в виде [33] где ${{\theta }_{B}}$ – угол между нормалью к поверхности и магнитным полем. Получить выражение (13) для электронной теплопроводности можно следующим образом. Для градиента температуры направленного по нормали к поверхности ($\nabla T \equiv \nabla {{T}_{z}}$), проекция на нормаль cвертки тензора электронной теплопроводности (2) с $\nabla T$, в отсутствие холловского члена, запишется в виде Для градиента температуры направленного по нормали к оболочке из (14), с учетом (2), получаем откуда для электронной теплопроводности следует соотношение (13).

Для коэффициентов лучистой теплопродности в работе [34] получены значения для случаев вдоль $({{\kappa }_{{r\parallel }}})$ и поперек $({{\kappa }_{{r \bot }}})$ магнитного поля при учете свободно-свободного поглощения и томсоновского рассеяния. Аналогичные рассуждения для тензора лучистой теплопроводности приводят к формуле (13). Непрозрачность в этом случае равна

Как было отмечено в [35], уравнение (12) может быть неприменимо в областях, где поле очень велико и близко к тангенциальному. В этом случае тепловой поток по нормали к поверхности может быть сильно подавлен и стать сравнимым с тепловым потоком вдоль оболочки, параллельно полю. В данной работе этот эффект не рассматривается.

Уравнение (12) решалось численно адаптивным методом Рунге–Кутта 4–5 порядка точности с переменным шагом расчетной сетки. В качестве граничного условия на поверхности излучающей оболочки принимается $T = {{T}_{s}}$, при этом давление на поверхности ${{P}_{s}}$ находится из условия Эддингтона ${{P}_{s}} \approx \tfrac{{2{{g}_{s}}}}{{3{{K}_{s}}}}$ [23]. При известной зависимости ${{K}_{s}}({{T}_{s}},{{\rho }_{s}})$ для непрозрачности, и ${{P}_{s}}({{T}_{s}},{{\rho }_{s}})$ для уравнения состояния, условие Эддингтона однозначно определяет поверхностные значения ${{P}_{s}}$ и ${{\rho }_{s}}$ при заданном ${{T}_{s}}$.

3.2. Уравнение состояния в оболочке

Во внешней оболочке в данной модели мы рассматриваем полностью ионизированную плазму железа с вырожденными электронами и невырожденными нерелятивистскими ядрами, при этом пренебрегается кулоновским взаимодействием между электронами и ионами, и не рассматриваются эффекты квантования уровней энергии электронов в магнитном поле (квантование Ландау). В таком приближении давление представлено суммой давлений идеальных газов электронов и ядер

где давление ядер $P_{{{\text{id}}}}^{{(N)}} = {{n}_{N}}{{k}_{B}}T$, а давление релятивистских электронов произвольной степени вырождения может быть записано c помощью интегралов Ферми–Дирака [36, 37]: Здесь $\beta = {{({{k}_{B}}T)}^{{ - 1}}}$, $\chi = \beta \mu _{{{\text{id}}}}^{{(e)}}$ – химический потенциал электронов, нормированный на ${{k}_{B}}T$, $\tau = $ $ = {{(\beta {{m}_{e}}{{c}^{2}})}^{{ - 1}}}$, а интеграл Ферми–Дирака определен следующим образом: где $u = \beta {{m}_{e}}{{c}^{2}}\left( {\sqrt {1 + \tfrac{{{{p}^{2}}{{c}^{2}}}}{{m_{e}^{2}{{c}^{4}}}}} - 1} \right)$, $p$ – импульс электрона.

В пределе $\tau \to 0$ интегралы Ферми–Дирака превращаются в обычные нерелятивистские интегралы Ферми ${{I}_{\nu }}(\chi )$. Химический потенциал в таком случае может быть получен из соотношения

где $\theta = T{\text{/}}{{T}_{F}}$, ${{T}_{F}} = {{m}_{e}}{{c}^{2}}{\text{/}}{{k}_{B}}[\sqrt {1 + x_{r}^{2}} - 1]$ – температура Ферми, ${{x}_{r}} = {{p}_{{fe}}}{\text{/}}{{m}_{e}}c$, а ${{X}_{\nu }}$ – функция, обратная к интегралу Ферми, ее высокоточная аналитическая аппроксимация получена в работе [38]. Точность нерелятивистских формул быстро падает при $T > {{10}^{7}}$ К, поэтому к данной аппроксимации должна быть добавлена поправка, взятая из работы [37] где коэффициенты ${{q}_{i}}$ имеют вид Для релятивистских интегралов Ферми–Дирака использовалась аналитическая аппроксимация c учетом произвольных степеней вырождения и релятивизма электронов, полученная в работе [36].

3.3. Непрозрачности

Ввиду аддитивности коэффициента теплопроводности, полный коэффициент непрозрачности плазмы вдоль нормали к оболочке НЗ находится из коэффициентов фотонной и электронной непрозрачности следующим образом [23]:

где ${{K}_{e}}$ и ${{K}_{r}}$ – электронная и фотонная непрозрачности соответственно [23, 32]. Электронная непрозрачность может быть получена из аналогии с лучистой теплопроводностью: Здесь ${{\kappa }_{e}}$ является коэффициентом теплопроводности вдоль нормали к оболочке НЗ, (13) с учетом (3) для вырожденных электронов, однако во внешних слоях оболочки электроны могут быть невырождены, поэтому в невырожденной области необходимо использовать формулы для невырожденных электронов. Они также получены в работе [6] методом Чепмена-Энскога для двух- и трехполиномиального разложения решения уравнения Больцмана по полиномам Сонина–Лагерра. Для случая вдоль поля коэффициент теплопроводности невырожденных электронов запишется следующим образом: где ${{\tau }_{{{\text{nd}}}}} = \tfrac{3}{4}\sqrt {\tfrac{{{{m}_{e}}}}{{2\pi }}} \tfrac{{{{{({{k}_{B}}T)}}^{{3/2}}}}}{{{{Z}^{2}}{{e}^{4}}{{n}_{N}}\Lambda }}$ – среднее время между электрон-ионными столконовениями, ${{n}_{N}}$ – концентрация ядер. Коэффициент подавления потока тепла в случае теплопереноса поперек магнитного поля был взят из работы [6]. Заметим, что метод Чепмена-Энскога применим только при $\omega \tau \ll 2\pi $, поэтому при $\omega \tau > 1.5$ мы переходим к классическому соотношению $\tfrac{1}{{1 + {{{(\omega \tau )}}^{2}}}}$ с учетом условия непрерывности $\kappa _{ \bot }^{{{\text{nd}}}}$.

Коэффициент теплопроводности для сильно вырожденной материи вдоль поля равен $\kappa _{\parallel }^{{{\text{sd}}}} = \tfrac{{5{{\pi }^{2}}}}{6}\tfrac{{{{k}^{2}}T{{n}_{e}}}}{{m_{e}^{*}}}\tau $. Поперек поля коэффициент подавляется на фактор $\left( {\tfrac{1}{{1 + {{{(\omega \tau )}}^{2}}}} - \tfrac{6}{5}\frac{{{{{(\omega \tau )}}^{2}}}}{{{{{(1 + {{{(\omega \tau )}}^{2}})}}^{2}}}}} \right)$ при $\omega \tau \ll 2\pi $, а при $\omega \tau > 1.5$ мы также переходим к приближенному соотношению $\tfrac{1}{{1 + {{{(\omega \tau )}}^{2}}}}$ также с учетом условия непрерывности ${{\kappa }_{ \bot }}$.

Для использования формул выше в расчетах необходимо сшить невырожденный и сильно вырожденный пределы, например, следующим образом:

где $\chi = \mu _{{{\text{id}}}}^{{(e)}}{\text{/}}({{k}_{B}}T)$. Учет невырожденных коэффициентов теплопроводности влияет на результаты расчетов незначительно.

Основной вклад в радиационную непрозрачность вносят свободно-свободное и связанно-свободное поглощение, а также томсоновское рассеяние на электронах. В отсутствие магнитного поля Томсоновская непрозрачность в нерелятивистском пределе записывается следующим образом [39]:

где ${{\sigma }_{T}}$ – Томсоновское сечение рассеяния, $\tfrac{{{{e}^{2}}}}{{{{m}_{e}}{{c}^{2}}}}$ – классический радиус электрона.

Сечение свободно-свободного поглощения с учетом спонтанного и вынужденного излучения в условиях локального термодинамического равновесия в нерелятивистском случае дается следующей формулой [23]:

где $v$ – скорость электрона, $\nu $ – частота фотона, ${{g}_{{ff}}}$ – близкий к единице фактор Гаунта, учитывающий квантовые поправки к классической формуле. Чтобы получить коэффициент поглощения [23] на одной частоте, необходимо провести усреднение по Ферми–Дираку: где ${{m}_{u}}$ – атомная единица массы, а фактор ${{q}_{{ff}}}$ определяет долю незаполненных состояний электоронов в вырожденном газе. Данный интеграл берется в квадратурах, усреднение дает Для нахождения непрозрачности для свободно-свободных переходов, необходимо выражение (26) усреднить по Росселанду [23] cледующим образом: где ${{B}_{\nu }}(T) = \tfrac{{2h{{\nu }^{3}}}}{{{{c}^{2}}}}\tfrac{1}{{{{e}^{{h\nu /{{k}_{B}}T}}} - 1}}$ – интенсивность равновесного планковского излучения. Усреднение по Росселанду дает следующее выражение для невырожденного случая [23]: а в сильно вырожденном пределе ${{K}_{{ff}}}$ запишется в виде

Сечение связанно-свободного поглощения дается следующей формулой [23] в нерелятивистском пределе:

где ${{E}_{b}}$ – энергия уровня связанного электрона в водородноподобном ионе, $n$ – номер уровня, ${{g}_{{bf}}}$ – фактор Гаунта, ${{q}_{{bf}}}$ – поправка на вырождение электронов. Чтобы получить коэффициент Росселандовой непрозрачности, необходимо просуммировать выражение в квадратных скобках в $\alpha _{{bf}}^{\nu }$ в (29) по всем связанным состояниям, а затем усреднить полученное выражение по Росселанду. Для невырожденных электронов мы использовали значение ${{K}_{{bf}}}$ из книги [23]: где множитель $\frac{t}{{{{g}_{{bf}}}}}$ принимает значения от единицы до десяти. При росте плотности электронный газ во внешней оболочке НЗ быстро переходит к сильному вырождению. Чтобы приближенно учесть влияние вырождения на связанно-свободное поглощение, запишем суммирование $\alpha _{{bf}}^{\nu }$ в (29) по связанным электронным состояниям: где ${{K}_{0}}$ = $K_{{bf}}^{{{\text{nd}}}} \cdot t$, а $x = \tfrac{{h\nu }}{{{{k}_{B}}T}}$. В выражении выше при сильном вырождении $\chi \gg 1$, и поэтому в сечение поглощения вносят вклад в основном только очень жесткие кванты на хвосте планковского спектра, которые не внесут существенного вклада в среднюю непрозрачность. Пренебрегая экспонентой ${{e}^{{x - \tfrac{{{{E}_{b}}}}{{{{k}_{B}}T}} - \chi }}}$ в (31) и усредняя по $n$ и по частотам по аналогии с книгой Шварцшильда [40] для невырожденного случая, можно получить следующее приближенное выражение: Множитель $\tfrac{{t{\text{'}}}}{{g_{{bf}}^{'}}}$ также принимает значения от единицы до десяти.

Для использования формул (27), (28) для ff-переходов и (30), (32) для bf-переходов в расчетах, их необходимо непрерывно сшить, например, следующим образом:

где $m,\varepsilon > 1$ – числа, определяющие плавность перехода от одного предела к другому. При этом в $K_{{bf}}^{{{\text{sd}}}}$ необходимо $\chi = \tfrac{{{{\mu }_{e}}}}{{{{k}_{B}}T}}$ заменить на его модуль. Таким образом, в отсутствие магнитного поля фотонная непрозрачность складывается из томсоновской, связанно-свободной и свободно-свободной непрозрачностей: ${{K}_{r}}{{(\rho ,T)}_{{B = 0}}} = {{K}_{{Th}}} + {{K}_{{bf}}} + {{K}_{{ff}}}$.

Мы учли влияние магнитного поля на непрозрачность таким же образом, как и в [10]. Авторы этой работы построили аналитическую аппроксимацию полученных численно свободно-свободных и томсоновских непрозрачностей в магнитном поле [34]. Росселандовы непрозрачности вдоль и поперек поля записываются следующим образом:

В формуле выше $u = {{T}_{B}}{\text{/}}(2T)$, где ${{T}_{B}} = \hbar {{\omega }_{g}}{\text{/}}{{k}_{B}}$, ${{\omega }_{g}} = \omega {\text{/}}\sqrt {1 + x_{r}^{2}} $. В табл. 1 [10] приведены коэффициенты для ${{A}_{n}}$. Влияние магнитного поля на связанно-свободное поглощение мы учли таким же образом, как и на свободно-свободное.

3.4. Аппроксимационные соотношения ${{T}_{s}}$–${{T}_{b}}$

В ходе расчетов были получены наборы распределений температуры в оболочке НЗ для разных значений ${{T}_{s}}$, $B$ и $\theta $, связывающие локальную температуру на поверхности НЗ ${{T}_{s}}$ с температурой, вдоль радиуса, на дне оболочки ${{T}_{b}}$, по заданному значению индукции магнитного поля $B$ и угла $\theta $ между направлением магнитной силовой линии и нормалью к поверхности НЗ, которые считаются постоянными во внешней оболочке. Обзор существующих к настоящему моменту ${{T}_{s}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{T}_{b}}$-соотношений может быть найден в [11].

Как было отмечено в [9], ${{T}_{s}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{T}_{b}}$-соотношение зависит от значения коэффициентов теплопроводности в “полосе чувствительности” (sensitivity strip) на плоскости $\rho {\kern 1pt} - {\kern 1pt} T$, находящейся около “точки поворота” (turning point), где ${{\kappa }_{e}} \sim {{\kappa }_{r}}$. Точка поворота в случае теплопереноса при наличии магнитного поля сдвигается в область более высоких плотностей с ростом поля. Вдоль магнитного поля этот эффект провоцируется уменьшением непрозрачности, а поперек поля – уменьшением непрозрачности и подавлением коэффициента электронной теплопроводности поперек полю.

На рис. 2 представлены графики распределения температуры в оболочке НЗ, для поверхностной температуры ${{T}_{s}} = {{10}^{6}}$ К. Нижние сплошные отвечают распределению температуры вдоль $({{\theta }_{B}} = 0)$, а верхние пунктирные – поперек $({{\theta }_{B}} = \pi {\text{/}}2)$ магнитному полю. На рис. 3 изображены графики распределения температуры в оболочке НЗ с фиксированной температурой на дне оболочки для звезды с дипольным магнитным полем при различных его значениях ${{B}_{p}}$ на магнитном полюсе. Отметим, что для диполя значение поля на экваторе ${{B}_{e}} = 0.5{{B}_{p}}$. В табл. 2 представлены температуры поверхности на магнитном полюсе и экваторе и их отношения для различных значений ${{B}_{p}}$, и ${{T}_{b}} = {{10}^{8}}$ К.

Мы построили таблицы решений уравнения на тепловую структуру (12) для разных значений угла ${{\theta }_{B}}$, модуля индукции поля $B$ и температуры на дне оболочки ${{T}_{b}}$. Заметим, что в граничное условие уравнения (12) входит поверхностная температура ${{T}_{s}}$, поэтому для построения таблиц от ${{T}_{b}}$ необходимо решать уравнение на тепловую структуру, “подбирая” по ${{T}_{s}}$ необходимое значение ${{T}_{b}}$, в расчетах мы находили его с точностью 0.25%. В двумерных табл. 3 и 4 представлены решения уравнения [12] для некоторых ${{T}_{b}}$ и $B$ при ${{\theta }_{B}} = 0$ и ${{\theta }_{B}} = \pi {\text{/}}2$ соответственно.

Мы сравнили полученное нами соотношение ${{T}_{s}} - {{T}_{b}}$ с аналогичным соотношением из работы [10]. Основные отличия между моделями тепловой структуры заключаются в том, что по сравнению с [10] мы использовали более простое уравнение состояния в оболочке, но учли связанно-свободное поглощение и эффекты электронного вырождения на радиационных непрозрачностях (32), (28), а также использовали отличные от [10] коэффициенты электронной теплопроводности (3). На рис. 4 представлено сравнение ${{T}_{s}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{T}_{b}}$ для двух значений дипольного магнитного поля, с $B = {{10}^{{12}}}$ Гс (слева) и ${{10}^{{12}}}$ Гс (справа) на полюсе. В обоих случаях разница температур поверхности ${{T}_{s}}$ не превышает 20% от [10]. Температура поверхности НЗ на магнитном полюсе (вдоль поля) получилась в наших расчетах немного выше, чем в [10] ввиду того, что используемый нами коэффициент электронной теплопроводности вдоль поля выше, чем в [7]. С ситуацией поперек поля все несколько сложнее: с ростом магнитного поля переход от лучистой к электронной теплопроводности (полоса чувствительности) происходит в существенно вырожденной области, в которой радиационная непрозрачность сильно подавляется ввиду вырождения. По этой причине градиент температуры в областях поперек поля ниже для сильного магнитного поля (см. нижнюю синюю кривую на правой панели рис. 4), чем в [10], хотя коэффициент электронной теплопроводности (3) сильнее подавлен поперек поля.

Для оценки поправок, связанных с влиянием эффектов общей теории относительности на конфигурацию дипольного магнитного поля в оболочке, рассмотренных в [10], следуя [41], была рассчитана модель оболочки НЗ при температуре поверхности коры ${{T}_{b}} = 1 \times {{10}^{8}}$ К. Распределение температуры в этом варианте дано на рис. 5 для этого и ньютоновского случаев. Для сравнения там же дано распределение температуры, построенное аналогичным образом в [10]. Из рисунка видно, что эффекты ОТО являются незначительными, и различия в температурах определяются другими физическими эффектами.