1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Астрономический журнал
  4. T. 97, № 9, 2020

Астрономический журнал, 2020, T. 97, № 9, стр. 707-713

Движение пары гравитирующих тел в присутствии темной энергии: малые отклонения от кеплеровского движения

А. И. Нейштадт 1, 2, *, Г. С. Бисноватый-Коган 1, **

1 Институт космических исследований РАН
Москва, Россия

2 Университет Лафборо
Лафборо, Великобритания

* E-mail: aneishta@iki.rssi.ru
** E-mail: gkogan@iki.rssi.ru

Поступила в редакцию 30.04.2020
После доработки 28.05.2020
Принята к публикации 30.05.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследована задача о движении двух гравитирующих тел при наличии темной энергии (ТЭ), рассматриваемой как возмущающий фактор. В дополнение к частоте прецессии орбиты, полученной в предыдущих работах, вычислена поправка к частоте орбитального движения и исследованы колебания большой полуоси и эксцентриситета орбиты, вызванные влиянием ТЭ.

1. ВВЕДЕНИЕ

Открытие темной энергии (ТЭ) в современной вселенной было сделано на основе наблюдения сверхновых типа Ia при красных смещениях $z \leqslant 1$ [1, 2] и измерения спектра флуктуаций космического микроволнового фонового излучения (КМФ) [3, 4]. Эти наблюдения привели к определению величины космологической постоянной $\Lambda \approx {{10}^{{ - 56}}}$ см$^{{ - 2}}$, отождествленной с ТЭ. Влияние ТЭ на свойства космологического расширения в современную эпоху рассматривалось в обзорах [5–12].

В более раннюю эпоху наблюдательные ограничения на величину космологической постоянной $\Lambda $ и плотности темной энергии ${{\rho }_{{{\text{DE}}}}} = \tfrac{{\Lambda {{c}^{2}}}}{{8\pi G}}$ были получены на основе прецизионных наблюдений тайминга двойных радиопульсаров и движения планет Солнечной системы. Анализ данных о прецессии перигелия Меркурия для получения ограничений на величину $\Lambda $ проводился различными авторами [13–15], вычисленные ими значения этих ограничений сильно различаются. В работе [15] был получен верхний предел $\Lambda < 4 \times {{10}^{{ - 45}}}$ см–2, упомянутый в последующих работах [16–19]. Таким образом, измеренное значение $\Lambda $ оказалось более чем на 10 порядков меньше этого верхнего предела.

Гравитомагнитный эффект хода часов при их движении по орбите вокруг вращающегося тела состоит в разности скорости хода часов при их вращении по противоположно направленным орбитам [20, 21]. Влияние космологической постоянной на этот эффект, а также влияние $\Lambda $ на релятивистскую прецессию перигелия, исследовались в работе [22]. Влияние космологической постоянной на прецессию перигелия Земли и Марса, исследованное в работах [15, 23], привело к ограничению на значение $\Lambda $ в виде $\Lambda < 1 \cdot $ · 10‒46 см–2. Различные релятивистские эффекты в Солнечной системе на основе метрики Шварцшильда-де Ситтера были рассмотрены в работе [24]. Влияние малой дополнительной центрально-симметричной силы и космологического расширения вселенной на движение по кеплеровским орбитам исследовалось в работах [25–28].

В работах [29–31] было показано, что влияние ТЭ на динамику во внешних областях скоплений галактик может быть достаточно сильным. При рассмотрении относительного движения двух богатых скоплений влияние космологической постоянной может быть определяющим [32]. Оценка влияния измеренной космологической постоянной $\Lambda \approx {{10}^{{ - 56}}}$ см–2 на прецессию орбиты планет вокруг Солнца сделана в [22]. Было показано, что для Солнечной системы это влияние очень мало, и частота прецессии орбиты Земли составляет величину $ \sim {\kern 1pt} {{10}^{{ - 14}}}$ от эйнштейновского значения. В [22] показано, что отношение этих частот пропорционально 4-й степени размера большей полуоси орбиты, $ \sim {\kern 1pt} {{a}^{4}}$, т.е. зависимость от периода обращения $ \sim {\kern 1pt} {{T}^{{8/3}}}$. Таким образом для Меркурия эта величина меньше в ${{({{T}_{ \oplus }}{\text{/}}{{T}_{{{\text{Mercury}}}}})}^{{8/3}}} \approx 365{\text{/}}88 \approx $ $ \approx 44$ раза. Относительное влияние ТЭ на частоту прецессии уменьшается с приближением орбиты планеты к Солнцу, т.к. роль гравитации Солнца растет, а вклад ТЭ падает ввиду постоянной плотности ее энергии.

Гораздо сильнее влияние ТЭ на относительное движение галактик, когда роль ТЭ может стать сравнимой c притяжением между галактиками [29–31]. Временные масштабы при этом столь велики, что наблюдать можно только результаты длительного действия различных факторов.

Решение задачи Кеплера в присутствии ТЭ было получено в квазиньютоновском приближении в работе [33]. Общее аналитическое решение, справедливое для произвольных $\Lambda $, было записано через различные эллиптические интегралы с использованием табличных формул [34]. Это громоздкое решение не очень удобно для анализа различных физических эффектов в задаче Кеплера, связанных с наличием ТЭ. В настоящей работе, в задаче о движении двух гравитирующих тел, наличие ТЭ рассматривается как возмущающий фактор, аналогично [22]. При этом используется несколько отличающийся метод усреднения по траектории. В дополнение к частоте прецессии орбиты, полученной в [22], вычисляется поправка к частоте орбитального движения (или, эквивалентно, к интервалу времени между двумя прохождениями через перицентр) за счет ТЭ. Эта поправка имеет тот же порядок, что и частота вращения перицентра, и потребовала более точного рассмотрения по сравнению с [22]. На основе используемого метода можно получить следующие по порядку приближения и исследовать отличия от усредненного движения.

2. КЕПЛЕРОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВАКУУМЕ

Движение двух гравитирующих тел с массами ${{m}_{1}},$ ${{m}_{2}}$ относительно друг друга сводится к уравнению Кеплера, которое описывает движение тела с приведенной массой $m = \tfrac{{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}}{{{{m}_{1}} + {{m}_{2}}}}$ вокруг неподвижного тела с массой $M = {{m}_{1}} + {{m}_{2}}$. Система уравнений для компонент $(r,\phi )$ вектора расстояния ${\mathbf{r}}$ между гравитирующими телами $m$ и $M$ имеет интегралы энергии $E$ и углового момента $L$ [35]

(1)
$\begin{gathered} E = \frac{{m{{v}^{2}}}}{2} + \frac{{{{L}^{2}}}}{{2m{{r}^{2}}}} - \frac{{GMm}}{r},\quad L = m{{v}_{\phi }}r, \\ v = \frac{{dr}}{{dt}},\quad {{v}_{\phi }} = r\frac{{d\phi }}{{dt}}. \\ \end{gathered} $
Решение этой системы при $E < 0$ описывает замкнутые эллиптические траектории вида [35]
(2)
$r = \frac{{a(1 - {{\epsilon }^{2}})}}{{1 + \epsilon cos(\phi - g)}}.$
Большая полуось $a$ и эксцентриситет $\epsilon $ эллипса равны
(3)
$a = \frac{{GM}}{{2{\text{|}}E{\text{|}}}},\quad \epsilon = \sqrt {1 + \frac{{2E{{L}^{2}}}}{{{{m}^{3}}{{{(GM)}}^{2}}}}} ,$
долгота перицентра $g$ определяет направление линии апсид, истинная аномалия $\phi - g$ определяет положение точки на орбите, $\phi $ – долгота.

3. ПРЕЦЕССИЯ ОРБИТ В ПРИСУТСТВИИ ТЭ

Присутствие темной энергии в квазиньютоновском приближении учитывается дополнительной радиальной силой отталкивания, что приводит к изменению интеграла энергии, который принимает следующий вид

(4)
$E = \frac{{m{{v}^{2}}}}{2} + \frac{{{{L}^{2}}}}{{2m{{r}^{2}}}} - \frac{{GMm}}{r} - \frac{{\Lambda m{{c}^{2}}}}{6}{{r}^{2}}.$
Как и во всяком центральном поле, движение происходит в плоскости. Орбиты в этой плоскости становятся незамкнутыми. Если влияние темной энергии считать малым возмущающим фактором, то орбита может быть представлена в виде медленно прецессирующей кеплеровской орбиты. В [22] скорости изменения оскулирующих элементов в этой задаче усреднены по периоду кеплеровского движения. В результате получены следующие усредненные уравнения:
(5)
$\begin{gathered} \left\langle {\frac{{da}}{{dt}}} \right\rangle = 0,\quad \left\langle {\frac{{d\epsilon }}{{dt}}} \right\rangle = 0, \\ \left\langle {\frac{{dg}}{{dt}}} \right\rangle = \frac{{\Lambda {{c}^{2}}}}{{2\omega }}\sqrt {1 - {{\epsilon }^{2}}} . \\ \end{gathered} $
Последнее соотношение в (5) дает частоту прецессии перицентра.

4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ

Движение происходит в плоскости и описывается гамильтоновой системой с двумя степенями свободы. Будем использовать канонические переменные Делоне (${{I}_{1}},{{I}_{2}}$, ${{\varphi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}}$) [36]:

(6)
$\begin{gathered} {{I}_{1}} = \sqrt {\mu a} ,\quad {{\varphi }_{1}} = l, \\ {{I}_{2}} = \sqrt {\mu a(1 - {{\epsilon }^{2}})} ,\quad {{\varphi }_{2}} = g. \\ \end{gathered} $
Здесь $\mu = GM$, a $l$ – средняя аномалия в задаче Кеплера. Напомним, что в задаче Кеплера средняя аномалия – это угловая переменная, которая равномерно изменяется при движении тел по орбите. Скорость ее изменения (среднее движение) $\omega = \sqrt {GM} {\text{/}}{{a}^{{3/2}}}$. Средняя аномалия выражается через эксцентрическую аномалию $\xi $ с помощью уравнения Кеплера [35, 36]

(7)
$l = \xi - \epsilon sin\xi .$

Гамильтониан задачи $H$ пропорционален полной энергии, $H = E{\text{/}}m$. В переменных Делоне гамильтониан записывается в виде:

(8)
$\begin{gathered} H = {{H}_{0}}({{I}_{1}}) + \varepsilon {{H}_{1}}({{I}_{1}},{{I}_{2}},{{\varphi }_{1}}), \\ {{H}_{0}} = - \frac{{{{\mu }^{2}}}}{{2I_{1}^{2}}},\quad {{H}_{1}} = - {{r}^{2}}. \\ \end{gathered} $
Здесь ${{r}^{2}}$ должно быть выражено через ${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$, ${{\varphi }_{1}}$. Величина $\varepsilon = \tfrac{{\Lambda {{c}^{2}}}}{6}$ будет считаться малым параметром задачи, по которому проводятся разложения (это не безразмерная величина, но ее удобно использовать в разложениях, чтобы не вводить дополнительно безразмерный малый параметр). Этому гамильтониану соответствуют уравнения движения
(9)
$\begin{gathered} {{{\dot {I}}}_{1}} = - \varepsilon \frac{{\partial {{H}_{1}}}}{{\partial {{\varphi }_{1}}}},\quad {{{\dot {\varphi }}}_{1}} = \frac{{\partial {{H}_{0}}}}{{\partial {{I}_{1}}}} + \varepsilon \frac{{\partial {{H}_{1}}}}{{\partial {{I}_{1}}}}, \\ {{{\dot {I}}}_{2}} = - \varepsilon \frac{{\partial {{H}_{1}}}}{{\partial {{\varphi }_{2}}}} = 0,\quad {{{\dot {\varphi }}}_{2}} = \varepsilon \frac{{\partial {{H}_{1}}}}{{\partial {{I}_{2}}}}. \\ \end{gathered} $
В этой записи учтено, что ${{H}_{0}}$ зависит только от ${{I}_{1}}$, и поэтому частные производные ${{H}_{0}}$ по остальным переменным обращаются в 0.

Величина ${{I}_{2}}$ пропорциональна угловому моменту, ${{I}_{2}} = L{\text{/}}m$, и является первым интегралом задачи, ${{I}_{2}} = {\text{const}}$. В терминах уравнений (9) это связано с тем, что гамильтониан не зависит от угла ${{\varphi }_{2}}$. Соответственно частная производная гамильтониана по ${{\varphi }_{2}}$ тождественно обращается в 0, а канонически сопряженная к ${{\varphi }_{2}}$ переменная ${{I}_{2}}$ является первым интегралом.

Задача имеет также интеграл энергии H = $ = {{H}_{0}}({{I}_{1}}) + \varepsilon {{H}_{1}}({{I}_{1}},{{I}_{2}},{{\varphi }_{1}}) = h = {\text{const}}$, так как гамильтониан не зависит явно от времени.

Рассматриваемая задача интегрируема: для ${{I}_{1}}$ и ${{\varphi }_{1}}$ получается гамильтонова система с одной степенью свободы, зависящая от ${{I}_{2}}$ как от параметра. По найденным решениям этой системы можно затем получить зависимость ${{\varphi }_{2}}$ от времени квадратурой [33].

5. ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

5.1. Общее описание процедуры Делоне–Цейпеля

Мы будем строить приближенные решения при малых $\varepsilon $. В рассматриваемой задаче одна быстро меняющаяся угловая переменная, угол ${{\varphi }_{1}}$, и две медленно меняющиеся переменные, ${{I}_{1}}$ и ${{\varphi }_{2}}$ (переменную ${{I}_{2}}$ можно рассматривать как параметр задачи). Для описания динамики будем использовать процедуру канонической теории возмущений в форме11 Делоне–Цейпеля [36]. Эта процедура применительно к рассматриваемой задаче состоит в том, что делается каноническая $2\pi $-периодическая по ${{\varphi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}}$, близкая к тождественной (отличающаяся от тождественной величинами порядка $\varepsilon $) замена переменных ${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$, ${{\varphi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}} \mapsto {{J}_{1}}$, ${{J}_{2}}$, ${{\psi }_{1}}$, ${{\psi }_{2}}$ такая, что гамильтониан в новых переменных зависит от быстрой угловой переменной ${{\psi }_{1}}$ лишь в членах выше заданного порядка. Если мы хотим исключить ${{\psi }_{1}}$ из гамильтониана вплоть до членов порядка ${{\varepsilon }^{n}}$ включительно в разложении по малому параметру $\varepsilon $, то производящая функция нужной замены переменных ищется в виде многочлена степени $n$ по $\varepsilon $. Отбрасывая в гамильтониане малый член порядка ${{\varepsilon }^{{n + 1}}}$, получаем гамильтониан, не зависящий от переменной ${{\psi }_{1}}$. В полученной гамильтоновой системе величина ${{J}_{1}}$ является первым интегралом, ${{J}_{1}} = {\text{const}}$, в соответствии с гамильтоновыми уравнениями движения. Для остальных переменных получается система с меньшим на единицу числом степеней свободы, зависящая от ${{J}_{1}}$ как от параметра, причем все переменные в этой системе меняются медленно. После решения этой системы приближенное решение исходной системы получается с помощью обращения построенной замены переменных.

Для рассматриваемой задачи описанная процедура еще более упрощается из-за того, что гамильтониан не зависит от ${{\varphi }_{2}}$. Тогда процедура организуется так, что новый гамильтониан не зависит от ${{\psi }_{2}}$, и ${{J}_{2}} = {{I}_{2}} = {\text{const}}$. Получается, что величины $\mathop {\dot {\psi }}\nolimits_1 $, $\mathop {\dot {\psi }}\nolimits_2 $ постоянны. Это средние частоты изменения углов ${{\varphi }_{1}},\;{{\varphi }_{2}}$.

Мы ограничимся первым приближением описанной процедуры: возьмем $n = 1$. Делаем каноническую замену переменных $({{I}_{1}},{{I}_{2}},{{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}}) \mapsto $ $ \mapsto ({{J}_{1}},{{J}_{2}},{{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}})$ с производящей функцией

$W = {{J}_{1}}{{\varphi }_{1}} + {{J}_{2}}{{\varphi }_{2}} + \varepsilon S({{J}_{1}},{{J}_{2}},{{\varphi }_{1}}),$
где $S$ – пока не определенная $2\pi $-периодическая по ${{\varphi }_{1}}$ функция (производящая функция зависит от старых координат ${{\varphi }_{1}}$, ${{\varphi }_{2}}$ и новых импульсов ${{J}_{1}}$, ${{J}_{2}}$).

Старые и новые переменные связаны соотношениями

(10)
$\begin{gathered} {{I}_{1}} = {{J}_{1}} + \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{\varphi }_{1}}}},\quad {{I}_{2}} = {{J}_{2}} + \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{\varphi }_{2}}}} = {{J}_{2}}, \\ {{\psi }_{1}} = {{\varphi }_{1}} + \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{J}_{1}}}},\quad {{\psi }_{2}} = {{\varphi }_{1}} + \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{J}_{2}}}}. \\ \end{gathered} $
Замена переменных (10) близка к тождественной.

Подставляя в гамильтониан выражение для ${{I}_{1}}$ через ${{J}_{1}}$, ${{\varphi }_{1}}$, ${{I}_{2}}$ из (10), получаем

$\begin{gathered} H = {{H}_{0}}\left( {{{J}_{1}} + \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{\varphi }_{1}}}}} \right) + \varepsilon {{H}_{1}}\left( {{{J}_{1}} + \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{\varphi }_{1}}}},{{I}_{2}},{{\varphi }_{1}}} \right) = \\ = \;{{H}_{0}}({{J}_{1}}) + \varepsilon \left[ {\frac{{\partial {{H}_{0}}({{J}_{1}})}}{{\partial {{J}_{1}}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {{\varphi }_{1}}}} + {{H}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}},{{\varphi }_{1}})} \right] + O({{\varepsilon }^{2}}). \\ \end{gathered} $
Обозначим ${{\bar {H}}_{1}}$ среднее от ${{H}_{1}}$ по ${{\varphi }_{1}}$. Хотим выбрать $S$ так, чтобы было
$\frac{{\partial {{H}_{0}}({{J}_{1}})}}{{\partial {{J}_{1}}}}\frac{{\partial S}}{{\partial {{\varphi }_{1}}}} + {{H}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}},{{\varphi }_{1}}) = {{\bar {H}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}}).$
Тогда $S$ получается интегрированием по ${{\varphi }_{1}}$ из соотношения
(11)
$\frac{{\partial S}}{{\partial {{\varphi }_{1}}}} = - \frac{1}{{\partial {{H}_{0}}({{J}_{1}}){\text{/}}\partial {{J}_{1}}}}[{{H}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}},{{\varphi }_{1}}) - {{\bar {H}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}})].$
Так как правая часть (11) $2\pi $-периодическая функция от ${{\varphi }_{1}}$ со средним, равным 0, то $S$ получается $2\pi $-периодической функцией от ${{\varphi }_{1}}$. Мы будем выбирать функцию $S$ так, чтобы ее среднее по ${{\varphi }_{1}}$ было равно 0. Гамильтониан в новых переменных
$H = {{H}_{0}}({{J}_{1}}) + \varepsilon {{\bar {H}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}}) + O({{\varepsilon }^{2}}).$
Пренебрегая членом порядка ${{\varepsilon }^{2}}$, получаем гамильтониан $\mathcal{H} = {{H}_{0}}({{J}_{1}}) + \varepsilon {{\bar {H}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}})$ и уравнения движения
$\begin{gathered} {{{\dot {J}}}_{1}} = 0,\quad {{{\dot {I}}}_{2}} = 0, \\ {{{\dot {\psi }}}_{1}} = \frac{{\partial {{H}_{0}}({{J}_{1}})}}{{\partial {{J}_{1}}}} + \varepsilon \frac{{\partial {{{\bar {H}}}_{1}}}}{{\partial {{J}_{1}}}}, \\ {{{\dot {\psi }}}_{2}} = \varepsilon \frac{{\partial {{{\bar {H}}}_{1}}}}{{\partial {{I}_{2}}}}. \\ \end{gathered} $
Здесь ${{\bar {H}}_{1}} = {{\bar {H}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}})$.

5.2. Поправки к кеплеровскому движению

Проведем выкладки. Среднее от ${{H}_{1}}$ по ${{\varphi }_{1}}$ есть

(12)
${{\bar {H}}_{1}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } \,{{H}_{1}}d{{\varphi }_{1}} = - \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } \,{{r}^{2}}d{{\varphi }_{1}},$
т.е. с точностью до знака, ${{\bar {H}}_{1}}$ – это нулевой член в известном разложении функции ${{r}^{2}}$ в ряд Фурье по средней аномалии (см., напр., [36]):
(13)
${{\bar {H}}_{1}} = - {{a}^{2}}\left( {1 + \frac{{3{{\epsilon }^{2}}}}{2}} \right).$
Поскольку
(14)
${{a}^{2}} = I_{1}^{4}{\text{/}}{{\mu }^{2}},\quad {{\epsilon }^{2}} = 1 - \frac{{I_{2}^{2}}}{{I_{1}^{2}}},$
получаем
(15)
${{\bar {H}}_{1}} = - \frac{{I_{1}^{4}}}{{{{\mu }^{2}}}}\left( {1 + \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{{I_{2}^{2}}}{{I_{1}^{2}}}} \right)} \right) = - \left( {\frac{5}{2}\frac{{I_{1}^{4}}}{{{{\mu }^{2}}}} - \frac{3}{2}\frac{{I_{1}^{2}I_{2}^{2}}}{{{{\mu }^{2}}}}} \right).$
Заменяя здесь ${{I}_{1}}$ на ${{J}_{1}}$, как это предписывается изложенной процедурой, получаем гамильтониан первого приближения
(16)
$\begin{gathered} \mathcal{H} = {{H}_{0}}({{J}_{1}}) + \varepsilon {{{\bar {H}}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}}),\quad {{H}_{0}}({{J}_{1}}) = - \frac{{{{\mu }^{2}}}}{{2J_{1}^{2}}}, \\ {{{\bar {H}}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}}) = - \left( {\frac{5}{2}\frac{{J_{1}^{4}}}{{{{\mu }^{2}}}} - \frac{3}{2}\frac{{J_{1}^{2}I_{2}^{2}}}{{{{\mu }^{2}}}}} \right). \\ \end{gathered} $
Для изменения угла ${{\psi }_{2}}$ в рассматриваемом приближении получаем
(17)
${{\dot {\psi }}_{2}} = \varepsilon \frac{{\partial {{{\bar {H}}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}})}}{{\partial {{I}_{2}}}} = 3\varepsilon J_{1}^{2}{{I}_{2}}{\text{/}}{{\mu }^{2}}.$
Эта формула дает в рассматриваемом приближении среднюю частоту вращения перицентра. Погрешность этой формулы $ \sim {\kern 1pt} {{\varepsilon }^{2}}$. Без увеличения погрешности можно считать, что ${{J}_{1}}$ связано с величиной энергии $h$ соотношением $h = - {{\mu }^{2}}{\text{/}}(2J_{1}^{2})$. Определяя отсюда ${{J}_{1}}$ и подставляя в (17), получаем для средней частоты вращения перицентра выражение
(18)
${{\dot {\psi }}_{2}} = \frac{3}{2}\varepsilon \frac{{{{I}_{2}}}}{{{\text{|}}h{\text{|}}}}.$
Для изменения угла ${{\psi }_{1}}$ в рассматриваемом приближении получаем
(19)
${{\dot {\psi }}_{1}} = \frac{{\partial {{H}_{0}}({{J}_{1}})}}{{\partial {{J}_{1}}}} + \varepsilon \frac{{\partial {{{\bar {H}}}_{1}}({{J}_{1}},{{I}_{2}})}}{{\partial {{J}_{1}}}},$
или, в явном виде

(20)
${{\dot {\psi }}_{1}} = \frac{{{{\mu }^{2}}}}{{J_{1}^{3}}} - \frac{\varepsilon }{{{{\mu }^{2}}}}(10J_{1}^{3} - 3{{J}_{1}}I_{2}^{2}).$

Эта формула дает в рассматриваемом приближении среднюю частоту изменения средней аномалии. Погрешность этой формулы $ \sim {\kern 1pt} {{\varepsilon }^{2}}$. Без увеличения погрешности можно во втором члене этой формулы определять ${{J}_{1}}$ из соотношения $h = - {{\mu }^{2}}{\text{/}}(2J_{1}^{2})$, поскольку сам этот член уже порядка $\varepsilon $. В первом члене этой формулы, поскольку он порядка 1, нужно действовать точнее: использовать для определения ${{J}_{1}}$ соотношение $\mathcal{H} = h$ и формулы (16), т.е.

(21)
$ - \frac{{{{\mu }^{2}}}}{{2J_{1}^{2}}} - \frac{\varepsilon }{{{{\mu }^{2}}}}\left( {\frac{5}{2}J_{1}^{4} - \frac{3}{2}J_{1}^{2}I_{2}^{2}} \right) = h.$
Для ${{J}_{1}}$ с погрешностью порядка ${{\varepsilon }^{2}}$ отсюда получаем
(22)
$\begin{gathered} \frac{1}{{J_{1}^{3}}} = \mathop {\left( {\frac{{ - 2h}}{{{{\mu }^{2}}}}} \right)}\nolimits^{3/2} - \frac{{3\varepsilon }}{{2{{\mu }^{4}}}} \times \\ \times \;\left[ {\frac{5}{{{{{( - 2h{\text{/}}{{\mu }^{2}})}}^{{3/2}}}}} - \frac{3}{{{{{( - 2h{\text{/}}{{\mu }^{2}})}}^{{1/2}}}}}I_{2}^{2}} \right] + O({{\varepsilon }^{2}}). \\ \end{gathered} $
Теперь в главном приближении из (20) получаем
(23)
$\begin{gathered} {{{\dot {\psi }}}_{1}} = {{\mu }^{2}}\mathop {\left( {\frac{{ - 2h}}{{{{\mu }^{2}}}}} \right)}\nolimits^{3/2} - \frac{\varepsilon }{{{{\mu }^{2}}}} \times \\ \times \;\left[ {\frac{{35}}{{2{{{( - 2h{\text{/}}{{\mu }^{2}})}}^{{3/2}}}}} - \frac{{15}}{{2{{{( - 2h{\text{/}}{{\mu }^{2}})}}^{{1/2}}}}}I_{2}^{2}} \right]. \\ \end{gathered} $
Эта формула определяет среднюю частоту движения тел относительно положения перицентра.

В обозначениях разделов 2, 3 формулы для средней частоты прецессии перицентра $\left\langle {\dot {g}} \right\rangle \equiv {{\dot {\psi }}_{1}}$, и средней частоты изменения средней аномалии $\left\langle {\dot {l}} \right\rangle \equiv {{\dot {\psi }}_{2}}$ принимают вид (мы выражаем результаты через сохраняющиеся величины: полную энергию $E$ и угловой момент $L$):

(24)
$\left\langle {\dot {g}} \right\rangle = \frac{{\Lambda {{c}^{2}}}}{4}\frac{L}{{{\text{|}}E{\text{|}}}},$
(25)
$\begin{gathered} \left\langle {\dot {l}} \right\rangle = \frac{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{3/2}}}}}{{GM}} - \frac{{5\Lambda {{c}^{2}}}}{{12GM}} \times \\ \times \;\left[ {\frac{{7{{{(GM)}}^{2}}}}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{3/2}}}}} - \frac{3}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{1/2}}}}}{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}} \right]. \\ \end{gathered} $

Вид этих формул упрощается, если использовать в них усредненные значения большой полуоси и экцентриситета $\bar {a}$, $\bar {\epsilon }{\text{ }}$, определяемые соотношениями ${{J}_{1}} = \sqrt {GM\bar {a}} $, ${{I}_{2}} = \sqrt {GM\bar {a}(1 - {{{\bar {\epsilon }}}^{2}})} $:

(26)
$\left\langle {\dot {g}} \right\rangle = \frac{{\Lambda {{c}^{2}}}}{{2\bar {\omega }}}\sqrt {1 - {{\epsilon }^{2}},} $
(27)
$\left\langle {\dot {l}} \right\rangle = \bar {\omega } - \frac{{\Lambda {{c}^{2}}}}{{6\bar {\omega }}}(7 + 3{{\bar {\epsilon }}^{2}}).$
Здесь $\bar {\omega } = \sqrt {GM} {\text{/}}{{\bar {a}}^{{3/2}}}$ – среднее движение для невозмущенной кеплеровской орбиты с большой полуосью $\bar {a}$. Первая из этих формул получена в [22], см. (5).

Величины $\bar {a}$, $\bar {\epsilon }$ выражаются через полную энергию $E$ и угловой момент $L$ с погрешностью $O({{\varepsilon }^{2}})$ по следующим формулам

$\bar {a} = \frac{{GM}}{{2{\text{|}}E{\text{|/}}m}} + \frac{{\Lambda {{c}^{2}}GM}}{{48{{{({\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{3}}}}\left( {5\frac{{{{{(GM)}}^{2}}}}{{2{\text{|}}E{\text{|/}}m}} - 3{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}} \right),$
(28)
$\bar {\epsilon } = \sqrt {1 - \frac{{{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}{{{{{(GM)}}^{2}}}}} + \frac{{\Lambda {{c}^{2}}{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}}}{{24}} \times $
$ \times \;\left( {5\frac{{{{{(GM)}}^{2}}}}{{2{\text{|}}E{\text{|/}}m}} - 3{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}} \right)\mathop {\left( {1 - \frac{{{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}{{{{{(GM)}}^{2}}}}} \right)}\nolimits^{ - 1/2} .$
Формула (25) позволяет найти время между прохождениями через перицентр с учетом возмущения (период орбитального движения). В рассматриваемом приближении это время равно
(29)
$\begin{array}{*{20}{c}} {T = \frac{{2\pi }}{{\left\langle {\dot {l}} \right\rangle }} = \frac{{2\pi }}{{\tfrac{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{3/2}}}}}{{GM}} - \tfrac{{5\Lambda {{c}^{2}}}}{{12GM}}\left[ {\tfrac{{7{{{(GM)}}^{2}}}}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{3/2}}}}} - \tfrac{3}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{1/2}}}}}{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}} \right]}} \approx } \\ {\, \approx \frac{{2\pi GM}}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{3/2}}}}} + \frac{{2\pi GM}}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{3}}}}\frac{{5\Lambda {{c}^{2}}}}{{12}}\left[ {\frac{{7{{{(GM)}}^{2}}}}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{3/2}}}}} - \frac{3}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{1/2}}}}}{{{(L{\text{/}}m)}}^{2}}} \right].} \end{array}$
Здесь период выражен через первые интегралы исходной задачи. Можно без изменения порядка погрешности выразить член пропорциональный $\Lambda $ через $\bar {a}$ и $\bar {\epsilon }$:

(30)
$T = \frac{{2\pi GM}}{{{{{(2{\text{|}}E{\text{|/}}m)}}^{{3/2}}}}} + \frac{{5\pi \Lambda {{c}^{2}}}}{{6{{{\bar {\omega }}}^{3}}}}(4 + 3{{\bar {\epsilon }}^{2}}).$

Общая картина движения в рассматриваемой задаче такова. Большая полуось и эксцентриситет кеплеровского эллипса испытывают малые периодические колебания около постоянных значений $\bar {a}$, $\bar {\epsilon }$; долгота перицентра и средняя аномалия испытывают малые периодические колебания около равномерных вращений с частотами, задаваемыми формулами (24), (25). Эти малые колебания определяются из соотношений замены переменных (10). Ввиду громоздкости формул мы ограничимся нахождением функции $S$ и колебаний большой полуоси и эксцентриситета.

Согласно (11) и (7),

(31)
$S = - \frac{1}{{\bar {\omega }}}\int {({{H}_{1}} - {{{\bar {H}}}_{1}})} (1 - \epsilon cos\xi )d\xi .$
Здесь $\bar {\omega } = \partial {{H}_{0}}({{J}_{1}}){\text{/}}\partial {{J}_{1}}$ – частота кеплеровского движения, вычисленная в главном приближении. Использование в записи для $S$ неопределенного интеграла указывает, что $S$ определена с точностью до произвольной функции от медленных переменных. В дальнейшем мы выберем эту произвольную функцию так, чтобы среднее от $S$ по ${{\varphi }_{1}}$ равнялось 0. Учитывая, что $r = a(1 - \epsilon cos\xi )$, и используя (13), получаем
$\begin{gathered} S = \frac{1}{{\bar {\omega }}}\left[ {\left( {\int {{{a}^{2}}{{{(1 - \epsilon cos\xi )}}^{3}}d\xi } } \right) - } \right. \\ \left. {\, - {{a}^{2}}\left( {1 + \frac{{3{{\epsilon }^{2}}}}{2}} \right)(\xi - \epsilon sin\xi )} \right] = \\ = \frac{{{{a}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\left[ {\left( {\int {\left( {1 - 3\epsilon cos\xi + 3{{\epsilon }^{2}}\frac{{1 + cos2\xi }}{2} - } \right.} } \right.} \right. \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \left. {\left. { - \;{{\epsilon }^{3}}\frac{{cos3\xi + 3cos\xi }}{4}} \right)d\xi } \right) - \\ - \;\left. {\left( {1 + \frac{{3{{\epsilon }^{2}}}}{2}} \right)(\xi - \epsilon sin\xi )} \right] = \\ \, = \frac{{{{a}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\left[ { - 3\epsilon sin\xi + \frac{3}{4}{{\epsilon }^{2}}sin2\xi - } \right.\frac{1}{{12}}{{\epsilon }^{3}}(sin3\xi + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + \;\left. {9sin\xi ) + \epsilon \left( {1 + \frac{{3{{\epsilon }^{2}}}}{2}} \right)sin\xi } \right] + C = \\ = \;\frac{{{{a}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\left[ {\epsilon \left( { - 2 + \frac{3}{4}{{\epsilon }^{2}}} \right)sin\xi + \frac{3}{4}{{\epsilon }^{2}}sin2\xi - } \right. \\ \, - \left. {\frac{1}{{12}}{{\epsilon }^{3}}sin3\xi } \right] + C. \\ \end{gathered} $
Здесь $C$ – произвольная функция от $a$, $\epsilon $. Мы выберем $C$ так, чтобы среднее от $S$ по ${{\varphi }_{1}}$ равнялось 0. Получаем
$\begin{gathered} C = - \frac{{{{a}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\int\limits_0^{2\pi } \,\left( {\epsilon \left( { - 2 + \frac{3}{4}{{\epsilon }^{2}}} \right)sin\xi + \frac{3}{4}{{\epsilon }^{2}}sin2\xi - } \right. \\ \, - \left. {\frac{1}{{12}}{{\epsilon }^{3}}sin3\xi } \right)(1 - \epsilon cos\xi )d\xi = 0. \\ \end{gathered} $
Окончательно
(32)
$\begin{gathered} S = \frac{{{{a}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\left[ {\epsilon \left( { - 2 + \frac{3}{4}{{\epsilon }^{2}}} \right)sin\xi + } \right. \\ \, + \left. {\frac{3}{4}{{\epsilon }^{2}}sin2\xi - \frac{1}{{12}}{{\epsilon }^{3}}sin3\xi } \right], \\ \end{gathered} $
где $a,$ ϵ должны быть заменены на $\bar {a}$, $\bar {\epsilon }$ и выражены через ${{J}_{1}}$, ${{I}_{2}}$ согласно (14), а эксцентрическая аномалия $\xi $ должна быть выражена через среднюю аномалию ${{\varphi }_{1}}$ согласно (7).

Согласно (10) и (11), величины ${{I}_{1}}$ и ${{J}_{1}}$ связаны соотношением

(33)
${{I}_{1}} = {{J}_{1}} - \varepsilon \frac{1}{{\bar {\omega }}}({{H}_{1}} - {{\bar {H}}_{1}}).$
Используя (13), получаем
$\begin{gathered} {{I}_{1}} = {{J}_{1}} + \varepsilon \frac{{{{{\bar {a}}}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\left( {{{{(1 - \bar {\epsilon }cos\xi )}}^{2}} - \left( {1 + \frac{{3{{{\bar {\epsilon }}}^{2}}}}{2}} \right)} \right) = \\ \, = {{J}_{1}} + \varepsilon \frac{{{{{\bar {a}}}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\left( { - {{{\bar {\epsilon }}}^{2}} - 2\bar {\epsilon }cos\xi + \frac{1}{2}{{{\bar {\epsilon }}}^{2}}cos2\xi )} \right). \\ \end{gathered} $
Согласно (6) ${{I}_{1}} = \sqrt {GMa} $, ${{J}_{1}} = \sqrt {GM\bar {a}} $. Тогда
$\begin{gathered} \sqrt {GMa} = \sqrt {GM\bar {a}} + \\ + \;\varepsilon \frac{{{{{\bar {a}}}^{2}}}}{{\bar {\omega }}}\left( { - {{{\bar {\epsilon }}}^{2}} - 2\bar {\epsilon }cos\xi + \frac{1}{2}{{{\bar {\epsilon }}}^{2}}cos2\xi )} \right), \\ \end{gathered} $
откуда в рассматриваемом приближении
$a = \bar {a} + \varepsilon \frac{2}{{\sqrt {GM} }}\frac{{{{{\bar {a}}}^{{5/2}}}}}{{\bar {\omega }}}\left( { - {{{\bar {\epsilon }}}^{2}} - 2\bar {\epsilon }cos\xi + \frac{1}{2}{{{\bar {\epsilon }}}^{2}}cos2\xi )} \right).$
Учитывая, что $\bar {\omega } = \sqrt {GM} {\text{/}}{{\bar {a}}^{{3/2}}}$, а также что $\varepsilon = \Lambda {{c}^{2}}{\text{/}}6$, получаем
(34)
$a = \bar {a} + \frac{{\Lambda {{c}^{2}}\bar {a}}}{{3{{{\bar {\omega }}}^{2}}}}\left( { - {{{\bar {\epsilon }}}^{2}} - 2\bar {\epsilon }cos\xi + \frac{1}{2}{{{\bar {\epsilon }}}^{2}}cos2\xi } \right).$
Условие сохранения углового момента позволяет определить колебания эксцентриситета по колебаниям большой полуоси. Из соотношения $a(1 - {{\epsilon }^{2}}) = \bar {a}(1 - {{\bar {\epsilon }}^{2}})$ получаем

(35)
$\epsilon = \bar {\epsilon } + \frac{{\Lambda {{c}^{2}}(1 - {{{\bar {\epsilon }}}^{2}})}}{{6{{{\bar {\omega }}}^{2}}}}\left( { - \bar {\epsilon } - 2cos\xi + \frac{1}{2}\bar {\epsilon }cos2\xi } \right).$

Введем углы $\bar {l} = {{\psi }_{1}}$, $\bar {g} = {{\psi }_{2}}$. Эти углы изменяются равномерно с угловыми скоростями (27), (26). Средняя аномалия $l = {{\varphi }_{1}}$ и долгота перицентра $g = {{\varphi }_{2}}$ совершают малые колебания относительно этих углов в соответствии с двумя последними формулами в (10), которые без изменения погрешности представляются в виде

(36)
$l = \bar {l} - \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{I}_{1}}}},\quad g = \bar {g} - \varepsilon \frac{{\partial S}}{{\partial {{I}_{2}}}}.$
Здесь функция $S = S({{I}_{1}},{{I}_{2}},\bar {l})$ задается формулой (32), в которой большая полуось орбиты $a$ и экцентриситет ϵ должны быть выражены через переменные Делоне ${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$ из соотношений (6), а эксцентрическая аномалия $\xi $ рассматривается как неявная функция от $\bar {l}$ согласно уравнению Кеплера $\bar {l} = \xi - \epsilon sin\xi $.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача о движении двух гравитирующих тел при наличии ТЭ рассмотрена как возмущение задачи Кеплера. В рамках первого приближения в теории возмущений Делоне–Цейпеля описано поведение элементов кеплеровской орбиты под влиянием ТЭ. Большая полуось и эксцентриситет кеплеровской орбиты испытывают малые периодические колебания около своих средних значений. Эти средние значения даются формулами (28), а колебания – формулами (34) и (35). Долгота перицентра испытывает малые периодические колебания относительно медленного равномерного вращения с частотой (26). Ранее формула для этой частоты была получена несколько иным методом в [22]. Средняя аномалия гравитирующих тел испытывает малые периодические колебания относительно медленного равномерного вращения с частотой, задаваемой формулой (27). Эта формула учитывает поправку к среднему движению за счет ТЭ. Колебания относительно этих равномерных вращений даются формулами (36) (мы не проводим в явном виде вычислений в (36) ввиду их громоздкости). Период орбитального движения, определяемый как время между прохождениями через перицентр, отличается от кеплеровского периода малой поправкой. Эта поправка учтена в формуле для периода (30). Колебания элементов орбиты происходят с этим периодом.

Список литературы

  1. S. Perlmutter, G. Aldering, G. Goldhaber, R. A. Knop, et al., Astrophys. J. 517, 565 (1999).

  2. A. G. Riess, A. V. Filippenko, P. Challis, A. Clocchiatti, et al., Astron. J. 116, 1009 (1998).

  3. D. N. Spergel, L. Verde, H. V. Peiris, E. Komatsu, et al., Astrophys. J. Suppl. 148, 175 (2003).

  4. M. Tegmark, M. A. Strauss, M. R. Blanton, K. Abazajian, et al., Phys. Rev. D 69(10), id. 103501 (2004).

  5. S. Weinberg, Rev. Mod. Phys. 61, 1 (1989).

  6. S. M. Carroll, W. H. Press, and E. L. Turner, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 30, 499 (1992).

  7. S. M. Carroll, Liv. Rev. Relativity 4, 1 (2001).

  8. W. Rindler, Relativity: Special, General, and Cosmological (Oxford, UK: Oxford University Press, 2001).

  9. C. O’Raifeartaigh, M. O$^{\prime }$Keeffe, W. Nahm, and S. Mitton, European Phys. J. H 43(1), id. 73 (2018).

  10. B. Novosyadlyj, European Phys. J. H 43(3), id. 267 (2018).

  11. L. Iorio, Universe 1, 38 (2015).

  12. I. Debono and G. F. Smoot, Universe 2, 23 (2016).

  13. J. Islam, Phys. Letters A 97, 239 (1983).

  14. J. Cardona and J. Tejero, Astrophys. J. 493, 52 (1998).

  15. L. Iorio, Intern. J. Modern Physics D 15, 473 (2006).

  16. L. Iorio, Adv. Astron. 2008, id. 268647 (2008).

  17. H. Arakida, Intern. J. Theor. Phys. 52, 1408 (2013).

  18. S. S. Ovcherenko and Z. K. Silagadze, Ukraine J. Phys. 61, 342 (2016).

  19. L. Iorio, Universe 4, 59 (2018).

  20. J. M. Cohen and B. Mashhoon, Phys. Letters A 181, 353 (1993).

  21. E. Hackmann and C. Lammerzahl, Phys. Rev. D 90, id. 044059 (2014).

  22. A. Kerr, J. Hauck, and B. Mashhoon, Classical and Quantum Gravity 20(13), 2727 (2003).

  23. M. Sereno and P. Jetzer, Phys. Rev. D 73, id. 063004 (2006).

  24. V. Kagramanova, J. Kunz, and C. Lammerzahl, Phys. Letters B 634, 465 (2006).

  25. G. Adkins, J. McDonnell, and R. Fell, Phys. Rev. D 75, id. 064011 (2007).

  26. G. Adkins and J. McDonnell, Phys. Rev. D 75, id. 082001 (2007).

  27. M. Sereno and P. Jetzer, Phys. Rev. D 75 id. 064031 (2007).

  28. O. I. Chashchina and Z. K. Silagadze, Phys. Rev. D 77, id. 107502 (2008).

  29. A. D. Chernin, Physics Uspekhi 44, 1099 (2001).

  30. A. D. Chernin, Physics Uspekhi 51, 253 (2008).

  31. G. S. Bisnovatyi-Kogan and A. D. Chernin, Astrophys. Space Sci. 338, 337 (2012).

  32. G. S. Bisnovatyi-Kogan and M. Merafina, Intern. J. Theor. Phys. D 28, id. 1950155 (2019).

  33. N. V. Emelyanov and M. Y. Kovalyov, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 429, 3477 (2013).

  34. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of integrals, series and products, 4th ed. (New York: Academic Press, 1965).

  35. L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics. Course of theoretical physics (Pergamon Press, 1969).

  36. Г. Н. Дубошин, Справочное руководство по небесной механике и астродинамике (М.: Наука, 1976).

  37. Г. Е. О. Джакалья, Методы теории возмущений для нелинейных систем (М.: Наука, 1979).

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Астрономический журнал

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал