Астрономический журнал, 2021, T. 98, № 1, стр. 3-9

1. ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящей работы является выяснение отличий между геометрическими пространственными свойствами окрестности различных релятивистских объектов в рамках общей теории относительности (ОТО). Следует подчеркнуть, что эти отличия не ведут прямо к различию в видимости этих объектов внешним наблюдателем. Дело в том, что различие в видимости связано не только с различием пространственных свойств этих объектов, но, в еще большей степени, с различием в траекториях лучей света в различных гравитационных полях вокруг этих тел. Мы исследуем эти вопросы в наших других работах (см., напр., [1–4]). Они разбираются также в многочисленных работах других авторов (см., напр., [5–8]). Тем не менее отличия пространственных свойств важны по следующим причинам: 1) для анализа физических процессов вблизи входов; 2) в релятивистской теории так же, как в нерелятивистской теории, свойства процессов зависят от геометрических свойств отверстий, в которые происходит течение; 3) с точки зрения принципиальной возможности отличить эти объекты друг от друга чисто геометрическим путем, не привлекая для этого гравитацию, свет и другие процессы. Полученные отличия можно будет в будущем использовать как дополнительные критерии в наблюдательных проявлениях этих объектов.

Все расчеты в статье выполнены при $G = 1$, $c = 1$.

2. ОБЪЕКТЫ В ГИПЕРПРОСТРАНСТВЕ (БАЛКЕ)

В этом разделе мы рассмотрим релятивистские объекты в гиперпространстве.

Рассмотрим сферически-симметричные черные дыры (ЧД). Определим форму поверхности вращения в трехмерном балке, внутренняя геометрия которой в бране (в нашей Вселенной) совпадает с двумерной геометрией экваториальной “плоскости” ЧД. Определение и описание терминов “балк” и “брана” даны работе [6]. Как показано в [9], эта поверхность вращения в цилиндрических координатах $(r,\varphi ,z)$ в балке есть

где ${{r}_{g}} = 2m$ – гравитационный радиус. Она соответствует двумерной метрике экваториального сечения ЧД. В полярных координатах в бране (в нашей Вселенной) Найдем теперь аналогичную форму поверхности для кротовой норы (КН) Эллиса–Бронникова–Морриса–Торна [10–13]. Эта модель КН наиболее часто используется в теоретической астрофизике. Ее метрика в двумерной бране есть где $ - \infty < r < \infty $, $q$ – радиус горловины, или в нужной для нас форме Для поверхности вращения в балке в цилиндрических координатах имеем: Сравнивая (4) и (5), получаем дифференциальное уравнение или Решение его есть: Полагая ${{z}_{0}} = 0$, получаем выражение для верхней и нижней половины поверхностей вращения, каждая из которых соответствует своему выходу из кротовой норы (см. рис. 1).

Напомним, что в метрике КН$_{{{\text{Th}}}}$ нигде нет гравитационных ускорений, в том числе и вне выходов из КН$_{{{\text{Th}}}}$. Это означает, в частности, что эквивалентная масса каждого из входов равна нулю, $m = 0$.

Сравним входы в ЧД и КН$_{{{\text{Th}}}}$. Они описываются поверхностями, получающимися при вращении вокруг $z = 0$ кривых ${{z}_{{\text{S}}}}$ (1) и ${{z}_{{{\text{Th}}}}}$ (8). Обе поверхности стремятся стать горизонтальными при $r \to \infty $. Однако при любом конечном $r$ они отличаются от плоскости, а геометрия на них – от эвклидовой. Степень отличия при данном $r$ может быть охарактеризована отличием разности $dl$ длин двух близких окружностей ${{r}_{1}} = {\text{const}}$ и ${{r}_{2}} = {\text{const}}$ от $2\pi dr$, где ${{r}_{2}} = {{r}_{1}} + dr$,

где ${{g}_{{11}}}$ – метрический коэффициент соответствующих метрик. Для нашего случая При $r \to \infty $ имеем, соответственно Будем считать “дном” пространственной воронки, которую мы исследуем, $r = {{r}_{g}}$ для ЧД и $r = q$ для КН. Обе кривые (1) и (8) стремятся к $z \to \infty $, когда $r \to \infty $. Однако мы можем считать нашу брану практически плоской для достаточно больших $r$, когда (12), (13) достаточно малы. При ${{r}_{g}} = q$ определяющим условием малости является малость Для достаточно больших $r$ ясно, что в астрофизике свойства пространства будут определяться наличием других объектов или процессов. Выводы качественно не зависят от конкретных значений $\alpha $. Поэтому положим Сравним теперь воронки в балке для ЧД и КН$_{{{\text{Th}}}}$. Для этого положим для $\alpha = {{\alpha }_{0}}$ значения ${{z}_{{\text{S}}}} = {{z}_{{{\text{Th}}}}}$ и продолжим кривые для меньших $r$ вплоть до $r = {{r}_{g}} = q$. Положим соответствующие значения ${{z}_{{\text{S}}}}$, ${{z}_{{\text{S}}}} = 0$. Графики изображены на рис. 2.

Сравнение (10) и (11) при ${{r}_{g}} = q$ показывает, что искажение эвклидовости геометрии при продвижении от больших $r$ к входам происходит более плавно для КН, чем для ЧД, а рис. 2 показывает, что воронка ЧД является более “глубокой”, чем в случае КН.

Чтобы исключить недоразумения, напомним, что формально поверхность барна в случае ЧД обрывается при $r = {{r}_{g}}$, в то время как в случае КН после достижения $r = q$ поверхность продолжается к другому выходу из КН (см. рис. 1).

Обратимся теперь к случаю КН с массой $m \ne 0$. Такая модель была рассмотрена Эллисом [11] (см. также [14]). Пространственная метрика кротовой норы с массой $m{\kern 1pt} *$:

где Здесь $n$ и $m$ – положительные константы. Величина $n$ характеризует напряженность скалярного поля, а $m$ есть эффективная масса $m{\kern 1pt} *$, когда $\rho \to \infty $, $m \equiv m{\kern 1pt} *$. В разобранном выше примере (3) $m{\kern 1pt} * = 0$, $q = n$.

Та же метрика в экваториальной “плоскости” $\theta = \pi {\text{/}}2$:

Если ввести обозначение: то функция $r(\rho )$ описывает форму туннеля КН$_{{{\text{El}}}}$ в координатах $\rho $. Координата $\rho $ часто используется в теоретических работах, но она не имеет прямого физического смысла. Величина $r$ как функция физической радиальной координаты рассмотрена в разделе 3. В качестве примера функция $r(\rho )$ при параметрах $m = 1$, $n = \sqrt 2 $ показана на рис. 3. Она изображает форму туннеля КН$_{{{\text{El}}}}$. Входы КН$_{{{\text{El}}}}$ расположены при $\rho \to \pm \infty $. В отличие от случая $m = 0$ здесь нет симметрии между правым и левым. Выход $\rho \to \infty $ соответствует $m{\kern 1pt} * > 0$, а выход $\rho \to - \infty $ соответствует $m{\kern 1pt} * < 0$. В этой работе мы будем рассматривать только правую ветвь, $m{\kern 1pt} * > 0$.

Метрику в экваториальной плоскости КН$_{{{\text{El}}}}$ можно записать в виде:

Функция $r(\rho )$ имеет минимум при $\rho = m$. Величина $r(m)$, т.е. размер горловины, изменяется от $r(m) = n$ до $r(m) = en$, когда $m$ пробегает значения от 0 до $n$. По порядку величины размер горловины всегда равен $n$. Подчеркнем, что размер горловины определяется в основном $n$, мало зависит от $m$ и всегда $r(m) > 2m{\kern 1pt} * \equiv {{r}_{g}}$.

Представим теперь вид КН$_{{{\text{El}}}}$ в балке, как мы делали это выше для КН$_{{{\text{Th}}}}$. Поступая аналогично, получаем для ${{z}_{{{\text{El}}}}}(r)$ функцию, найденную численно при $m = 1$, $n = \sqrt 2 $ и представленную на рис. 4.

Форма качественно похожа на рис. 1, только горловина смещена вправо и вверх. На рис. 4 горловине соответствует точка поворота кривой. Ветвь, идущая вниз направо, уходит ко второму выходу. Попытки продолжить решение для ${{z}_{{{\text{El}}}}}(r)$ приводят к мнимым значениям для интеграла $z(\rho )$ для $\rho < 0$ и $z < 0$. Формально это означает невозможность поместить фигуру вращения в плоский трехмерный балк $(r,z,\varphi )$. Удивляться этому не приходится, ибо, как мы знаем, эта вторая ветвь ведет к выходу с отрицательной массой $m{\kern 1pt} * < 0$. Это означает, что вдали от выхода метрика должна соответствовать решению Шварцшильда с отрицательной массой. Но из формулы (1) видно, что для ${{z}_{{\text{S}}}}$ при ${{r}_{g}} < 0$ и $r > 0$ получаются мнимые значения, т.е. такая брана не может быть вложена в трехмерный плоский балк.

Возвращаясь к правому входу с $m{\kern 1pt} * > 0$, сравним его со входом в ЧД. Будем считать, что ${{r}_{g}}$ равно размеру горловины $r(m)$. Выше мы видели, что $r(m) > 2m{\kern 1pt} *$. Асимптотика отклонений от эвклидовой геометрии здесь определяется для обоих случаев КН$_{{{\text{El}}}}$ и ЧД величиной массы. Поэтому

Значит, в случае КН$_{{{\text{El}}}}$, как и в случае с КН$_{{{\text{Th}}}}$, при переходе от больших $r$ к входам искажение эвклидовости нарастает медленнее у КН$_{{{\text{El}}}}$, чем у ЧД.

3. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ОБЪЕКТЫ В БРАНЕ

Обратимся теперь к свойствам пространства отверстий, оставаясь в трехмерной бране (в нашем случае в двумерном экваториальном сечении браны). Определим физическое радиальное расстояние от гравитационного радиуса ${{r}_{g}}$ до точки с координатой $r$ (в единицах ${{r}_{g}}$):

Нас интересует зависимость ${{r}_{{\text{S}}}}({{l}_{{\text{S}}}})$. Эта обратная функция неявно определяется формулой (22). Соответствующий график дан на рис. 5.

Аналогичное выражение для метрики Морриса–Торна для физического расстояния от горловины $r = q$ (в единицах $q$):

График обратной функции $r = r({{l}_{{{\text{Th}}}}}) = \sqrt {{{l}^{2}} + {{q}^{2}}} $ дан на рис. 6.

Наконец, обратимся к метрике Эллиса (16), (17). Для выхода из КН с $m > 0$ расстояние от горловины ${{r}_{{min}}}$ до точки с координатой $r$ записывается в виде:

Величина $r$ является неявной функцией $\rho $, ${{r}_{{min}}}$ соответствует $\rho = m$. Для нашего примера $n = \sqrt 2 $, $m = 1$. При этом ${{r}_{{min}}} = 3.10176639383$. Мы будем все расстояния выражать в единицах ${{r}_{{min}}}$. Величина $r(l)$ изображена на рис. 7.

На рис. 8 показаны $l(r)$ для всех трех случаев. При этом значения $r$ при $l = 10$ положены равными. Рисунок показывает, что при продвижении от $r = 10$ к входам искажение эвклидовости быстрее всего происходит для метрики Шварцшильда и медленнее всего для метрики Морриса–Торна.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим прежде всего, что обычный способ описывать и изображать входы в ЧД и КН как практически очень похожие не вполне корректен. Оба метода визуализации входов и в балке, и в бране показывают существенную разницу между метриками. Наиболее крупная воронка у метрики Шварцшильда. Указанную разницу следует учитывать при описании процессов у входов в ЧД и КН.