Астрономический журнал, 2021, T. 98, № 4, стр. 321-331
Движение в центральном поле при возмущающем ускорении, изменяющемся по закону обратных квадратов: приложение к эффекту Ярковского
1 Крымская астрофизическая обсерватория РАН
Научный, Россия
* E-mail: tnsannikova@craocrimea.ru
Поступила в редакцию 13.11.2020
После доработки 09.12.2020
Принята к публикации 16.12.2020
Аннотация
С помощью аналитического решения системы дифференциальных уравнений в средних элементах в первом приближении по малому параметру изучена эволюция орбиты астероида, движущегося под действием притяжения к Солнцу и дополнительного возмущающего ускорения ${\mathbf{P}} = {\mathbf{P}}{\kern 1pt} {\text{'/}}{{r}^{2}}$, возникающего за счет действия эффекта Ярковского. Здесь $r$ – гелиоцентрическое расстояние, модуль ${\mathbf{P}}{\kern 1pt} '$ мал по сравнению с основным ускорением, вызванным притяжением Солнца, а компоненты вектора ${\mathbf{P}}{\kern 1pt} '$ ($S,\;T,\;W$) – постоянны в системе отсчета с началом в центральном теле и осями, направленными по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в оскулирующей плоскости в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Величины $S$, $T$, $W$, необходимые для учета эффекта Ярковского, могут быть найдены либо как дополнительные параметры при определении орбиты из наблюдений, либо с помощью теплофизических моделей ускорения Ярковского. В первом случае требуется высокоточная астрометрия в течение длительного времени, во втором – знание теплофизических характеристик и параметров вращения астероидов. В данной статье вычислен дрейф большой полуоси для 23 астероидов с опубликованным в различных источниках трансверсальным ускорением, определенным первым способом. Сравнительный анализ показал хорошее согласие с результатами других работ. В рамках реализации второго способа на основе линейной теплофизической модели силы Ярковского для сферических астероидов и уравнений для компонентов этой силы в системе отсчета, связанной с радиусом-вектором, определены негравитационные параметры для астероида 1685 Toro (1948 OA): ${{A}_{1}} = S{\text{/}}r_{0}^{2} = $ $ = (7.96_{{ - 3.48}}^{{ + 2.72}}) \times {{10}^{{ - 15}}}$ а.е./сут2, ${{A}_{2}} = T{\text{/}}r_{0}^{2} = ( - 3.24_{{ - 0.57}}^{{ + 0.42}}) \times {{10}^{{ - 15}}}$ а.е./сут2, ${{A}_{3}} = W{\text{/}}r_{0}^{2} = 0$ (${{r}_{0}} = 1$ а.е.). Затем для 1685 Toro найдены дрейфы эксцентриситета, большой полуоси и средней аномалии и оценено смещение астероида от невозмущенного положения за 1000 оборотов вокруг Солнца (1600 лет). С учетом неопределенностей параметров ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$ опережение по средней аномалии составило от $2.50\prime $ до $3.28\prime $, а смещение – от 143 до 188 тыс. км.
1. ВВЕДЕНИЕ
Эффект Ярковского – это негравитационное возмущение, которое определяется тепловым излучением вращающегося тела, имеющего ненулевую тепловую инерцию. Различают суточный и сезонный эффект [1].
Суточная составляющая возникает вследствие вращения астероида вокруг своей оси. Сторона, обращенная к Солнцу, нагревается и переизлучает тепло в космос. Так как от более горячей части астероида отходит больше энергии, чем от холодной, малое тело получает дополнительное ускорение в направлении, противоположном горячей части. Если астероид не обладает тепловой инерцией, то распределение температуры симметрично относительно подсолнечной точки, и тело испытывает суммарную силу, направленную радиально от Солнца. В противном случае тепловая инерция вызывает задержку переизлучения, в результате чего самая горячая точка астероида находится не на полуденной линии, а смещается в сторону вечернего терминатора. В результате дополнительная сила, действующая на астероид, имеет также компонент вдоль пути.
Сезонная составляющая возникает вследствие движения астероида по орбите вокруг Солнца и связана с тем, что более горячим оказывается то северное, то южное полушарие. Сезонный эффект всегда направлен против движения (тепловое сопротивление) и исчезает, если ось вращения малого тела перпендикулярна плоскости орбиты.
Рассмотрим движение астероида $\mathcal{A}$ под действием притяжения к Солнцу $\mathcal{S}$ и дополнительного возмущающего ускорения ${\mathbf{P}}$, возникающего за счет действия эффекта Ярковского. Сила этого эффекта обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца, поэтому примем ускорение ${\mathbf{P}} = {\mathbf{P}}{\kern 1pt} {\text{'/}}{{r}^{2}}$. Введем орбитальную систему отсчета $\mathcal{O}$ с началом $\mathcal{S}$ и осями, направленными по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Пусть компоненты $S$, $T$, $W$ вектора ${\mathbf{P}}{\kern 1pt} '$ постоянны в системе $\mathcal{O}$ и малы по сравнению с основным ускорением ${{\varkappa }^{2}}{\text{/}}{{r}^{2}}$, т.е.
(1)
$max\{ {\text{|}}{\mathbf{P}}{\kern 1pt} {\text{|/}}({{\varkappa }^{2}}{{r}^{{ - 2}}})\} = max\{ {\text{|}}{\mathbf{P}}{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|/}}{{\varkappa }^{2}}\} = \mu \ll 1.$Если ось вращения астероида расположена под некоторым углом к плоскости орбиты, то тело подвержено как суточной, так и сезонной составляющей силы Ярковского. Согласно [2] в локальной системе координат с осью $Z$, направленной вдоль оси вращения тела, компонент ${{P}_{z}}$ отвечает за сезонный эффект Ярковского, а ${{P}_{x}}$, ${{P}_{y}}$ – за суточный эффект. Соответственно, при проецировании силы Ярковского на оси системы $\mathcal{O}$ получим радиальную ${{P}_{r}} = S{\text{/}}{{r}^{2}}$, трансверсальную ${{P}_{t}} = T{\text{/}}{{r}^{2}}$ и нормальную ${{P}_{n}} = W{\text{/}}{{r}^{2}}$ составляющие.
Таким образом, для учета эффекта Ярковского и изучения его влияния на долгосрочную эволюцию орбиты малого тела необходимо знать значения $S$, $T$, $W$. При наличии многолетних наблюдений объекта эти величины можно определить методом дифференциальной коррекции орбиты, но получаемые при этом значения чувствительны не только к длине наблюдательной дуги, но и к выборке учитываемых наблюдений [3]. Как правило, этим способом определяют трансверсальную составляющую ускорения Ярковского, и сейчас уже порядка ста астероидов имеют ее оценку благодаря высокоточной астрометрии и радарным измерениям. Другой способ – вычислить эти компоненты, используя какую-либо модель силы Ярковского и теплофизические характеристики тела, такие как диаметр, объемная плотность, скорость вращения, наклон оси вращения к плоскости орбиты, альбедо Бонда, тепловая инерция поверхности, удельная теплоемкость и тепловая излучательная способность. В настоящее время все необходимые параметры известны лишь для небольшого количества объектов, но ведется обширная работа по их определению с помощью наблюдений, получаемых в наземных и орбитальных обсерваториях, а также космических миссий к астероидам и лабораторных исследований образцов метеоритного и астероидного вещества [4].
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
В качестве переменных выберем оскулирующие элементы $n$, $e$, $i$, $\Omega $, $\omega $, $M$ – среднее движение, эксцентриситет, наклон, долготу восходящего узла, аргумент перицентра, среднюю аномалию. Первые пять из них образуют вектор медленных переменных ${\mathbf{x}} = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{5}})$, а последняя – быструю переменную $y$. Уравнения движения типа Эйлера [5] имеют форму
(2)
$\begin{gathered} {{f}_{4}} = \frac{a}{{\varkappa {{a}^{{3/2}}}r\eta sini}}sinwW, \\ {{f}_{5}} = - \frac{\eta }{{\varkappa {{a}^{{3/2}}}e}}\frac{{{{a}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}cos\theta S + \\ \end{gathered} $В [6] мы провели осредняющую процедуру уравнений движения (2) и получили уравнения движения в средних элементах в первом порядке малости:
(3)
$\begin{gathered} \mathop \imath \limits^ \bullet = - \frac{{ne}}{{{{\varkappa }^{2}}\eta (1 + \eta )}}cos\omega W, \\ \dot {\Omega } = - \frac{{ne}}{{{{\varkappa }^{2}}\eta (1 + \eta )sini}}sin\omega W, \\ \end{gathered} $Решение уравнений (3) при $S,T,W \ne 0$ и в различных частных случаях выполнено нами в статье [7]. Здесь приведем частное решение при $S,T \ne 0$, $W = 0$:
(4)
$t = \frac{{{{\varkappa }^{2}}}}{{{{n}_{0}}T}}\mathop {\left( {\frac{{{{\eta }_{0}}}}{{1 - {{\eta }_{0}}}}} \right)}\nolimits^3 [h(\eta ) - h({{\eta }_{0}})],$(5)
$\begin{gathered} a = {{a}_{0}}\mathop {\left[ {\frac{{{{\eta }_{0}}(1 - \eta )}}{{\eta (1 - {{\eta }_{0}})}}} \right]}\nolimits^2 , \\ i = {{i}_{0}},\quad \Omega = {{\Omega }_{0}},\quad \omega = {{\omega }_{0}}, \\ \end{gathered} $В (5) элементы орбиты $n$, $a$, $M$ представлены явными элементарными функциями эксцентриситета. В кинематическом уравнении (4) $t = F(e)$ функция $F$ также элементарна. В [7] доказана ее строгая монотонность, так что каждому $t$ отвечает единственное значение $e$.
При $e < 0.8$ вычисления $h(\eta )$ по формуле (6) содержат разности почти одинаковых чисел, что приводит к потере точности. В этих случаях следует пользоваться рядом
(7)
$\begin{gathered} t = \frac{{{{\varkappa }^{2}}}}{{{{n}_{0}}T}}\mathop {\left[ {\sum\limits_{k = 0}^\infty \,\frac{{(2k + 1){\kern 1pt} !{\kern 1pt} !}}{{(2k + 2){\kern 1pt} !{\kern 1pt} !}}e_{0}^{{2k}}} \right]}\nolimits^{ - 3} \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{c}_{k}}\left( {\frac{{{{e}^{6}}}}{{e_{0}^{6}}}{{e}^{{2k}}} - e_{0}^{{2k}}} \right), \\ {{c}_{k}} = \frac{{(2k + 3){\kern 1pt} !{\kern 1pt} !}}{{(2k + 4){\kern 1pt} !{\kern 1pt} !}} - \frac{1}{{k + 3}}. \\ \end{gathered} $Из-за малости величины изменения эксцентриситета на коротких временных интервалах и ограничения точности представления вещественных чисел в памяти компьютера при вычислении разности возмущенной и невозмущенной средней аномалии $dM = M(e) - {{M}_{0}} - {{n}_{0}}(t(e) - t({{e}_{0}}))$ происходит разброс значений, тем больший, чем меньше ${{e}_{0}}$. Использование ряда
Решение (4)–(7) определено на временах от $ - {{t}_{1}}$ до $\infty $ при $T > 0$ и от $ - \infty $ до $ - {{t}_{1}}$ при $T < 0$, где
(8)
$\begin{gathered} {{t}_{1}} = \frac{{{{\varkappa }^{2}}}}{{{{n}_{0}}T}}\mathop {\left( {\frac{{{{\eta }_{0}}}}{{1 - {{\eta }_{0}}}}} \right)}\nolimits^3 h({{\eta }_{0}}) = \\ = \frac{{{{\varkappa }^{2}}}}{{{{n}_{0}}T}}\mathop {\left[ {\sum\limits_{k = 0}^\infty \,\frac{{(2k + 1){\kern 1pt} !{\kern 1pt} !}}{{(2k + 2){\kern 1pt} !{\kern 1pt} !}}e_{0}^{{2k}}} \right]}\nolimits^{ - 3} \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{c}_{k}}e_{0}^{{2k}}. \\ \end{gathered} $3. АПРОБАЦИЯ РЕШЕНИЯ (4)–(7)
Первым астероидом, для которого удалось экспериментально подтвердить действие эффекта Ярковского, стала (6489) Golevka в 2003 г. [8]. Согласно [9], для Голевки диаметром 530 м и массой $2.1 \times {{10}^{{11}}}$ кг сила Ярковского составляет 0.25 Н. Вследствие этого происходит уменьшение большой полуоси орбиты и увеличение среднего движения астероида. С.Р. Чесли (S.R. Chesley) и др. [8] с помощью радарных наблюдений определили, что за период с 1991 по 2003 г. фактическая траектория астероида Голевка отклонилась от расчетной на 15 км по дальности.
К настоящему времени ускорение, возникающее за счет эффекта Ярковского, оценено для 87 астероидов в [10], в базе данных малых тел Лаборатории реактивного движения (Small Body Database of Jet Propulsion Laboratory (JPL)) [11] негравитационное трансверсальное ускорение указано для 136 астероидов (по состоянию на 05.11.2020 г.), а в [12] определен дрейф большой полуоси для 247 астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ). Типичное значение трансверсальной составляющей ускорения, обязанного эффекту Ярковского, для АСЗ диаметром менее 1 км ${{10}^{{ - 15}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{{ - 13}}}$ а.е./сут2. Таким образом, согласно (1) величина $\mu \approx {{10}^{{ - 9}}} \ll 1$, следовательно, в данном случае применимо решение (4)–(7).
Сравним вековое возмущение большой полуоси, получаемое с помощью нашего решения, со значениями дрейфа, полученными в работах [10, 12, 13].
Поскольку решение (4)–(7) имеет вид зависимостей времени и элементов от эксцентриситета, то имеет смысл проверить его точность при различных значениях $e$ от 0 до 1. Поэтому для сравнения выберем объекты так, чтобы эксцентриситеты их орбит были, по возможности, равномерно распределены в диапазоне (0, 1).
Чтобы оценить, насколько хорошо наши результаты согласуются с результатами других авторов, введем “меру пересечения” интервалов
(9)
$I = \frac{{{\text{|}}Y - Y{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{\sigma + \sigma {\kern 1pt} '}},$В дальнейшем используются негравитационные радиальный ${{A}_{1}}$, трансверсальный ${{A}_{2}}$ и нормальный ${{A}_{3}}$ параметры, которые связаны с компонентами $S$, $T$, $W$ соотношениями ${{A}_{1}} = S{\text{/}}r_{0}^{2}$, ${{A}_{2}} = T{\text{/}}r_{0}^{2}$ и ${{A}_{3}} = W{\text{/}}r_{0}^{2}$, где ${{r}_{0}} = 1$ а.е.
3.1. Сравнение с результатами [10, 13]
В работах [10, 13] проводилась дифференциальная коррекция орбиты, в результате которой определялось наиболее подходящее решение не только для орбитальных элементов, но и для параметра ${{A}_{2}}$ вместе с соответствующей ковариационной матрицей, описывающей неопределенность $\sigma $ номинального решения. При этом силовая модель включала гравитационное ускорение от Солнца, восьми планет, Луны, 16 массивных астероидов главного пояса и Плутона, а также релятивистский вклад Солнца, планет и Луны и возмущение за счет эффекта Ярковского, которое моделировалось с помощью трансверсального ускорения
где $g(r)$ – функция гелиоцентрического расстояния $r$ до астероида в виде: Здесь ${{r}_{0}} = 1$ а.е., а степень $d$ зависит от тепловых свойств объекта и в предельных случаях принимает значения между 0.5 и 3.5 [14]. Для большинства АСЗ, период вращения которых не слишком велик, а тепловая инерция поверхности не слишком мала или велика, можно ожидать значение $d$ в диапазоне 2–3 [14]. Так как для большинства объектов нет теплофизических данных, в [10] $d = 2$ для всех астероидов, кроме (101955) Bennu, для которого принималось $d = 2.25$. Это значение было определено численно С.Р. Чесли и др. [15], которые варьировали $d$ для лучшей орбитальной подгонки.Итак, в [10] непосредственно из астрометрии была получена величина трансверсальной составляющей негравитационного возмущающего ускорения, а затем вычислена величина векового дрейфа большой полуоси путем осреднения по времени уравнения Гаусса для $da{\text{/}}dt$. Этот дрейф сравнивался с ожидаемым за счет эффекта Ярковского значением, исходя из теплофизических характеристик объектов. В результате А. Дель Винья (A. Del Vigna) и др. [10] получили данные для 87 астероидов, у которых найденные значения трансверсального ускорения более чем в три раза превышают величины их ошибок, а дрейф большой полуоси близок к ожидаемому значению.
В [13] аналогичным образом рассматривается АСЗ (410777) 2009 FD при $d = 2$.
Чтобы сравнить наши результаты с результатами [10, 13], возьмем величины трансверсальных параметров ${{A}_{2}}$ из [10, 13], а элементы орбиты – на сайте JPL [11].
Из 87 астероидов [10, табл. 4, 5] мы выбрали 9: 1999 UQ, 136582 (1992 BA), 350462 (1998 KG3), 101955 Bennu (1999 RQ36), 85774 (1998 UT18), 2340 Hathor (1976 UA), 6489 Golevka (1991 JX), 363599 (2004 FG11), 425755 (2011 CP4). Начальные данные приведены в табл. 1.
Таблица 1.
Эксцентриситет и большая полуось по данным [11], трансверсальный параметр ${{A}_{2}}$ с его ошибкой ($1\sigma $) по оценкам [10, 13]
| Астероид | ${{e}_{0}}$ | ${{a}_{0}}$, а.е. | ${{A}_{2}} \pm 1\sigma $ |
|---|---|---|---|
| 1999 UQ | 0.01604580510864781 | 1.094269847743304 | $ - 110.45 \pm 18.77$ |
| 1992 BA | 0.06782803206613811 | 1.341778964979367 | $ - 54.38 \pm 16.17$ |
| 1998 KG3 | 0.1182264627797001 | 1.160326678624092 | $ - 61.35 \pm 11.79$ |
| 101955 Bennu | 0.2037451084785423 | 1.126391025934071 | $ - 46.20 \pm 0.24$ |
| 1998 UT18 | 0.3291183900409435 | 1.402899507075806 | $ - 6.64 \pm 1.55$ |
| 2340 Hathor | 0.4498841655895494 | 0.8438292455376517 | $ - 29.94 \pm 1.18$ |
| 6489 Golevka | 0.6052965473603549 | 2.502473955538531 | $ - 12.04 \pm 1.67$ |
| 2004 FG11 | 0.7238483777283879 | 1.58705492306772 | $ - 59.90 \pm 10.17$ |
| 2011 CP4 | 0.8702761152619352 | 0.9114661716633674 | $ + 52.62 \pm 13.99$ |
| 2009 FD | 0.4930307349965132 | 1.16384462283438 | $ + 73.00 \pm 17.0$ |
Таблица 2.
Дрейфы эксцентриситета и большой полуоси орбит объектов за 1 млн. лет (Мл) и, для сравнения, дрейфы большой полуоси da/dt' по данным [10, 13] с их ошибками, возникающими за счет ошибки определения A2
| Астероид | $|{\kern 1pt} {{t}_{1}}{\kern 1pt} |$, Мл |
$de{\text{/}}dt \pm 1\sigma $, ${{10}^{{ - 6}}}$ Мл–1 |
$da{\text{/}}dt \pm 1\sigma $, ${{10}^{{ - 4}}}$ а.е./Мл |
$da{\text{/}}dt{\text{'}}\; \pm 1\sigma {\text{'}}$, ${{10}^{{ - 4}}}$ а.е./Мл |
$\Delta \frac{{da}}{{dt}}$, ${{10}^{{ - 4}}}$ а.е./Мл |
$I$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1999 UQ | 162 | $ - 16.4804584 \pm 2.81$ | $ - 44.90 \pm 7.64$ | $ - 44.85 \pm 7.62$ | $ - 0.05$ | 0.003 |
| 1992 BA | 447 | $ - 25.2475017 \pm 7.52$ | $ - 20.04 \pm 5.96$ | $ - 20.03 \pm 5.96$ | $ - 0.01$ | 0.0008 |
| 1998 KG3 | 316 | $ - 61.9077270 \pm 11.91$ | $ - 24.54 \pm 4.72$ | $ - 24.52 \pm 4.71$ | $ - 0.02$ | 0.002 |
| 101955 Bennu | 393 | $ - 84.5718876 \pm 0.44$ | $ - 19.29 \pm 0.10$ | $ - 18.98 \pm 0.1$ | $ - 0.31$ | 1.55$^{\diamondsuit }$ |
| 1998 UT18 | 3604 | $ - 14.3643856 \pm 3.35$ | $ - 2.67 \pm 0.62$ | $ - 2.67 \pm 0.62$ | $0.00$ | 0.000 |
| 2340 Hathor | 342 | $ - 195.1554653 \pm 7.70$ | $ - 17.36 \pm 0.68$ | $ - 17.34 \pm 0.69$ | $ - 0.02$ | 0.015 |
| 6489 Golevka | 365 | $ - 21.7673740 \pm 3.02$ | $ - 5.10 \pm 0.71$ | $ - 5.10 \pm 0.71$ | $0.00$ | 0.000 |
| 2004 FG11 | 297 | $ - 272.9473170 \pm 46.43$ | $ - 42.43 \pm 7.21$ | $ - 42.39 \pm 7.20$ | $ - 0.04$ | 0.003 |
| 2011 CP4 | 86 | $ + 743.4046672 \pm 196.27$ | $ + 96.48 \pm 25.65$ | $ + 96.46 \pm 25.65$ | $0.02$ | 0.0004 |
| 2009 FD | 218 | $ + 324.8099793 \pm 75.49$ | $ + 37.94 \pm 8.83$ | $ + 38 \pm 9$ | $ - 0.06$ | 0.003 |
Таблица 3.
Эксцентриситет, большая полуось и трансверсальный параметр ${{A}_{2}}$ с его ошибкой ($1\sigma $) согласно [11]. Для 99942 Apophis трансверсальный параметр ${{A}_{2}}$ согласно [17]
| Астероид | ${{e}_{0}}$ | ${{a}_{0}}$, а.е. | ${{A}_{2}} \pm 1\sigma $, ${{10}^{{ - 15}}}$ а.е./сут2 |
|---|---|---|---|
| 2009 BD | 0.04163118147019331 | 1.009762522530082 | $ - 1161.828025692882 \pm 83.7$ |
| 1994 AW1 | 0.07576826688857013 | 1.105238439707101 | $ + 18.89220823632566 \pm 9.495$ |
| 2001 WW1 | 0.1217782683632915 | 1.21025162751883 | $ - 58.01071479068062 \pm 18.9$ |
| 54509 YORP | 0.2299152810893584 | 1.000041879891858 | $ - 87.40009449151943 \pm 30.77$ |
| 1999 JV6 | 0.3110955988478694 | 1.008213935183235 | $ - 35.34311321262337 \pm 2.65$ |
| 2005 ES70 | 0.3864346324931449 | 0.7629546285225717 | $ - 141.6506359015683 \pm 7.249$ |
| 3908 Nyx | 0.4589935862788244 | 1.927872799266959 | $ + 20.95993294838341 \pm 4.716$ |
| 2001 YE4 | 0.5404214351464689 | 0.676875622805979 | $ - 69.69552052098277 \pm 0.9629$ |
| 4179 Toutatis | 0.6242486422861974 | 2.545398024628497 | $ - 6.478053845633136 \pm 1.042$ |
| 1999 VF22 | 0.7386435844616204 | 1.312545948759961 | $ - 37.50098160987028 \pm 13.79$ |
| 1566 Icarus | 0.8270213517584103 | 1.078168924356222 | $ - 3.052890990344277 \pm 0.6964$ |
| 3200 Phaethon | 0.8898311197560821 | 1.271367883111356 | $ - 6.291633140867585 \pm 0.6147$ |
| 99942 Apophis | 0.1911953048308701 | 0.9224383019077086 | $ - 54.0 \pm 32.9$ |
Таблица 4.
Дрейфы эксцентриситета и большой полуоси орбит объектов за 1 млн. лет (Мл) и, для сравнения, дрейфы большой полуоси da/dt ' согласно [12] с их ошибками. Знаком “*” отмечены объекты, для которых дрейф большой полуоси определен в [12] на основе только оптических наблюдений
| Астероид | $|{\kern 1pt} {{t}_{1}}{\kern 1pt} |$, Мл |
$de{\text{/}}dt \pm 1\sigma $, ${{10}^{{ - 6}}}$ Мл–1 | $da{\text{/}}dt \pm 1\sigma $, ${{10}^{{ - 4}}}$ а.е./Мл |
$da{\text{/}}dt{\text{'}} \pm 1\sigma {\text{'}}$, ${{10}^{{ - 4}}}$ а.е./Мл |
$\Delta \frac{{da}}{{dt}}$, ${{10}^{{ - 4}}}$ а.е./Мл |
$I$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2009 BD* | 13 | $ - 522.43761819 \pm 38.9$ | $ - 498.03 \pm 36.3$ | $ - 381.69 \pm 99.3$ | $ - 116.34$ | $0.86$ |
| 1994 AW1 | 961 | $ + 13.09205267 \pm 6.6$ | $ + 7.67 \pm 3.9$ | $ + 4.08 \pm 2.7$ | $3.59$ | $0.54$ |
| 2001 WW1* | 356 | $ - 56.60826990 \pm 18.5$ | $ - 22.74 \pm 7.4$ | $ - 27.37 \pm 10.5$ | $4.63$ | $0.26$ |
| 54509 YORP | 172 | $ - 216.75217006 \pm 76.5$ | $ - 39.22 \pm 13.8$ | $ - 33.85 \pm 13.3$ | $ - 5.37$ | $0.20$ |
| 1999 JV6 | 416 | $ - 118.36257410 \pm 8.9$ | $ - 16.56 \pm 1.2$ | $ - 14.10 \pm 1.0$ | $ - 2.46$ | 1.12$^{\diamondsuit }$ |
| 2005 ES70 | 653 | $ - 913.39456707 \pm 47.1$ | $ - 81.14 \pm 4.2$ | $ - 79.57 \pm 3.1$ | $ - 1.57$ | $0.22$ |
| 3908 Nyx | 1677 | $ + 40.39946708 \pm 9.1$ | $ + 8.12 \pm 1.8$ | $ + 7.10 \pm 1.6$ | $1.02$ | $0.30$ |
| 2001 YE4 | 96 | $ - 783.65376100 \pm 10.9$ | $ - 50.88 \pm 0.7$ | $ - 49.84 \pm 0.7$ | $ - 1.04$ | $0.74$ |
| 4179 Toutatis | 6764 | $ - 11.87123702 \pm 1.9$ | $ - 2.83 \pm 0.5$ | $ - 2.15 \pm 0.3$ | $ - 0.68$ | $0.85$ |
| 1999 VF22 | 344 | $ - 233.99083514 \pm 86.2$ | $ - 30.60 \pm 11.3$ | $ - 37.40 \pm 6.9$ | $6.80$ | $0.37$ |
| 1566 Icarus | 2367 | $ - 30.66125182 \pm 7.0$ | $ - 3.95 \pm 0.9$ | $ - 4.84 \pm 0.4$ | $0.89$ | $0.68$ |
| 3200 Phaethon | 1053 | $ - 56.97612972 \pm 5.6$ | $ - 11.38 \pm 1.1$ | $ - 9.57 \pm 2.1$ | $ - 1.81$ | $0.57$ |
| 99942 Apophis | 250 | $ - 125.08543665 \pm 76.3$ | $ - 24.8 \pm 15.1$ | $ - 25.6 \pm 13.6$ | $0.8$ | $0.03$ |
Таблица 5.
Элементы орбиты и теплофизические характеристики астероида 1685 Toro с ошибками их определения
| Параметр | Значение | Источник | Параметр | Значение | Источник |
|---|---|---|---|---|---|
| $a$ | 1.367586471667151 а.е. | [11] | $\Gamma $ | 260$_{{ - 110}}^{{ + 140}}$ Дж м–2 с–1/2 K–1 | [20] |
| $e$ | 0.4358371102560366 | [11] | $C$ | 680 Дж кг–1 K–1 | [9, 19] |
| ${{P}_{{rev}}}$ | 584.1583930934321 сут | [11] | $\epsilon $ | 0.9 | [25] |
| ${{P}_{{rot}}}$ | $10.19782 \pm 3 \times {{10}^{{ - 5}}}$ час | [20] | ${{p}_{V}}$ | $0.13 \pm 0.03$ | [20] |
| $\gamma $ | $161 \pm 6^\circ $ | [20] | $G$ | 0.11 | [20] |
| $R$ | $1750_{{ - 200}}^{{ + 150}}$ м | [20] | $A$ | $0.04748 \pm 0.011$ | |
| $\rho $ | 2500 кг м–3 | [20] |
Определим, как для этих объектов изменятся эксцентриситет и большая полуось за 1 млн. юлианских лет. При вычислениях будем использовать следующие константы:
Результаты вычислений приведены в табл. 2. Величина ${{t}_{1}}$ определяется по формуле (8) и задает область применимости решения (4)–(7): $ - {\kern 1pt} {\text{|}}{{t}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}} < t < \infty $ при ${{A}_{2}} > 0$, $ - \infty < t < {\text{|}}{{t}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}}$ при ${{A}_{2}} < 0$. Значения $de{\text{/}}dt$ приведены с количеством знаков, достаточным, чтобы обеспечить требуемое $t$. Величины $da{\text{/}}dt$ приведены с той же точностью, что и в [10]. В последних двух столбцах приведены отклонения наших результатов от [10, 13] $\Delta (da{\text{/}}dt) = $ $ = da{\text{/}}dt - da{\text{/}}dt{\text{'}}$ и “мера пересечения” $I$ соглас-но (9).
Полученные нами значения дрейфа большой полуоси практически совпадают с дрейфом [10, 13], за исключением астероида (101955) Bennu, для которого $I > 1.0$. Однако, как оговаривалось ранее, для Бенну А. Дель Винья и др. [10] в выражении (11) принимают $d = 2.25$. В наших же уравнениях (2), (3) и решении (4)–(7) заложена обратная пропорциональность квадрату гелиоцентрического расстояния, т.е. $d = 2$.
3.2. Сравнение с результатами [12]
В статье [12] определено усредненное по орбите изменение большой полуоси для 247 АСЗ. А.Х. Гринберг (A.H. Greenberg) и др. использовали программный комплекс численного интегрирования, учитывая гравитационные ускорения от Солнца, восьми планет и 24 наиболее массивных малых тел, а также основные релятивистские эффекты и дополнительное негравитационное ускорение, выражение для мгновенного значения которого приведено в [16]. За подробностями отсылаем читателя к статьям [12, 16], здесь лишь заметим, что рассматриваемый метод учитывает только суточную составляющую эффекта Ярковского и кардинально отличается от метода [10, 13].
Так как в [12] величина негравитационного ускорения вычислялась динамически на каждом шаге численного интегрирования, А.Х. Гринберг и др. не приводят значений ${{A}_{2}}$, а только значения дрейфа большой полуоси. Поэтому для наших вычислений начальные данные (элементы орбиты и трансверсальный параметр ${{A}_{2}}$) возьмем на сайте JPL [11] и сведем их в таблицу (см. табл. 3). Из 247 астероидов [12, табл. 1] мы выбрали 12: 2009 BD, 385186 (1994 AW1), 376879 (2001 WW1), 54509 YORP (2000 PH5), 85990 (1999 JV6), 483656 (2005 ES70), 3908 Nyx (1980 PA), 480883 (2001 YE4), 4179 Toutatis (1989 AC), 455176 (1999 VF22), 1566 Icarus (1949 MA), 3200 Phaethon (1983 TB), отдавая предпочтение объектам, для которых дрейф большой полуоси определялся с учетом радарных измерений. Лишь два астероида в нашем списке имеют только оптическую астрометрию, они отмечены “*” в табл. 4, в которой приведены результаты наших вычислений и их сравнение с результатами [12].
Здесь же рассмотрен астероид 99942 Apophis (2004 MN4), для которого параметр ${{A}_{2}}$ найден в результате дифференциальной коррекции и опубликован в [17], где Х.А. Перес-Эрнандес (J.A. P´erez-Hern´andez) и Л. Бенет (L. Benet) представили для Апофиса независимую оценку эффекта Ярковского на основе оптической и радиолокационной астрометрии. Полученный нами дрейф большой полуоси сравнивается с результатом [12, п. 13.9].
Последний столбец табл. 4 дает нам один объект (1999 JV6), для которого “мера пересечения” превышает единицу, и еще два (2009 BD и 4179 Toutatis) с $I > 0.8$, что указывает на значительное расхождение результатов, хотя и имеется пересечение интервалов значений дрейфов.
Расхождение результатов для 1999 JV6 и 4179 Toutatis объясняется тем, что значения ${{A}_{2}}$, приведенные для этих астероидов на сайте JPL, вычислены с учетом новых наблюдений, проведенных в 2020 г., в то время как результаты [12] получены на основе наблюдательных дуг, ограниченных 2019 г. В [18] приведены оценки параметра ${{A}_{2}}$ по состоянию на сентябрь 2016 г. Для 1999 JV6 ${{A}_{2}} = $ $ = ( - 30.30 \pm 3.85) \times {{10}^{{ - 15}}}$ а.е./сут2. В этом случае при de/dt = (–101.4584480900 ± 12.90) × 10–6 (млн. лет)–1 получим дрейф da/dt = (–14.19 ± 1.80) × 10–4 а.е./ /(млн. лет), отклонение от [12] $\Delta \tfrac{{da}}{{dt}} = - 0.09 \times $ $ \times \;{{10}^{{ - 4}}}$ а.е./(млн. лет) и “меру пересечения” $I = 0.03$. Для 4179 Toutatis ${{A}_{2}} = ( - 4.45 \pm $ $ \pm \;1.34) \times {{10}^{{ - 15}}}$ а.е./сут2, что дает при $de{\text{/}}dt = $ $ = ( - 8.154583214 \pm 2.46) \times {{10}^{{ - 6}}}$ (млн. лет)–1 дрейф $da{\text{/}}dt = ( - 1.94 \pm 0.58) \times {{10}^{{ - 4}}}$ а.е./(млн. лет), отклонение от [12] $\Delta \tfrac{{da}}{{dt}} = 0.21 \times {{10}^{{ - 4}}}$ а.е./(млн. лет) и “меру пересечения” $I = 0.24$. Таким образом, без учета новых данных получаем хорошее согласие.
Для астероида 2009 BD дрейф большой полуоси определен в [12] на основе только оптической астрометрии, полученной в короткий период с 2009 по 2011 г., и имеет большую неопределенность. Однако, при совместном учете эффекта Ярковского и давления солнечного излучения было найдено более точное значение дрейфа $da{\text{/}}dt{\text{'}} = $ $ = ( - 497.6 \pm 40.5) \times {{10}^{{ - 4}}}$ а.е./(млн. лет) [12, п. 13.2], от которого наш результат отличается на $\Delta \tfrac{{da}}{{dt}} = $ $ = - 0.43 \times {{10}^{{ - 4}}}$ а.е./(млн. лет) с “мерой пересечения” $I = 0.006$.
3.3. Выводы
Сравнительный анализ показывает, что решение (4)–(7) при различных ${{e}_{0}} \in (0,1)$ дает результаты, согласующиеся с другими методами, поэтому оно может использоваться для исследования долгосрочной орбитальной эволюции малых тел с учетом негравитационного ускорения, обратно пропорционального квадрату расстояния до притягивающего центра, если величина этого ускорения известна. В случае эффекта Ярковского обычно принимается во внимание только трансверсальная составляющая, вызывающая вековое изменение большой полуоси. При этом параметр ${{A}_{2}}$ определяется путем дифференциальной коррекции орбиты, что требует наличия высокоточных астрометрических наблюдений в течение длительного времени.
В Приложении предложен альтернативный способ определения величины ускорения Ярковского, который снимает необходимость иметь наблюдения на большом интервале времени, но требует знания таких характеристик объекта, как диаметр, объемная плотность, скорость вращения, наклон оси вращения к плоскости орбиты, альбедо Бонда, тепловая инерция поверхности, удельная теплоемкость и тепловая излучательная способность.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С помощью аналитического решения системы осредненных уравнений в системе отсчета, связанной с радиусом-вектором, исследовалось влияние эффекта Ярковского на долгосрочную эволюцию орбиты малого тела. Величину ускорения, возникающего вследствие эффекта Ярковского, можно найти как дополнительный параметр при определении орбиты из наблюдений, что требует высокоточной астрометрии на протяжении длительного времени. Другой путь – вычисление компонентов ускорения, используя какую-либо модель силы Ярковского. В этом случае требуется знание параметров вращения и теплофизических характеристик астероидов.
В данной статье вычислен дрейф большой полуоси для 23 астероидов, трансверсальный параметр которых определен первым способом и опубликован в различных источниках. Получено хорошее согласие результатов с другими работами.
Далее предлагается способ вычисления негравитационных параметров на основе линейной модели силы Ярковского для сферических астероидов [2] и уравнений [19, ф-лы (12)] для компонентов этой силы в системе отсчета, связанной с радиусом-вектором. Для астероида 1685 Toro (1948 OA), используя его теплофизические характеристики, опубликованные в [20], предложенным способом найдены численные значения негравитационных параметров ${{A}_{1}},\;{{A}_{2}},\;{{A}_{3}}$, а затем дрейфы эксцентриситета, большой полуоси и средней аномалии за 1000 оборотов вокруг Солнца (1600 лет), и оценено смещение астероида от невозмущенного положения, возникающее из-за эффекта Ярковского.
В дальнейшем мы планируем найти решение системы осредненных уравнений в системе отсчета, связанной с вектором скорости и применить его к движению астероида и, в частности, для исследования дрейфа большой полуоси орбиты при наличии дополнительного возмущающего тангенциального ускорения.
Список литературы
W. F. Bottke Jr., D. Vokrouhlický, D. P Rubincam, and M. Broz, in Asteroids III, edited by W. F. Bottke Jr., A. Cellino, P. Paolicchi, R. P. Binzel (University of Arizona Press, 2002), c. 395.
D. Vokrouhlický, Astron. and Astrophys. 344, 362 (1999).
Т. Ю. Галушина, О. М. Сюсина, Изв. ВУЗов. Физика 63(3), 65 (2020).
М. Д. Сизова, Е. Ефремова, в сб. Некоторые аспекты современных проблем механики и информатики, под ред. Р. Р. Назирова (М.: Изд-во ИКИ РАН, 2018), с. 268.
М. Ф. Субботин, Введение в теоретическую астрономию (М.: Наука, 1968).
Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Астрон. журн. 96(5), 418 (2019).
Т. Н. Санникова, К. В. Холшевников, Астрон. журн. 97(9), 747 (2020).
S. R. Chesley, S. J. Ostro, D. Vokrouhlickỳ, D. Čapek, et al., Science 302(5651), 1739 (2003).
W. F. Bottke, D. Vokrouhlický, D. P. Rubincam, and D. Nesvorný, Ann. Rev. Earth and Planet. Sciences 34, 157 (2006).
A. Del Vigna, L. Faggioli, A. Milani, F. Spoto, D. Farnocchia, and B. Carry, Astron. and Astrophys. 617, id. A61 (2018).
JPL Small-Body Database Search Engine, Jet Propulsion Laboratory NASA, https://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb_query.cgi.
A. H. Greenberg, J. L. Margot, A. K. Verma, P. A. Taylor, and S. E. Hodge, Astron. J. 159(3), 92 (2020).
A. Del Vigna, J. Roa, D. Farnocchia, M. Micheli, D. Tholen, F. Guerra, F. Spoto, and G. B. Valsecchi, Astron. and Astrophys. 627, id. L11 (2019).
D. Farnocchia, S. R. Chesley, D. Vokrouhlický, A. Milani, F. Spoto, and W. F. Bottke, Icarus 224, 1 (2013).
S. R. Chesley, D. Farnocchia, M. Nolan, D. Vokrouhlický, et al., Icarus 235, 5 (2014).
A. H. Greenberg, J. L. Margot, A. K. Verma, P. A. Taylor, S. P. Naidu, M. Brozovic, and A. M. Benner Lance, A-stron. J. 153(3), 108 (2017).
J. A. Pérez-Hernández and L. Benet, Bull. Amer. Astron. Soc. 52(4), id. 2020n4i104p02 (2020).
C. Tardioli, D. Farnocchia, B. Rozitis, D. Cotto-Figueroa, S. R. Chesley, T. S. Statler, and M. Vasile, A-stron. and Astrophys. 608, id. A61 (2017).
Y.-B. Xu, L.-Y. Zhou, C. Lhotka, and W.-H. Ip, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 493(1), 1447 (2020).
J. Ďurech, D. Vokrouhlický, P. Pravec, J. Hanuš, et al., Astron. and Astrophys. 609, id. A86 (2018).
D. Vokrouhlický, Astron. and Astrophys. 335, 1093 (1998).
D. Vokrouhlický and M. Broz, Astron. and Astrophys. 350, 1079 (1999).
Speed of light in vacuum, The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty, https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?c.
Stefan-Boltzmann constant, The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty, https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?sigma.
J. Ďurech, M. Delbó, B. Carry, J. Hanuš, and V. Ali-Lagoa, Astron. and Astrophys. 604, id. A27 (2017).
K. Muinonen, I. N. Belskaya, A. Cellino, M. Delbó, A. C. Levasseur-Regourd, A. Penttilä, and E. F. Tedesco, Icarus 209(2), 542 (2010).
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Астрономический журнал
Пн.-пт.: 10.00-19.00