Астрономический журнал, 2021, T. 98, № 4, стр. 305-313

1. ВВЕДЕНИЕ

Диагностика потоков протонов в солнечных вспышках посредством детектирования электромагнитного излучения может быть построена на наблюдениях степени линейной поляризации линии атома водорода Н_α, расположенной в видимой области спектра [1–13]. Результаты наблюдения за потоками протонов на Солнце позволяют создать модели предсказания протонных событий на Земле [15, 16].

Подавляющее большинство авторов едины во мнении, что степень линейной поляризация излучения Н_α имеет место в результате возбуждения-выстраивания состояний при столкновении атома водорода в основном состоянии с частицами, имеющими анизотропное распределение. Между тем вопрос о том, какие частицы, электроны или протоны, определяют поляризацию излучения, остается открытым. Так, в работе [1] при обсуждении степени поляризации линий водорода в хромосфере Солнца высказывается предположение, что протоны с энергией от 10  до 100 КэВ являются хорошими кандидатами на ударную поляризацию. К аналогичному выводу пришли авторы работы [2] в результате анализа измеренной поляризации излучения Н_α. По мнению Эну и Карлицкого [3], “если Х-ray излучение во время вспышек по времени совпадает с возникновением поляризованного излучения Н_α, тогда наиболее вероятно, что степень линейной поляризации от 5 до 10% объясняется столкновением с протонами”. В работах [8] при обсуждении результатов наблюдения поляризации вспышки 1 мая 2001 г. наиболее вероятный выбор был также сделан в пользу возбуждения водорода протонами [cм. также 10–12].

Таким образом, многие исследователи вспышек Солнца [1–13] наблюдаемую поляризацию излучения Н_α от 2 до 10% объясняли столкновениями с протонами.

Вместе с тем не все астрофизики склонны объяснять возникновение поляризации Н_α столкновением с протонами. В работах [4] и [7] при обсуждении результатов наблюдения поляризации величиной 2–6% во время солнечных вспышек 19 июня 2001 г. предлагается механизм возбуждения как столкновением с электронами, так и с протонами. В свою очередь, согласно Степану и др. [9], “поляризация имеет иной источник нежели столкновения с протонами” и “потоки протонов солнечных вспышек не лучшие кандидаты для объяснения поляризации”.

Целью статьи является демонстрация возможностей аналитического расчета степени линейной поляризации линии водорода Н_α с целью нахождения параметров функции распределения потока протонов в области наблюдения свечения. Для этого выполнен расчет степени линейной поляризации Н_α, обусловленной столкновениями атомов водорода с потоком протонов с использованием математического аппарата атомной матрицы плотности [20, 21]. Сечение возбуждения выстраивания Н_α выражается через сечение возбуждения Н_α и степень линейной поляризации Н_α [22]. Аналитические выражения для степени линейной поляризации и сечения возбуждения перехода “нормируются” с учетом данных пучковых экспериментов. Как станет ясно из дальнейшего изложения, аналитические выражения для полного сечения [23] и степени линейной поляризации перехода, найденные в пучковом эксперименте [24], позволяют рассчитать в общем аналитическом виде степень линейной поляризации излучения Н_α, вызванной потоком протонов во вспышках Солнца. При этом нами будет принято во внимание, что поток протонов преимущественно распространяется в радиальном направлении [7, 9]. При расчете предполагается, что имеет место цилиндрическая симметрия [20]. Кроме того, для простоты расчет степени линейной поляризации излучения вспышек хромосферы Солнца будет выполняться для угла наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$ (нормальное направление) к направлению анизотропного потока [20].

2. МОДЕЛЬ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ПРОТОНОВ

В хромосферной плазме имеет место состояние “non-LTE” с температурой протонов T₀ [1–13], и функция распределения протонов по энергиям отличается от максвелловской ввиду слабой анизотропии, вызванной потоком частиц. Исходя из этих соображений, выберем функцию распределения в виде [25]

где N_t – концентрация тепловых протонов, f_t(ε) – максвелловская функция распределения для тепловых протонов с температурой T₀: N_nt – концентрация нетепловых протонов, f_nt(ε) – энергетическая составляющая функции распределения нетепловых протонов. Она описывается степенной функцией вида [25]: где ε₁ (“low cut-off energy”) и $\delta $ (спектральный индекc) – константы распределения [5–7, 9]. Для проведения расчетов угловая зависимость задавалась в виде [25]: где $a = \frac{{\bar {\varepsilon }}}{{{{\varepsilon }_{2}}}}$ и ε₂ – константа анизотропии, определяющая питч-угол Ө, $\bar {\varepsilon }$ – средняя энергия степенного распределения f_nt (3).

В работе [10] уделено большое внимание обсуждению процессов, которые влияют на величину питч-угла потока протонов, распространяющихся в хромосфере в радиальном направлении. В частности, отмечалось, что неупругие столкновения протонов с атомами приводят к рассеянию на небольшой угол. Протоны с энергией от 10 до 100 КэВ эффективно взаимодействуют с альфвеновскими волнами, что приводит к их изотропизации. Таким образом, величина питч-угла потока протонов различных энергетических интервалов может меняться по мере распространения в хромосфере. Поскольку при вычислении аналитических выражений интегрирование будет вестись в интервале энергий от порогового до бесконечно большого значения энергии протонов, мы будем говорить об “эффективной” величине питч-угла потока, единого для всего диапазона энергий протонов в той области пространства хромосферы, излучение которой регистрируется.

Таким образом, с учетом вышесказанного модельное описание потока протонов имеет шесть параметров – T₀, N_t, N_nt, ε₁, $\delta $ и питч-угол Ө(ε₂).

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СЕЧЕНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ И СТЕПЕНИ ЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ Н_α ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ С ПУЧКОМ ПРОТОНОВ

Существенной методической особенностью диагностики по линии Н_α является наличие семи близко расположенных спектральных переходов в одной линии, т.е. когда семь спектральных переходов линий Н_α регистрируются как единое целое. Используем для случая столкновения с протонами полуэмпирическое эффективное сечение возбуждения и эффективную степень линейной поляризации линии Н_α.

Возбуждение атома водорода ударом протона сопровождается потерей протоном небольшой доли энергии и рассеянием его на небольшой угол, меньший, чем при столкновении атома водорода с электроном. Сечение возбуждения с ростом энергии протона изменяется “обычным” образом. Сечение растет с увеличением энергии, а достигнув максимума, уменьшается при больших энергиях. Квантовомеханический расчет сечения возбуждения состояний атома возможен, например, в рамках борновского приближения, когда скорость налетающего протона ${{{v}}_{{\text{p}}}}$ много больше скорости атомного (возбуждаемого) электрона ${{{v}}_{{\text{a}}}}$.

Для проведения аналитических расчетов степени линейной поляризации излучения спектральной линии Н_α, возбуждаемой потоками протонов во вспышках Солнца, в настоящей статье использовались экспериментальные сечения возбуждения линии Н_α при столкновении атомов водорода с пучком протонов, измеренные в работах [26, 27], и аналитическая формула, интерполирующая сечение при столкновении с протонами (5). Она получена по результатам расчета в борновском приближении [29]. Параметры аналитической формулы определялись в результате сравнения с экспериментом. Такой подход расширяет область энергий протонов, где применимо аналитическое описание сечения.

Представляет интерес сравнение сечений возбуждения как пучком протонов, так и пучком электронов. На рис. 1 приводится сечение для протонов [27] (изображено квадратиками) в масштабе энергий ${{\varepsilon }_{{{\text{р отн}}}}}$ = ${{\varepsilon }_{{\text{р}}}}$m_e/m_p. Экспериментальное сечение возбуждения электронами [28] изображено звездочками. Для удобства сравнения сечение возбуждения протонами разделено на 2.85, т.е. сечение для электронов в максимуме в 2.85 раза меньше чем сечение для протонов. Сплошные кривые – результаты расчетов в борновском приближении [23, 29], интерполирующие сечения для протонов и электронов энергии $\varepsilon $ согласно выражению

Здесь ${{\varepsilon }_{1}}$ (это обозначение уже было введено, см. формулу 3) и ${{\varepsilon }_{0}}$ – энергии верхнего и нижнего уровней атома водорода, $\Delta \varepsilon = {{\varepsilon }_{1}} - {{\varepsilon }_{0}}$ – энергия перехода (для возбуждения частицей из основного состояния атома она называется пороговой), Ry – единица Ридберга [23], ${{Q}_{\chi }}({{\gamma }_{0}},\,{{\gamma }_{1}})$ – угловой коэффициент, где $u = \frac{\varepsilon }{{\Delta \varepsilon }}$, а параметры С и φ табулируются [23].

Для угла наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$ при значениях С = = 2.63 и φ = 1 погрешность описания согласно (5,6) составляет не более 10%.

Из анализа рис. 1 видно, что имеет место хорошее согласие результатов экспериментов и расчетов для протонов в диапазоне энергий от 20 до 200 КэВ и электронов в диапазоне энергий от 10 до 80 эВ. Это иллюстрирует тот факт, что сечения возбуждения протонами и электронами ведут себя подобно в масштабе скоростей сталкивающихся частиц.

Эффективная степень линейной поляризации линии Н_α, возбужденной пучком протонов из основного состояния атома, измерялась в работе [30]. Поскольку представляет интерес сравнение степени линейной поляризации при возбуждении как пучком протонов, так и пучком электронов, на рис. 2 приводится степень линейной поляризации при столкновении с протонами [30] (изображено нижней кривой 2) в масштабе энергий ${{\varepsilon }_{{{\text{р отн}}}}}$ = ${{\varepsilon }_{{\text{р}}}}$m_e/m_p. Поляризация при возбуждении электронами [31] изображена верхней кривой 1.

Для практических целей удобно использовать аналитическую интерполяционную формулу для степени линейной поляризации излучающих переходов [24], основанную на методе Борна. Экспериментально измеренная степень линейной поляризации при возбуждении пучком протонов хорошо описывается аналитической интерполяционной формулой с параметрами Р₀ = 25% и ε₀ = = 180 кэВ (${{\varepsilon }_{{{\text{0 р отн}}}}}$ = 98), где Р₀ – значение поляризации при пороговом значении энергии перехода ε₀ (это обозначение уже использовалось) – энергия протонов, при которой поляризация меняет знак. Для повышения точности описания эффективной степени линейной поляризации линии Н_α интерполяционная формула была модифицирована и приняла вид [24]

Погрешность описания поляризации составляет не более 5%.

4. РАСЧЕТ СТЕПЕНИ ЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЛИНИИ Н_α, ВОЗБУЖДАЕМОЙ ПРОТОНАМИ

В рамках “прямой” задачи рассчитывается степень линейной поляризации излучения вспышек по известному сечению возбуждения (5), степени линейной поляризации линии Н_α (7) и по заданным параметрам модели функции распределения потока протонов. В рамках “обратной” задачи по измеренной степени линейной поляризации можно определить параметры анизотропного распределения потока протонов.

Аналитическое выражение для расчета степени линейной поляризации для угла наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$ с учетом выражения для квадрупольного момента функции распределения протонов $f_{{2 + }}^{{\left( 2 \right)}}(\varepsilon )$ имеет вид:

где n_p = N_t/N_nt – отношение числа тепловых протонов к числу нетепловых протонов, Структура выражения (8) аналогична приводимой в работах [2, 5, 6, 9, 20]. Для расчета значения I₀ и I₁ в явном виде подставляем в (8):

– выражение для полного сечения возбуждения линии Н_α$\sigma (\varepsilon )$ (5) и степени линейной поляризации излучения P(ε) (7) для угла наблюдения 90°,

– функцию распределения Максвелла для тепловых протонов f_t(ε) (2) и функцию распределения для нетепловых протонов f_nt(ε, $\Theta $) (3, 4).

Результат вычисления I₀ определяется Δε и T₀, а I₁ зависит от Δε, P₀, ε₀, Ө(ε₂) и $\delta $.

Анализ выражения (8), первого слагаемого в знаменателе позволяет сделать вывод, что учет тепловых изотропных протонов уменьшает величину поляризации. Влияние параметров тепловых протонов n_р, T₀ отражено в табл. 1 и на рис. 3.

Полученное аналитическое выражение для поляризации излучения позволяет проанализировать поведение поляризации как функции параметров распределения тепловых и нетепловых протонов. Поскольку характеристики атомной системы Δε, P₀ и ε₀ заданы, то выражение поляризации определяется пятью параметрами, описывающими поток протонов: n_р, T₀, ε₁, $\delta $ и Ө(ε₂).

Для проведения аналитических расчетов степени линейной поляризации излучения вспышек Солнца согласно выражению (8), использовался пакет прикладных программ MATHCAD, позволяющий не только проводить численные расчеты, но и делать графические построения.

В качестве примера рассчитаем степень линейной поляризации Н_α для параметров функции распределения протонов (1). Используем величины T₀ = 2 эВ и ε₁ = 2 кэВ. Поскольку интегрирование (9) ведется во всем диапазоне значений энергии нетепловых протонов, выбираем степенное распределение нетепловых протонов со спектральным индексом $\delta $, описывающим протоны от энергии “low cut-off energy” ε₁ до энергии ε_max. Средняя энергия $\bar {\varepsilon }$ степенного распределения f_nt (3) находится как

Для расчета величины $\delta $ будем считать, что ε_max = = $2\bar {\varepsilon }$. Тогда для приведенного диапазона величин ε_max δ будет имеет значение, близкое к $\delta $ = 2. Принимая во внимание диапазон значения $\delta $, приведенный в работе [14], выполним расчеты для $\delta $ = = 2.1. Расчет выполним для величины питч-угла Ө = 41° [2]. Относительную концентрацию протонов, равную отношению концентрации тепловых протонов к концентрации нетепловых, выбираем n_p = 2 × 10⁵. Рассчитанная величина поляризации Н_α для области вспышки с такими параметрами потока протонов равна Р = 5.9%.

Расчеты показали, что величина поляризации зависит от значения температуры тепловых протонов по закону, близкому к (T₀)^–4.

Аналитический расчет позволяет решить “обратную задачу”, а именно по заданной поляризации определить параметры распределения потока протонов. Например, если значение наблюдаемой во время вспышки степени линейной поляризации линии Н_α для угла наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$ равна 2%, то из приведенной зависимости поляризации от питч-угла (рис. 6) видно, что величина питч угла равна Ө = 71°. При этом подразумевается, что остальные параметры распределения остались прежними.

На рис. 3–6 приводится зависимость степени линейной поляризации Н_α от n_p, $\delta $, ε₁ и Ө.

5. СОПОСТАВЛЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ПРЕДЫДУЩИХ РАСЧЕТОВ

Приведенные в настоящей статье выражения для расчета степени линейной поляризации (8), (9) базируются на математическом аппарате атомной матрицы плотности [20], который использовался для расчетов, например, в работах [5, 6, 9]. Существенным отличием предыдущих расчетов от настоящих расчетов является:

– в работах [2, 5, 6, 9] расчеты выполнены для потока нетепловых протонов, описываемого степенным распределением, т.е. без учета тепловых протонов. В наших расчетах функция распределения потока протонов содержит распределение как тепловых, так и нетепловых протонов с параметрами n_р, T₀, ε₁, $\delta $ и Ө(ε₂).

– заселение-выстраивание возбужденных состояний определяется сечением возбуждения выстраивания, которое выражено через аналитические выражения полного сечения и степени линейной поляризации излучательного перехода [22].

Такое отличие привело к тому, что если для выполнения расчетов в работах [2, 5, 6, 9] необходимо задать два параметра распределения потока протонов, а именно для нетепловых протонов low cut-off energy и спектральный индекс, то для проведения настоящих расчетов необходимо знать пять параметров потока протонов. Пять параметров в совокупности определяют область, излучение которой наблюдается, и оно поляризовано. Задача проведения таких расчетов существенно усложняется. Выполненные аналитические расчеты в отличие от расчетов других авторов показали, что поляризация существенно зависит от температуры теплового распределения и отношения концентрации тепловых протонов к концентрации нетепловых протонов. Кроме того, в явном виде получена зависимость степени линейной поляризации от питч-угла потока протонов. В статье для набора параметров функции распределения протонов рассчитана степень линейной поляризации Н_α, которая “близка” к значению степени линейной поляризации как измеренной экспериментально, так и рассчитанной теоретически. Рисунки 3–6 позволяют проанализировать поведение степени линейной поляризации при изменении параметров модели функции распределения потока протонов.

В рамках аналитического расчета представляет интерес сравнение величин степени линейной поляризации Н_α, обусловленной столкновениями с протонами, с величиной степени линейной поляризации Н_α, обусловленной столкновениями с электронами. Для параметров функции распределения электронов T₀ = 2 эВ, ε₁ = 2 кэВ, $\delta $ = = 2.1, питч-угла Ө = 41° и относительной концентрации электронов n_е = 2 × 10⁵ величина поляризации Н_α равна Р = 4.8%. В расчетах использовалась эффективная степень линейной поляризации линии Н_α, возбужденной электронами (7) с величиной поляризации при пороговом значении энергии Р₀ = 0.32.

6. СОПОСТАВЛЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ИЗМЕРЕНИЙ

В работе рассчитана степень линейной поляризации для угла наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$. В работах по измерению степени линейной поляризации указывается положение области Солнца, поляризация излучения которой измерялась, но не выполнен пересчет величины поляризации для угла наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$. В качестве примера можно посмотреть работу [13]. Хорошо известна зависимость наблюдаемой поляризации от угла наблюдения [20]

Так, например, если наблюдение ведется в направлении, совпадающем с радиальным направлением Солнца (угол наблюдения равен нулю), то измеряемая величина поляризации будет равна нулю. Анализ сопоставления результатов расчета с измерениями должен проводиться после пересчета измеренной величины поляризации к углу наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$. Лучше самого экспериментатора это никто не сделает.

7. УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ, ОБУСЛОВЛЕННОЙ ПРОТОНАМИ

Анализ выражения (8) показывает, что поляризация P обусловлена членом I₁, описывающим возбуждение выстраивание при столкновении атома водорода с нетепловыми протонами, и членом I₀, описывающим заселение атомного состояния при столкновении с тепловыми протонами. Тепловые протоны “уменьшают” поляризацию. Одновременно с протонами в излучающем объеме находятся электроны. Представляет интерес определение параметров теплового распределения протонов и электронов, при которых $I_{0}^{{\text{p}}}$ протонов больше $I_{0}^{{\text{e}}}$ электронов [1], т.е. только тепловые протоны уменьшают поляризацию. При расчете интеграла, характеризующего заселенность верхнего уровня линии Н_α, используем полуэмпирические формулы для скоростей возбуждения нейтрального водорода [23]. Тогда

где β = Δε/T₀, $\bar {\sigma }$ – величина, пропорциональная усредненному по распределению сечению возбуждения.

Для случая неравновесной плазмы N_e = N_p [32, 33], кроме того известно соотношение между величинами сечений возбуждения протонами и электронами линии Н_α. Условие $I_{0}^{{\text{p}}} > I_{0}^{{\text{e}}}$ сводится к выполнению соотношения между температурами протонов и электронов

Анализ соотношения (14) приводит к выполнению условия T_p > T_e. Такие же условия могут, например, возникать при кратковременных разрядах очень большой мощности, при исследовании управляемых термоядерных реакций [32]. Применительно к приведенным в статье расчетам для T_p = 2 эВ температура электронов должна не превышать 2 эВ. Тогда тепловые протоны преимущественно заселяют верхние уровни линии Н_α, и поляризация обусловлена протонами.

8. ВЫВОДЫ

Модель хромосферы, поляризация излучения которой наблюдается, это неравновесное состояние со слабой анизотропией протонов. Доля нетепловых протонов, столкновение с которыми вызывает возбуждение-выстраивание состояний атома водорода, составляет сотые доли процента. Поэтому модельное описание функции распределения протонов совершенно справедливо содержит тепловые протоны с максвелловским распределением и нетепловые протоны со степенным распределением, так как во вспышке одновременно присутствует весь энергетический спектр протонов как больших, так и малых энергий.

Описываемое модельное приближение учитывает возникновение поляризации при столкновении с нетепловыми протонами и деполяризацию при столкновении с тепловыми протонами. Для ответа на вопрос, столкновения с какими частицами во время вспышки Солнца вызывают наблюдаемую величину поляризации свечения Н_α, надо учитывать полученное соотношение между температурами протонов и электронов (14).

Кроме того, поток протонов преимущественно ориентирован в радиальном направлении к Солнцу, поэтому поляризация, вызванная ударом протонов, должна быть ориентирована преимущественно в радиальном направлении.

Аналитическое описание характеристик атомной системы (сечения и поляризации), “нормированных” на экспериментальные данные, представляется не менее надежным способом описания атома, нежели квантовомеханический расчет заселения и распада атомных состояний в рамках аппарата атомной матрицы плотности.

Для модели протонов со слабой анизотропией наиболее надежно определены величины T₀, $\delta $, ε₁ и дана оценка разлета потока плазмы вспышек (питч-угла). Вывод в пользу возникновения поляризации Н_α во время вспышек в результате протонного или электронного удара требует детального анализа энергетических спектров протонов и электронов, их пространственной структуры и динамики эволюции во время вспышек.

Имея набор параметров n, T₀, $\delta $, ε₁ и Ө(ε₂) для протонов и электронов, можно в рамках единой методики расчета определить доминирующий механизм наблюдаемой поляризации. Расчет степени линейной поляризации Н_α, вызванной протонным ударом, дает существенное значение величины поляризации Р = 5.9% для угла наблюдения $\alpha = \frac{\pi }{2}$. Приведенные зависимости от n, $\delta $, ε₁ и Ө(ε₂) позволяют экспериментатору проанализировать зависимость измеренной поляризации от параметров протонов в области наблюдения, даже если измеренная поляризация не совпадает с рассчитанной. Полученное значение сопоставимо с величиной поляризации, вызванной ударом электронов [20], Р = 4.8%.