1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Астрономический журнал
  4. T. 98, № 5, 2021

Астрономический журнал, 2021, T. 98, № 5, стр. 387-406

Трехмерная модель структуры течения в асинхронном поляре CD Ind в момент переключения магнитных полюсов

А. В. Соболев 1, *, А. Г. Жилкин 1, Д. В. Бисикало 1, Д. А. Х. Бакли 2

1 Институт астрономии Российской академии наук
Москва, Россия

2 South African Astronomical Observatory
Cape Town, South Africa

* E-mail: asobolev@inasan.ru

Поступила в редакцию 30.10.2020
После доработки 27.01.2021
Принята к публикации 29.01.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе проведено трехмерное численное МГД моделирование структуры течения в асинхронном поляре CD Ind в моменты переключения между магнитными полюсами аккретора – белого карлика. Для учета быстропротекающих процессов разработана численная нестационарная модель. Расчеты выполнены в предположении, что магнитное поле аккретора имеет конфигурацию смещенного диполя. По результатам расчетов построены карты горячих пятен на поверхности аккретора и кривые блеска в моменты переключения магнитных полюсов. Показано, что в принятой конфигурации магнитного поля, когда параметры поля на южном и северном полюсах отличаются, структура течения меняется по-разному, в зависимости от того, с какого полюса на какой идет переключение. Как следствие, наблюдаются значительные отличия и в характере изменения кривых блеска в различные моменты переключения. Данное обстоятельство позволяет надеяться, что из сравнения наблюдаемых и синтетических кривых блеска можно получить сведения о реальной конфигурации магнитного поля в системе.

1. ВВЕДЕНИЕ

Объект CD Ind был обнаружен в 1996 г. [1] как вероятный кандидат в магнитные катаклизмические переменные звезды при обработке данных с ультрафиолетового телескопа EUVE, а также в 1997 г. [2] как рентгеновский источник. А. Шво-пе, Д.Х. Бакли [2] впервые идентифицировали систему как асинхронный поляр с самым коротким периодом биений и оценили напряженность магнитного поля белого карлика равной 11 ± 2 МГс. С помощью оптической поляриметрии и рентгеновских наблюдений в работе [3, 4] была подтверждена принадлежность CD Ind к классу асинхронных поляров. В 2017 г. после обработки данных, полученных за 10 лет наблюдений поляра, были уточнены значения орбитального периода ${{P}_{{{\text{orb}}}}}$, он оказался равным 110.8 мин, и периода вращения белого карлика ${{P}_{{{\text{spin}}}}} = 109.6$ мин [5]. Определенный из соотношения

(1)
$\frac{1}{{{{P}_{{{\text{beat}}}}}}} = \frac{1}{{{{P}_{{{\text{spin}}}}}}} - \frac{1}{{{{P}_{{{\text{orb}}}}}}},$
период биений составил ${{P}_{{{\text{beat}}}}} = 10\,474.7$ мин (7.3 дня).

На основе данных, полученных в результате циклотронного картирования и численного моделирования в рамках приближения квазичастиц [6–12], сделано предположение о том, что магнитное поле белого карлика в рассматриваемом поляре имеет конфигурацию смещенного диполя [13]. Очевидно, что такая конфигурация должна приводить к различию величин индукции северного и южного магнитных полюсов. Это, в свою очередь, должно отражаться на параметрах зон энерговыделения и на форме болометрической кривой блеска. Причем эффекты различной светимости горячих пятен на полюсах должны наблюдаться и на орбитальном периоде системы, и на периоде биений. Однако наибольшую асимметрию в решениях следует ожидать в моменты переключения аккреции с одного полюса на другой.

В нашей работе [14] мы уже проводили МГД моделирование CD Ind в рамках стационарного решения, которое не учитывало собственное вращение аккретора. Тем не менее полученные результаты расчетов позволили сформировать общую картину структуры течения и распределение зон аккреции по поверхности аккретора, а также синтезировать кривые блеска. В частности, в этом исследовании было показано, что в течение периода биений наблюдается различие в светимости горячих пятен вследствие смещения магнитного диполя. При этом северная зона энерговыделения демонстрировала в максимуме в 2 раза больший поток излучения по сравнению с южной. Недостатком использованной модели является невозможность исследовать быстропротекающие изменения в структуре течения в моменты переключения полюсов, так как эти моменты расположены между двумя стационарными решениями, приходящимися на соседние фазы периода биений.

Для исследования структуры течения в процессах переключения полюсов мы разработали нестационарную численную модель, учитывающую собственное вращение аккретора. Использование этой модели позволило провести детальное исследование изменений положений горячих пятен и соответствующих изменений кривых блеска в моменты переключений полюсов. Обнаруженные значительные отличия в характере изменения кривых блеска, в зависимости от того, с какого полюса на какой идет переключение, позволяют надеяться на получение информации о реальной конфигурации поля при интерпретации данных с учетом построенных синтетических кривых блеска.

Статья организована следующим образом. Во втором разделе дано описание используемой нами численной модели. В третьем разделе представлены результаты численных расчетов. В Заключении кратко обсуждены основные выводы работы.

2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

В нашей предыдущей работе [14], посвященной исследованию поляра CD Ind, подробно описана используемая трехмерная численная модель. С ее помощью мы получали последовательность стационарных решений, которые не учитывали собственное вращение звезды-аккретора и изменение положения магнитного диполя на всем времени расчета. Используемый подход допустим для изучения структуры течения, если при этом не ставится задача детального исследования быстропротекающих изменений в этой структуре.

Данная работа посвящена изучению структуры течения в процессах переключения аккреции между магнитными полюсами белого карлика. Из результатов расчетов со стационарной моделью [14] известно, что длительность процессов переключения составляет менее $0.1{{P}_{{{\text{beat}}}}}$, поэтому для их рассмотрения необходимо использовать нестационарную модель. В разработанной нестационарной модели учитывается собственное вращение аккретора, а значит и магнитного диполя относительно донора, поэтому она может быть использована для изучения быстрых изменений в структуре течения. Рассмотрим основные отличия применяемой в данной работе нестационарной модели от ее стационарного варианта.

Прежде всего, уточним определение величины магнитной индукции для поля со смещенным диполем и положение этого диполя в используемой системе координат. Величина индукции в произвольной точке двойной системы может быть описана следующим выражением:

(2)
${{{\mathbf{B}}}_{*}} = \frac{\mu }{{{{R}^{3}}}}\left[ {3({\mathbf{d}} \cdot {\mathbf{n}}){\mathbf{n}} - {\mathbf{d}}} \right],$
где $\mu = {{B}_{{\text{a}}}}R_{{\text{a}}}^{3}{\text{/}}2$ – магнитный момент аккретора, ${{B}_{{\text{a}}}} = 11$ МГс – характерное значение индукции магнитного поля на поверхности белого карлика в CD Ind, взятое из наблюдений, ${{R}_{{\text{a}}}} = 0.014\;{{R}_{ \odot }}$ – радиус аккретора, $R = {\text{|}}{\mathbf{R}}{\text{|}}$ – расстояние от центра магнитного диполя до точки наблюдения поля, ${\mathbf{n}} = {\mathbf{R}}{\text{/}}R$ – единичный вектор нормали к сфере радиуса $R$, центр которой совпадает с центром диполя, восстановленный в точке наблюдения поля. Единичный вектор ${\mathbf{d}}$ определяет ось симметрии диполя. Компоненты вектора ${\mathbf{d}}$ в декартовой системе координат могут быть записаны в виде:
(3)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{d}_{x}} = sin\theta cos\phi ,} \\ {{{d}_{y}} = sin\theta sin\phi ,} \\ {{{d}_{z}} = cos\theta ,} \end{array}$
где углы $\theta $, $\phi $ определяют ориентацию магнитной оси в пространстве. Также положение этой оси задано ее смещением ниже орбитальной плоскости поляра на половину радиуса аккретора. Угол $\theta $ отсчитывается от северного географического полюса аккретора, а $\phi $ – от положительного направления оси $x$ против часовой стрелки. Поскольку мы рассматриваем систему с асинхронным вращением аккретора, азимутальный угол $\phi $ будет зависеть от времени. Ориентация магнитного диполя, соответствующая нулевой фазе периода биений, задана следующими значениями углов: ${{\theta }_{0}} = 70^\circ $, ${{\phi }_{0}} = 90^\circ $ [13]. При переходе от одного орбитального периода к другому угол $\phi $ увеличивается по следующему закону:
(4)
$\phi = {{\phi }_{0}} + {{\Omega }_{{{\text{beat}}}}}t,$
где ${{\Omega }_{{{\text{beat}}}}} = 2\pi {\text{/}}{{P}_{{{\text{beat}}}}}$, $t = {{P}_{{{\text{orb}}}}}N$, $N$ – количество орбитальных периодов от нулевой фазы периода биений. Угол $\theta $ при этом остается неизменным и равным ${{\theta }_{0}}$.

Заметим, что магнитное поле ${{{\mathbf{B}}}_{ * }}$, задаваемое формулой (2), является потенциальным, $\nabla \times {{{\mathbf{B}}}_{*}} = 0$. Так как в данной работе структура течения моделируется для каждого орбитального периода с учетом собственного вращения аккретора, то магнитное поле ${{{\mathbf{B}}}_{*}}$ в каждом варианте расчета будет нестационарным, $\partial {{{\mathbf{B}}}_{*}}{\text{/}}\partial t \ne 0$. Величину полного магнитного поля ${\mathbf{B}}$ можно представить в виде суперпозиции поля аккретора ${{{\mathbf{B}}}_{*}}$ и поля ${\mathbf{b}}$, индуцированного электрическими токами в аккреционной струе и оболочке двойной системы: ${\mathbf{B}} = {{{\mathbf{B}}}_{*}} + {\mathbf{b}}$. Соответствующее изменение этих компонентов поля во времени описывают следующие уравнения [15, 16]:

(5)
$\frac{{\partial {\mathbf{B}}}}{{\partial t}} = \frac{{\partial {\mathbf{b}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{{\mathbf{B}}}_{*}}}}{{\partial t}},$
(6)
$\frac{{\partial {{{\mathbf{B}}}_{*}}}}{{\partial t}} = \nabla \times ({{{\mathbf{v}}}_{*}} \times {{{\mathbf{B}}}_{*}}).$
Здесь ${{{\mathbf{v}}}_{*}} = {{\Omega }_{{{\text{beat}}}}} \times ({\mathbf{r}} - {{{\mathbf{r}}}_{{\text{a}}}})$ – скорость магнитных силовых линий из-за асинхронного вращения аккретора, вектор ${{\Omega }_{{{\text{beat}}}}} = (0,0,{{\Omega }_{{{\text{beat}}}}})$, ${\mathbf{r}}$ – радиус-вектор произвольной точки системы, ${{{\mathbf{r}}}_{{\text{a}}}}$ – радиус-вектор центра аккретора.

Отметим, что наличие скорости магнитных линий ${{{\mathbf{v}}}_{ * }}$ в нестационарной модели приводит к необходимости соответствующих изменений в МГД уравнениях, которые теперь имеют следующий вид:

(7)
$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf{v}}) = 0,$
(8)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {\mathbf{v}}}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{v}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{v}} = - \frac{{\nabla P}}{\rho } - \frac{{{\mathbf{b}} \times (\nabla \times {\mathbf{b}})}}{{4\pi \rho }} - \\ \, - \nabla \Phi + 2({\mathbf{v}} \times \Omega ) - \frac{{{{{({\mathbf{v}} - {{{\mathbf{v}}}_{*}})}}_{ \bot }}}}{{{{t}_{w}}}}, \\ \end{gathered} $
(9)
$\frac{{\partial {\mathbf{b}}}}{{\partial t}} = \nabla \times [{\mathbf{v}} \times {\mathbf{b}} + ({\mathbf{v}} - {{{\mathbf{v}}}_{*}}) \times {{{\mathbf{B}}}_{*}} - {{\eta }_{w}}(\nabla \times {\mathbf{b}})],$
(10)
$\begin{gathered} \rho \left[ {\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + ({\mathbf{v}} \cdot \nabla )\varepsilon } \right] = - P(\nabla \cdot {\mathbf{v}}) + \\ + \;{{n}^{2}}(\Gamma - \Lambda ) + \frac{{\rho ({\mathbf{v}} - {{{\mathbf{v}}}_{*}})_{ \bot }^{2}}}{{{{t}_{w}}}}, \\ \end{gathered} $
где $\rho $ – плотность, ${\mathbf{v}}$ – скорость, $P$ – давление, Φ – потенциал Роша, $\Omega $ – вектор угловой скорости орбитального вращения двойной системы, $\varepsilon $ – удельная внутренняя энергия газа, $n$ – концентрация, ${{\eta }_{w}}$ – коэффициент магнитной вязкости, ${{t}_{w}}$ – время релаксации для поперечного компонента скорости, значок $ \bot $ определяет перпендикулярный к магнитной силовой линии компонент вектора [15, 16], $\Gamma $ и $\Lambda $ – функции радиационного нагрева и охлаждения [14]. Слагаемое $2({\mathbf{v}} \times \Omega )$ в уравнении движения (8) описывает силу Кориолиса. Последнее слагаемое в уравнении энергии (10) описывает нагрев за счет диссипации токов в используемом нами приближении волновой МГД турбулентности. Плотность, внутренняя энергия и давление связаны между собой уравнением состояния идеального газа с показателем адиабаты 5/3. Данная модель, основанная на приближении модифицированной магнитной гидродинамики [15–17], успешно использовалась нами ранее для исследования структуры течения в магнитных катаклизмических переменных различного типа [15–29].

В качестве исходных данных в нашей модели использованы следующие параметры двойной системы. Звезда-донор (красный карлик) имеет массу ${{M}_{{\text{d}}}} = 0.21\;{{M}_{ \odot }}$ и эффективную температуру ${{T}_{{\text{d}}}} = 3200$ К. Звезда-аккретор (белый карлик) имеет массу ${{M}_{{\text{a}}}} = 0.7\;{{M}_{ \odot }}$, эффективную температуру ${{T}_{{\text{a}}}} = 12{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000$ К и радиус ${{R}_{{\text{a}}}} = 0.014\;{{R}_{ \odot }}$. Период обращения двойной системы ${{P}_{{{\text{orb}}}}} = 1.846$ ч, а большая полуось орбиты $A = 0.735{{R}_{ \odot }}$.

Начальные и граничные условия, а также параметры расчетной области модели по сравнению со стационарной версией не изменялись и принимались следующими. В оболочке звезды-донора нормальный компонент скорости по отношению к поверхности ${{v}_{{\text{n}}}}$ задавался равным локальной скорости звука ${{c}_{{\text{s}}}}$, соответствующей эффективной температуре донора ${{T}_{{\text{d}}}} = 3200$ К. Аккретор был определен сферой радиусом $0.014A$, на границе которой заданы условия свободного втекания. На внешних границах вычислительной области заданы постоянные граничные условия: плотность ${{\rho }_{{\text{b}}}} = {{10}^{{ - 8}}}\rho ({{L}_{1}})$, где $\rho ({{L}_{1}}) = 1.9245 \times $ × 10‒7 г/см3 – плотность вещества в точке Лагранжа ${{L}_{1}}$, температура ${{T}_{{\text{b}}}} = {{T}_{*}}$, где ${{T}_{*}} = 8278$ K – равновесное значение температуры, соответствующее эффективной температуре белого карлика ${{T}_{{\text{a}}}}$, магнитное поле ${{{\mathbf{b}}}_{{\text{b}}}} = 0$. Для скорости ${{{\mathbf{v}}}_{{\text{b}}}}$ были заданы условия свободного истечения: когда скорость направлена наружу, использовались симметричные граничные условия $\partial {{{\mathbf{v}}}_{{\text{b}}}}{\text{/}}\partial {\mathbf{n}} = 0$, а когда скорость направлена внутрь, использовались условия ${{{\mathbf{v}}}_{{\text{b}}}} = 0$. Начальные условия в вычислительной области: плотность ${{\rho }_{0}} = {{10}^{{ - 8}}}\rho ({{L}_{1}})$, температура ${{T}_{0}} = {{T}_{*}}$, скорость ${{{\mathbf{v}}}_{0}} = 0$ и магнитное поле ${{{\mathbf{b}}}_{0}} = 0$.

Задача решалась в расчетной области $ - 2.0 \leqslant $ $ \leqslant x{\text{/}}A \leqslant 1.0$, $ - 1.5 \leqslant y{\text{/}}A \leqslant 1.5$ и $ - 0.75 \leqslant z{\text{/}}A \leqslant 0.75$ с числом ячеек $256 \times 256 \times 128$ и неравномерным шагом сетки, экспоненциально уменьшающимся к центру аккретора. Такая расчетная область полностью включает в себя полости Роша аккретора и донора.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

3.1. Структура течения

По результатам предыдущего исследования [14] известно, что переключение течения между магнитными полюсами происходит дважды за период биений: на фазах 0.0–0.1 течение переключается с южного магнитного полюса на северный, а на фазах 0.5–0.6 с северного на южный. Для анализа структуры течения в процессах переключения мы выполнили численные расчеты с использованием нестационарной модели в этих фазовых промежутках, что при принятых значениях орбитального периода и периода биений для CD Ind соответствует расчетам, покрывающим примерно 10 орбитальных периодов системы каждый.

На рис. 1 представлены результаты расчетов для переключения течения с южного магнитного полюса на северный. На рисунке приведены изоповерхности логарифма плотности $\rho $ в окружающей аккретор области для пяти значений: –1.0, ‒2.5, –3.0, –4.0 и –5.0 (за единицу принято значение плотности во внутренней точке Лагранжа $\rho ({{L}_{1}})$). Выбор указанных значений плотности обусловлен стремлением показать полную картину процесса массообмена между компонентами поляра. При переносе вещества от донора к аккретору помимо струи формируется общая оболочка системы и происходит скопление материи в области магнитного экватора аккретора. На представленном рисунке область, соответствующая донору, показана только в окрестности точки Лагранжа ${{L}_{1}}$. Решение представлено в системе координат земного наблюдателя на орбитальной фазе 0.75, так как вид с этой орбитальной фазы наилучшим образом позволяет фиксировать изменения в структуре течения. Синяя линия на рисунке обозначает ось вращения аккретора, зеленая – вектор магнитного поля, черными линиями показаны силовые линии магнитного поля. Внизу каждой панели указано время от начала расчета в орбитальных периодах. Начало отсчета времени совпадает с нулевой фазой периода биений.

Рис. 1.

Изоповерхности логарифма плотности $\rho $ в окружающей аккретор области при переключении течения с южного магнитного полюса на северный. Решение показано на орбитальной фазе 0.75. Внизу каждой панели указан момент времени в орбитальных периодах от начала расчета, совпадающего с нулевой фазой периода биений.

Структура течения в начальные моменты времени $t = 0$ и $t = 1{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ соответствует режиму аккреции только на один южный полюс. Струя вещества из ${{L}_{1}}$ начинает движение в орбитальной плоскости системы по баллистической траектории, однако, достигнув магнитосферы аккретора, продолжает движение уже вдоль магнитных силовых линий. Интересно отметить, что струя характеризуется заметным утолщением в месте ее подхода к магнитосфере белого карлика. В момент времени $t = 2{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ струя начинает перераспределяться между двумя полюсами. При этом течение на северный магнитный полюс имеет на порядок меньшую плотность, чем на южный. По мере развития процесса переключения происходит увеличение потока на северный полюс, что на панелях рис. 1, соответствующих моментам времени $t = 3{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ и $t = 4{{P}_{{{\text{orb}}}}}$, выглядит как формирование арки плотного вещества во внутренней области магнитосферы аккретора. Этот процесс завершается в момент времени $t = 5{{P}_{{{\text{orb}}}}}$. На временнóм отрезке $t = (5{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 7){{P}_{{{\text{orb}}}}}$ происходит дальнейшее увеличение плотности потока на северный полюс и его расширение. Рост плотности вызывает увеличение динамического давления вещества и его накопление в окрестности магнитных полюсов. Следствием этого процесса является уменьшение внутреннего радиуса арки.

На рис. 2 представлено решение для моментов времени $t = (8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 9){{P}_{{{\text{orb}}}}}$. Данный интервал характеризуется быстрыми изменениями в структуре течения, поэтому для него представлены результаты расчетов с более мелким шагом. На этом интервале времени происходит собственно переход струи от южного магнитного полюса на северный, что визуально выглядит как размыкание и исчезновение арки. Отрыв течения от южного полюса происходит за время, равное примерно $0.5{{P}_{{{\text{orb}}}}}$. При этом стоит отметить, что плотность вещества в этой части струи изменяется незначительно, тогда как ее сечение стремительно уменьшается. На нижней правой панели рис. 2 показано состояние системы на момент времени $t = 9{{P}_{{{\text{orb}}}}}$, который завершает собой процесс переключения. Отметим, что при полном переключении струи на северный магнитный полюс наблюдается ее остаточное уширение в начале магнитной части траектории (в области взаимодействия с магнитосферой). Плотность этого потока заметно выше, чем было в начале переключения. Это связано с уменьшением расстояния от северного магнитного полюса до точки Лагранжа ${{L}_{1}}$. Также можно отметить, что внутренний радиус арки, начиная со стадии накопления вещества и до момента ее полного разрушения, оставался неизменным.

Рис. 2.

То же, что и рис. 1, но для моментов времени $t = (8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 9){{P}_{{{\text{orb}}}}}$.

На рис. 3 и 4 представлены изоповерхности логарифма плотности $\rho $ для тех же значений, что и на рис. 1 и 2, но для процесса переключения течения с северного на южный магнитный полюс. В данном переключении картина течения аналогична предыдущему процессу и отличается от него только временной шкалой. Так, аккреция на южный полюс начинается позже (примерно на $1{{P}_{{{\text{orb}}}}}$) и фактически происходит в момент времени $t = 3{{P}_{{{\text{orb}}}}}$. Сам процесс переключения (уменьшение аккреции на северный магнитный полюс и размыкание арки) также протекает в интервале времени $t = (8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 9){{P}_{{{\text{orb}}}}}$ и длится почти вдвое дольше по сравнению с предыдущим процессом переключения – около $1{{P}_{{{\text{orb}}}}}$.

Рис. 3.

Изоповерхности логарифма плотности $\rho $ в окружающей аккретор области при переключении течения с северного магнитного полюса на южный. Решение показано на орбитальной фазе 0.25. Внизу каждой панели указан момент времени в орбитальных периодах от начала расчета, совпадающего с фазой 0.5 периода биений.

Рис. 4.

То же, что и рис. 3, но для моментов времени $t = (8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 9){{P}_{{{\text{orb}}}}}$.

На рис. 1–4 также заметно формирование пояса вещества в плоскости магнитного экватора. Оно может быть связано с действием эффекта магнитной ловушки. Механизм образования этого пояса аналогичен процессу формирования радиационных поясов у планет с дипольной конфигурацией поля. Частицы плазмы струи, обладающие энергией выше некоторого критического уровня, при своем движении вдоль магнитных силовых линий достигают полюса и тем самым создают аккреционный поток. Частицы с меньшей энергией совершают затухающие колебания вдоль линий поля между магнитными полюсами, останавливаясь в плоскости магнитного экватора. Они и формируют наблюдаемый пояс. За счет медленного дрейфа по долготе экватора скапливающееся вещество распределяется по всей его окружности.

3.2. Горячие пятна на поверхности аккретора

Аккреция вещества на магнитные полюса должна приводить к увеличению температуры в этих зонах и формированию так называемых горячих пятен. Для целей определения положений зон энерговыделения, их размера, а также исследования дрейфа в процессах переключения магнитных полюсов, мы для всех имеющихся расчетов построили карты распределения температуры по поверхности аккретора.

Для расчета температуры использовалась методика из работы [30], которую мы уже успешно применяли ранее при анализе структуры течения в асинхронном поляре BY Cam [18], в затменном поляре V808 Aur [29], а также в исследуемой системе CD Ind в рамках стационарной модели [14]. В модели предполагается, что температура поверхности белого карлика состоит из двух частей: эффективной температуры в спокойном состоянии и температурной добавки, пропорциональной энергии аккрецирующего вещества. В спокойном состоянии излучение аккретора предполагается чернотельным и его эффективный поток определяется по закону Стефана–Больцмана. При наличии аккреции вещества к эффективному потоку добавляется излучение, в которое частично переходит кинетическая и тепловая энергия падающего вещества. Плотность потока энергии аккрецирующего вещества в точке ${{{\mathbf{R}}}_{{\text{a}}}}$ поверхности аккретора определяется выражением:

(11)
$q({{{\mathbf{R}}}_{{\text{a}}}}) = - \rho {\mathbf{v}} \cdot {{{\mathbf{n}}}_{{\text{a}}}}\left( {\varepsilon + \frac{{{{{\mathbf{v}}}^{2}}}}{2} + \frac{P}{\rho }} \right),$
где, как и ранее, $\rho $ – плотность, ${\mathbf{v}}$ – скорость, $\varepsilon $ – удельная внутренняя энергия, $P$ – давление, ${{{\mathbf{n}}}_{{\text{a}}}}$ – вектор нормали к поверхности белого карлика. Знак “минус” учитывает отрицательную величину нормального компонента скорости падающего вещества ${\mathbf{v}} \cdot {{{\mathbf{n}}}_{{\text{a}}}} < 0$. При этом величина плотности потока энергии $q({{{\mathbf{R}}}_{{\text{a}}}})$ оказывается положительной. Таким образом, локальная температура $T({{{\mathbf{R}}}_{{\text{a}}}})$ в данной точке поверхности должна удовлетворять следующему соотношению:
(12)
$T({{{\mathbf{R}}}_{{\text{a}}}}) = \mathop {\left[ {T_{{\text{a}}}^{4} + \frac{{Kq({{{\mathbf{R}}}_{{\text{a}}}})}}{{{{\sigma }_{{{\text{SB}}}}}}}} \right]}\nolimits^{1/4} ,$
где ${{\sigma }_{{{\text{SB}}}}}$ – постоянная Стефана–Больцмана, $K$ – коэффициент переработки энергии падающего вещества в излучение. Согласно теореме вириала, его значение мы приняли равным 0.5.

На рис. 5–8 представлены рассчитанные распределения температуры по поверхности аккретора в те же моменты времени, что и на рис. 1–4. Для наглядности на поверхность аккретора нанесена сетка с шагом по долготе и широте 5°. Левое полушарие каждой панели соответствует полусфере белого карлика, содержащей северный магнитный полюс. При этом магнитный полюс находится точно на срединном меридиане полушария. На правом полушарии представлена противоположная полусфера белого карлика, содержащая южный магнитный полюс. Положения северного и южного магнитных полюсов отмечены синим и красным шариками соответственно. На всех рисунках использовалась одна шкала температуры в логарифмическом масштабе, где белому цвету соответствует эффективная температура аккретора ${{T}_{{\text{a}}}}$ в спокойном состоянии, а черному цвету – максимальная расчетная температура ${{T}_{{{\text{a}},{\text{max}}}}} = 1.2 \times {{10}^{6}}$ К.

Рис. 5.

Распределение температуры по поверхности белого карлика для различных моментов времени в процессе переключения аккреции с южного магнитного полюса на северный. Левое полушарие каждой панели соответствует области, включающей северный магнитный полюс, правое полушарие – южный магнитный полюс. Внизу каждой панели указан момент времени в орбитальных периодах от начала расчета, совпадающего с нулевой фазой периода биений.

Рис. 6.

То же, что и на рис. 5, но для моментов времени $t = (8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 9){{P}_{{{\text{orb}}}}}$.

Рис. 7.

Распределение температуры по поверхности белого карлика для различных моментов времени в процессе переключения аккреции с северного магнитного полюса на южный. Левое полушарие каждой панели соответствует области, включающей северный магнитный полюс, правое полушарие – южный магнитный полюс. Внизу каждой панели указан момент времени в орбитальных периодах от начала расчета, совпадающего с фазой 0.5 периода биений.

Рис. 8.

То же, что и на рис. 6, но для моментов времени $t = (8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 9){{P}_{{{\text{orb}}}}}$.

Для целей интерпретации наблюдений значительный интерес представляет соответствие положения зон энерговыделения общей структуре и геометрии течения. Анализ представленных на рис. 5, 6 распределений температуры и показанных на рис. 1, 2 распределений плотности позволяет сделать выводы как об изменении размеров горячих пятен, так и об их дрейфе в процессе переключения аккреции с южного магнитного полюса на северный. Действительно, в моменты времени $t = (0{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3){{P}_{{{\text{orb}}}}}$, когда аккреция идет преимущественно на южный полюс, на северном полюсе наблюдается лишь слабо выраженная область аккреции вещества из общей оболочки системы. Горячее пятно расположено чуть левее южного полюса и довольно плотно примыкает к нему. Однако даже здесь видно, что с течением времени площадь горячего пятна уменьшается примерно вдвое уже на третьем орбитальном периоде, а положение смещается левее магнитного полюса. На временнóм интервале $t = (4{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 7){{P}_{{{\text{orb}}}}}$ формируется арка вещества во внутренней области магнитосферы белого карлика. В это же время видны постепенное образование северной зоны аккреции и одновременное отклонение обеих зон энерговыделения от полюсов, что в результате приводит к их взаимному сближению по мере уменьшения внутреннего радиуса арки. При этом отклонение северного пятна от полюса составляет около 25°, а южного – около 15°. В момент времени $t = 8{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ (рис. 6) начинается фаза быстрого переключения, когда струя отрывается от южного магнитного полюса и полностью замыкается на северном полюсе. Из представленной температурной карты видно, что при этом северное пятно сохраняет свою площадь и положение относительно полюса. Южное пятно заметно уменьшается и в момент времени $t = 8.5{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ фактически исчезает. Его температура теперь определяется аккрецией вещества из общей оболочки системы.

Формирование зон энерговыделения при переключении течения с северного полюса на южный (рис. 7, 8) происходит практически по тому же сценарию, что и для предыдущего переключения. На интервале времени $t = (0{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 5){{P}_{{{\text{orb}}}}}$ площадь северного пятна, как и его положение относительно полюса, почти не меняется. В южном полушарии в этот момент наблюдается слабая область аккреции вещества из общей оболочки системы, симметричная относительно полюса. В момент времени $t = 6{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ видно начало образования южной зоны энерговыделения, при этом северная зона начинает смещаться влево от полюса. Следующий орбитальный период характеризуется завершением формирования арки аккрецирующего вещества во внутренней области магнитосферы белого карлика. На этом этапе горячие пятна, как и в предыдущем случае, сближаются, угол их отклонения от полюсов составляет 25° для северного и 15° – для южного пятна. Полный отрыв струи от северного магнитного полюса происходит в момент времени $t = 8.8{{P}_{{{\text{orb}}}}}$, что на 0.3 орбитальных периода позже, чем при первом переключении. После замыкания аккреционного потока на южный полюс площадь зоны энерговыделения вокруг него остается постоянной, а северная область аккреции становится симметричной относительно полюса.

Из представленных распределений температуры легко получить информацию о движении пятен в процессах переключения. С учетом собственного вращения аккретора угол поворота магнитного диполя за время одного переключения составляет около 35°, что соответствует такому же смещению магнитных полюсов относительно начальной фазы переключения. Кроме того, обнаруживается дрейф пятен, вызванный собственно процессом переключения. В начальный момент времени $t = 0$ горячие пятна расположены симметрично по отношению к своим полюсам, а непосредственно в момент переключения полюсов ($t = 8{{P}_{{{\text{orb}}}}}$) они максимально отклонены от этого положения. При этом северное горячее пятно совершает движение от полюса на угол 25°, а южное – на 15°.

3.3. Вариации темпа аккреции

Изменения светимости рассматриваемой двойной системы в процессах переключения вызваны вариациями темпа аккреции. Полный темп аккреции может быть рассчитан по следующей формуле:

(13)
$\dot {M} = - \oint\limits_S {\rho {\mathbf{v}} \cdot {{{\mathbf{n}}}_{{\text{a}}}}dS,} $
где интегрирование проводится по всей поверхности $S$ аккретора. Чтобы проанализировать отличия в темпах аккреции на разные полюса, мы, наряду с определением полного темпа аккреции, провели расчеты и для каждого из полушарий по отдельности, представленных на рис. 5–8. На рис. 9 приведены полученные изменения темпа аккреции во времени. Синей линией показано изменение темпа аккреции для северного магнитного полюса, красной – для южного, а полный темп по всей поверхности белого карлика изображен черной линией.

Рис. 9.

Изменение темпа аккреции при переключении течения с южного магнитного полюса на северный (верхняя панель) и с северного на южный (нижняя панель). По оси $x$ отложены моменты времени в орбитальных периодах, по оси $y$ – значение темпа аккреции в единицах ${{10}^{{ - 9}}}\;{{M}_{ \odot }}$/год. Начало отсчета времени соответствует 0.0 (верхняя панель) и 0.5 (нижняя панель) фазам периода биений. Синяя линия соответствует северному горячему пятну, красная – южному. Черной линией показан полный темп аккреции.

Отметим, что в используемой модели темп массообмена является константой, что для поляра подразумевает и постоянный темп аккреции. Тем не менее в расчетах видны достаточно значимые вариации полного темпа аккреции. Фактически это означает, что в системе существует резервуар, где на короткое время может накапливаться вещество с последующим его выпадением на белый карлик. В принципе, сама струя может играть роль такого резервуара, так как при рассмотрении структуры течения мы видели формирование арки и утолщений в струе в области взаимодействия с магнитосферой. Кроме того, в системе наблюдается формирование оболочки (о чем свидетельствует аккреция на не основной в данный момент полюс), которая также может накапливать и сбрасывать вещество.

Важно отметить, что вариации темпов аккреции имеют различные свойства для разных процессов переключения. В течение девяти орбитальных периодов переключения с южного полюса на северный (рис. 9, верхняя панель) значение полного темпа аккреции остается в пределах $(4.5{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 5.0) \times {{10}^{{ - 9}}}\;{{M}_{ \odot }}$/год. Однако после полного замыкания потока вещества на северный полюс в момент времени $t = 9{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ происходит резкое, в 1.5 раза, увеличение темпа аккреции. Как следует из анализа результатов расчетов, возрастание темпа аккреции связано с увеличением плотности вещества, при этом нормальный компонент скорости изменяется незначительно. Рост плотности, в свою очередь, вызван сбросом накопленного в арке вещества на северный полюс после отрыва течения от южного магнитного полюса.

При обратном переключении полюсов с северного на южный (рис. 9, нижняя панель) наблюдается другая картина изменения темпа аккреции. В моменты времени $t = 1{{P}_{{{\text{orb}}}}}$, $t = 3{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ и $t = 5{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ виден локальный рост темпа аккреции. Возможно, это связано с другим характером формирования арки вещества и многоступенчатым процессом его накопления. В отличие от предыдущего переключения, сброс накопленного вещества, во-первых, происходит на все еще активное северное пятно и, во-вторых, на начальных стадиях образования арки, в момент времени $t = 5{{P}_{{{\text{orb}}}}}$, а не после замыкания течения на южное пятно. Отрыв струи от северного полюса также сопровождается заметными колебаниями темпа аккреции на интервале времени $t = (8{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 9){{P}_{{{\text{orb}}}}}$. Размыкание течения происходит частями, с небольшим локальным увеличением темпа аккреции на северный полюс. По завершении переключения величина темпа аккреции на южный полюс плавно возвращается к значению $(5.5 - 6.0) \times {{10}^{{ - 9}}}{{M}_{ \odot }}$/год.

3.4. Синтетические кривые блеска

Очевидно, что для целей сравнения с наблюдениями необходимо преобразовать полученные из МГД расчета изменения темпов аккреции в кривые блеска двойной системы. Отметим, что в представленной модели положение магнитной оси диполя непрерывно меняется как от одного орбитального периода к другому, так и внутри каждого периода в соответствии с собственным вращением аккретора. Однако при выполнении численного расчета результаты сохранялись только в точках шкалы времени, совпадающих с началом и концом каждого орбитального периода, поскольку основной целью вычислений являлась фиксация момента переключения полюсов, который соответствует 9-му орбитальному периоду. На остальных периодах исследовался общий тренд поведения кривой блеска и темпа аккреции. В течение 9-го периода результаты расчета выводились уже с более подробным шагом вывода, что позволило детально изучить процесс переключения.

При синтезе кривых блеска болометрический поток излучения ${{F}_{{{\text{bol}}}}}$ для каждого компонента двойной системы рассчитывался по формуле:

(14)
${{F}_{{{\text{bol}}}}} = \int {[{{\sigma }_{{{\text{SB}}}}}{{T}^{4}} + Kq({{{\mathbf{R}}}_{{\text{a}}}})]} cos\beta dS,$
где $T$ – эффективная температура звезды, для донора $T = {{T}_{{\text{d}}}}$, для аккретора $T = {{T}_{{\text{a}}}}$, $\beta $ – угол между нормалью к поверхности звезды и направлением на наблюдателя. Полный поток от двойной системы вычисляется как сумма потоков от донора и аккретора.

В используемой модели мы не учитываем светимость струи, а также эффекты, связанные с нагревом вещества струи в аккреционной колонке. Проведенные нами оценки показали, что полная светимость струи меньше светимости донора, который, в свою очередь, вносит вклад в общую светимость системы на 3 порядка меньше по сравнению с горячими пятнами и на форму кривой блеска заметного влияния не оказывает. Подчеркнем, что в нашей модели учитываются неадиабатические процессы радиационного нагрева и охлаждения, поэтому дополнительного свечения в областях сжатия струи не возникает.

При расчете кривых блеска учитывалось затмение всем веществом, находящимся в расчетной области. Оптически толстым, влияющим на форму кривой блеска, оказывается только вещество струи.

Рассчитанные болометрические кривые блеска с учетом поглощения излучения в расчетной области приведены на рис. 10 и 11. На графиках по оси $x$ отложено время в орбитальных периодах от начала расчета, по оси $y$ – абсолютное значение потока излучения от поляра в единицах ${{10}^{{33}}}$ эрг/с. Красными линиями показана светимость системы без учета северного горячего пятна, т.е. фактически светимость южного горячего пятна с дополнительным вкладом донора, синими линиями – светимость северного горячего пятна с учетом вклада донора, зелеными линиями обозначена полная светимость системы. Пунктирной линией показана светимость системы без учета поглощения излучения в расчетной области. Следует учитывать, что вид кривой блеска на 9-м орбитальном периоде, который характеризуется быстрыми изменениями структуры течения, будет зависеть от выбранного начала отсчета по временнóй шкале. На рис. 10 за начало отсчета принята фаза 0.0 периода биений, а на рис. 11 – фаза 0.5 периода биений.

Рис. 10.

Синтетические болометрические кривые блеска для переключения с южного магнитного полюса на северный с учетом поглощения в расчетной области. Красной линией показана светимость южного пятна, синей – северного пятна, зеленой – полная светимость поляра, пунктирной – без учета поглощения в расчетной области. По оси $x$ отложены моменты времени в орбитальных периодах, по оси $y$ – абсолютное значение потока в единицах ${{10}^{{33}}}$ эрг/с. Начало отсчета времени соответствует фазе 0.0 периода биений.

Рис. 11.

То же, что и рис. 10, но для переключения с северного магнитного полюса на южный. Начало отсчета времени соответствует фазе 0.5 периода биений.

При переключении с южного полюса на северный (рис. 10) на протяжении первых четырех периодов наблюдается примерно постоянная светимость и системы, и обоих пятен. Начиная с 4-го периода и вплоть до момента переключения $t = 8.5{{P}_{{{\text{orb}}}}}$ наблюдается плавный спад светимости южного горячего пятна. Поток излучения от северного пятна на этом же интервале времени показывает заметный рост. На начальном этапе его величина соответствует аккреции вещества из общей оболочки системы, а к середине 8-го орбитального периода светимость северного пятна становится равной южному. Подобное поведение светимости пятен является отражением процесса формирования арки вещества в магнитосфере аккретора и замыканием течения на второе пятно. В момент переключения струи (в точке $t = 8.5{{P}_{{{\text{orb}}}}}$) происходит резкое повышение яркости северного пятна, которое совпадает с фазой сброса накопленного в арке вещества на данное пятно. Величина потока излучения на этом этапе увеличивается в 14 раз по сравнению с начальной светимостью в точке $t = 0$, достигая значения $2.7 \times $ × 1033 эрг/с. Южное пятно при этом демонстрирует ускоренный спад яркости, связанный с разрывом течения, и к началу 10-го орбитального периода его состояние соответствует аккреции вещества из общей оболочки системы. Характерное значение потока излучения от северного и южного пятен для этого состояния составляет около $0.2 \times {{10}^{{33}}}$ эрг/с.

При обратном переключении течения с северного магнитного полюса на южный (рис. 11) наблюдается аналогичная картина изменения светимости пятен. Поток излучения от северного пятна, начиная с момента времени $t = 4{{P}_{{{\text{orb}}}}}$, плавно спадает, однако во второй половине как 3-го, так и 5-го орбитального периодов заметно небольшое локальное увеличение светимости северного пятна относительно общего тренда кривой блеска, связанное со сбросом накопленного в арке вещества на данную зону энерговыделения. На графике темпа аккреции (рис. 9, нижняя панель) эти пики представлены более наглядно. Поскольку светимость пятен в значительной степени зависит от величины нормального компонента скорости аккрецирующего вещества (слагаемое ${{{\mathbf{v}}}^{2}}{\text{/}}2$ в формуле (11)) и в меньшей степени определяется его плотностью (потоком массы), кривые блеска выглядят более сглаженными по сравнению с графиком темпа аккреции. Кроме того, плавность кривых блеска определяется изменением величины угла $\beta $ в (14), под которым в конкретный момент времени горячее пятно видно земному наблюдателю. В данном случае сброс накопленного вещества происходит в несколько этапов с незначительным увеличением плотности потока, при этом его скорость не претерпевает заметных колебаний, что в результате не приводит к резкому росту яркости северного пятна. По мере удаления северного полюса от внутренней точки Лагранжа светимость соответствующего пятна продолжает падать и к началу 10-го орбитального периода достигает значения, характерного для состояния аккреции вещества из общей оболочки поляра. Светимость южного пятна плавно нарастает вплоть до момента переключения, где происходит небольшой скачок.

Несмотря на качественную схожесть наблюдаемых изменений в структуре течения и в соответствующих кривых блеска при переключении с одного полюса на другой, следует отметить и значительные количественные отличия. В первую очередь, это касается светимости в режиме однополюсной аккреции (первые 4 периода из каждого расчета и момент времени после завершения переключения): полная светимость системы с аккрецией на южный полюс составляет примерно $2 \times {{10}^{{33}}}$ эрг/с, для аккреции на северный полюс – около $3 \times {{10}^{{33}}}$ эрг/с. Это прямое отражение факта смещения диполя в системе. Еще более значимые отличия наблюдаются в моменты переключения. При переключении с южного полюса на северный (рис. 10) светимость северного пятна в начале 9-го периода резко возрастает до величины $2.7 \times {{10}^{{33}}}$ эрг/с, а яркость южного пятна во второй половине этого периода падает до $0.2 \times {{10}^{{33}}}$ эрг/с. При обратном переключении (рис. 11) светимость южного пятна на том же временном интервале возрастает до $2 \times {{10}^{{33}}}$ эрг/с, а северного в конце этого периода снижается до $0.3 \times {{10}^{{33}}}$ эрг/с. Как видно из приведенных величин, отношение светимостей пятен в первом случае равно 14, а во втором – 6, причем оно соответствует резкому изменению потоков излучения вследствие перезамыкания течения с одного полюса на другой. Для сравнения, в состоянии однополюсной аккреции максимумы потоков излучения от пятен отличаются примерно в 2–2.5 раза и это соотношение сохраняется в интервале времени между переключениями. С точки зрения земного наблюдателя момент переключения, особенно с южного полюса на северный, когда светимость системы увеличивается в 14 раз, будет выглядеть как внезапная вспышка в течение одного орбитального периода измерений.

На основе анализа приведенных соотношений нами выдвинуто предположение о том, что их можно использовать для оценки величины смещения магнитного диполя относительно центра аккретора вдоль оси его вращения. Очевидно, что в случае несмещенного диполя в силу равноудаленности магнитных полюсов от экватора первичного компонента и одинакового прохождения около внутренней точки Лагранжа моменты переключения течения между полюсами будут характеризоваться равными изменениями потоков излучения от горячих пятен. Кривые блеска окажутся симметричными относительно момента переключения. Смещение диполя вдоль оси вращения белого карлика ниже орбитальной плоскости поляра должно приводить к различию параметров магнитных полюсов, что отразится и на поведении кривой блеска в момент переключения. Таким образом, задавая определенную величину смещения диполя и синтезируя соответствующие ей кривые блеска, можно построить зависимость отношения потоков излучения от горячих пятен в моменты переключения от параметра смещения. Это позволит решить и обратную задачу: если по наблюдательным кривым блеска оценить отношение потоков в указанный момент времени, то на основе полученной модельной функции можно предсказать величину смещения диполя и тем самым описать вероятную конфигурацию магнитного поля аккретора.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследована структура течения в асинхронном поляре CD Ind в моменты переключения аккреции с одного магнитного полюса белого карлика на другой. При этом предполагалось, что собственное магнитное поле первичного компонента является дипольным, но его центр смещен относительно центра звезды на половину ее радиуса. Такое предположение было выдвинуто в работе [13] на основе интерпретации наблюдательных данных, полученных космической обсерваторией TESS (Transiting Exoplanet Survey Satellite [31]). Для выявления динамики течения мы использовали нестационарную модель, которая учитывает собственное вращение аккретора.

Численное моделирование выявило качественные изменения структуры течения в процессах переключения аккреции. В частности, наблюдались увеличение сечения струи в начале магнитной части траектории и формирование арки плотного вещества во внутренней области магнитосферы белого карлика, обращенной к донору. Образование арки происходит примерно в течение 5 орбитальных периодов. Далее ее внутренний радиус начинает уменьшаться, что соответствует сближению горячих пятен на поверхности аккретора. На 9-м орбитальном периоде происходит быстрый процесс размыкания струи с предыдущим магнитным полюсом и формирование новой однополюсной аккреции. Отметим, что процессы собственно переключения имеют различную длительность: отрыв струи от южного полюса происходит за половину орбитального цикла системы, а от более сильного северного – примерно за период.

Построенные по результатам численного моделирования карты температуры поверхности первичного компонента показывают заметный дрейф горячих пятен в процессах переключения полюсов. Смещение зон энерговыделения происходит в основном по долготе в среднем на 15°–25°, при этом наблюдается их взаимное сближение при формировании арки вещества в магнитосфере белого карлика.

Из анализа рассчитанных темпов аккреции следует, что в моменты переключения в системе происходят процессы накопления вещества в магнитосфере белого карлика. Расчеты показали, что сброс накопленной материи происходит преимущественно на более сильный северный магнитный полюс. При этом при переключении с южного полюса на северный это приводит к резкому росту светимости северного горячего пятна. Обратное переключение характеризуется многоступенчатым накоплением вещества, а его основная часть также выпадает на северное пятно перед фазой собственно переключения, однако в этом случае резких изменений светимости горячих пятен не наблюдается.

Синтетические болометрические кривые блеска показали, что в системе со смещенным диполем существенно (примерно в 2 раза) отличаются светимости в периоды однополюсной аккреции. В моменты же переключения аккреции быстрые колебания светимости могут отличаться в 3.5 раза в зависимости от направления процесса. Это дает нам основания предположить, что из сравнения наблюдательных и синтетических кривых блеска, на основе выявленной зависимости, возможно разработать метод оценки величины смещения диполя по разнице светимостей северного и южного горячих пятен в моменты переключения аккреции.

Список литературы

  1. S. Vennes, D. T. Wickramasinghe, J. R. Thorstensen, D. J. Christian, and M. J. Bessell, Astron. J. 112, 2254 (1996).

  2. A. Schwope, D. H. Buckley, D. O’Donoghue, G. Hasinger, J. Trümper, and W. Voges, Astron. and Astrophys. 326, 195 (1997).

  3. G. Ramsay, D. H. Buckley, M. Cropper, and M. K. Harrop-Allin, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 303, 96 (1999).

  4. G. Ramsay, D. H. Buckley, M. Cropper, M. K. Harrop-Allin, and S. Potter, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 316, 225 (2000).

  5. G. Myers, J. Patterson, E. de Miguel, F.-J. Hambsch, et al., Publ. Astron. Soc. Pacific 129, 4204 (2017).

  6. A. R. King, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 261, 144 (1993).

  7. G. A. Wynn and A. R. King, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 275, 9 (1995).

  8. G. A. Wynn, A. R. King, and K. Horne, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 286, 436 (1997).

  9. A. R. King and G. A. Wynn, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 310, 203 (1999).

  10. A. J. Norton, J. A. Wynn, and R. V. Somerscales, Astrophys. J. 614, 349 (2004).

  11. N. R. Ikhsanov, V. V. Neustroev, and N. G. Beskrovnaya, Astron. and Astrophys. 421, 1131 (2004).

  12. A. J. Norton, O. W. Butters, T. L. Parker, and G. A. Wynn, Astrophys. J. 672, 524 (2008).

  13. P. Hakala, G. Ramsay, S. B. Potter, A. Beardmore, D. H. Buckley, and G. Wynn, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 486, 2549 (2019).

  14. A. V. Sobolev, A. G. Zhilkin, D. V. Bisikalo, and D. A. H. Bu-ckley, Astron. Rep. 64, 467 (2020).

  15. А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, А. А. Боярчук, Успехи физ. наук 182, 121 (2012).

  16. Д. В. Бисикало, А. Г. Жилкин, А. А. Боярчук, Газодинамика тесных двойных звезд (М.: Физматлит, 2013).

  17. А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Астрон. журн. 87(12), 1155 (2010).

  18. А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, П. А. Масон, Астрон. журн. 89(4), 291 (2012).

  19. А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Астрон. журн. 86(5), 475 (2009).

  20. A. G. Zhilkin and D. V. Bisikalo, Adv. Space Research. 45, 437 (2010).

  21. А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Астрон. журн. 87(9), 913 (2010).

  22. Д. В. Бисикало, А. Г. Жилкин, П. В. Кайгородов, В. А. Устюгов, М. М. Монтгомери, Астрон. журн. 90(5), 366 (2013).

  23. В. А. Устюгов, А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Астрон. журн. 90(11), 885 (2013).

  24. А. М. Фатеева, А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Астрон. журн. 92(12), 977 (2015).

  25. П. Б. Исакова, А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Астрон. журн. 92(9), 720 (2015).

  26. П. Б. Исакова, Н. Р. Ихсанов, А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Н. Г. Бескровная, Астрон. журн. 93(5), 474 (2016).

  27. П. Б. Исакова, А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, А. Н. Се-мена, М. Г. Ревнивцев, Астрон. журн. 94(7), 566 (2017).

  28. Е. П. Курбатов, А. Г. Жилкин, Д. В. Бисикало, Астрон. журн. 96(1), 27 (2019).

  29. А. Г. Жилкин, А. В. Соболев, Д. В. Бисикало, М. М. Габдеев, Астрон. журн. 96(9), 748 (2019).

  30. M. M. Romanova, G. V. Ustyugova, A. V. Koldoba, J. V. Wick, and R. V. E. Lovelace, Astrophys. J. 610, 920 (2004).

  31. G. R. Ricker, J. N. Winn, R. Vanderspek, D. W. Latham, et al., J. Astron. Tel. Instr. and Systems 1, id. 014003 (2015).

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Астрономический журнал

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал