Астрономический журнал, 2021, T. 98, № 9, стр. 707-721

1. ВВЕДЕНИЕ

В работах [1, 2] рассмотрена задача о пространственном движении пассивно-гравитирующего тела (звезды или центра масс шарового скопления – ШС) внутри вращающейся эллиптической галактики (ЭГ). ЭГ при этом рассматривается как двухслойное эллипсоидальное тело: ее светящаяся часть – трехосный эллипсоид, а пространство между границами ее светящейся части и гало – гомеоид, заполненный однородной темной материей.

В работе [1] светящаяся часть эллиптической галактики (СЧ ЭГ) считается однородным трехосным эллипсоидом, а в работе [2] для нее используется так называемый “астрофизический закон” распределения плотности. Рассмотренную в работе [1] модель ЭГ назовем моделью 1, а модель в работе [2] – моделью 2. В рамках моделей 1 и 2 найден аналог интеграла Якоби и определена область возможности движения звезды (или центра масс ШС). Установлены тип и устойчивость в смысле Ляпунова найденных стационарных решений – точек либрации, и построены поверхности нулевой скорости.

Задача о пространственном движении звезды внутри (вблизи) шарового скопления (ШС), принадлежащего неоднородной вращающейся ЭГ, рассмотрена в работе [3]. В движении звезды вблизи ШС учтены возмущения, вызываемые притяжением ЭГ, которая совместно с гало представляет собой двухслойное тело [1]. Движение звезды вблизи ШС происходит вне светящейся части ЭГ, но внутри гомеоида. Уточнено и конкретизировано понятие “вблизи ШС” как “сфера действия” (сфера тяготения и гравитационная сфера Хилла). В связи с введением понятий сферы действия рассмотрены два варианта движения звезды: внутри и вне сферы действия шарового скопления и определены области возможности движения. Найдены квазиинтеграл и поверхности минимальной энергии, которые при определенных условиях преобразуются в аналог интеграла Якоби и поверхности нулевой скорости соответственно.

Полученные результаты в работах [1–3] применены к модельным эллиптическим галактикам с параметрами, точно совпадающими с параметрами эллиптических галактик NGC 4472 (M 49), NGC 4636 и NGC 4374 (М 84) и приведены в виде рисунков и таблиц.

При нахождении точек либрации и исследовании их на устойчивость, потенциалы СЧ ЭГ и гомеоида в ряд не разлагаются, а используются их точные выражения.

В настоящей работе рассматриваются три новые модели ЭГ, согласно которым галактика вместе с гало считается двухслойным неоднородным эллипсоидом вращения – сфероидом. При этом внешний и внутренний слои считаются подобными и концентрическими, их центры совпадают с центром ЭГ. СЧ ЭГ считается внутренним слоем и представляет собой неоднородный эллипсоид вращения (сфероид) с гомотетическим (сфероидальным) распределением плотности, или слоисто-неоднородный сфероид.

В СЧ ЭГ преобладает барионная масса (БМ) с   “астрофизическим законом” распределения плотности. Внешняя часть представляет собой неоднородный сферический слой со сферическим распределением плотности (модель 3) или сфероидальный слой (условно гомеоид) со сфероидальным распределением плотности (модель 4). Согласно модели 3 внешний слой и гало галактики ограничены сферой радиуса, равного радиус-шкале ЭГ, а согласно модели 4 они ограничены сфероидальной поверхностью с большой полуосью, равной радиус-шкале галактики. Считается, что сферический слой и условный гомеоид в основном состоят из темной материи (ТМ) и в зависимости от ее наличия во внутренних (центральных) областях ЭГ, в моделях 3 и 4 рассматриваются два варианта. Вариант (а), в котором основная часть ТМ находится вне СЧ ЭГ [4], и вариант (b), в котором содержание ТМ во внутренних областях ЭГ сравнимо с содержанием БМ [5, 6]. При этом определяются условия сшивки потенциалов на границе раздела СЧ ЭГ и сферического слоя или условного гомеоида.

Как справедливо отмечено в работе [4], природа ТМ неизвестна, и нет ясного понимания ее физической взаимосвязи с наблюдаемыми астрономическими объектами. Тем не менее ее наличие в галактиках признается и косвенно подтверждается. В данной работе смоделированы три типа ЭГ вместе с гало, которые не могут претендовать на полноту охвата проблемы ТМ в целом.

Согласно модели 5, ЭГ вместе с гало (вари-ант 1) или без него (вариант 2) представляет собой слоисто-неоднородный сфероид, состоящий из БМ и ТМ. В модели 5 не существует границы раздела между СЧ ЭГ и условного гомеоида, поэтому выполнение условий сшивки потенциалов не рассматривается. При этом в моделях 3–5 условные границы (видимые размеры) СЧ ЭГ определяются по значениям величин ${{D}_{{25}}}$ и ${{R}_{{25}}}$ [7].

Помимо проблемы наличия или отсутствия ТМ во внутренних областях ЭГ, существует другая проблема, а именно, истинная пространственная ориентация галактики, которая нам неизвестна. Для построения динамической теории равновесия и теории происхождения ЭГ выяснение истинной формы таких галактик имеет важное значение. Как показано в [8], истинную форму ЭГ можно определить на основе двух наблюдательных тестов: 1) совпадает ли ось вращения с видимой малой осью галактики и 2) соосны ли изофоты галактики. Применение этих тестов позволяет судить более уверенно о форме ЭГ и свидетельствует о существовании ЭГ как в виде сжатых или вытянутых сфероидов, так и трехосных эллипсоидов. Показано, что если ЭГ имеет форму вытянутого сфероида или трехосного эллипсоида, то ось вращения будет, как правило, наблюдаться несовпадающей с видимой малой осью, а изофоты галактики окажутся несоосными. Если же галактика имеет форму сжатого сфероида, то проекция малой оси на картинную плоскость совпадает с направлением оси вращения при любой ориентации галактики относительно наблюдателя и не нарушается соосность изофот.

В работе [9] разработан и использован новый метод решения обратной геометрической задачи восстановления формы эллипсоидальных тел через их проекцию (лимб) на картинную плоскость. С помощью этого метода определены полуоси карликовой планеты Хаумеи (Haumea), как трехосного эллипсоида. После чего для каждого значения фотометрических параметров карликовой планеты определены ее форма и средняя плотность, а также ориентация относительно ее кольца и орбит спутников. Оказалось, что плоскости кольца планеты и орбиты ее спутника Хияки (Hi’iaka) не совпадают с плоскостью экватора планеты, и оба спутника совершают прямое движение [9].

Заметим, что разработанный в работе [9] и примененный к карликовой планете Хаумея метод невозможно использовать для восстановления истинной формы ЭГ как трехосного эллипсоидального тела или сфероида. В настоящей работе ЭГ рассматривается как слоисто неоднородный вытянутый эллипсоид вращения (или для краткости – вытянутый сфероид), для которого, как и для трехосного эллипсоида, ось вращения не совпадает с видимой малой осью, а изофоты окажутся несоосными. Более удобный или простой вариант, при котором ЭГ представляет собой сжатый сфероид, для которого видимая ось совпадает с осью вращения и не нарушается соосность изофот, не рассматривается.

В рамках созданных моделей предлагается новый способ определения средних значений радиус-шкалы ЭГ ${{r}_{s}}$, плотностей в центре ${{\rho }_{0}}$ и на границе гало галактики ${{\rho }_{s}}$. Определены полная гравитационная (потенциальная) энергия $W$ и кинетическая энергия вращения ${{T}_{{{\text{rot}}}}}$ неоднородной ЭГ, пространственная дисперсия скоростей ${{\sigma }_{{{\text{eff}}}}}$ на расстоянии эффективного радиуса галактики ${{R}_{{{\text{eff}}}}}$, а также среднее значение параметра $\beta $ и его значение ${{\beta }_{{{\text{eff}}}}}$, соответствующее эффективному радиусу галактики согласно этим моделям.

Таким образом, точно определять истинную форму ЭГ как трехосного эллипсоида, или даже сфероида, в настоящее время не представляется возможным. Следовательно, мы определяем значения видимой большой и малой полуосей ЭГ. Поэтому полученные нами значения динамических параметров, перечисленных выше, являются приблизительными.

Задача о равновесии и устойчивости динамических систем, фигурирующих в этих моделях, представляет особый интерес и будет рассмотрена в отдельной работе автора.

2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ

Предположим, что светящаяся часть эллиптической галактики (СЧ ЭГ) представляет собой слоисто-неоднородный эллипсоид вращения (вытянутый сфероид) с полуосями $a > b = c$. В качестве закона распределения плотности – профиля СЧ ЭГ, состоящей из барионной массы (БМ), возьмем “астрофизический” профиль $\rho (m)$ [10, 11], получаемый посредством применения интегрального уравнения Абеля к профилю поверхностной яркости $I(m)$ Хаббла [12]:

где ${{\rho }_{0}}$, ${{I}_{0}}$ – плотность в центре эллиптической галактики и центральная поверхностная яркость, а параметр $\beta \gg 1$ для каждой ЭГ выбирается отдельно и находится выравниванием данных фотометрии [10, 11]. Кроме того, $m$ – параметр семейства подобных и концентрических сфероидов Здесь значение $m = 0$ соответствует центру ЭГ, $m = 1$ – сфероидальной поверхности, которой ограничена СЧ ЭГ.

Далее положим, что неоднородный сферический слой (модель 3) заполнен темной материей (ТМ) с законом распределения плотности (профилем) в виде [13, 14]:

Здесь $K$ – нормализующий коэффицент, имеющий размерность плотности в массах Солнца на кубический парсек, ${{r}_{s}}$ – радиус-шкала ЭГ, а ${{\tilde {\rho }}_{S}}$ – плотность ТМ на внешней границе слоя. В работах [3, 13, 14] приведены формулы вычисления коэффициента $K$.

Следует отметить, помимо профиля (3) существуют другие законы распределения плотности. В книге [15] приведен профиль более общего вида, из которого как частные случаи получаются профили Денена [16, 17], Хернквиста [18], Джаффа [19] и NFW [13].

Если рассматривается неоднородный сфероидальный слой (модель 4), заполненный ТМ, то профилем (3) нельзя пользоваться. В этом случае закон распределения плотности, который назовем аналогом профиля NFW, определим в виде

который был предложен Б.П. Кондратьевым. Здесь $\mu $ – параметр семейства подобных и концентрических сфероидов с полуосями $\tilde {a}$, $\tilde {b} = \tilde {c}$: При этом семейства (2) и (5) считаются подобными и концентрическими сфероидами. Значение ${{\mu }^{2}} = 1$ соответствует внешней границе сфероидального слоя, на которой плотность согласно выражению (4), равна

3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ СВЕТЯЩЕЙСЯ ЧАСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ГАЛАКТИКИ

Полная потенциальная (гравитационная) энергия $W(1)$ и кинетическая энергия вращения $T(1)$ слоисто-неоднородного сфероида с плотностью $\rho (m)$ и полуосями $a > b = c$ определяются по формуле [10]:

соответственно. Здесь $\Psi (1)$ – значение функции при $m = 1$, а или Если плотность $\rho (m)$ СЧ ЭГ определяется “астрофизическим законом” (1), то в силу (8) масса $M(m)$ промежуточного эллипсоида и функция $\Psi (m)$ будут равны Здесь Тогда в силу (7) находим гравитационную энергию ${{W}_{L}} = W(1)$ СЧ ЭГ и ее кинетическую энергию вращения ${{T}_{L}} = T(1)$ согласно варианту (а) в виде где функция ${{f}_{1}}(m)$ и коэффициенты ${{J}_{0}}$, ${{J}_{1}}$ определены выше.

В случае варианта (b) гравитационная энергия ${{\tilde {W}}_{L}}$ СЧ ЭГ и ее кинетическая энергия вращения ${{\tilde {T}}_{L}}$ определяются иначе, а именно, в формулах (7) и (8) функция $\Psi (m)$ заменяется на $\tilde {\Psi }(m)$. Последняя получается из выражения (8) заменой профиля $\rho (m)$ и массы $M(m)$ на общий профиль $\rho (m) + {{\rho }_{G}}(m)$ и общую массу $M(m) + {{\tilde {M}}_{G}}(m)$ БМ и ТМ. Тогда искомые выражения ${{\tilde {W}}_{L}} = {{\tilde {W}}_{L}}(1)$ и ${{\tilde {T}}_{L}} = {{\tilde {T}}_{L}}(1)$ представляются в виде (b)

где 7Здесь ${{\tilde {\psi }}_{1}}(m) \equiv \Psi (m)$, причем функция $\Psi (m)$ определяется равенством (11), а ${{\tilde {M}}_{G}}(m)$ – масса неоднородного сфероида $a > b = c$, состоящего из ТМ с профилем ${{\rho }_{G}}(m)$ и вычисляется по формуле Здесь $\bar {a}$ – шкала масштабирования галактики. После вычисления функций ${{\tilde {\psi }}_{k}}(m)$, $(k = 2,3,4)$ для $\tilde {\Psi }(m)$ получим следующее выражение: где функция ${{f}_{1}}(m)$ определяется равенством (13), причем функция ${{\varphi }_{1}}(m)$ и параметр $h$ определяются равенством (12), а $\bar {g}$ и $\bar {\xi }$ – равенством (16).

Очевидно, что выражение (15) для энергий ${{\tilde {W}}_{L}}$ и ${{\tilde {T}}_{L}}$ совпадает с выражением (14) для энергий ${{W}_{L}}$ и ${{T}_{L}}$, если СЧ ЭГ состоит только из БМ. Действительно, в этом случае ${{\rho }_{G}}(m) = 0$, или ${{\tilde {\psi }}_{k}}(m) = 0$ $(k = 2,3,4)$. Следовательно, $\tilde {\Psi }(m) = \Psi (m)$, ${{\tilde {W}}_{0}}{{W}_{0}}$, или то же самое ${{\tilde {W}}_{L}} = {{W}_{L}}$ и ${{\tilde {T}}_{L}}{{T}_{L}}$.

Заметим, что гравитационная энергия и кинетическая энергия вращения ЭГ, соответствующие варианту (2) модели 5, также определяются равенством (15). Кроме того, из последнего легко получаются выражения этих энергий, соответствующие варианту (1) модели 5, заменой $a,b = c$ на $\tilde {a},\tilde {b} = \tilde {c}$ и $\bar {a}$ на ${{r}_{s}}$.

4. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЭНЕРГИИ И КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭНЕРГИИ ВРАЩЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО СФЕРОИДАЛЬНОГО И СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЕВ

Сначала определим потенциальную энергию ${{W}_{G}}$ и кинетическую энергию вращения ${{T}_{G}}$ неоднородного сфероидального слоя, состоящего из ТМ с профилем ${{\rho }_{G}}(\mu )$ и массой ${{M}_{G}}(\mu )$. Полагаем, что внутренняя и внешняя границы данного слоя совпадают со сфероидами с полуосями $\mu \tilde {a}$, $\mu \tilde {b} = \mu \tilde {c}$ и $\tilde {a}$, $\tilde {b} = \tilde {c}$ соответственно. Тогда энергии ${{W}_{G}}$ и ${{T}_{G}}$ будут определяться формулами [11]

где коэффициенты ${{J}_{0}}$, ${{J}_{1}}$ приведены выше, а функция ${{\Psi }_{G}}(\mu )$ определяется формулой После вычисления интегралов для массы гомеоида ${{M}_{G}}(\mu )$ и функции ${{\Psi }_{G}}(\mu )$ получим следующие выражения: где В силу (21) энергии ${{W}_{G}}$ и ${{T}_{G}}$ можно переписать в более компактной форме

Теперь вычислим потенциальную энергию W_S(r) неоднородного сферического слоя (модель 3) с профилем ${{\rho }_{S}}(r)$, определяемым равенством (3), по формуле из работы [11]

Далее учтем, что радиус внутренней окружности этого слоя равен $a$ – большой полуоси СЧ ЭГ, а внешней окружности – радиус-шкале ${{r}_{s}}$ ЭГ. Тогда внутренний потенциал ${{U}_{S}}(r)$ и масса ${{M}_{S}}(r)$ промежуточного сферического слоя будут равны соответственно, причем при $r = {{r}_{s}}$ получим полную массу этого слоя.

Подставим выражения потенциала ${{U}_{S}}(r)$ этого слоя и его плотности ${{\rho }_{S}}(r)$ из (3) в выражение ${{W}_{S}}(r)$. Тогда для полной гравитационной энергии ${{W}_{S}} = {{W}_{S}}({{r}_{s}})$ неоднородного сферического слоя получим

Кинетическую энергию вращения ${{T}_{S}}(r)$ сферического слоя можно представить в виде разности энергий ${{\tilde {E}}_{1}},\;{{\tilde {E}}_{2}}$ двух неоднородных шаров радиусов ${{r}_{s}}$ и $a$ с одинаковой плотностью ${{\rho }_{S}}(r)$ соответственно. Для определения энергий вращения ${{\tilde {E}}_{1}},\;{{\tilde {E}}_{2}}$ можно пользоваться формулой где ${{M}_{1}} = {{M}_{H}}$, ${{M}_{2}} = M{\kern 1pt} *$ – массы гало и СЧ ЭГ, ${{r}_{1}} = {{r}_{s}}$, ${{r}_{2}} = a$ – радиус-шкала ЭГ и большая полуось ее светящейся части. ${{\tilde {J}}_{1}},\;{{\tilde {J}}_{2}}$ – моменты инерции неоднородных шаров с плотностью ${{\rho }_{S}}(r)$ и радиусами ${{r}_{s}}$ и $a$ относительно оси вращения. Для определения ${{\tilde {J}}_{1}},\;{{\tilde {J}}_{2}}$ воспользуемся общей формулой момента инерции положив $r = {{r}_{s}}$ и $r = a$ находим ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{2}}$ соответственно, и значит ${{\tilde {E}}_{1}}$, ${{\tilde {E}}_{2}}$. Следовательно, искомое выражение энергии вращения ${{T}_{S}}$ сферического слоя получим в виде

5. ПОЛНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИИ СЛОИСТО НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ГАЛАКТИКИ

Полную гравитационную энергию $W$ и кинетическую энергию вращения $T$ динамической системы по варианту (а) моделей 3 и 4 представим в виде сумм $W = {{W}_{1}} + {{W}_{2}} + {{W}_{3}}$ и $T = {{T}_{1}} + {{T}_{2}}$, а по варианту (b) – в виде сумм $\tilde {W} = {{\tilde {W}}_{1}} + {{W}_{2}} + {{\tilde {W}}_{3}}$ и $T = {{\tilde {T}}_{1}} + {{T}_{2}}$ соответственно. Здесь ${{W}_{1}}$, ${{T}_{1}}$ и ${{\tilde {W}}_{1}}$, ${{\tilde {T}}_{1}}$ – гравитационные энергии и энергии вращения СЧ ЭГ согласно вариантам (а) и (b) соответственно. Кроме того, ${{W}_{2}}$, ${{T}_{2}}$ – гравитационная энергия и энергия вращения неоднородного сферического (сфероидального) слоя, а ${{W}_{3}}$ и ${{\tilde {W}}_{3}}$ – взаимные гравитационные энергии СЧ ЭГ и этого слоя согласно вариантам (а) и (b) соответственно. Энергии ${{W}_{1}} = {{W}_{L}}$ и ${{T}_{1}} = {{T}_{L}}$ СЧ ЭГ согласно варианту (а) в обеих моделях нами определены равенствами (14) соответственно. При этом энергии ${{W}_{2}} = {{W}_{G}}$, ${{T}_{2}} = {{T}_{G}}$ гомеоида определются равенством (22), а энергии ${{W}_{2}} = {{W}_{S}}$, ${{T}_{2}} = {{T}_{S}}$ сферического слоя – равенствами (23) и (24) соответственно.

Энергии ${{\tilde {W}}_{1}} = {{\tilde {W}}_{L}}$ и ${{\tilde {T}}_{1}} = {{\tilde {T}}_{L}}$, соответствующие варианту (b), в моделях 3 и 4 вычисляются иначе, а именно по формуле (15), явный вид которых приведен в конце раздела 5. Остается вычислить гравитационные энергии ${{W}_{3}}$ и ${{\tilde {W}}_{3}}$ согласно моделям 3 и 4. Сначала вычислим их согласно вариантам (а) и (b) модели 4 по формуле [11]:

соответственно. Полные массы $M(1)$ и ${{\tilde {M}}_{G}}(1)$ БМ и ТМ в СЧ ЭГ мы определили в разделе 3, а потенциал ${{U}_{G}}(\nu )$ внутренней точки полости гомеоида равен [11]: Здесь под внутренней точкой полости гомеоида подразумевается любое пассивно гравитирующее тело (например, звезда), находящееся в СЧ ЭГ. Далее, положив $\nu = \mu $ в выражении потенциала ${{U}_{G}}(\nu )$, искомые энергии ${{W}_{3}}$ и ${{\tilde {W}}_{3}}$ можно представить в виде где функция ${{g}_{1}}(m)$ определяется равенством (12). Кроме того,

Теперь вычислим взаимные потенциальные энергии ${{W}_{3}}$ и ${{\tilde {W}}_{3}}$ согласно вариантам (а) и (b) модели 3. По аналогии с формулой (25) для них получим

где ${{U}_{S}}$ – потенциал во внутренней точке полости сферического слоя, равный [20]: Тогда Функция ${{g}_{2}}(1)$ определена выше.

В заключение приведем список полных гравитационных $W$ и кинетических энергий $T$, вычисленных согласно моделям 3, 4 и 5 в следующем порядке.

Модель 3: (a) $W = {{W}_{L}} + {{W}_{S}} + {{W}_{3}}$, $T = {{T}_{L}} + {{T}_{S}}$, (b) $\tilde {W} = {{\tilde {W}}_{L}} + {{W}_{S}} + {{\tilde {W}}_{3}}$, $\tilde {T} = {{\tilde {T}}_{L}} + {{T}_{S}}$. Энергии ${{W}_{L}}$, ${{T}_{L}}$ определяются равенством (14), ${{W}_{S}}$, ${{T}_{S}}$ – формулами (23) и (24) соответственно, ${{\tilde {W}}_{L}}$, ${{\tilde {T}}_{L}}$ – формулой (15), а энергии ${{W}_{3}}$, ${{\tilde {W}}_{3}}$ равенством (27).

Модель 4: (a) $W = {{W}_{L}} + {{W}_{G}} + {{W}_{3}}$, $T = {{T}_{L}} + {{T}_{G}}$, (b) $\tilde {W} = {{\tilde {W}}_{L}} + {{W}_{G}} + {{\tilde {W}}_{3}}$, $\tilde {T} = {{\tilde {T}}_{L}} + {{T}_{G}}$. Энергии ${{W}_{G}},{{T}_{G}}$ определяются формулой (22), а энергии ${{W}_{3}}$, ${{\tilde {W}}_{3}}$ – равенством (25).

Модель 5: $(2)\;W = {{\tilde {W}}_{L}}$, $T = {{\tilde {T}}_{L}}$. Здесь энергии ${{\tilde {W}}_{L}}$, ${{\tilde {T}}_{L}}$ определяются формулой (15). При этом для получения необходимых выражений, соответствующих варианту (1) модели 5, достаточно в выражении (15) заменить полуоси $a$, $b = c$ на $\tilde {a}$, $\tilde {b} = \tilde {c}$ соответственно.

6. ДИСПЕРСИЯ СКОРОСТЕЙ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ГАЛАКТИКИ

Рассмотрим отношение ${{t}_{z}}$ полной энергии вращения ${{T}_{{{\text{rot}}}}}$ слоисто неоднородного эллипсоида с полуосями $a > b > c$ и с плотностью $\rho (m)$ к модулю ее полной гравитационной энергии $W$. Согласно формуле (7) $W = W(1) = - \pi Gabc{{J}_{0}}\Psi (1)$, при ${{T}_{{{\text{rot}}}}} = {{T}_{1}}$ для ${{t}_{z}}$ получим значение [11]:

которое в точности совпадает с одноименным отношением для классических однородных фигур равновесия (сфероидов Маклорена: $ab \geqslant c$, или эллипсоидов Якоби: $a \geqslant b \geqslant c$) и является функцией только эксцентриситетов слоя [11].

Заметим, что отношение ${{t}_{z}}$ играет ключевую роль при установлении равновесия и устойчивости осесимметричной динамической системы (например, однородные сфероиды Маклорена). Критерием устойчивости такой системы согласно гипотезе Пиблса-Острайкера [21, 22] является выполнение неравенства

Далее, отношение ${{t}_{z}}$ можно связать с наблюдаемыми у эллиптических галактик скоростью вращения ${{v}_{{{\text{rot}}}}}(R)$ и дисперсией скоростей ${{\sigma }_{s}}(R)$ на расстоянии $R$ [11]:

Вычисленное по этой формуле отношение ${{v}_{{{\text{rot}}}}}(R){\text{/}}{{\sigma }_{s}}(R)$ следует сравнивать с наблюдениями, что позволяет сделать некоторые выводы о динамическом состоянии данной галактики. Кроме того, вычислив линейную скорость вращения ${{v}_{{{\text{rot}}}}}(R) = \Omega R$, находим пространственную дисперсию скоростей ${{\sigma }_{s}}(R)$ в зависимости от расстояния $R$ от центра галактики [11]: где $\Omega $ – угловая скорость вращения галактики. Так как центростремительная и гравитационная силы, действующие на точку, находящуюся на расстоянии $R$ от центра, уравновешивают друг друга, то получим

Приведем ниже другие способы определения пространственной дисперсии скоростей. Зная закон распределения плотности $\rho (r)$, можно определять пространственную дисперсию скоростей ${{\sigma }_{s}}(R)$ на расстоянии $R$ от центра галактики [23, 24]

где масса промежуточного шара $M(r)$ и скорость вращения ${{V}_{c}}(r)$ определяются выражениями соответственно.

Другое выражение для определения пространственной дисперсии скоростей ${{\sigma }_{s}}(R)$ на расстоянии $R$ от центра сферически симметричной галактики дано в [25]:

где $I(R)$ – поверхностная яркость [26], $\Upsilon $ – отношение масса–светимость.

Заметим, что для ЭГ с гомотетическим (“астрофизическим”) распределением плотности (1) пространственную дисперсию скоростей ${{\sigma }_{s}}(R)$ нельзя определить по формулам (31) и (33). Для применения этих формул положим

Тогда выражение (31) в силу выражений (1) и (15) для $\rho (m)$ и $M(m)$ примет вид где

Согласно замене (34) из (33) для $I(R)$ и $\sigma _{s}^{2}(R)$ получим:

где Здесь интеграл ${{K}_{1}}(R)$ относится к числу “неберущихся”, но его можно вычислить численно.

Формулы (35) и (36) дисперсии скоростей соответствуют варианту (а) моделей 3 и 4. В этом случае СЧ ЭГ не содержит ТМ, поэтому общая дисперсия скоростей $\sigma (R) \equiv {{\sigma }_{s}}(R)$.

Теперь определим дисперсию скоростей $\sigma (R)$ согласно варианту (b) моделей 3 и 4, а также вариантам (1) и (2) модели 5. В этом случае СЧ ЭГ содержит ТМ и дисперсию скоростей можно представить в виде суммы: ${{\sigma }^{2}}(R) = \sigma _{s}^{2}(R) + \sigma _{d}^{2}(R)$, где $\sigma _{s}^{2}(R)$ – составляющая БМ дисперсии скоростей, а $\sigma _{d}^{2}(R)$ – составляющая ТМ. При этом нам достаточно вычислить $\sigma _{d}^{2}(R)$, так как $\sigma _{s}^{2}(R)$ определена формулами (35) и (36). Что касается аналогичной (29) формулы, то достаточно вычислить отношение ${{t}_{z}}$. Согласно варианту (2) модели 5 это отношение будет равно ${{t}_{z}} = {{\tilde {T}}_{L}}{\text{/|}}{{\tilde {W}}_{L}}{\kern 1pt} {\text{|}}$. Здесь ${{\tilde {W}}_{L}}$ и ${{\tilde {T}}_{L}}$ определяются равенством (15). Это отношение легко определяется согласно варианту (1) модели 5 с помощью соответствующей замены, о чем выше мы упомянули.

Перейдем к вычислению $\sigma _{d}^{2}(R)$ сначала по формуле (31):

Используя выражение (4) для плотности ${{\rho }_{G}}(\mu )$ и массы ${{M}_{G}}(\mu )$, приведенной в разделе 4, находим где причем функция Далее по второй формуле (33) определяем поверхностную яркость $I(R)$: Затем в первой формуле (33) учитываем выражения ${{\rho }_{G}}(\mu )$ и массы ${{M}_{G}}(\mu )$. После чего определяем составляющую ТМ дисперсии скоростей $\sigma _{d}^{2}(R)$: где Интеграл ${{\psi }_{1}}(R)$ относится к числу “неберущихся” и вычисляется численно.

Значения пространственной дисперсии скоростей $\sigma (R)$ на расстоянии эффективного радиуса ${{R}_{{{\text{eff}}}}}$ для десяти ЭГ [27] приведены в разделе Примеры.

7. ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ПЛОТНОСТИ В ЦЕНТРЕ ЭГ, ЕЕ РАДИУС-ШКАЛЫ И ПАРАМЕТРА ${{\beta }_{{{\text{eff}}}}}$

Считая известным значение пространственной дисперсии скоростей ${{\sigma }_{{{\text{eff}}}}}$ на расстоянии эффективного радиуса ${{R}_{{{\text{eff}}}}}$ (см. раздел 6), можно определить значение плотности ${{\rho }_{0}}$ в центре ЭГ. Если для ЭГ использовать “астрофизический закон” распределения плотности $\rho (r)$, то согласно формуле (35) получим

В скобках указано критическое значение плотности в единицах ${{M}_{ \odot }}{\text{/}}\mathop {{\text{пк}}}\nolimits^3 $.

Если же пространственная дисперсия скоростей ${{\sigma }_{s}}(R)$ определяется равенством (36), то для ${{\rho }_{0}}$ находим следующее выражение:

Значения ${{\sigma }_{s}}({{R}_{{{\text{eff}}}}})$, а также вычисленные по ним значения ${{\rho }_{0}}$ плотности в центре галактики приведены в разделе 8.

Фигурирующие в равенствах (40) и (41) ${{\beta }_{{{\text{eff}}}}}$, значение параметра $\beta $, соответствующее эффективному радиусу, можно определять, например, из закона Хаббла

в котором центральная и эффективная поверхностные яркости ${{I}_{0}}$ и ${{I}_{{{\text{eff}}}}}$ считаются известными. Другой способ определения этих параметров связан со следующей формулой в которой учтено выражение (1) поверхностной яркости $I(m)$. Здесь $L(m)$ – суммарная поверхностная яркость промежуточного эллипса с полуосями $ma$ и $mc$, а $E(e)$ – полный эллиптический интеграл 2-го рода. Отсюда легко определяется полная ${{L}_{T}} = L(m = 1)$ и эффективная ${{L}_{{{\text{eff}}}}} = L({{m}_{{{\text{eff}}}}})$ светимости где ${{\beta }_{T}}$ – значение параметра $\beta $, соответствующие $m = 1$. Кроме того, по определению ${{L}_{{{\text{eff}}}}} = {{L}_{T}}{\text{/}}2$, т.е. Отсюда, считая ${{I}_{0}}$ и ${{L}_{T}}$ известными, и определяем параметры ${{\beta }_{T}}$ и ${{\beta }_{{{\text{eff}}}}}$. Кроме этого, параметр ${{\beta }_{T}}$ можно вычислить иначе. Например, если известны звездная масса $M{\kern 1pt} *$ галактики, ее плотность в центре ${{\rho }_{0}}$, а также полуоси $a,b = c$, то из формулы (15) для массы $M(m)$ определяем значение параметра ${{\beta }_{T}}$ как решение уравнения где функция ${{g}_{1}}({{\beta }_{T}}) \equiv {{g}_{1}}(m = 1$, $\beta = {{\beta }_{T}})$ определяется равенством (12).

Радиус-шкалу ${{r}_{s}}$ ЭГ можно определить исходя из условия

Здесь звездная масса $M{\kern 1pt} *$, масса газа ${{M}_{G}}$ (равные в сумме барионной массе ${{M}_{{bm}}}$), а также масса гало галактики ${{M}_{h}}$ считаются известными. При этом полная масса ${{M}_{{dm}}} = {{M}_{S}}({{r}_{s}})$ неоднородного слоя (модель 3), состоящего из ТМ, определяется равенством (25) при $r = {{r}_{s}}$. В выражении (25) нормализующий коэффициент $K$ заменим на его приближенное значение где ${{r}_{s}}$ выражается в пк [13]. Тогда, считая большую полуось $a$ ЭГ известной, массу ${{M}_{{dm}}} = {{M}_{S}}({{r}_{s}})$ представим как функцию только от радиус-шкалы и подставим ее в выражение ${{M}_{h}}$. Это нам даст уравнение для определения значения ${{r}_{s}}$: Значение ${{r}_{s}}$, определяемое из уравнения (44), соответствует модели 3.

В модели 4 значение ${{r}_{s}}$ находится из выражения ${{M}_{h}}$ при ${{M}_{{dm}}}{{M}_{G}}(\mu )$:

Здесь

Теперь считая известным ${{r}_{s}}$ (в пк), определяем нормализующий коэффицент $K$, выраженный в массах Солнца на кубический парсек по формуле (43). Найденные таким образом значения радиус-шкал ${{r}_{s}}$, и значит, коэффициента $K$ по формуле (43) по моделям 3 и 4 для десяти ЭГ, приведены в разделе Примеры.

Итак, приведенные в этом разделе формулы позволяют определить значения таких ключевых параметров ЭГ, как плотности ${{\rho }_{0}}$ в центре галактики, ее радиус-шкалы ${{r}_{s}}$. Значения ${{\rho }_{0}}$ и ${{r}_{s}}$ конкретных ЭГ в базе данных или в трудах других авторов не приводятся. В работе [28] в качестве радиус-шкалы ${{r}_{s}}$ для ЭГ берется радиус ее диска – радиальная шкала. При этом угловые значения малой $c$ и большой $a$ осей определяются из наблюдений. Для определения этих параметров, согласно приведенным выше формулам, необходимо знать звездную (или барионную) массу и массу гало галактики, ее эффективный радиус и значение дисперсии скоростей, вычисленное на расстоянии эффективного радиуса ЭГ. В базе данных и в трудах других авторов эти данные имеются.

8. ПРИМЕРЫ

В качестве примера взяты десять эллиптических галактик, необходимые для вычисления, параметры которых приведены в табл. 1–4.

Величины ${{D}_{{25}}}$ и ${{R}_{{25}}}$, которые измеряются в фотометрической полосе $B$ до расстояния с предельной яркостью 25 звездных величин с квадратной секунды дуги, а также гелиоцентрическое расстояние $D$ взяты из базы данных HyperLeda¹¹. С помощью ${{D}_{{25}}}$ и ${{R}_{{25}}}$, приведенных в [7], определяются видимые значения больших и малых полуосей $a$ и $c$ ЭГ, которая рассматривается как вытянутый сфероид с полуосями $a > b = c$. Для таких галактик и галактик, имеющих форму трехосного эллипсоида, ось вращения не совпадает с видимой малой осью, а изофоты окажутся несоосными. Вариант ЭГ как сжатый сфероид – более удобный или простой вариант, для которого видимая ось совпадает с осью вращения и не нарушается соосность изофот, не рассматривается.

В табл. 1 приведены значения гелиоцентрического расстояния $D$ (в Мпк), барионной массы ${{M}_{{bm}}}$, массы темной материи ${{M}_{{dm}}}$ и массы ${{M}_{h}}$ гало, радиус-шкалы ${{r}_{s}}$ (в кпк), а также нормализующего коэффициента $K$ (в ${{10}^{{ - 3}}}\;{{M}_{ \odot }}{\text{/}}\mathop {{\text{пк}}}\nolimits^3 $), определенные по моделям 3 и 4. Массы ${{M}_{{bm}}}$, ${{M}_{{dm}}}$ и ${{M}_{h}}$ выражены в ${{10}^{{12}}}$ массах Солнца.

В табл. 2 приведены значения большой $a$, малой $c$ полуосей ЭГ (в кпк), параметров ${{\beta }_{T}}$, ${{m}_{{{\text{eff}}}}}$ и ${{\beta }_{{{\text{eff}}}}}$, а также эффективного радиуса ${{R}_{{{\text{eff}}}}}$ (в кпк) из [29, 30]. Параметры ${{\beta }_{T}}$ и ${{\beta }_{{{\text{eff}}}}}$ соответствуют значениям $m = 1$ и $m = {{m}_{{{\text{eff}}}}}$, а последнее – значению ${{R}_{{{\text{eff}}}}}$.

Значения звездных масс $M{\kern 1pt} *$, барионной массы ${{M}_{{bm}}}$ и массы гало галактик ${{M}_{h}}$ приведены в [29–32]. Для ${{M}_{h}}$ можно использовать ее приближенную зависимость от звездной массы галактики $M{\kern 1pt} *$, ${{M}_{h}} = M{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (56 + \Delta M)$, где величина $\Delta M$ варьируется от $\Delta M = - 10$ до 16 [33]. При этом барионные массы ${{M}_{{bm}}}$ для ЭГ можно определить по приведенным в [33, 34] оценочным значениям масс нейтрального водорода ${{M}_{{{\text{HI}}}}}$, молекулярного ${{M}_{{{{{\text{H}}}_{2}}}}}$ и центрального молекулярного ${{M}_{{{\text{HIc}}}}}$ газов. Кроме того, в работе [35] приведена приближенная формула определения барионной массы ЭГ в виде ${{M}_{{bm}}}{\text{/}}{{M}_{h}} \approx {{\Omega }_{b}}{\text{/}}{{\Omega }_{m}} \approx 0.17$.

В табл. 3 приведены значения центральной дисперсии скоростей ${{\sigma }_{0}}$ и пространственной дисперсии скоростей $\sigma ({{R}_{{{\text{eff}}}}})$ (в км/с) на расстоянии эффективного радиуса, а также плотности ${{\rho }_{0}}$ в центре ЭГ. Столбец 1 соответствует значению ${{\sigma }_{s}}({{R}_{{{\text{eff}}}}})$, приведенному в [29], а столбец 2 – ее значение, вычисленное по формуле (29). В столбцах 3 и 4 в первой строке указаны значения ${{\sigma }_{s}}({{R}_{{{\text{eff}}}}})$, вычисленные по формулам (35) и (36), т.е. без учета составляющей ТМ. Это соответствует варианту (а): СЧ ЭГ не содержит ТМ. Во второй строке этих столбцов приведены ее значения с учетом составляющих ТМ: $\sigma ({{R}_{{{\text{eff}}}}}) = \sqrt {\sigma _{s}^{2}({{R}_{{{\text{eff}}}}}) + \sigma _{d}^{2}({{R}_{{{\text{eff}}}}})} $, где $\sigma _{d}^{2}({{R}_{{{\text{eff}}}}})$ вычисляется с помощью формул (37) и (38). Столбцы 5 и 6 соответствуют значениям ${{\rho }_{0}}$, а столбец 7 – среднему значению ${{\rho }_{0}}$, выраженные в ${{M}_{ \odot }}$/пк³.

Расхождения в значениях ${{\sigma }_{s}}({{R}_{{{\text{eff}}}}})$ связаны с тем, что в настоящей работе в качестве закона распределения плотности взят “астрофизический закон” (6).

В табл. 4 приведены значения полных гравитационных и кинетических энергий вращения (в Джоулях) десяти эллиптических галактик, вычисленных по моделям 3, 4 и 5. Для модели 5 приведены значения этих величин по варианту (1) и (2), а для моделей 3 и 4 – согласно двум вариантам: (а) основная часть темной материи содержится вне светящейся части ЭГ и (b) доли темной и барионной материи в центральных областях галактики сопоставимы.

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для решения некоторых задач небесной механики и астрофизики созданы три новые модели эллиптической галактики (ЭГ), хорошо согласующиеся с современными представлениями о строении таких галактик. Согласно этим моделям ЭГ вместе с гало рассматривается как двухслойный неоднородный эллипсоид вращения – вытянутый сфероид, для которого как и для трехосного эллипсоида ось вращения не совпадает с видимой малой осью, а изофоты оказываются несоосными. Случай сжатого сфероида, для которого видимая ось совпадает с осью вращения и не нарушается соосность изофот, не рассматривается. При этом внешний и внутренний слои считаются подобными и концентрическими, их центры совпадают с центром ЭГ. Светящаяся часть эллиптической галактики (СЧ ЭГ) считается внутренним слоем и представляет собой неоднородный вытянутый сфероид со сфероидальным распределением плотности. В СЧ ЭГ преобладает барионная масса (БМ) с “астрофизическим законом” распределения плотности. Внешняя часть представляет собой неоднородный сферический слой со сферическим законом распределения плотности (модель 3) или сфероидальный слой со сфероидальным распределением плотности (модель 4). Согласно модели 3 внешний слой и гало галактики ограничены сферой радиуса, равного радиус-шкале ЭГ, а согласно модели 4 – они ограничены сфероидальной поверхностью с большой полуосью, равной радиус-шкале галактики. Считается, что сферический и сфероидальный слои в основном состоят из темной материи (ТМ) и в зависимости от ее наличия в центральных областях ЭГ, в моделях 3 и 4 рассматриваются два варианта: (а) основная часть ТМ находится вне СЧ ЭГ и (b) содержание ТМ во внутренних областях ЭГ сравнимо с содержанием БМ. При этом определяются условия сшивки потенциалов на границе раздела СЧ ЭГ и сферического (сфероидального) слоя.

Согласно модели 5, ЭГ вместе с гало (вариант 1) или без него (вариант 2) представляет собой неоднородный эллипсоид вращения – вытянутый сфероид, состоящий из БМ и ТМ. В модели 5 не существует границы раздела между СЧ ЭГ и гомеоида, поэтому выполнение условий сшивки потенциалов не рассматривается.

В рамках созданных трех новых моделей слоисто-неоднородной эллиптической галактики (ЭГ) определены полная гравитационная (потенциальная) энергия, кинетическая энергия вращения и дисперсия скоростей на расстоянии эффективного радиуса галактики. Предложен новый способ определения средних значений радиус-шкалы ЭГ, плотности в ее центре, а также значение параметра $\beta $, соответствующее эффективному радиусу галактики.

Полученные результаты применены к шестидесяти ЭГ и приведены в виде таблиц для десяти галактик.

Исследование равновесия и устойчивости динамической системы, созданной на основе моделей 3 и 4, будет проведено автором отдельно.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает благодарность профессору Б.П. Кондратьеву за ценные советы и замечания.