1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Астрономический журнал
  4. T. 99, № 11, 2022

Астрономический журнал, 2022, T. 99, № 11, стр. 1029-1039

Прецессия пробных орбит в циркумбинарных экзопланетных системах

Б. П. Кондратьев 1, 2, *, В. С. Корноухов 1

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга
Москва, Россия

2 Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН
Санкт-Петербург, Россия

* E-mail: work@boris-kondratyev.ru

Поступила в редакцию 14.06.2022
После доработки 02.09.2022
Принята к публикации 30.09.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Новым аналитическим методом R-тороидов изучается апсидальная и нодальная прецессия пробных орбит в циркумбинарных экзосистемах Kepler-16, Kepler-35, Kepler-38, Kepler-413, Kepler-453, Kepler-1661, Kepler-1647 и TOI-1338. Для каждой системы из выборки (1) построена суперпозиция из трех R-тороидов, (2) рассчитаны угловые моменты звездной пары и планеты относительно плоскости Лапласа, (3) найдены коэффициенты 2-й и 4-й зональных гармоник внешнего потенциала для R-тороидов, (4) выведены и решены уравнения для частот обеих видов прецессии у пробных орбит. Найдено, что в гравитационном поле R-тороида отношение периодов апсидальной и нодальной прецессии у кольца Гаусса с нулевым наклонением равно (–2). Установлено, что известные из литературы методы исследования циркумбинарных систем являются частным случаем развитого здесь подхода; у нас дополнительно учитываются эксцентриситеты и наклоны орбит тел к плоскости Лапласа, а также гравитационное возмущение от третьего тела (планеты).

Ключевые слова: планеты у двойных звезд, метод R-тороидов, пробные орбиты, прецессия: индивидуально: апсидальная и нодальная

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] для исследования долгопериодических и вековых возмущений в небесной механике был разработан аналитический метод, получивший название модели R-тороида. Эта модель представляет собой 3D обобщение прецессирующего кольца Гаусса, и способ ее построения сводится к цепочке преобразований: 1D кольцо Гаусса – 2D R-кольцо – 3D R-тороид. Аббревиатура “R” в названиях “R-кольцо” и “R-тороид” означает “Розеточный”, от термина “розеточная” орбита. Если кольцо Гаусса хорошо известно, то относительно R-кольца напомним, что последнее образуется при усреднении движения тела по розеточной орбите (или, что эквивалентно, при усреднении равномерного движения линии апсид прецессирующего кольца Гаусса), см. [2, 3]. Но в некоторых более сложных случаях в небесной механике плоскость R-кольца также может прецессировать, и логично провести еще одно усреднение орбиты по углу этой нодальной прецессии: при этом получается фигура R-тороида, см. рис. 1.

Рис. 1.

Трехмерное изображение R-тороида. Рисунок из работы [1].

В [1] были изучены форма, внутренняя структура и внешний гравитационный потенциал R-тороида и, что особенно важно для приложений, найдена взаимная энергия ${{W}_{{{\text{mut}}}}}$ системы “R-тороид–кольцо Гаусса”. С помощью этой функции ${{W}_{{{\text{mut}}}}}$, заменяющей в методе R-тороидов классическую функцию возмущений Лагранжа, была получена система из шести дифференциальных уравнений, описывающих вековую эволюцию оскулирующих орбит в гравитационных полях как отдельного R-тороида, так и в суперпозиции из трех этих фигур.

Модель R-тороида можно применять для изучения актуальных задач вековой динамики экзопланет, о которых накопилась большая наблюдательная информация. В частности, с помощью модели R-тороида в [1] был рассчитан график частот прецессии пробной орбиты в поле прецессирующей центральной звезды и планеты PTFO 8‑8695b, об этой экзосистеме см. также [4, 5].

Кроме того, в настоящее время в обширной экзопланетной тематике можно выделить две задачи с применением метода R-тороидов: это изучение эволюции орбит горячих юпитеров с рекордно коротким (сутки или даже часы!) временем обращения данных объектов вокруг центральных звезд, а также исследование вековой эволюции циркумбинарных систем, состоящих из тесной пары звезд и обращающейся вокруг них отдаленной экзопланеты.

Исследование циркумбинарных экзосистем ставит перед астрономами важные задачи: их открытие не только расширяет наши представления о существовании в природе новых удивительных конфигураций звезд и планет, в которых может существовать жизнь, но и на конкретных примерах позволяет изучать интересный динамический эффект – дестабилизирующее действие двойной системы по сравнению со случаем замены двойной системы одной звездой. Кроме того, встречающиеся здесь орбитальные конфигурации и трехчастичные гравитационные взаимодействия позволяют прямые и точные измерения масс и радиусов звезд и планет.

Изучению циркумбинарных тройных систем посвящено немало работ. В работе [6] изучаются процессы образования (в 1978 г. еще гипотетических!) экзопланет вокруг двойных звезд. Изучая динамику планетезималей, Heppenheimer пришел к выводу, что образование планет из планетезималей возможно только на орбитах с малыми эксцентриситетами.

В статье Демидовой и Шевченко [7] (см. также монографию И.И. Шевченко [8]) методы Heppenheimer и Moriwaki & Nakagawa [9] объединяются и модифицируются для расчета частот апсидальной прецессии орбиты планеты. Заметим, что в работах [6–9] рассматривается только компланарный вариант задачи (частота апсидальной прецессии в компланарном случае соответствует скорости изменения долготы перицентра), а гравитационное влияние третьего тела (планеты) не учитывается. В [7] обсуждается характерный для циркумбинарных систем эффект пульсации эксцентриситета орбиты планеты; в системе Kepler-16 период этих пульсаций был найден немного меньше 50 лет. Обратим внимание на то, что в применяемом в работах [6–9] методе при описании движения пробной частицы используется специальная терминология и надо различать прецессию орбиты с вынужденным эксцентриситетом и апсидальную прецессию орбиты с эксцентриситетом невозмущенным (собственным). С учетом особенностей терминологии наши результаты согласуются с полученными в [7].

Из исследований по циркумбинарным системам, предшествовавшим методу R-тороидов, отметим еще статьи [10–12]. В последней из них, например, численным методом исследовалась устойчивость орбит предполагаемых (но пока не наблюдаемых) спутников вокруг планет в двойных звездных системах.

Первое исследование двух циркумбинарных экзопланет (Kepler-413 и Kepler-453) методом, основанным на системе из трех R-тороидов, проводилось в работе [13]. Здесь мы продолжаем изучать методом R-тороидов прецессию пробных орбит в шести новых циркумбинарных экзосистемах; дается и дополнительная информация о двух экзосистемах, упомянутых в работе [13]. Суть нашего подхода в том, что для каждого тела в циркумбинарной системе (две звезды и одна планета) создается отдельная модель R-тороида, затем находится их суперпозиция, и в суммарном гравитационном поле трех R-тороидов исследуется апсидальная и нодальная прецессия пробных орбит.

План статьи следующий. В разделах 2, 3 дана постановка задачи, вводится плоскость Лапласа и находятся углы ориентации и угловые моменты в циркумбинарных системах. В подразделе 4.1 даны выражения для зональных гармоник внешнего потенциала R-тороида, а в 4.2 и 4.3 выводятся уравнения и рассчитываются частоты апсидальной и нодальной прецессии пробных орбит в суммарном гравитационном поле трех R-тороидов. Результаты представлены графически на 8 рисунках. Результаты работы обсуждаются в разделе 5.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ПЛОСКОСТЬ ЛАПЛАСА И УГЛЫ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТ

Рассмотрим циркумбинарную тройную систему, в которой одна экзопланета движется по внешней отдаленной орбите вокруг тесной пары звезд. Для описания движения тел в такой системе надо знать массы и орбитальные параметры двух звезд $({{M}_{1}},{{M}_{2}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{e}_{{12}}}$, $i_{{12}}^{'})$ и планеты $(m,{{a}_{{\text{p}}}},{{e}_{{\text{p}}}}$, $i_{{\text{p}}}^{'})$. Углы наклонов орбит звезд $i_{{12}}^{'}$ и планеты $i_{{\text{p}}}^{'}$ будем отсчитывать от общей плоскости Лапласа (рис. 2).

Рис. 2.

Схема векторов угловых орбитальных моментов в тройной циркумбинарной системе. Штрихами показана плоскость Лапласа. Рисунок из работы [14].

Угловой момент орбитального эллиптического движения тела (на единицу массы) в заданной тройной системе равен

(1)
$L = \sqrt {\mu a\left( {1 - {{e}^{2}}} \right)} ,$
где $a$ и $e$ – большая полуось и эксцентриситет орбиты, $\mu = G\bar {M}$ – аналог гравитационного параметра тела. Полагая начало координат в центре масс двойной звезды и принимая условие $m \ll {{M}_{1}} + {{M}_{2}}$, находим отмеченные верхней чертой величины $\bar {M}$:

(2)
${{\bar {M}}_{1}} = \frac{{M_{2}^{3}}}{{{{{\left( {{{M}_{1}} + {{M}_{2}}} \right)}}^{2}}}};\quad {{\bar {M}}_{2}} = \frac{{M_{1}^{3}}}{{{{{\left( {{{M}_{1}} + {{M}_{2}}} \right)}}^{2}}}}.$

Тогда орбитальный угловой момент звездной пары дается формулой

(3)
${{L}_{{12}}} = {{M}_{1}}\sqrt {G{{{\bar {M}}}_{1}}{{a}_{1}}\left( {1 - e_{{12}}^{2}} \right)} + {{M}_{2}}\sqrt {G{{{\bar {M}}}_{2}}{{a}_{2}}\left( {1 - e_{{12}}^{2}} \right)} ,$
причем полуоси орбиты каждой звезды (с фокусом в общем центре масс) связаны соотношениями

(4)
${{a}_{1}} + {{a}_{2}} = {{a}_{{12}}},\quad {{a}_{1}}{{M}_{1}} = {{a}_{2}}{{M}_{2}}.$

Орбитальный угловой момент планеты массой ${{m}_{{\text{p}}}}$ будет равен

(5)
${{L}_{{\text{p}}}} = ~{{m}_{{\text{p}}}}\sqrt {G\left( {{{M}_{1}} + {{M}_{2}}} \right){{a}_{{\text{p}}}}\left( {1 - e_{{\text{p}}}^{2}} \right)} .$

По определению, плоскость Лапласа должна быть нормальна вектору полного орбитального углового момента системы ${{{\mathbf{L}}}_{{{\text{tot}}}}} = {{{\mathbf{L}}}_{{12}}} + {{{\mathbf{L}}}_{{\text{p}}}}.$ Если $i_{{\text{p}}}^{'}$ и $i_{{12}}^{'}$ – вспомогательные углы наклона плоскостей орбит планеты и звезд к плоскости Лапласа (рис. 2), то условие перпендикулярности вектора ${{{\mathbf{L}}}_{{{\text{tot}}}}}$ к плоскости Лапласа выполняется, если (см. [1, 14])

(6)
${{L}_{{\text{p}}}}\sin i_{{\text{p}}}^{'} = {{L}_{{12}}}\sin i_{{12}}^{'}.$

Для вспомогательных углов $i_{{\text{p}}}^{'}$ и $i_{{12}}^{'}$ имеем систему двух уравнений

(7)
$\frac{{\sin i_{{\text{p}}}^{'}}}{{\sin i_{{12}}^{'}}} = \frac{{{{L}_{{12}}}}}{{{{L}_{{\text{p}}}}}} = \gamma ,\quad i_{{\text{p}}}^{'} + i_{{12}}^{'} = \Delta i.$

Две формулы (7) можно объединить в одну, выразив наклон плоскости орбит двойной звезды $i_{{12}}^{'}$ к плоскости Лапласа через суммарный угол $\Delta i$

(8)
$i_{{12}}^{'} = \arctan \frac{{\sin \Delta i}}{{\gamma + \cos \Delta i}}.$

Тогда, согласно формулам (3) и (5), отношение модулей угловых орбитальных моментов двойной звезды и планеты в циркумбинарной системе будет равно

(9)
$\gamma = \frac{{{{L}_{{12}}}}}{{{{L}_{p}}}} = \sqrt {\frac{{1 - e_{{12}}^{2}}}{{1 - e_{{\text{p}}}^{2}}}} \left[ {\frac{{{{M}_{1}}\sqrt {{{{\bar {M}}}_{1}}{{a}_{1}}} + {{M}_{2}}\sqrt {{{{\bar {M}}}_{2}}{{a}_{2}}} }}{{m\sqrt {\left( {{{M}_{1}} + {{M}_{2}}} \right){{a}_{{\text{p}}}}} }}} \right].$

3. РАСЧЕТ ОРИЕНТАЦИИ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ В ЦИРКУМБИНАРНЫХ ЭКЗОСИСТЕМАХ

Из литературы была собрана необходимая информация о восьми циркумбинарных экзосистемах, которую мы разместили в табл. 1 и 2. В этих таблицах приводятся известные из наблюдений для каждой системы данные о массах $\left( {{{M}_{1}},{{M}_{2}},{{m}_{{\text{p}}}}} \right)$, полуосях $\left( {{{a}_{{12}}},{{a}_{{\text{p}}}}} \right)$, эксцентриситетах $\left( {{{e}_{{12}}},{{e}_{{\text{p}}}}} \right)$ и ориентации орбит $\left( {{{i}_{{12}}},{{i}_{{\text{p}}}},{{\omega }_{{12}}},{{\omega }_{{\text{p}}}},\Delta {{{{\Omega }}}_{{\text{p}}}}} \right)$ для звезд и планеты. Для удобства весь массив из восьми экзосистем разбит на две группы.

Таблица 1.

Параметры циркумбинарных систем Kepler-16 (Doyle et al. [15]); Kepler-35 (Welsh et al. [16]); Kepler-38 (Orosz et al. [17]); Kepler-413 (Kostov et al. [18]). Звездочкой “*” отмечена экзосистема, частично изученная в [13]

Система Kepler-16 Kepler-35 Kepler-38 *Kepler-413
M1[MSun] 0.6897 ± 0.0035 0.888 ± 0.005 0.95 ± 0.06 0.820 ± 0.015
M2[MSun] 0.2026 ± 0.0007 0.809 ± 0.004 0.249 ± 0.009 0.542 ± 0.008
a12 [а.е.] 0.22431 ± 0.00035 0.17617 ± 0.00 030 0.1469 ± 0.0026 0.10148 ± 0.00057
e12 0.1594 ± 0.0006 0.1421 ± 0.0015 0.1032 ± 0.0012 0.0365 ± 0.0023
i12 [°] 90.3399 ± 0.0018 90.424 ± 0.008 89.265 ± 0.026 87.332 ± 0.050
ω12 [°] 263.464 ± 0.026 86.513 ± 0.037 −91.320 ± 0.036 279.74 ± 0.62
mp [MEarth] 106 ± 5 40 ± 6 70 ± 41 67 ± 21
ap [а.е.] 0.7048 ± 0.0011 0.6035 ± 0.0010 0.464 ± 0.008 0.355 ± 0.002
ep 0.0067 ± 0.0012 0.043 ± 0.006 0.005 ± 0.010 0.1181 ± 0.0018
ip [°] 90.0322 ± 0.0022 90.77 ± 0.11 89.446 ± 0.030 89.929 ± 0.024
ωp [°] 312 ± 16 62 ± 26 33 ± 72 94.6 ± 2.2
ΔΩp [°] 0.003 ± 0.013 −1.28 ± 0.29 −0.01 ± 0.05 3.139 ± 0.080
Δi [°] 0.308 ± 0.003 1.33 ± 0.28 0.182 ± 0.040 4.073 ± 0.113
Таблица 2.

Параметры циркумбинарных систем Kepler-1647 (Kostov et al. [19]); Kepler-1661 (Socia et al. [20]); TOI-1338 (Kostov et al. [21]); Kepler-453 (Welsh et al. [16]). Звездочкой “*” отмечена экзосистема, частично изученная в [13]

Система Kepler-1647 Kepler-1661 TOI-1338 *Kepler-453
M1[MSun] 1.221 ± 0.011 0.841 ± 0.022 1.04 ± 0.07 0.944 ± 0.010
M2[MSun] 0.968 ± 0.004 0.262 ± 0.005 0.297 ± 0.012 0.1951 ± 0.0020
a12 [а.е.] 0.1276 ± 0.0002 0.187 ± 0.002 0.1288 ± 0.0025 0.18539 ± 0.00066
e12 0.1602 ± 0.0004 0.112 ± 0.002 0.1560 ± 0.0002 0.0524 ± 0.0037
i12 [°] 87.916 ± 0.015 88.76 ± 0.02 89.69 ± 0.15 90.266 ± 0.052
ω12 [°] 300.54 ± 0.09 36.4 ± 1.1 117.56 ± 0.07 263.05 ± 0.48
mp [MEarth] 483 ± 206 17 ± 12 30 ± 20 0.2 ± 16.0
ap [а.е.] 2.721 ± 0.007 0.633 ± 0.005 0.449 ± 0.009 0.7903 ± 0.0028
ep 0.06 ± 0.07 0.057 ± 0.005 0.0933 ± 0.0038 0.0359 ± 0.0088
ip [°] 90.097 ± 0.004 89.46 ± 0.02 89.3 ± 0.3 89.4429 ± 0.0091
ωp [°] 155 ± 147 67 ± 5 263 ± 4 185.1 ± 3.7
ΔΩp [°] −2.04 ± 0.36 0.61 ± 0.03 0.87 ± 0.35 2.103 ± 0.055
Δi [°] 2.99 ± 0.25 0.93 ± 0.03 0.97 ± 0.35 2.258 ± 0.039

Во второй таблице аналогичные сведения даны о другой группе циркумбинарных экзосистем.

Затем с помощью формул (7), (8) и (9) мы рассчитали четыре важные характеристики для каждой циркумбинарной экзосистемы. Прежде всего это отношение модулей угловых орбитальных моментов двойной звезды и планеты $\gamma = \frac{{{{L}_{{12}}}}}{{{{L}_{{\text{p}}}}}}.$ Кроме того, в каждой экзосистеме были найдены вспомогательные углы наклона плоскостей орбит двойной звезды $i_{{12}}^{'}$ и планеты $i_{{\text{p}}}^{'}$ к плоскости Лапласа. Это позволило вычислить и четвертую величину $\Delta i,$ представляющую угол взаимного наклона плоскости орбиты планеты и плоскости орбит звезд. Результаты этих расчетов даны в табл. 3 и 4.

Таблица 3.

Величины, рассчитанные для первой группы циркумбинарных экзосистем: это отношение модулей угловых орбитальных моментов двойной звезды и планеты $\gamma = \frac{{{{L}_{{12}}}}}{{{{L}_{{\text{p}}}}}},$ а также наклоны орбитальных моментов звездной пары $i_{{12}}^{'}$ и планеты $i_{{\text{p}}}^{'}$ к суммарному угловому моменту. Сумма двух последних углов равна $\Delta i$

Система Kepler-16 Kepler-35 Kepler-38 Kepler-413
γ 274 1870 529 873
$i_{{12}}^{'}$ [°] (1.12 ± 0.05) × 10−3 (7 ± 2) × 10−4 (3 ± 2) × 10−4 (4.7 ± 1.5) × 10−3
$i_{{\text{p}}}^{'}$ [°] 0.307 ± 0.003 1.3 ± 0.3 0.18 ± 0.04 4.07 ± 0.11
Таблица 4.

Значения тех же характеристик, как и в табл. 3, для второй группы циркумбинарных экзосистем

Система Kepler-1647 Kepler-1661 TOI-1338 Kepler-453
γ 80 2120 1360 1.3 × 105
$i_{{12}}^{'}$ [°] (3 ± 2) × 10−2 (4 ± 3) × 10−4 (7 ± 5) × 10−4 (0.2 ± 13.9) × 10−4
$i_{{\text{p}}}^{'}$ [°] 2.95 ± 0.25 0.93 ± 0.03 0.97 ± 0.35 2.26 ± 0.04

Большие значения $\gamma = \frac{{{{L}_{{12}}}}}{{{{L}_{{\text{p}}}}}}$ у всех экзосистем в табл. 3 и 4 объясняются тем, что в числителе этого отношения стоит величина орбитального (а не спинового) углового момента звезд. Доминирующий характер углового момента звездной пары в рассматриваемых циркумбинарных системах виден и по малому значению угла $i_{{12}}^{'}$.

Обратим также внимание на то, что для всех рассматриваемых циркумбинарных систем угол $\Delta i \ne 0,$ что говорит о некомпланарности орбит звезд и планеты относительно плоскости Лапласа, именно некомпланарность плоскостей орбит и приводит к прецессии узлов у всех трех тел. Подробнее эту нодальную прецессию мы рассматриваем в разделе 4.

4. ВЕКОВАЯ ПРЕЦЕССИЯ ПРОБНЫХ ОРБИТ В ЦИРКУМБИНАРНЫХ СИСТЕМАХ

Для изучения эволюции внешних орбит прежде всего надо знать внешний гравитационный потенциал R-тороида. Так как фигура R-тороида имеет круговую симметрию, нас интересуют, прежде всего.

4.1. Зональные гармоники внешнего потенциала R-тороида

Как показано в [1], см. также [13], две главные зональные гармоники внешнего потенциала R‑тороида равны

(10)
$\begin{gathered} C_{{20}}^{R} = - \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{3}{2}e_{R}^{2}} \right)\frac{{3{{{\cos }}^{2}}{{i}_{R}} - 1}}{2}; \\ C_{{40}}^{R} = \frac{3}{8}\left( {1 + 5e_{R}^{2} + \frac{{15}}{8}e_{R}^{4}} \right)\frac{{35{{{\cos }}^{4}}{{i}_{R}} - 30{{{\cos }}^{2}}{{i}_{R}} + 3}}{8}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{e}_{R}},{{i}_{R}}$ – эксцентриситет и наклон орбиты к плоскости Лапласа для той звезды или планеты, для которой создана модель R-тороида.

По формулам (10), с учетом данных в табл. 1 и 2 эксцентриситетов орбит и рассчитанных выше углов ориентации (см. табл. 3 и 4), мы нашли значения двух коэффициентов $C_{{20}}^{R}$ и $C_{{40}}^{R}$ зональных гармоник потенциала R-тороидов. Эти результаты размещены в соответствующих строках в табл. 5 и 6.

Таблица 5.

Оценки коэффициентов 2-й и 4-й зональных гармоник R-тороидов двух звезд $С_{{20}}^{1}$, $С_{{20}}^{2}$, $С_{{40}}^{1}$, $С_{{40}}^{2}$ и планеты $C_{{20}}^{{\text{p}}}$, $C_{{40}}^{{\text{p}}}$. Здесь даны также: скорости ${{\dot {\Omega }}}_{R}^{0}$ прецессии линии узлов орбиты пробной планеты от отдельного взятого тороида из трех в вырожденном случае (a = 1 а.е., e = 0, i = 0°), где индекс принимает значения $R = \left\{ {1,2,{\text{p}}} \right\}$; скорости прецессии линии узлов и линии апсид орбиты пробной планеты от всех тороидов в вырожденном случае $\dot {\Omega }_{{12{\text{p}}}}^{0}$, $\dot {\omega }_{{12{\text{p}}}}^{0}$, $\dot {\omega }_{{12{\text{p}}}}^{0}$, а также соответствующие этим скоростям периоды прецессии ${{\left( {T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}}} \right)}_{0}}$ и ${{\left( {T_{\omega }^{{12{\text{p}}}}} \right)}_{0}}$

Система Kepler-16 Kepler-35 Kepler-38 Kepler-413
$С_{{20}}^{1}$ = $С_{{20}}^{2}$ −0.5191 ± 0.0001 −0.5151 ± 0.0003 −0.5080 ± 0.0002 −0.5010 ± 0.0001
$С_{{40}}^{1}$ = $С_{{40}}^{2}$ 0.4231 ± 0.0004 0.4131 ± 0.0008 0.3950 ± 0.0005 0.3775 ± 0.0003
$С_{{20}}^{{\text{p}}}$ −0.50001 ± 0.00001 −0.5010 ± 0.0004 −0.50001 ± 0.00008 −0.5066 ± 0.0003
$С_{{40}}^{{\text{p}}}$ 0.37503 ± 0.00003 0.377 ± 0.001 0.3750 ± 0.0002 0.3912 ± 0.0010
${{\dot {\Omega }}}_{1}^{0}$ [10−10 с−1] −2.93 ± 0.02 −7.40 ± 0.04 −1.23 ± 0.11 −1.72 ± 0.04
${{\dot {\Omega }}}_{2}^{0}$ [10−10 с−1] −10.00 ± 0.03 −8.12 ± 0.04 −4.67 ± 0.18 −2.60 ± 0.04
${{\dot {\Omega }}}_{{\text{p}}}^{0}$ [10−10 с−1] −0.25 ± 0.01 −0.05 ± 0.01 −0.06 ± 0.04 −0.03 ± 0.01
${{\dot {\Omega }}}_{{12{\text{p}}}}^{0}$ [10−9 с−1] −1.32 ± 0.01 −1.56 ± 0.01 −0.60 ± 0.03 −0.43 ± 0.06
$\dot {\omega }_{{12{\text{p}}}}^{0}$ [10−9 с−1] 2.64 ± 0.01 3.01 ± 0.01 1.19 ± 0.05 0.84 ± 0.11
${{(T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}})}_{0}}$ [лет] 151.1 ± 0.6 127.9 ± 0.5 334 ± 15 459 ± 6
${{(T_{\omega }^{{12{\text{p}}}})}_{0}}$ [лет] 75.6 ± 0.3 63.9 ± 0.3 167 ± 8 229 ± 3
Таблица 6.

Даны те же самые величины, что и в табл. 5, для второй группы экзопланет

Система Kepler-1647 Kepler-1661 TOI-1338 Kepler-453
$С_{{20}}^{1}$ = $С_{{20}}^{2}$ −0.5192 ± 0.0001 −0.5094 ± 0.0003 −0.51825 ± 0.00004 −0.5021 ± 0.0003
$С_{{40}}^{1}$ = $С_{{40}}^{2}$ 0.4236 ± 0.0002 0.3986 ± 0.0008 0.42105 ± 0.00009 0.3802 ± 0.0007
$С_{{20}}^{{\text{p}}}$ −0.501 ± 0.006 −0.5022 ± 0.0004 −0.5063 ± 0.0006 −0.4998 ± 0.0005
$С_{{40}}^{{\text{p}}}$ 0.376 ± 0.015 0.381 ± 0.001 0.3908 ± 0.0014 0.3745 ± 0.0012
${{\dot {\Omega }}}_{1}^{0}$ [10−10 с−1] −4.07 ± 0.02 −2.4 ± 0.1 −1.1 ± 0.1 −1.34 ± 0.03
${{\dot {\Omega }}}_{2}^{0}$ [10−10 с−1] −5.14 ± 0.03 −7.7 ± 0.2 −4.0 ± 0.2 −6.47 ± 0.06
${{\dot {\Omega }}}_{{\text{p}}}^{0}$ [10−10 с−1] −11 ± 5 −0.03 ± 0.02 −0.024 ± 0.016 −0.0005 ± 0.04
${{\dot {\Omega }}}_{{12{\text{p}}}}^{0}$ [10−9 с−1] −2.0 ± 0.5 −1.01 ± 0.03 −0.52 ± 0.02 −0.78 ± 0.01
$\dot {\omega }_{{12{\text{p}}}}^{0}$ [10−9 с−1] 4.0 ± 0.9 2.02 ± 0.05 1.03 ± 0.05 1.56 ± 0.02
${{(T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}})}_{0}}$ [лет] 99 ± 23 196 ± 5 386 ± 18 255 ± 3
${{(T_{\omega }^{{12{\text{p}}}})}_{0}}$ [лет] 50 ± 13 98 ± 3 193 ± 9 128 ± 2

4.2. Уравнения прецессии пробных орбит в гравитационном поле R-тороида

Согласно [1], применение модели R-тороида справедливо для пробных тел с орбитальными периодами большими, чем период узловой прецессии кольца Гаусса ${{T}_{{{\Omega }}}}$, заполняющего тороид. Следовательно, в данном подходе можно рассматривать только те пробные орбиты, полуоси которых больше некоторого критического значения ${{a}_{{{\text{cr}}}}}$

(11)
${{a}_{{{\text{cr}}}}} = {{\left( {\frac{\mu }{{4{{\pi }^{2}}}}} \right)}^{{\frac{1}{3}}}}T_{\Omega }^{{\frac{2}{3}}}.$

Скорость прецессии линии узлов и линии апсид пробной орбиты под влиянием гравитационного поля R-тороида описываются дифференциальными уравнениями

(12)
${{\left( {\frac{{d{{\Omega }}}}{{dt}}} \right)}_{R}} = {{\dot {\Omega }}}_{R}^{0}{{\left( {\frac{{{{a}_{{\text{E}}}}}}{a}} \right)}^{{\frac{7}{2}}}}\frac{{\cos i}}{{{{{\left( {1 - {{e}^{2}}} \right)}}^{2}}}};$
(13)
${{\left( {\frac{{d\omega }}{{dt}}} \right)}_{R}} = \dot {\omega }_{R}^{0}{{\left( {\frac{{{{a}_{{\text{E}}}}}}{a}} \right)}^{{\frac{7}{2}}}}\frac{{5{{{\cos }}^{2}}i - 1}}{{4{{{\left( {1 - {{e}^{2}}} \right)}}^{2}}}},$
где R = {1, 2, p} – индекс, обозначающий конкретный R-тороид, ${{a}_{{\text{E}}}}$ равно одной астрономической единице в нужных единицах измерения; коэффициенты частот равны

(14)
$\begin{gathered} {{\dot {\Omega }}}_{R}^{0} = \frac{3}{2}C_{{20}}^{R}\frac{{{{m}_{R}}}}{{{{M}_{1}} + {{M}_{2}}}}\sqrt {\frac{{G\left( {{{M}_{1}} + {{M}_{2}}} \right)}}{{a_{R}^{3}}}} {{\left( {\frac{{{{a}_{R}}}}{{{{a}_{E}}}}} \right)}^{{\frac{7}{2}}}}, \\ \dot {\omega }_{R}^{0} = - 2\dot {\Omega }_{R}^{0}. \\ \end{gathered} $

Заметим, что коэффициенты (14) равны частотам прецессии линии узлов и линии апсид пробной планеты под влиянием каждого из трех тороидов в вырожденном случае ($a = 1$ a.e., $e = 0$, $i = 0^\circ $).

4.3. Расчет частот и периодов прецессии пробных орбит в суммарном гравитационном поле трех R-тороидов

В данной задаче для изучения вековой динамики циркумбинарной системы была создана совокупность из трех моделей R-тороида (две звезды плюс планета). Рассмотрим теперь суммарное влияние силовых полей этих трех тороидов на прецессию пробных орбит. Прежде всего для суперпозиции введенных выше коэффициентов имеем уравнения

(15)
${{\dot {\Omega }}}_{{12{\text{p}}}}^{0} = {{\dot {\Omega }}}_{1}^{0} + {{\dot {\Omega }}}_{2}^{0} + {{\dot {\Omega }}}_{{\text{p}}}^{0};\quad \dot {\omega }_{{12{\text{p}}}}^{0} = - 2{{\dot {\Omega }}}_{{12{\text{p}}}}^{0};$
(16)
${{(T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}})}_{0}} = \frac{{2\pi }}{{\left| {\left( {\frac{{d{{\Omega }}}}{{dt}}} \right)_{{12{\text{p}}}}^{0}} \right|}};\quad {{(T_{\omega }^{{12{\text{p}}}})}_{0}} = \frac{1}{2}T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}},$
а соответствующие этим коэффициентам частот коэффициенты периодов прецессии запишутся в виде

(16a, b)
${{(T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}})}_{0}} = \frac{{2\pi }}{{\left| {\left( {\frac{{d{{\Omega }}}}{{dt}}} \right)_{{12{\text{p}}}}^{0}} \right|}};\quad {{(T_{\omega }^{{12{\text{p}}}})}_{0}} = \frac{1}{2}T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}}.$

Следовательно, периоды узловой и апсидальной прецессии пробной планеты под влиянием трех тороидов будут равны

(17)
$T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}} = {{(T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}})}_{0}}{{\left( {\frac{a}{{{{a}_{{\text{E}}}}}}} \right)}^{{\frac{7}{2}}}}\frac{{{{{(1 - {{e}^{2}})}}^{2}}}}{{\cos i}};$
(18)
$T_{\omega }^{{12{\text{p}}}} = {{(T_{\omega }^{{12{\text{p}}}})}_{0}}{{\left( {\frac{a}{{{{a}_{{\text{E}}}}}}} \right)}^{{\frac{7}{2}}}}\frac{{4{{{(1 - {{e}^{2}})}}^{2}}}}{{5{{{\cos }}^{2}}i - 1}}.$

Результаты расчетов по этим формулам показаны в табл. 5 и 6.

Из формул (17) и (18) находим отношение периодов нодальной и апсидальной прецессии для пробной орбиты (или, представляющего эту орбиту оскулирующего кольца Гаусса)

(19)
$\frac{{T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}}}}{{T_{\omega }^{{12{\text{p}}}}}} = - \frac{{5{{{\cos }}^{2}}i - 1}}{{2\cos i}} \approx - 2\left( {1 - \frac{3}{4}{{i}^{2}} + O({{i}^{6}})} \right).$

Из (19) следует, что модуль отношения периодов нодальной и апсидальной прецессии у внешнего кольца Гаусса, имеющего малый наклон $i$ и находящегося в гравитационном поле R-тороида, оказывается чуть меньше 2:

(20)
$\left| {\frac{{T_{{{\Omega }}}^{'}}}{{T_{\omega }^{'}}}} \right| \leqslant 2.$

Результат (20) подтверждается при моделировании экзопланеты KOI 120.01 в [16].

Заметим, что прецессия при больших углах наклона пробных орбит в нашей работе не рассматривается.

Рассчитаем теперь по формулам (17) и (18) периоды прецессии пробной планеты в зависимости от большой полуоси орбиты в случае нулевых значений эксцентриситета и наклона орбиты к главной плоскости (a = acr, e = 0, i = 0°).

Графики на рис. 3–10 построены от критического (наименьшего возможного в модели) значения полуоси пробной планеты ${{a}_{{{\text{cr}}}}}$. Например, для системы Kepler-413 при значении $a = {{a}_{{{\text{cr}}}}}$ имеем оценку периода апсидальной прецессии $T_{\omega }^{{12{\text{p}}}}$ = = $\left( {102 \pm 1} \right) \times {{10}^{3}}$ лет, а для периода прецессии долготы восходящего узла $T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}}$ = $\left( {203 \pm 3} \right) \times {{10}^{3}}$ лет. Для системы Kepler-453, соответственно, находим $T_{\omega }^{{12{\text{p}}}}$ = $\left( {87 \pm 1} \right) \times {{10}^{5}}$ лет и $T_{{{\Omega }}}^{{12{\text{p}}}}$ = $\left( {173 \pm 2} \right) \times {{10}^{5}}$ лет.

Рис. 3.

Графики (в логарифмической шкале по обеим осям) зависимости периода прецессии орбиты пробной планеты (в годах) от ее полуоси, измеряемой в астрономических единицах для системы Kepler-16 в вырожденном случае $e = 0$ и $i = 0$: слева – для прецессии перицентра линии апсид $T_{\omega }^{{12p}}\left( a \right)$, справа – для прецессии восходящего узла $T_{\Omega }^{{12p}}\left( a \right)$.

Рис. 4.

То же самое, что на рис. 3, но для планеты Kepler-35.

Рис. 5.

То же самое, что на рис. 3, но для планеты Kepler-38 (две дополнительные линии появились здесь вследствие неопределенности наблюдаемых величин).

Рис. 6.

То же самое, что на рис. 3, но для планеты Kepler-413.

Рис. 7.

То же самое, что на рис. 3, но для планеты Kepler-453.

Рис. 8.

То же самое, что на рис. 3, но для планеты Kepler-1647 (две дополнительные линии появились здесь вследствие неопределенности наблюдаемых величин).

Рис. 9.

То же самое, что на рис. 3, но для планеты Kepler-1661.

Рис. 10.

То же самое, что на рис. 3, но для планеты TOI-1338 (две дополнительные линии появились здесь вследствие неопределенности наблюдаемых величин).

5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Исследование циркумбинарных экзосистем, состоящих из двойной звезды и внешней экзопланеты – важная задача в астрономии: открытие таких тройных систем не только расширяет наши представления о существовании в природе новых удивительных конфигураций звезд и планет, в которых, между прочим, может существовать жизнь, но и на конкретных примерах позволяет изучать интересный динамический эффект – дестабилизирующее действие двойной системы по сравнению со случаем замены двойной системы одной звездой.

В русле данного направления лежит и наша работа, где изучается прецессия пробных орбит в циркумбинарных системах. О важности постановки задачи о пробных орбитах свидетельствуют многие работы, см., например, статьи [5] и [12], где численным методом исследовалась устойчивость пробных орбит спутников экзопланет в циркумбинарных системах (причем сами спутники пока не обнаружены).

Для изучения апсидальной и нодальной прецессии пробных орбит у нас был разработан (см. также [1] и [13]) новый метод, опирающийся на суперпозицию из трех R-тороидов. Здесь данный метод применяется к восьми экзосистемам: Kepler-16, Kepler-35, Kepler-38, Kepler-413, Kepler-453, Kepler-1661, Kepler-1647 и TOI-1338. Для каждой экзосистемы были найдены углы ориентации угловых моментов звездной пары ${{L}_{{12}}}$ и экзопланеты ${{L}_{{\text{p}}}}$ относительно плоскости Лапласа, вычислены отношения $\gamma = {{L}_{{12}}}{\text{/}}{{L}_{{\text{p}}}}$ и зональные гармоники внешних гравитационных потенциалов трех R-тороидов. Затем, используя найденное в [1] выражение взаимной энергии между тороидом и кольцом Гаусса, были получены уравнения для частот апсидальной и нодальной прецессии пробных орбит. Анализ решений этих уравнений показал, что основной вклад в прецессию орбит вносят R‑тороиды звездной пары (однако, в случае Kepler-1647 [19] влияние планеты является заметным и его также необходимо учитывать).

Было установлено, что в гравитационном поле R-тороида отношение периодов апсидальной и нодальной прецессии у кольца Гаусса слабо зависит от угла наклона и имеет значение чуть больше (–2), см. формулу (19). Подчеркнем, что известные из литературы методы изучения циркумбинарных систем (Heppenheimer [6], Moriwaki & Nakagawa [9], Demidova & Shevchenko [7], Shevchenko [8]) являются частными случаями изложенного здесь метода R-тороидов, так как у нас дополнительно учитываются не только эксцентриситеты орбит основных тел, но также наклон этих орбит к плоскости Лапласа и гравитационное возмущение от третьего тела (планеты). Важность более общего подхода очевидна, так как именно при учете наклона орбит и возникает сам процесс их нодальной прецессии.

Заметим также, что отмеченный в работах [6, 7, 9] эффект периодических пульсаций эксцентриситета орбиты планеты в циркумбинарных системах не препятствуют применению указанного метода R-тороидов. Дело в том, что все объекты в нашей выборке имеют малые эксцентриситеты орбит $\left( {{{e}_{{12}}},{{e}_{{\text{p}}}}} \right)$, поэтому влияние колебаний малого эксцентриситета будет также незначительным. В связи с этим напомним, что в отмеченной выше работе [6] одним из основных выводов как раз и является возможность образования планет из планетезималей на орбитах именно с малыми эксцентриситетами. Но в принципе, даже если у какой-то циркумбинарной системы эксцентриситет орбиты планеты будет заметно отличаться от нуля, формулы нашего метода все равно будут работать, для этого достаточно выполнить лишь одно дополнительное усреднение.

В заключение заметим, что в проблеме циркумбинарных экзосистем кроме изучения пробных орбит, большой интерес представляет и исследование эволюции орбит самих трех тел (двух звезд и экзопланеты), из которых состоит экзосистема. Решение этой задачи мы проведем в следующей работе.

Список литературы

  1. Б. П. Кондратьев, В. С. Корноухов, Астрон. журн. 98, № 5, 434 (2021).

  2. B. P. Kondratyev, N. G. Trubitsyna, and E. Sh. Mu-khametshina, Order and Chaos in Stellar and Planetary Systems (San Francisco, p. 326, 2004).

  3. B. P. Kondratyev, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 442, 1755 (2014).

  4. St. Raetz et al., Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 460, 2834 (2016).

  5. A. S. Hamers et al., Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 480, 3, 3800 (2018).

  6. T. A. Heppenheimer, Astron. and Astrophys. 65, 421 (1978).

  7. T. V. Demidova and I. I. Shevchenko, Astrophys. J. 805, 38 (2015).

  8. I. I. Shevchenko, Dynamical Chaos in Planetary Systems (Springer Nature, 2020).

  9. K. Moriwaki and Y. Nakagawa, Astrophys. J. 609, 1065 (2004).

  10. J. W. Barnes et al., Astrophys. J. 774, 53 (2013).

  11. Ch. Chen, A. Franchini, S. H. Lubow, G. Rebecca, and R. G. Martin, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 490, 5634 (2019).

  12. B. C. Bromley and S. J. Kenyon, Astron. J. 161, 1, id. 25, 12 (2021).

  13. Б. П. Кондратьев, В. С. Корноухов, Астрон. журн. 98, 571 (2021).

  14. B. P. Kondratyev, Solar System Research 46, 352 (2014).

  15. Doyle et al., Science 333, 6049, 1602 (2011).https://doi.org/10.1126/science.1210923

  16. W. F. Welsh et al., Astrophys. J. 809, article id. 26, 17 Б (2015).

  17. J. A. Orosz et al., Astrophys. J. 758, 2, article id. 87, 14 (2012).

  18. B. Kostov et al., Astrophys. J. 784, 14, 18 (2014).

  19. V. B. Kostov et al., Astrophys. J. 827, 1, id. 86, 26 (2016).

  20. Q. J. Socia et al., Astron. J. 159, 3, id. 94, 17 (2020).

  21. V. B. Kostov et al., Astrophys. J. 160, 4, id.174, 9 (2020).

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Астрономический журнал

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал