Астрономический вестник, 2020, T. 54, № 5, стр. 431-445

Модель Титана

Предполагается, что спутник состоит из трех оболочек разного состава (Дунаева и др., 2016; Kuskov, Kronrod, 2005): (1) ледяная кора из гексагонального льда I_h ± подстилающий водный слой (океан) ± льды высокого давления III, V, VI); (2) промежуточного каменно-ледяного слоя (мантии), состоящего из гомогенной смеси льдов высокого давления и железокаменного материала; (3) центрального железокаменного (rock-iron) ядра, состоящего из смеси силикатов и сплавов на основе железа.

Геохимические ограничения на состав железокаменного материала Титана устанавливаются по аналогии с материалом галилеевых спутников Юпитера, для которых показана изохимичность валового состава веществу обыкновенных L/LL хондритов, содержащих до 10–15% Fe–FeS (Kronrod, Kuskov, 2006; Кусков и др., 2009). Плотность хондритового материала выбиралась в диапазоне 3.3–3.6 г/см³ (Кронрод, Кусков, 2003; Kuskov, Kronrod, 2005).

Для определения фазового состава высокобарных льдов в Титане, а также для расчета распределения плотности вещества в его водно-ледяной оболочке и каменно-ледяной мантии были использованы уравнения состояния жидкой воды (Wagner, Pruß, 2002) и Н₂О-льдов (Дунаева и др., 2010). Во внешней оболочке, сложенной льдом-I_h, предполагается крупнозернистая структура льда, что позволяет предполагать кондуктивный теплоперенос (Ruiz, 2001; Nimmo, Bills, 2010; Hemingway и др., 2013) во всей массе льда. В водном океане и конвектирующей каменно-ледяной мантии задается адиабатический градиент температуры.

Численное моделирование внутреннего строения Титана проводилось на основе имеющейся геофизической информации о массе, средней плотности и приведенном моменте инерции (табл. 1). В расчетах использованы уравнения гидростатического равновесия, сохранения массы и момента инерции спутника, уравнения кондуктивного теплопереноса во внешней ледяной I_h-коре, уравнения состояния железокаменной компоненты (Castillo-Rogez, 2010; Fortes, 2012; Kuskov и др., 1982; Kuskov и др., 2014), а также уравнения для определения концентрации ледяной компоненты в каменно-ледяной мантии (Кронрод, Кусков, 2003; Kuskov, Kronrod, 2005).

Алгоритм расчета радиального строения спутника описан в работах (Дунаева и др., 2014; 2016). В результате решения находятся: распределение по глубине мантии плотности льдов высокого давления и их фазовые границы; массовые концентрации льдов и породы в каменно-ледяной мантии; мощность и плотность ледяной I_h-коры, внутреннего океана и высокобарных льдов в составе ВЛО; размеры и плотность железокаменного ядра; соотношение вода(лед)/порода в мантии Титана и в спутнике в целом. Основные ограничения на строение водно-ледяной оболочки, каменно-ледяной мантии и железокаменного ядра в интервале безразмерных моментов инерции 0.31 ≤ I* ≤ 0.36 приведены в работе (Дунаева и др., 2016). Физические параметры Титана, используемые в модели, а также характеристики его структурных оболочек, полученные в результате расчетов при I* = 0.342, приведены в табл. 1.

При P-T условиях недр Титана можно считать, что адиабатический модуль сжатия K_S равен изотермическому модулю K_T (Sohl и др., 2014), поэтому вводится понятие модуля сжатия (K), K = K_S = K_T.

Расчет модельных чисел Лява

Приливный отклик планеты (спутника) зависит от структуры и реологии внутренних областей – распределения значений упругих модулей, которые в свою очередь зависят от частоты приливного воздействия со стороны центральной планеты и других спутников, и характеризуется числами k₂, h₂. Величина чисел Лява в основном определяется как размером и состоянием внешней ледяной оболочки спутника, так и агрегатным состоянием (твердое или жидкое) среды под ней. Недра планетарного тела, в зависимости от продолжительности воздействия, обнаруживают как упругие, так и вязкие свойства. В планетологии при моделировании упругих характеристик планет в основном рассматривается простейшая реологическая модель – тело Максвелла, в которой время релаксации равно отношению вязкости к модулю сдвига. В работах (Baland и др., 2014; Mitri и др., 2014) отмечено, что вязкость не оказывает существенного влияния на приливный отклик планеты на частотах приливов, и эффект вязкости можно не учитывать. Такой же подход был применен в работах (Sohl и др., 2003; 2014; Beuthe, 2015). Длительность приливного отклика в Титане ничтожно мала по сравнению с Максвеловским временем релаксации, поэтому океан моделируется как невязкий жидкий слой с нулевым модулем сдвига.

Мы полагаем, что внешняя водно-ледяная оболочка Титана, каменно-ледяной слой под ней (каменно-ледяная мантия) и железокаменное ядро упруго реагируют на приливные силы, действующие со стороны Сатурна. Модуль сжатия и модуль сдвига каменно-ледяной смеси зависят от соотношения их объемов в гомогенной смеси (композите) и их упругих характеристик. В данной работе значения модулей упругости каменно-ледяной мантии находились по модели усреднения Фойхта-Реусса-Хилла (Voigt-Reuss-Hill averaging):

X_VRH = (X_V + X_R)/2,

где X – модули K или μ мантии, X_V – модули, вычисленные из условия постоянства деформаций в композите: ${{X}_{V}}$ = $\sum\nolimits_{i = 1}^N {{{{v}}_{i}}{{X}_{i}}} ;$ X_R – модули, вычисленные из условия постоянства напряжений в композите: ${{X}_{R}}$ = ${{\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^N {{{{v}}_{i}}X_{i}^{{ - 1}}} } \right)}^{{ - 1}}};$ v_i – объемная доля i-го компонента смеси, N – количество компонентов в смеси.

Модули сдвига μ и модули сжатия K принимаются постоянными в каждом структурном слое Титана.

Для оценок чисел Лява Титан с достаточной степенью точности можно рассматривать как упругую неоднородную сжимаемую и гравитирующую сферу, в которой все характеристики ее внутреннего строения зависят только от расстояния до ее центра. Упругое равновесие сферы описывается связанной системой уравнений теории упругости и теории гравитационного потенциала (Молоденский, 1953; Takeuchi и др., 1962; Раевский и др., 2014). Решение этой системы уравнений, удовлетворяющих на поверхности сферы условиям отсутствия тангенциальных и нормальных напряжений, определяет значения искомых чисел Лява k₂, h₂. Числа Лява являются функционалами от распределения плотности ρ, модуля сдвига μ и модуля сжатия K в недрах планеты.

Численное решение находится интегрированием линеаризованных уравнений для малых упругих деформаций в сферически симметричном несжимаемом самогравитирующем теле с учетом граничных условий и неразрывности среды методом Рунге-Кутта (Раевский и др., 2014). Входными данными для расчета чисел Лява служат профили плотности, значения упругих модулей и ускорение силы тяжести в недрах спутника.

Модели частично дифференцированного Титана

Для расчетов чисел Лява Титана был построен ряд моделей спутника, удовлетворяющих поставленным ограничениям по массе, моменту инерции, а также фазовой диаграмме и уравнениям состояния воды в разных фазах, уравнениям состояния железокаменной компоненты (табл. 1). Как показано в работах (Дунаева и др., 2014; 2016), поверхностный тепловой поток (F) из недр Титана при заданной фазовой диаграмме воды фактически определяет размеры внешней I_h-коры и мощность океана во всех моделях спутника. Учитывая это обстоятельство и результаты (Baland и др., 2014; Beuthe, 2015), где показана однозначная зависимость чисел Лява от мощности I_h-коры для тонких по сравнению с радиусом спутника ледяных оболочек, в наших расчетах поверхностный тепловой поток применяется в качестве главного параметра моделей.

В соответствии с оценками (Sohl и др., 2014; Lorenz, 2002; Mitri, Showman, 2008; Nimmo, Bills, 2010) величина теплового потока принята равной 3.1 < F < 7 мВт/м². В этом интервале толщина водно-ледяной оболочки Титана составляет 80–170 км, внутреннего океана – 0–340 км, каменно-ледяной мантии 1130–1700 км, а радиус железокаменного (Fe-Si) ядра составляет 455–1275 км (рис. 1). Значения плотности структурных оболочек спутника приведены в табл. 1.

Мощность океана монотонно возрастает, а толщина I_h-коры уменьшается с увеличением величины F. Высокобарные льды (III, V, VI) имеют максимальную мощность 270 км при малых значениях F и исчезают при F > 5.5 мВт/м². Следует отметить, что при тепловом потоке F < F_o (F_o ∼ 3.3 мВт/м²) ВЛО Титана представлена только льдами (внутренний океан не образуется), тогда как при более высоких тепловых потоках F > F_o у спутника формируется внутренний океан. Область существования внутреннего океана в Титане, а также строение водно-ледяной оболочки спутника отражены на фазовой Т-Р диаграмме Н₂О, рис. 1б. Из рисунка следует, что температура Т на нижней границе ледяной I_h-коры отвечает температуре фазового перехода лед-I_h– жидкость и определяется из зависимости (Дунаева и др., 2010): T(K) = = 273.0159 – 0.0132P – 0.1577ln(P) + 0.1516P^0.5 (P в бар). В присутствии жидкой фазы (L) давление в слое льда-I_h должно быть меньше или равно давлению в тройной точке жидкость (L)–лед-I_h–лед-III, т.е. P ≤ 2.08 кбар при Т = 251.16–273 К (Дунаева и др., 2016).

Зависимость модельных чисел Лява от строения ВЛО

Для полученных моделей частично дифференцированного Титана были определены модельные числа Лява k₂, h₂. Предварительно для каждой модели были получены необходимые для расчета чисел Лява профили физических параметров (давления, плотности, гравитационного ускорения, модуля сжатия и модуля сдвига), приведенные на рис. 2.

На рис. 3 показано соотношение между поверхностными тепловыми потоками F, соответствующей им толщиной ледяной I_h-коры (${{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}$), и числами Лява k₂, h₂, рассчитанными для моделей частично дифференцированного Титана. Также для сравнения представлены параметры (k₂)_I ± 1σ и (k₂)_D, полученные из данных космических экспериментов (табл. 1). Значения (k₂)_I ± 2σ, приведенные в работе (Iess и др., 2012), характеризуются большим доверительным интервалом по сравнению с (k₂)_I ± 1σ, и перекрывают всю область величин k₂, определенных для_{Титана с внутренним океаном. Поэтому для получения более строгих ограничений на внутреннюю структуру спутника в качестве референтного значения принята величина (k2)D, находящаяся в пределах погрешности (k2)I ± 1σ.}

Результаты расчетов показывают близкую к линейной зависимость модельных значений чисел Лява k₂, h₂ от мощности коры и, как следствие, от величины F: значения k₂, h₂ возрастают с увеличением F и уменьшением ${{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}.$ В то же время при наличии внутреннего океана величины чисел Лява практически не зависят от мощности каменно-ледяной мантии, размеров ядра, модулей упругости мантии и ядра (Baland и др., 2014; Beuthe, 2015), что согласуется с нашими расчетами.

Модели Титана без водного океана (F < F_o, ${{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}$ > > 160 км) характеризуются числами Лява почти на порядок меньшими, чем модели с океаном. Так, значение ${{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}$ = 170 км соответствует модели Титана без океана и очень малым величинам чисел Лява (k₂ ≈ 0.041, h₂ ≈ 0.074) по сравнению с моделями с океаном, рис. 3. Минимальные числа Лява, отвечающие наличию в спутнике внутреннего океана, равны k_2min ≈ 0.44, h_2min ≈ 1.3 при ${{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}$ ≤ 160 км.

Рассчитанные величины k₂ Титана качественно согласуются со значениями, опубликованными в работах (Baland и др., 2014; Sohl и др., 2014; Beuthe, 2015) и численно превышают их на 5–25%. Значение параметра h₂, соответствующее спутнику с ледяной корой 110 км и тепловым потоком 5.07 мВт/м², равно 1.4 (рис. 3б), что близко к результатам, полученным в работе (Nimmo, Bills, 2010): h₂ = 1.2, H_Ih = 100 км, F = 5 мВт/м².

На рис. 4 показаны значения тепловых потоков, мощности ледяной коры и океана, момента инерции и чисел Лява k₂ для моделей частично дифференцированного Титана. При определенных величинах теплового потока (рис. 4) глубина океана становится настолько большой, что каменно-ледяная мантия исчезает, и модель частично дифференцированного Титана не реализуется. В интервале значений (k₂)_D (0.549 < (k₂)_D < 0.683) критическая величина момента инерции $I_{{{\text{max}}}}^{*},$ выше которой каменно-ледяная мантия не существует, составляет $I_{{{\text{max}}}}^{*}$ = 0.342 для чисел Лява k₂ > > 0.55. В соответствии со значениями (k₂)_I максимальный момент инерции спутника может быть несколько выше: $I_{{{\text{max}}}}^{*}$ = 0.348 при k₂ > 0.51.

Сравнение модельных чисел Лява k₂ с числами Лява (k₂)_I, (k₂)_D показывает (рис. 3), что расчетные значения k₂ должны удовлетворять условиям k₂ > > 0.51 для (k₂)_I и k₂ > 0.55 для (k₂)_D, что соответствует ограничениям по тепловым потокам F > > 5 мВт/м² и F > 6 мВт/м². Для смещения модельных величин k₂ в интервал допустимых значений (k₂)_D необходимо поднять минимальное значение поверхностного потока до ∼6.3 мВт/м². Возникает вопрос, какой может быть величина теплового потока F с поверхности Титана?

Поверхностный тепловой поток из Титана

Каждую рассчитываемую модель Титана можно представить как квазистационарную тепловую модель в момент времени (t), в которой поверхностный тепловой поток Титана F складываются из следующих составляющих: потока, обусловленного радиоактивным распадом долгоживущих изотопов (F_R), потока от диссипативных процессов (F_T), вызванных приливными эффектами, и потока от энергии фазового перехода (кристаллизации), выделяемой при замерзании океана (F_С).

Радиогенное тепловыделение. Величину радиогенного тепловыделения Титана F_R можно получить из тепловыделения хондритового вещества для времени t от образования Солнечной системы и отношения порода/вода в спутнике. На основе информации о радиоактивных свойствах долгоживущих изотопов, содержащихся в хондритовом веществе (²⁶Al, ⁵³Mn, ⁶⁰Fe, ⁴⁰К, ²³²Th, ²³⁵U, ²³⁸U), а также данных о концентрации этих элементов в L/LL хондритах (Wasson, Kalleymen, 1988) были произведены оценки радиогенного тепловыделения для данного типа хондритового вещества. Расчеты, выполненные за рамками данной работы, показали, что радиогенный нагрев скальной породы L/LL хондритового состава в настоящее время t = 4.5млрд лет составляет 5.14 × 10^–12 Вт/кг. Полученное значение в пределах 10% согласуется с данными Mueller, McKinnon, 1988, Spohn, Schubert, 2003, Czechowski, Witek, 2015 и в полтора-два раза превышает величины, приведенные в работах (Fortes, 2012; Sohl и др., 2014; Nimmo, Pappalardo, 2016), что, вероятно, связано с разным типом железосиликатного вещества, использованного в моделях ледяных спутников.

Зная массу Титана и учитывая, что содержание L/LL хондритовой компоненты для рассматриваемой модели спутника составляет порядка 50% (Дунаева и др., 2014), можно оценить вклад радиогенного тепловыделения в поверхностный тепловой поток F_R = 4.15 мВт/м².

В альтернативных моделях внутреннего строения Титана, предполагающих полную дифференциацию вещества спутника, железокаменное ядро может быть сложено гидратированным минеральным материалом низкой плотности типа серпентина (антигорита), близкому по составу к веществу CI хондритов (Castillo-Rogez, Lunine, 2010; Fortes, 2012; O’Rourke, Stevenson, 2014; Baland и др., 2014; Lefevre и др., 2014; Mitri и др., 2014; Sohl и др., 2014). Для таких моделей величины чисел Лява также определяются в основном строением ВЛО, физическими свойствами льда I_h и океана (Baland и др., 2014; Beuthe, 2015). Поэтому при любом составе железокаменной компоненты (CI, L/LL или вещество смешанного типа) зависимости чисел Лява и мощности ледяной коры от тепловых потоков F в ледяной коре Титана будут аналогичны приведенным на рис. 4, т.е. ограничения на величины поверхностных тепловых потоков в Титане для всех типов хондритового вещества спутника примерно одинаковы.

Наши оценки радиогенного нагрева породы CI хондритового состава, полученные по данным (Braukmüller и др., 2018), дают величину 3.46 × 10^–12 Вт/кг, что в 1.5 раза меньше тепловыделения в L/LL хондритовом веществе и, по-видимому, является минимальной теплогенерацией для хондритов. Известны модели Титана с железокаменной компонентой по составу типа серпентина (антигорита) и с внутренним океаном мощностью около 100 км (Mitri и др., 2014; Sohl и др., 2014). Слабая теплогенерация CI хондритов гипотетически может приводить к моделям Титана с полным отсутствием водного слоя. Например, если теплогенерацию в ядре с радиусом 2084 км, взятым по модели полностью дифференцированного Титана (Sohl и др., 2014), задать равной веществу CI хондритов, то величина F_R спутника, равная 4.01 мВт/м², будет близка к потокам, полученным для моделей частичной дифференциации вещества с L/LL хондритовым составом каменной компоненты (F_R = 4.15 мВт/м²). В дальнейшем, для приближенных оценок максимальных величин F_R будем применять модели частично дифференцированного Титана с L/LL хондритовым составом каменного вещества.

В большинстве известных моделях Титана учитывается только энергия радиоактивного распада. Более точные модели должны учитывать дополнительные источники нагрева, связанные с приливной диссипацией в ВЛО и выделением энергии при замерзании океана с течением времени.

Приливная энергия. Энергия диссипации (Q_T) или энергия приливного нагрева зависит от множества параметров: внутреннего строения Титана, реологии его недр, топографии, характеристик динамики спутника, гравитационных полей в системе Сатурна. В силу сложности проблемы в настоящее время имеются оценки Q_T только для конкретных моделей (Chen и др., 2014; Sohl и др., 1995; 2003; Sotin, Tobie, 2004; Hay, Matsuyama, 2019). В частности показано, что приливная диссипация в ядрах спутников хондритового состава пренебрежимо мала (Sohl и др., 2003; Sotin, Tobie, 2004). Величина Q_T для спутника без океана (Q_TS), обогащенного летучими, определена в 5.8 × 10¹⁰ Вт (Sohl и др., 1995) и 6.43 × 10¹⁰ Вт (Chen и др., 2014). Приливная энергия, выделяемая в океане (Q_TO), оценивается: Q_TO ~ 1.1 × 10¹⁰ Вт (Chen и др., 2014), Q_TO ~ 1.19 × 10¹⁰ Вт (Hay, Matsuyama, 2019). Максимальную величину приливной энергии спутника приближенно примем: Q_T ~ Q_TS + Q_TO = 7.6 × × 10¹⁰ Вт, что соответствует вкладу энергии диссипации в поверхностный тепловой поток F_T ~ ~ 0.9 мВт/м².

Энергия кристаллизации льда. Приближенные оценки средней энергии кристаллизации льда (солидификации океана), выделяемой за время эволюции Титана дают величину Q_C ~ 0.5 × 10¹² Вт (Choukroun и др., 2010). Для более точного вычисления вклада энергии кристаллизации составим приближенные балансовые уравнения поверхностных потоков F:

где индексы (i) соответствуют временам t₁, t₂, (t₂ > t₁); V_i  – объем внутреннего океана, ρ_о – средняя плотность океана, Φ – средняя по массе энергия фазового перехода вода-лед, S – площадь поверхности Титана. В силу неопределенности величин энергий диссипации и кристаллизации принято: (F_T)₁ = (F_T)₂, (F_C)₁ = (F_C)₂.

В ходе решения (1) рассматриваются две модели Титана. Первая модель для настоящего времени t₂ с (F_R)₂ = 4.15 мВт/м², и вторая модель для времени t₁ с потоком (F_R)₁. Модели должны быть максимально идентичны по составу, размерам железокаменного ядра и каменно-ледяной мантии; отличаются в основном только строением ВЛО. Количество радиогенных изотопов по законам радиоактивного распада уменьшается с течением времени, что приводит к уменьшению F_R: (F_R)₂ = (F_R)₁ – ΔF_R. Задавая величину ΔF_R (в пределах 1 мВт/м²), мы тем самым неявно задаем время t₁, которое несложно определить по зависимости F_R от времени. Средняя константа радиоактивного распада принята 1.38 × 10^–17 с^–1 (Grasset и др., 2000). Уравнения (1) решаются итерационно. На каждой n-ой итерации по времени (t₁)_{n – 1} с помощью интерполяции вычисляются (F_C)_n, затем (F_R)_1n, F_1n, F_2n, и по отношению (F_R)_1n/(F_R)₂ находится время t_1n. Здесь индекс n присваивается параметрам на n-ой итерации. В результате вычислительной процедуры находятся время t₁, поверхностный поток в настоящее время F₂ и вклад в поверхностный поток энергии кристаллизации F_C.

Теплота фазового перехода задается по (Kirk, Stevenson, 1987), где приведены средние значения Φ в поле устойчивости фаз по давлению (табл. 1). Фазы кристаллизующихся льдов определяются из сравнения решений для времен t₁, t₂. В результате решения были получены модели Титана для времени t₁ и t₂. Для времени t₁ ≈ t₂ – 350 млн лет поверхностный тепловой поток определен ∼6.3 мВт/м², мощность ледяной коры в Титане составляла 93 км, глубина океана – 310 км. Энерговыделение процессов кристаллизации льда в настоящее время определяется по изменению объема океана за время t₁ – t₂ (см. (1)) и оценивается: Q_C ∼ 6.3 × 10¹⁰ Вт. Соответствующий вклад кристаллизации в тепловой поток F_C ~ 0.76 мВт/м². Модель спутника для настоящего времени имеет мощность коры 100 км, глубину океана 280 км. Поверхностный тепловой поток состоит из вклада энергии диссипации (F_T ~ 0.9 мВт/м²), вклада энергии кристаллизации (F_C ∼ 0.76 мВт/м²), вклада энергии радиоактивного распада (F_R = 4.15 мВт/м²) и составляет F ≈ 5.8 мВт/м².

Числа Лява в моделях Титана

Полученная выше величина теплового потока обеспечивает хорошую корреляцию соответствующих ей значений мощности ледяной коры спутника и глубины внутреннего океана с экспериментальными значениями числа Лява (k₂)_I. Действительно, согласно проведенным расчетам значение F = 5.8 мВт/м² приводит к наличию в спутнике ледяной коры мощностью порядка 100 км и внутреннего океана глубиной 280 км (рис. 4).

Из рис. 4 видно, что параметр k₂ для такой модели равен 0.53, что укладывается в доверительный интервал значения (k₂)_I, однако несколько ниже величины (k₂)_D. Как следует из рис. 3, для смещения модельных величин k₂ в интервал допустимых значений (k₂)_D величины поверхностных потоков Титана должны быть не ниже 6.3 мВт/м². Тепловому потоку 6.3 мВт/м² соответствуют модели Титана с мощностью водного океана H_w ≥ 310 км под ледяной I_h-корой мощностью ${{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}$ ≤ 90.3 км.

В то же время можно заметить, что оценка теплового потока Титана 5.8 мВт/м² с учетом погрешности близка к величине F = 6.3 мВт/м², необходимой для согласования модельных значений k₂ и чисел Лява (k₂)_D, полученных по данным гравитационного поля (Durante и др., 2019). В этом случае учет погрешности вычислительного метода, а также влияния некоторых допущений, принятых в модели, может скорректировать полученные результаты. В настоящей работе числа Лява рассчитаны для реологической модели Титана, не учитывающей вязкость его недр. Механические свойства реальных твердых тел моделируются более сложными реологическими моделями, в которых модуль сдвига меняется от своего высокочастотного значения до низкочастотного, не равного нулю. При переходе от упругих моделей к неупругим модуль сдвига следует заменять на зависящий от частоты модуль сдвига (Жарков, Молоденский, 1977; 1979). При переходе к модулю сдвига на частоте прилива, величина модуля сдвига понизится. В связи с неопределенностями значения диссипативной функции в недрах спутника и показателя степени в выражении для частотной зависимости модуля сдвига, есть основания предположить, что оценочное изменение значения модуля сдвига составляет около 5%. Поэтому модельное значение числа Лява, рассчитанное для упругих модельных значений модуля сдвига, вероятно, можно увеличить на пять процентов (Δk₂ = ∼0.02–0.03), обеспечив перемещение расчетного значения k₂ в доверительный интервал (k₂)_D. Таким образом, суммируя все составляющие величины поверхностного потока Титана и, введя поправки, следующие из допущений метода расчета чисел Лява, получаем возможность построить модель спутника, для которой полученные значения k₂, полностью укладываются в интервалы погрешностей экспериментальных величин как (k₂)_I, так и (k₂)_D.

Летучие элементы и/или соли в составе океана

Полученные значения чисел Лява были рассчитаны для модели спутника с чисто водным океаном. Широко обсуждаются модели Титана с растворенными в воде летучими и/или солями. Присутствие в океане CH₄, CO₂, CO, NH₃, Ar, Ne, Xe, аммиака, метанола или растворенных солей (Tobie и др., 2009; 2012; Deschamps и др., 2010; Sohl и др., 2014; Mitri, Showman, 2008; Mitri и др., 2014; Dougherty и др., 2018; Leitner, Lunine, 2019) понижает температуру ликвидуса льда I_h, что согласно фазовым диаграммам должно уменьшать мощность ледяной оболочки и влиять на числа Лява.

Поскольку молекулярный азот является основным компонентом атмосферы Титана, а твердый кристаллогидрат NH₃ ⋅ H₂O – единственно возможный его источник, то превращение аммиака в азот могло происходить в результате различных механизмов, в том числе посредством термического разложения NН₃ ⋅ Н₂О_тв в недрах спутника (Кусков и др., 2009; Дорофеева, Рускол, 2010).

Оценки содержания NH₃ во внутреннем океане зависят от модели взаимодействия океана с железокаменной компонентой. Эволюционные модели спутника (Tobie и др., 2009; 2014) показывают, что в случае изоляции желелезокаменной компоненты от океана первоначальная концентрация NH₃ во внутреннем океане в 2–3 мас. % потенциально может привести к концентрациям NH₃ 10–15%. Соответственно, уменьшается температура плавления водного льда (в 10% растворе NH₃ температура плавления льда уменьшается на ∼14 К (Choukroun, Grasset, 2010)). Если допустить постоянный и полный контакт океана с породой, то концентрация NH₃ в настоящее время будет 5% при содержании солей 1% (Leitner, Lunine, 2019).

Следуя методике, описанной в работе (Кронрод, Кусков, 2003), мы рассчитали зависимости мощности внешней I_h ледяной оболочки от теплового потока для трех значений концентраций NH₃ в воде, рис. 5. При расчете плотности и теплопроводности льда во внешней ледяной коре аналогично (Sohl и др., 2014; Mitri, Showman, 2008) не учитывалось возможное содержание в коре солей и клатратов. Это допущение незначительно влияет на расчетные величины давления в спутнике и на положение границы ликвидуса льда. Уравнение фазовой границы H₂O-NH₃ смеси задается по (Leliwa-Kopystyński, 2002). Коэффициент теплопроводности водного льда определялся из выражения k = 0.4685 + 488/T (Sohl и др., 2014). Результаты расчетов показывают, что в диапазоне поверхностных потоков F ∼ 5.5–6.0 мВт/м² мощность льда I_h находится в интервалах: 95–100 км (0% NH₃), 90–95 км (10% NH₃), 85–90 км (20% NH₃). Приращение мощности ледяной коры в области F ≈ 5 мВт/м²за счет присутствия NH₃ в воде ($\Delta {{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}{\text{N}}{{{\text{H}}}_{{\text{3}}}}}}}$) приближенно описывается зависимостью:

$\Delta {{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}{\text{N}}{{{\text{H}}}_{{\text{3}}}}}}}$ = (115 – 0.25C – 0.025C²) км, где С – концентрация NH₃ в растворе, %.

Как уже отмечалось, числа Лява с точностью до нескольких процентов зависят только от толщины и плотности ледяной I_h-коры и океана (Baland и др., 2014). Из аппроксимационного выражения для расчета k₂, полученного Baland и др., 2014, можно найти зависимость приращений Δk₂ от приращений плотности океана (Δρ_o) и мощности коры ($\Delta {{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}$), которая имеет следующий вид (Δρ_o в кг, $\Delta {{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}$ в м):

Для моделей частично дифференцированного Титана получено среднее значение Δk₂ = –1.4 × × 10^–6$\Delta {{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}}}}.$

С помощью (2) и найденных величин $\Delta {{H}_{{{{{\text{I}}}_{h}}{\text{N}}{{{\text{H}}}_{{\text{3}}}}}}}$ можно определить влияние на k₂ примеси NH₃ в воде. Расчеты показывают, что происходит взаимная компенсация влияния на k₂ уменьшения плотности океана и уменьшения мощности коры за счет присутствия NH₃. Для 5% концентрации NH₃ изменение расчетного числа k₂ составляет ‒0.01 по сравнению с моделями чисто водного океана. Для модели океана, рассматриваемого в (Leitner, Lunine, 2019), влиянием присутствия NH₃ в воде на числа Лява можно пренебречь.

Модели Титана с плотностью океана большей, чем плотность чистой воды могут иметь существенно большие значения числа k₂. Например, присутствие сульфата аммония может давать среднюю плотность океана 1281.3 кг/м³ (Fortes, 2012), что позволяет получить приращение k₂ по сравнению с водным океаном Δk₂ = ∼0.09 + (Δk₂)_T; (Δk₂)_T – положительное приращение k₂ за счет уменьшения температуры фазового перехода лед-океан. В данной работе не обсуждаются вопросы существования такой модели.

Присутствие солей в океане меняет его плотность и мощность и, следовательно, может влиять на строение Титана при той же массе и моменте инерции спутника. Оценки плотности океана для модели контакта воды с железокаменной компонентой дают незначительное превышение над плотностью чистой воды при давлении 5 кбар (Leitner, Lunine, 2019). Наши оценки (Дунаева и др., 2014) показывают, что для концентраций растворенных примесей до 15% их присутствие влияет в основном на строение водно-ледяной оболочки Титана и слабо сказывается на структуре спутника ниже ВЛО.