1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 492, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 492, № 1, стр. 79-82

Метод блочного элемента в теории трещин нового типа

Академик РАН В. А. Бабешко 1, 2, *, О. В. Евдокимова 1, **, О. М. Бабешко 2

1 Южный научный центр Российской академии наук
Ростов-на-Дону, Россия

2 Кубанский государственный университет
Краснодар, Россия

* E-mail: babeshko41@mail.ru
** E-mail: evdokimova.olga@mail.ru

Поступила в редакцию 19.04.2019
После доработки 19.04.2019
Принята к публикации 20.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изложены основные особенности трещин нового типа, обнаруженные недавно авторами при исследовании стартовых землетрясений. Построены уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние трещин нового типа, обсуждаются вопросы их связи с трещинами Гриффитса–Ирвина.

Ключевые слова: метод блочного элемента, граничная задача, трещины нового типа, трещины Гриффитса–Ирвина

В работе рассматриваются уравнения недавно обнаруженных при изучении стартовых землетрясений трещин нового типа [1–3], дополняющих трещины Гриффитса–Ирвина [4, 5]. Трещины Гриффитса–Ирвина формируются как результат гладкого непрерывного деформирования сжимаемых с боков, до превращения в полость, отверстий в виде эллипса или окружности, находящихся в неограниченной пластине. Получившиеся полости имеют гладкую границу, а угол в вершинах трещины равен 180 градусам. Особенностью трещин нового типа является та же модель формирования полости, с той разницей, что вместо эллипса принимается прямоугольник. В пределе получается трещина с кусочно-гладкой границей, с углом в вершине, равным нулю. Для этого типа трещин формируется различный набор уравнений, в зависимости от удобства исследований. В рамках линейной теории упругости допускается после нагружения тел с трещинами снос граничных условий на границы, занимавшие положение до деформации. Это используется в уравнениях. В случае кусочно-гладкой границы у трещин нового типа в точках излома границ могут возникать концентрации напряжений, способных вызывать неограниченные напряжения и перемещения, если оставаться в рамках линейной упругости.

В реальности в этих зонах материала либо происходит разрушение среды, либо ее переход в иную реологию, пластическую, ползучести, вязкоупругую, нелинейную, приводящую к конечным напряжениям и деформациям.

Таким образом, оставаясь в рамках линейной теории упругости и ставя задачу исследования концентрации напряжений в сложных объектах и трещинах, следует мириться с появлением некоторых неограниченных параметров напряженно-деформируемой среды, что достаточно просто объясняется разрушениями либо переходами среды в иные состояния. Из сказанного следует, что принимаемая модель линейной теории упругости является индикаторной средой, служащей для выявления в зонах среды концентрации напряжений, вызываемых трещинами, включениями, и другими объектами, склонными к появлению концентраций. Заметим, что значительное отличие теоретически рассчитанных параметров разрушения сред с трещинами от экспериментальных данных, в сторону понижения, Гриффитс объяснял появлением микротрещин, которые сложно учитывать, приводящих к возникающей такой разнице [4]. Фактически, трещины нового типа и являются теми мало изученными механическими объектами, о существовании которых догадывался Гриффитс, и которые более податливы к разрушению.

ОБ УРАВНЕНИЯХ ТРЕЩИН НОВОГО ТИПА

Различным аспектам трещин Гриффитса–Ирвина посвящено большое число работ, охватить все крайне сложно. Ряд вопросов, связанных с теорией трещин Гриффитса–Ирвина, дается в работах [6–15].

В работах [1–3] рассмотрены граничные задачи, исследованные и решенные методом блочного элемента, приводящие к трещинам нового типа. Так, лежащие на деформированном основании и встречно сближающиеся торцами полубесконечные литосферные плиты до соприкосновения формируют разлом, который и представляет трещину нового типа. Ее свойства и особенности детально описаны в указанных статьях. Главная особенность состоит в том, что в зоне сближения литосферных плит контактные напряжения между плитами и основанием, на котором они лежат, приобретают сингулярные концентрации напряжений. Впервые это было обнаружено для случаев, когда литосферные плиты моделировались пластинами Кирхгофа. Исследование, выполненное в статье [1], показало, что это свойство остается в силе и для случая моделирования литосферных плит моделью трехмерной теории упругости. Именно этот результат дал основание сделать заключение о существовании трещин нового типа, дополняющих трещины Гриффитса–Ирвина.

Для построения уравнения для трещины нового типа рассмотрим полубесконечную трещину в упругом теле, которая описывается хорошо известным псевдодифференциаальным уравнением вида [6–15]

$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {k(x - \xi )} u(\xi )d\xi = {{q}^{ + }}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant \infty , \\ {{q}^{ + }}(x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{Q}^{ + }}(\alpha )} {{e}^{{ - i\alpha x}}}d\alpha , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{Q}^{ + }}(\alpha ) = \int\limits_0^\infty {{{q}^{ + }}(x)} {{e}^{{i\alpha x}}}dx,\quad U(\alpha ) = \int\limits_0^\infty {u(x)} {{e}^{{i\alpha x}}}dx, \\ k(x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {K(\alpha )} {{e}^{{ - i\alpha x}}}d\alpha , \\ K(\alpha ) \to c\left| \alpha \right|[1 + O({{\alpha }^{{ - 1}}})],\quad \left| \alpha \right| \to \infty . \\ \end{gathered} $

Ядро k(x) интегрального уравнения представляет четную обобщенную функцию. Неизвестная u(x) представляет перемещения границ берегов трещины, вызванные действующей на берега нагрузкой ${{q}^{ + }}(x)$. Функция $K(\alpha )$, как правило, представляет либо мероморфную функцию, либо аналитическую функцию параметра α, имеющую в качестве особенностей полюсы и точки ветвления.

Продолжим уравнение на всю ось, введя неизвестную функцию ${{e}^{ - }}(x),$ $x < 0$.

Тогда будем иметь уравнение в форме

(1)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {k(x - \xi )} u(\xi )d\xi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{q}^{ + }}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant \infty ,} \\ {{{e}^{ - }}(x),\quad - \infty \leqslant x < 0,} \end{array}} \right. \\ {{E}^{ - }}(\alpha ) = \int\limits_{ - \infty }^0 {{{e}^{ - }}(x)} {{e}^{{i\alpha x}}}dx. \\ \end{gathered} $

Функция представляет напряжения в упругом теле вне трещины, начиная от ее вершины. С целью исследования псевдодифференциального уравнения в классических функциях представим его в форме интегродифференциального уравнения, введя произвольный параметр m > 0:

(2)
$\begin{gathered} - \left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} - {{m}^{2}}} \right)\int\limits_0^\infty {r(x - \xi )} u(\xi )d\xi = \\ \, = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{q}^{ + }}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant \infty ,} \\ {{{e}^{ - }}(x),\quad - \infty \leqslant x < 0,} \end{array}} \right. \\ r(x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {R(\alpha )} {{e}^{{ - i\alpha x}}}d\alpha ,\quad R(\alpha ) = \frac{{K(\alpha )}}{{{{\alpha }^{2}} + {{m}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Интегродифференциальное уравнение устанавливает связь между напряжениями, действующими на берега трещины, и перемещениями берегов. Перемещения при заданных напряжениях находятся с некоторым произволом, которым определяется перемещение деформируемого объекта как твердого тела.

Далее, чтобы перейти к уравнению Винера–Хопфа, применим метод блочного элемента. Введем обозначение для интегрального выражения, положив

$\int\limits_0^\infty {r(x - \xi )} u(\xi )d\xi = w(x).$

Тогда приходим к граничной задаче на всей оси вида

$ - \left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} - {{m}^{2}}} \right)w(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{q}^{ + }}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant \infty ,} \\ {{{e}^{ - }}(x),\quad - \infty \leqslant x < 0.} \end{array}} \right.$

Найдем решение граничной задачи, построив два упакованных блочных элемента ${{w}^{ + }}(x)$ и ${{w}^{ - }}(x)$, определенных на положительной и отрицательной полуосях соответственно.

В результате будем иметь

$w(x) = {{w}^{ + }}(x) + {{w}^{ - }}(x),\quad {{w}^{ \pm }}(x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{W}_{ \pm }}(\alpha ){{e}^{{ - i\alpha x}}}d\alpha } .$

РЕЗУЛЬТАТ ИССЛЕДОВАНИЯ

В результате несложных вычислений будем иметь

$\begin{gathered} {{W}_{ - }}(\alpha ) = \frac{{i{{w}_{ - }}(0)}}{{(\alpha \neg {{\alpha }_{ + }})}} + \frac{{{{Q}^{ + }}({{\alpha }_{ + }}) - {{Q}^{ + }}({{\alpha }_{ - }})}}{{({{\alpha }_{ + }}\neg {{\alpha }_{ - }})(\alpha \neg {{\alpha }_{ + }})}} + \\ + \,\frac{{{{E}^{ - }}(\alpha ) - {{E}^{ - }}({{\alpha }_{ - }})}}{{(\alpha \neg {{\alpha }_{ + }})(\alpha \neg {{\alpha }_{ - }})}}, \\ {{W}_{ + }}(\alpha ) = - \frac{{i{{w}_{ + }}(0)}}{{(\alpha \neg {{\alpha }_{ - }})}} + \frac{{{{Q}^{ + }}(\alpha ) - {{Q}^{ + }}({{\alpha }_{ + }})}}{{(\alpha \neg {{\alpha }_{ + }})(\alpha \neg {{\alpha }_{ - }})}} - \\ \, - \frac{{{{E}^{ - }}({{\alpha }_{ - }}) - {{E}^{ - }}({{\alpha }_{ + }})}}{{({{\alpha }_{ + }}\neg {{\alpha }_{ - }})(\alpha \neg {{\alpha }_{ - }})}},\quad {{\alpha }_{ \pm }} = \pm im. \\ \end{gathered} $

Возвращаясь к принятым обозначениям, получаем интегральное уравнение Винера–Хопфа в следующем виде:

$\int\limits_0^\infty {r(x - \xi )} u(\xi )d\xi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{w}^{ + }}(x),\quad 0 \leqslant x \leqslant \infty ,} \\ {{{w}^{ - }}(x),\quad - \infty \leqslant x < 0.} \end{array}} \right.$

Решение одномерного уравнения Винера–Хопфа не представляет труда и его можно записать в виде

$\begin{gathered} U(\alpha ) = {{R}_{ + }}^{{ - 1}}(\alpha ){{\{ {{R}_{ - }}^{{ - 1}}(\alpha ){{W}_{ + }}(\alpha )\} }^{ + }}, \\ {{W}_{\neg }}(\alpha ) = - {{R}_{\neg }}(\alpha ){{\{ {{R}_{\neg }}^{{ - 1}}(\alpha ){{W}_{ + }}(\alpha )\} }^{ - }}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} R(\alpha ) = {{R}_{\neg }}(\alpha ){{R}_{ + }}(\alpha ), \\ {{\left\{ {G(\alpha )} \right\}}^{ \pm }} = \pm \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{G(\xi )}}{{\xi - \alpha }}d\xi } ,\quad \alpha \in {{D}^{ \pm }}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{D}^{ \pm }}$ для плюса – верхняя комплексная полуплоскость и для минуса – нижняя. Заметим, что функции ${{W}_{ \pm }}(\alpha )$ содержат неизвестные ${{E}^{ - }}(\alpha )$ и их функционалы ${{E}^{ - }}({{\alpha }_{ - }})$, ${{E}^{ - }}({{\alpha }_{ + }})$, подобно проблеме, возникающей в другом подходе по изучению трещин нового типа [1–3]. Эти неизвестные определяются таким же образом, как и в указанных работах, после нахождения функций ${{W}_{ \pm }}(\alpha )$.

Легко проверяется непосредственной подстановкой, что построенные решения удовлетворяют в классических функциях интегральному уравнению (1), взятому в форме (2). Заметим, что в отличие от трещин, они являются чувствительными к типу нагрузок.

Нетрудно видеть, что в зависимости от значения функционала

${v}(\xi ) = \int\limits_{ - \infty }^\xi {\frac{{Q_{2}^{ + }(\lambda )d\lambda }}{{{{R}_{ - }}(\lambda )}} = O({{\xi }^{{ - \varepsilon }}})} ,\quad \varepsilon > 0$
перемещения берегов трещины могут быть как ограниченными для больших ε, подобно трещинам Гриффитса–Ирвина, так и становиться неограниченными для достаточно малых ε, т.е. разрушают среду или переводят зону вершины трещины в иную реологию, о чем говорилось выше.

Этим свойством трещин нового типа успешно пользуются мастера стекольного дела, когда режут на части стекольное полотно. Твердым острым инструментом они наносят на поверхность стекольного полотна достаточно рваную, с негладкой границей трещину нового типа. Затем, постукивая по стеклу, заставляют функционал переходить из области больших $\varepsilon $ в область малых, подавая пиковые нагрузки на берега трещин от ударов. В результате стекольное полотно после приложения однознаковых изгибных усилий разделяется вдоль трещины, так как в этом случае ε становится заведомо малым.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, наряду с подходом, развитым при исследовании стартовых землетрясений [1–3], найдено еще одно описание трещин нового типа, дополняющих трещины Гриффитса–Ирвина. Вариант теории этих трещин, изложенный в настоящем сообщении, для полубесконечной трещины, скалярно, лишь одной компонентой напряжений нагруженной по берегам, легко переносится на трещины конечной длины, на векторную постановку и на случаи двумерных областей. Одновременно можно сделать вывод, что ранее обнаруженные стартовые землетрясения действительно возникают в зонах разломов, представляющих трещины нового типа, разрушение которых провоцируется определенными внешними воздействиями, описываемыми построенным в настоящей работе функционалом.

Список литературы

  1. Бабешко В. А., Евдокимова О. В., Бабешко О. М. Об одном новом типе трещин, дополняющих трещины Гриффитса–Ирвина // ДАН. 2019. Т. 485. № 2. С. 162–165.

  2. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On the possibility of predicting some types of earthquake by a mechanical approach // Acta Mechanica. 2018. V. 229. № 5. P. 2163–2175. https://doi.org/10.1007/s00707-017-2092-0

  3. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On a mechanical approach to the prediction of earthquakes during horizontal motion of litospheric plates // Acta Mechanica. 2018. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2255-7

  4. Griffith A. The Phenomena of Rupture in Solids // Trans. R. Soc. L. 221A. 1920. P. 163–197.

  5. Irwin G. Fracture dynamics // Fracture of metals. ASM. Cleveland. 1948. P. 147–166.

  6. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

  7. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

  8. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On the possibility of predicting some types of earthquake by a mechanical approach // Acta Mechanica. 2018. V. 229. № 5. P. 2163–2175. https://doi.org/10.1007/s00707-017-2092-0

  9. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. On a mechanical approach to the prediction of earthquakes during horizontal motion of litospheric plates // Acta Mechanica. 2018. https://doi.org/10.1007/s00707-018-2255-7

  10. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

  11. Александров В.М., Сметанин Б. И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

  12. Kirugulige M.S., Tippur H.V. Mixed-mode dynamic crack growth in functionally graded glass-filled epoxy // Exp Mech. 2006. T. 46. № 2. P. 269–281.

  13. Rangarajan R., Chiaramonte M.M., Hunsweck M.J., Shen Y., Lew A.J. Simulating curvilinear crack propagation in two dimensions with universal meshes // Int. J. Numer. Meth. Engng. 102 (3–4). P. 632–670.

  14. Huang Y., Gao H. Intersonic crack propagation. Pt II: Suddenly stopping crack // J. Appl. Mech. 2002. V. 69. P. 76–80.

  15. Krueger R. Virtual Crack Closure Technique: History, Approach, and Applications. // Appl. Mech. Rev. 2004. V. 57. P. 109–143.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал