1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 493, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 493, № 1, стр. 48-50

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ДЖЕЛЛЕТТА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ

А. В. Борисов 1, А. П. Иванов 1, *

1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Московская обл., Долгопрудный, Россия

* E-mail: a-p-ivanov@inbox.ru

Поступила в редакцию 17.04.2020
После доработки 17.04.2020
Принята к публикации 28.04.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

В “Трактате по теории трения” Джеллетт рассмотрел задачу о подъеме оси симметричного волчка со сферической пяткой, движущегося по шероховатой горизонтальной плоскости. Ключом к решению стал найденный Джеллеттом первый интеграл, вид которого инвариантен характеру силы трения в опоре: скалярное произведение кинетического момента на радиус-вектор точки контакта постоянно. Исследуются возможности обобщения этого подхода на случай, когда к силе трения добавляется момент трения качения.

Ключевые слова: трение качения, интеграл Джеллетта, шар Чаплыгина

1. СЛУЧАЙ ШАРА ЧАПЛЫГИНА

Вначале допустим, что тело ограничено сферой, причем его центр масс совпадает с геометрическим центром, а главные центральные моменты инерции ${{J}_{j}}\;(j = 1,2,3)$ различны. Так как тело не динамически симметрично, допущения Джеллетта [1] не выполнены. Однако упомянутый интеграл имеет место, так как он пропорционален интегралу площадей (проекции кинетического момента на вертикаль сохраняется, так как момент силы трения горизонтален). В данной системе имеются бездиссипативные движения, для которых центр шара движется равномерно и прямолинейно, скольжение отсутствует, а одна из главных центральных осей инерции составляет постоянный угол с вертикалью [2, 3].

В реальных условиях диссипацией сопровождаются любые движения, и тело приходит к состоянию покоя. Вообще говоря, при относительном движении контактирующих твердых тел происходят необратимые деформации. Они максимальны при скольжении и минимальны при верчении, а качение занимает промежуточную позицию. Поэтому имеет смысл рассматривать финальные движения, пренебрегая трением верчения.

Законы трения в общем случае не установлены, хотя имеется ряд моделей, подтвержденных экспериментами [4–9]. По аналогии с исследованиями Джеллетта, особый интерес вызывают результаты, инвариантные закону трения.

Добавим в систему момент трения качения, не конкретизируя его свойств, помимо диссипативности. Тогда понятно, что в системе имеются лишь три простейших стационарных движения, для которых одна из главных центральных осей инерции вертикальна [10]. Исследуем их, используя модифицированный метод Рауса [11, 12].

Считая массу тела единичной, запишем теоремы об изменении импульса и момента импульса в неподвижной системе отсчета $OXYZ$, ось аппликат которой направлена вертикально вверх и имеет орт γ:

(1)
${{\dot {v}}_{G}} = R + P,\quad {{\dot {K}}_{G}} = {{r}_{C}} \times R + M,\quad {{r}_{C}} = GC,$
где $R$ – реакция плоскости, приложенная в точке C, M – горизонтальный момент трения качения. Поскольку перемещение центра масс вдоль вертикали отсутствует, вес тела P уравновешивается нормальной составляющей реакции, и актуальна лишь ее касательная составляющая, т.е. сила трения $F$. Интеграл Джеллетта, полученный для случая M = 0, имеет вид

(2)
$I = \left( {{{K}_{G}},{{r}_{C}}} \right) = k = {\text{const}}{\text{.}}$

Механический смысл: проекция кинетического момента на вертикаль сохраняется. Покажем, что это справедливо и при произвольном горизонтальном моменте трения. Действительно, в рассматриваемом случае ${{r}_{C}} = - \rho \gamma = {\text{const}}$ ($\rho $ – радиус шара), поэтому

(3)
$\frac{{d\left( {{{K}_{G}},{{r}_{C}}} \right)}}{{dt}} = \left( {\gamma \times R + M,\gamma } \right){{\rho }^{2}} \equiv 0.$

Заметим, что аналогичный вывод был получен в [14].

Требование диссипативности означает, что полная механическая энергия Е при движении по инерции не возрастает. Поскольку потенциальная энергия не меняется, имеем формулу

(4)
$E = \frac{1}{2}{{v}^{2}} + \frac{1}{2}\left( {{{K}_{G}},\omega } \right),\quad {{K}_{G}} = J\omega ,$
где $v$ – скорость центра шара, $\omega $ – его угловая скорость в связанной системе, $J = {\text{diag}}\left\{ {{{J}_{1}},{{J}_{2}},{{J}_{3}}} \right\}$ – тензор инерции. Эффективный потенциал определяется так [11]:

(5)
$\Pi (\gamma ) = {{\left. {\mathop {\min }\limits_{v,\omega } E(v\omega )} \right|}_{{I = k}}}.$

Очевидно, что в точках минимума $v = 0$, а для нахождения $\omega $ составим функцию Лагранжа

(6)
$\begin{gathered} L = E(0,\omega ) - \lambda (I - k) = \\ \, = \frac{1}{2}(J\omega ,\omega ) + \lambda \left( {\rho (J\omega ,\gamma ) + k} \right). \\ \end{gathered} $

Условия экстремума функции (6) имеют вид

$J\omega + \lambda \rho J\gamma = 0,\quad \rho (J\omega ,\gamma ) + k = 0.$

Отсюда следует, что вектор угловой скорости необходимо вертикален:

$\omega = - \lambda \rho \gamma ,\quad \lambda = \frac{k}{{{{\rho }^{2}}(J\gamma ,\gamma )}}.$

Подставляя данное выражение в формулу (5), получаем

(7)
$\Pi (\gamma ) = \frac{1}{2}\frac{{{{k}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}(J\gamma ,\gamma )}}.$

Функция (7) достигает минимума при вращении вокруг оси наибольшего момента инерции, что соответствует устойчивому финальному движению шара. Два других вращения также возможны, но они неустойчивы.

2. “КИТАЙСКИЙ ВОЛЧОК”

Перейдем к обсуждению другого сферического тела:

${{J}_{1}} = {{J}_{2}} \ne {{J}_{3}},$
причем центр масс лежит на оси симметрии на расстоянии $a \in (0,\rho )$ от геометрического центра O. Именно необычное поведение такого волчка – стремление занять положение с наибольшей потенциальной энергией – инициировало исследования Джеллетта и открытие интеграла (2). В этом случае
${{r}_{C}} = - \rho \gamma + a{{e}_{3}},$
где ${{e}_{3}}$ – орт оси GO, и вместо формулы (3) получаем

(8)
$\begin{gathered} \frac{{dI}}{{dt}} = \left( {\left( { - \rho \gamma + a{{e}_{3}}} \right) \times R + M, - \rho \gamma + a{{e}_{3}}} \right) + \\ \, + \left( {J\omega ,a\frac{{d{{e}_{3}}}}{{dt}}} \right) = \left( {M, - \rho \gamma + a{{e}_{3}}} \right) + \left( {J\omega ,a\omega \times {{e}_{3}}} \right). \\ \end{gathered} $

Поскольку

$J\omega = {{J}_{1}}\omega + ({{J}_{3}} - {{J}_{1}}){{\omega }_{3}}{{e}_{3}},$
то последнее слагаемое в формуле (8) равно нулю. Если M = 0, то получаем классическую формулу (2). Однако в общем случае, когда $(M,{{r}_{C}}) \ne 0$, величина I уже не будет сохраняться. Вместо нее введем другую функцию:
(9)
$I{\kern 1pt} ' = \left( {{{K}_{G}},{{r}_{C}} - \beta \gamma } \right),$
и выясним, будет ли она первым интегралом для какого-то закона трения качения. По аналогии с (8) имеем

$\frac{{dI{\kern 1pt} '}}{{dt}} = \left( {M, - \rho \gamma + a{{e}_{3}} - \beta \gamma } \right) + \left( {\left( { - \rho \gamma + a{{e}_{3}}} \right) \times R, - \beta \gamma } \right).$

Поскольку вектор $M$ горизонтален, данная формула принимает вид

(10)
$\frac{{dI{\kern 1pt} '}}{{dt}} = \left( {M - \beta R \times \gamma ,a{{e}_{3}}} \right).$
Соединяя формулы (9) и (10), приходим к такому утверждению.

Предложение. Если момент трения качения выражается формулой

(11)
$M = \beta R \times \gamma ,\quad \beta > 0,$
то величина (9) – первый интеграл системы (1).

Формулу (11) можно пояснить тем, что при качении тела возникает проскальзывание в направлении, перпендикулярном угловой скорости качения, что и вызывает трение скольжения.

Замечание. Сравнивая выражения (2) и (9), заметим, что формально величину $I'$ можно получить из I заменой $\rho \to \rho + \beta $.

Данное обстоятельство дает возможность провести качественный анализ волчка на плоскости с произвольным законом трения скольжения и согласованным с ним трением качения (11) на основе результатов работ [11–13, 15], где применялся модифицированный метод Рауса. На плоскости параметров волчка $a{\text{/}}\rho $ и ${{J}_{1}}{\text{/}}{{J}_{3}}$ были построены области с различными диаграммами Смейла в плоскости E, I. При учете сделанного замечания те же самые диаграммы в плоскости $E,\;I{\kern 1pt} '$ будут соответствовать аналогичным областям для параметров $a{\text{/}}(\rho + \beta )$ и ${{J}_{1}}{\text{/}}{{J}_{3}}$. При переходе к исходным переменным произойдет линейное сжатие вдоль оси абсцисс с коэффициентом $\rho {\text{/}}(\rho + \beta )$. Это означает, что изображающая точка сместится влево и может попасть в область, соответствующую другой диаграмме. В результате условия переворота волчка изменятся.

Список литературы

  1. Jellett J.H. A treatise on the theory of friction. Dublin; London: McMillan, 1872.

  2. Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. How to Control the Chaplygin Ball Using Rotors. II // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. V. 18. № 1–2. P. 144–158.

  3. Овсянников И.И. Об устойчивости движения шара Чаплыгина на плоскости с произвольным законом трения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2012. В. 4. С. 140–145.

  4. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка / Проблемы гироскопии. М.: Мир. 1967. С. 60–77.

  5. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамике волчка Томсона (тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 6. С. 157–168.

  6. Карапетян А.В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства // ПММ. 2009. Т. 73. В. 4. С. 515–519.

  7. Киреенков А.А. Связанная модель трения скольжения и верчения // ДАН. 2011. Т. 441. № 6. С. 750–755.

  8. Иванов А.П. О трении качения // ДАН. 2019. Т. 485. № 3. С. 295–299.

  9. Ivanov A.P. On the Equilibrium of Magic Stones // Mechanics of Solids. 2018. V. 53. № 2. P. 26–31.

  10. Gallop E.G. On the Rise of a Spinning Top // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1904. V. 19. № 3. P. 356–373.

  11. Карапетян А.В. Первые интегралы, инвариантные множества и бифуркации в диссипативных системах // Регул. хаот. дин. 1997. Т. 2. № 1. С. 75–80.

  12. Ciocci M.C., Langerock B. Dynamics of the Tippe Top via Routhian Reduction // Regul. Chaotic Dyn. 2007. V. 12. № 6. P. 602–614.

  13. Карапетян А.В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 33–41.

  14. The Influence of the Rolling Resistance Model on Tippe Top Inversion, A.A. Kilin, E.N. Pivovarova. arXiv preprint arXiv:2002.06335, 2020 – arxiv.org.

  15. Ciocci M.C., Malengier B., Langerock B., et al. Towards a Prototype of a Spherical TippeTop // J. Appl. Math. 2012. Art. ID 268537.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал