Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2020, T. 494, № 1, стр. 75-81

КОНСТРУКЦИЯ ФИЛЬТРА НА ДВУХСЛОЙНЫХ РЕЗОНАТОРАХ

Резонаторы, из которых строится фильтр, представляют собой два одинаковых диэлектрических слоя толщиной h (рис. 1а) с решетками полосковых проводников на внешних поверхностях в виде сеток с зазором s_Li и решеткой квадратных полосковых проводников (патчей) между слоями шириной w_Ci. Период решеток T одинаков, и они субволновые, т.е. T много меньше длины волны на собственной частоте первой моды колебаний резонатора. На рис. 1б представлен поперечный разрез конструкции фильтра третьего порядка, а его эквивалентная схема для электромагнитной волны, падающей из свободного пространства, представлена на рис. 1в. Электрическая длина диэлектрических слоев θ определяется толщиной h и их относительной диэлектрической проницаемостью ε. Проводники на внешних слоях резонаторов являются индуктивностями L_1,2, а полосковые проводники на внутренних слоях образуют емкости C_{1, 2}. “Индуктивные” решетки обеспечивают оптимальные связи крайних резонаторов со свободным пространством и резонаторов друг с другом, при этом с уменьшением ширины проводников собственная частота резонаторов понижается. “Емкостные” решетки позволяют изменять собственные частоты резонаторов в широких пределах, понижая их с увеличением w_Ci.

По заданной амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) настройка фильтра для выбранной толщины и диэлектрической проницаемости слоев осуществляется лишь подбором зазоров наружных s_L1 и внутренних s_L2 индуктивных сеток, а также подбором ширины патчей в емкостных решетках крайних w_C1 и среднего w_C2 резонаторов.

МАТРИЧНЫЙ КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРА

Использование квазистатического приближения для расчета АЧХ исследуемой слоистой структуры предполагает, что период решеток T должен быть много меньше длины волны в диэлектрике на центральной частоте полосы пропускания фильтра f₀ и одновременно меньше толщины слоев h. Слоистую структуру будем рассматривать как каскадное соединение четырехполюсников, соответствующих диэлектрическим слоям и решеткам полосковых проводников, свойства которых описываются классическими и волновыми матрицами. А матрица передачи конструкции находится перемножением матриц передачи всех четырехполюсников [10]. Классическая матрица передачи четырехполюсника, подключенного к портам, называемая также ABCD-матрицей, связывает напряжения и входные токи в портах уравнением [10]

где индексы 1 и 2 – номера портов. В рассматриваемой модели портами четырехполюсника являются поверхности полосковых решеток. Поэтому формула (1) принимает вид где индексы x и y обозначают компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного поля в предположении, что ось координат z направлена нормально к плоскости слоистой структуры, а ось x ориентирована вдоль электрического поля падающей волны.

Матрица рассеяния, называемая также S-матрицей, связывает нормированные амплитуды исходящих волн b_n с нормированными амплитудами падающих волн a_n уравнением [10]

Нормированные амплитуды определяют формулами

где ${{Z}_{n}} = {{Z}_{0}}{\text{/}}\sqrt {{{\varepsilon }_{n}}} $ и ε_n – характеристическое сопротивление и относительная диэлектрическая проницаемость среды, примыкающей к порту n, соответственно, а ${{Z}_{0}} = \sqrt {{{\mu }_{0}}{\text{/}}{{\varepsilon }_{0}}} $ – характеристическое сопротивление свободного пространства. Матричные элементы S₁₁ и S₂₂ являются комплексными коэффициентами отражения, а S₂₁ и S₁₂ – комплексными коэффициентами прохождения. Их аргументы описывают фазы отраженных и прошедших волн. Рассматриваемая структура не содержит гиротропных сред, поэтому она и каждый ее элемент описываются взаимными четырехполюсниками, для которых выполняются равенства S₂₁ = S₁₂ и AD – BC = 1 [10].

Матрица передачи и матрица рассеяния взаимосвязаны. Их связь выражается формулами

где ΔS = S₁₁S₂₂ – S₂₁S₁₂, и формулами

Классическая матрица передачи электромагнитной волны, падающей на слой диэлектрика толщиною h, временная зависимость которой описывается множителем exp(–iωt), хорошо известна

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $\theta = \frac{{\omega \sqrt \varepsilon h}}{c}$ – фазовая толщина слоя на частоте ω.

Матрицы рассеяния для решеток полосковых проводников в виде квадратных сеток [11] или квадратных патчей [12], расположенных на границе раздела двух сред с относительными диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂, имеют одинаковый вид

где Y – проводимость решетки, связанная с индуктивностью и емкостью проводников ее элементарной ячейки формулой

В случае решетки индуктивного типа, выполненной в виде сетки с периодом T и стороной квадратных отверстий s, ее реактивная проводимость Y_L выражается формулой [11]

Первое слагаемое в (10) описывает индуктивную часть проводимости, а второе – емкостную. Видно, что на низких частотах индуктивная часть проводимости преобладает над емкостной.

В случае решетки емкостного типа ее проводимость Y_C можно вычислить по формуле (9), в которой емкость и индуктивность проводников выражаются формулами [12]

где T – период решетки, w – сторона ее квадратных проводников, а функция X(a) обозначает двойной интеграл

Заметим, что на низких частотах емкостной вклад в проводимость Y_C является основным.

Расчет АЧХ фильтра на двухслойных резонаторах, т.е. его матрицы рассеяния S, производится следующим образом. Сначала по формуле (8) рассчитываются матрицы рассеяния для каждой решетки слоистой структуры. Затем по формуле (5) вычисляются отвечающие им ABCD-матрицы. Расчет ABCD-матрицы идентичных слоев диэлектрика выполняется по формуле (7). Последовательным перемножением ABCD-матриц каждого планарного элемента, начиная с решетки индуктивного типа на порте 1 и заканчивая решеткой на порте 2, вычисляется ABCD-матрица всей структуры в целом. Полученная ABCD-матрица используется для расчета искомой S-матрицы по формуле (6).

Как показали исследования, представленный квазистатический расчет характеристик мультислойного фильтра хорошо согласуется с электродинамическим расчетом его 3D-модели, результаты которого, как известно, практически совпадают с экспериментом. Однако такое согласование наблюдается только при выполнении названных выше требований к конструкции, а именно период решеток T должен быть много меньше длины волны в диэлектрике на центральной частоте полосы пропускания фильтра f₀ и одновременно меньше толщины слоев h. Поэтому представляет интерес оценить точность расчета АЧХ по полученным формулам в случае, когда не выполняются эти требования. На рис. 2 сплошными линиями показаны частотные зависимости прямых потерь S₂₁ и потерь на отражение S₁₁ фильтра третьего порядка с центральной частотой полосы пропускания f₀ = 16 ГГц и ее относительной шириной по уровню –3 дБ Δ f/f₀ = 10%, синтезированного с использованием полученных выше формул. В расчете толщина слоев h = 1.5 мм, их относительная диэлектрическая проницаемость ε = 2.2, а период всех решеток выбран в два раза больше толщины слоев T = 3 мм, что нарушает условие применения квазистатического подхода. Фильтр настраивался подбором зазоров сеток s_L1, s_L2 и ширины патчей w_C1, w_C2 в слоистой структуре так, чтобы максимумы отражений в полосе пропускания располагались на уровне –15 дБ. Размеры полученных подстроечных параметров конструкции приведены в первой строке табл. 1.

Найденные значения подстроечных параметров использовались в 3D-модели фильтра, АЧХ которой, полученные численным электродинамическим расчетом в пакете программ “CST Microwave Studio”, представлены штриховыми линиями на рис. 2. Сравнительно небольшое различие между соответствующими парами характеристик говорит о том, что даже при нарушении условий квазистатического приближения предложенные формулы позволяют находить конструктивные параметры структуры, которые можно использовать как “затравочные” в ее 3D-модели на начальном этапе оптимизации. Это многократно ускоряет процесс конструирования фильтров в электродинамических пакетах программ, которые, как известно, требуют больших затрат машинного времени. Для сравнения во второй строке табл. 1 приведены оптимальные значения конструктивных параметров решеток слоистой структуры после ее подстройки с использованием численного электродинамического 3D-моделирования. При этом АЧХ настроенного фильтра полностью совпадает с АЧХ представленными сплошными линиями на рис. 2.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЫТНОГО ОБРАЗЦА МНОГОСЛОЙНОГО ФИЛЬТРА

Для проверки работоспособности полосно-пропускающего фильтра на двухслойных резонаторах был изготовлен опытный образец фильтра третьего порядка, состоящий из шести диэлектрических слоев площадью 300 × 300 мм. Решетки полосковых проводников изготавливались на металлизированных пластинах RO3010 фирмы “Rogers Corporation” толщиной h = 1.29 мм с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 11.2 и тангенсом угла диэлектрических потерь tgδ = 2.2 × 10^–3. По технологии многослойных печатных плат диэлектрические пластины соединялись в монолитную конструкцию препрегом RO4450B также фирмы “Rogers Corporation” толщиной 0.127 мм, с ε = 3.54 и tgδ = 4.0 × 10^–3. Фотографии устройства, а также фрагменты его наружных и внутренних решеток полосковых проводников представлены на рис. 3. Для определенности одинаковыми были заданы периоды индуктивных и емкостных решеток полосковых проводников у всех резонаторов T = 3.0 мм. Предварительно устройство было синтезировано по полученным формулам на центральную частоту полосы пропускания f₀ = 10.5 ГГц и ее относительную ширину Δ f/f₀ = 10%, а затем найденные размеры решеток использовались как “затравочные” в 3D-модели для синтеза фильтра в пакете программ “CST Microwave Studio”. Параметры решеток синтезированного фильтра приведены в табл. 2, а его рассчитанные АЧХ представлены сплошной и штриховой линиями на рис. 3.

Характеристики изготовленного опытного образца фильтра были измерены на векторном анализаторе цепей R&S ZVA 40 с использованием миниатюрных широкополосных рупорных антенн. Учитывая сравнительно небольшие размеры образца фильтра, расстояние между передающей и приемной антеннами выбиралось минимальным, но чтобы при этом не нарушалась структура плоской волны. Результаты измерений представлены точками на рис. 3. Отметим, что расчетные минимальные потери в полосе пропускания устройства составляли ∼0.3 дБ, а измеренные на опытном образце ∼0.6 дБ, при этом измеренная относительная ширина полосы пропускания опытного образца Δ f/f₀ = 10% и ее центральная частота f₀ = 10.6 ГГц достаточно хорошо совпадают с численным электродинамическим расчетом 3D-модели фильтра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе проведен квазистатический расчет конструкции многослойного полосно-пропускающего фильтра, каждый из полуволновых резонаторов которого состоит из двух диэлектрических слоев с наружными решетками полосковых проводников в виде квадратных сеток и с внутренними – в виде квадратных патчей. Все решетки в структуре субволновые, т.е. их период много меньше длины волны, поэтому резонансные свойства решеток проявляются на частотах значительно выше полосы пропускания. Собственная добротность двухслойных резонаторов высокая, так как она определяется в основном добротностью диэлектрических слоев. Металлические сетки служат зеркалами с заданными отражательными свойствами, обеспечивая оптимальные связи крайних резонаторов со свободным пространством и оптимальные связи между резонаторами, поэтому они меньше влияют на добротность резонаторов. Решетки из патчей позволяют изменять в широких пределах собственную частоту резонаторов, что дает возможность легко изменять центральную частоту полосы пропускания фильтра и независимо подстраивать частоты резонаторов при его настройке. Показана высокая эффективность квазистатического расчета АЧХ слоистой структуры не только при выполнении условий применения квазистатического приближения, когда период решеток меньше длины волны в диэлектрике и много меньше толщины слоев, но и когда эти условия сильно нарушены. Высокоскоростной квазистатический расчет не требует больших затрат машинного времени, поэтому параметрический синтез устройств можно проводить рекордно быстро на обычном персональном компьютере. Сравнительно небольшое различие между АЧХ рассмотренной слоистой конструкции, полученными электродинамическим и квазистатическим расчетом, позволяет с помощью полученных формул находить конструктивные параметры структуры, которые можно использовать как “затравочные” в ее 3D-модели на начальном этапе оптимизации. Это многократно ускоряет процесс конструирования фильтров в электродинамических пакетах программ.