Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2021, T. 499, № 1, стр. 36-42

1. МОТИВИРОВКА

Изучению волн Рэлея [1] и Лэмба [2] посвящено большое количество публикаций (ср. обзор [3]), что в первую очередь вызвано их широким практическим применением в сейсмологии и сейсморазведке (см. монографии [4–6] и др.). Свойство локализации таких волн около поверхностей тел или продолговатых инородных включений (сварных или клеевых швов, рядов заклепок и пр.) породило разнообразные методы неразрушающего контроля накопления приграничных или внутренних дефектов и целостности соединений (см. работы [7–9] и многие другие).

Проверка наличия поверхностных волн и выявление их спектральных характеристик обычно проводится путем аналитического или численного решения краевых задач для канонических объектов – полупространства, полуслоя и т.п. В данном сообщении, как и в публикациях [10, 11], при помощи вариационных методов спектральной теории операторов (см., например, книгу [12]) установлено, что распространяющаяся рэлеевская волна существует при любом (разумеется, в том числе и прямом) профиле свободного периодического края однородной изотропной полуплоскости (рис. 1а), в частности, для периодического семейства краевых трещин (рис. 1б). Предложенный подход позволяет обнаружить низкочастотные локализованные волны; при этом установлено, что посредством удлинения трещин можно добиться возникновения любого числа подобных рэлеевских волн. Более того, прием постановки вспомогательных (искусственных) краевых условий (ср. статьи [13, 14]) позволил показать, что даже при нулевом угле падения семейство трещин способно производить захват упругих волн, т.е. порождать локализованные стоячие, не переносящие энергию, волны и опять-таки в любом заданном наперед количестве.

В рамках теории Флоке–Блоха–Гельфанда задача в полуплоскости сводится к (модельной) задаче в полуполосе с искривленным торцом и с условиями квазипериодичности на ее боковых сторонах, причем параметр Флоке $\alpha \in [ - \pi ,\pi ]$ определяется по заданному углу падения φ. Если $\varphi \ne 0$, т.е $\left| \alpha \right| \in (0,\pi ]$, то у модельной задачи может появиться дискретный спектр ниже точки отсечки ${{\kappa }_{\dag }}$ непрерывного спектра $\sigma _{c}^{\alpha }$. Точкам дискретного спектра $\sigma _{d}^{\alpha }$ отвечают исчезающие на бесконечности с экспоненциальной скоростью собственные моды, которые в свою очередь порождают локализованные волны Флоке–Рэлея (11). Найти частоты собственных колебаний полуполосы на интервале $(0,{{\kappa }_{\dag }})$ удалось путем построения пробной вектор-функции, у которой дробь Рэлея не превосходит $\kappa _{\dag }^{2}$, и применения классического минимального принципа [12, теорема 10.2.1]. В случае длинных краевых трещин привлекаются асимптотические анзацы теории Кирхгофа тонких балок, которые позволяют установить множественность волн Рэлея.

Поскольку ${{\kappa }_{\dag }} = 0$ и $\sigma _{d}^{\alpha } = \emptyset $ в случае φ = 0, при нулевом угле падения приходится искать собственные частоты, вкрапленные в непрерывный спектр. Это сделано посредством постановки новых искусственных краевых условий на продолжениях трещин, обеспечивающих положительную – созданную специально – точку отсечки, и при помощи необычных продолжений обнаруженной прежним способом затухающей собственной моды на всю поврежденную полуплоскость построить локализованные периодические (т.е. не переносящие энергии вдоль семейства трещин) волны Рэлея.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОПИСАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Изучается падение плоской поперечной упругой волны

под углом $\varphi \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$ на периодическую границу ${{\Gamma }_{H}} = \partial {{\Omega }_{H}}$ однородной изотропной полуплоскости

При этом H – гладкая (для простоты; ср. п. 4–6 и рис. 1б) периодическая профильная функция. Масштабированием сведем период к единице и тем самым сделаем декартовы координаты x_j и все геометрические параметры безразмерными. Суммарное (падающая плюс отраженная волны) поле смещений $u = ({{u}_{1}},{{u}_{2}})$ ищется как решение системы уравнений теории упругости в полуполосе ${{\Pi }_{H}} = {\text{\{ }}x \in {{\Omega }_{H}}{\text{:}}\;{{x}_{1}} \in (0,\;1){\text{\} }}$

с условиями свободного края на искривленном торце и условиями квазипериодичности Флоке, которым удовлетворяет и сама падающая волна (1),

Здесь ${{\partial }_{j}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}$, $\nabla = {\text{grad}}$, $\nabla \cdot = {\text{div}}$, $\Delta = \nabla \cdot \nabla $ – оператор Лапласа, $\lambda \geqslant 0$ и μ > 0 – постоянные Ламе упругого материала, ρ > 0 – его плотность, а κ > 0 – частота колебаний. Кроме того, $\sigma _{j}^{{(n)}}$ и $n = ({{n}_{1}},{{n}_{2}})$ – компонента вектора нормальных напряжений единичный вектор внешней нормали на торце ${{\bar {\omega }}_{H}}$ соответственно,

При этом ${{\delta }_{{j,k}}}$ – символ Кронекера. Наконец, показатель $\alpha = kcos\varphi $ включает волновое число $k = \kappa \sqrt[4]{{{{\mu }^{{ - 1}}}\rho }} > 0$, а замена $\alpha \mapsto \alpha - 2\pi m$ с целым сомножителем m не сказывается на условиях квазипериодичности (5). Далее зафиксируем параметр Флоке

и освободим параметр κ, считая его спектральным.

Изучаются захваченные волны в полосе ${{\Pi }_{{\bar {\omega }}}}$, т.е. собственные вектор-функции $u \in H_{{per}}^{{1,\alpha }}({{\Pi }_{H}})$ задачи (3)–(5), удовлетворяющие интегральному тождеству

где $H_{{per}}^{{1,\alpha }}({{\Pi }_{H}})$ – пространство Соболева вектор-функций, подчиненных устойчивому (p = 0) условию квазипериодичности (5), ${{( \cdot , \cdot )}_{{{{\Pi }_{H}}}}}$ – натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега ${{L}^{2}}({{\Pi }_{H}})$, а $\frac{1}{2}E(u,u;{{\Pi }_{H}})$ – упругая энергия, запасенная полуполосой, т.е.

В силу ограничения (7) непрерывный спектр $\sigma _{c}^{\alpha }$ оператора задачи (8) – луч $[\kappa _{\dag }^{\alpha }, + \infty )$ с точкой отсечки

в частности, потому, что стоячая при $\kappa = \kappa _{\dag }^{\alpha }$ и распространяющаяся при при $\kappa > \kappa _{\dag }^{\alpha }$ волна удовлетворяет системе (3) и условиям (5). На интервале $(0,\kappa _{\dag }^{\alpha })$ может располагаться дискретный спектр $\sigma _{d}^{\alpha }$ задачи (8), а отвечающие собственным частотам ${{\kappa }_{ \bullet }} \in \sigma _{d}^{\alpha }$ собственные вектор-функции $u_{ \bullet }^{\alpha } \in H_{{per}}^{{1,\alpha }}({{\Pi }_{H}})$ как раз и представляют собой захваченные волны. Если такая волна найдена, то формула представляет экспоненциально затухающую при ${{x}_{2}} \to + \infty $ волну $\mathcal{U}_{ \bullet }^{\alpha }$ во всей полуплоскости (2), т.е. локализованная около периодической границы и обладающая свойствами волн Рэлея и Лэмба. Вектор-функции (11) гладкие благодаря условиям квазипериодичности (5).

В п. 3 показано, что при ненулевом угле падения φ, т.е. при

у задачи (3)–(5) обязательно есть нетривиальное решение $u_{ \bullet }^{\alpha } \in H_{{per}}^{{1,\alpha }}({{\Pi }_{H}})$ на некоторой частоте ${{\kappa }_{ \bullet }} \in (0,\kappa _{\dag }^{\alpha })$ из дискретного спектра $\sigma _{d}^{\alpha }$.

В п. 4 рассматривается полуплоскость $\Omega _{ \bot }^{l}$ с краевыми трещинами

и, в частности, показано, что при $\alpha \ne 0$ для всякого периода 1/N путем увеличения длин l > 0 трещин (13) можно поместить на интервал $(0,\omega _{\dag }^{\alpha })$ любое заданное наперед количество собственных частот. Иными словами, в полуплоскости с периодическим краевым повреждением существует множество поверхностных волн Рэлея в низкочастотном диапазоне спектра.

Случай α = 0 (угол падения $\varphi $ равен нулю) особый по нескольким причинам. Во-первых, непрерывный спектр $\sigma _{c}^{0}$ приобретает нулевую точку отсечки (9), и поэтому дискретный спектр $\sigma _{d}^{0}$ пуст. Во-вторых, если при $\varphi \ne 0$ волна (11) распространяется вдоль границы ${{\Gamma }_{H}}$, затухая в перпендикулярном направлении, то в случае φ = 0 найденное поле смещений (11) зависит периодически от переменной x₁ и исчезает с экспоненциальной скоростью при ${{x}_{2}} \to + \infty $, т.е. оказывается стоячей волной, не переносящей энергию в направлении оси ${{x}_{1}}$.

В п. 5 при φ = 0 получен совершенно новый результат: при N = 4 доказано существование собственных частот, причем их количество неограниченно возрастает при удлинении трещин. Эти собственные частоты вкраплены в непрерывный спектр $\sigma _{c}^{0} = \left[ {0, + \infty } \right)$ и обладают природной неустойчивостью: сколь угодно малое возмущение оператора способно вывести их из спектра и тем самым превратить в точки комплексного резонанса. Именно поэтому в случае $\alpha \ne 0$ трещины $T_{1}^{{{{l}_{N}}}},\; \ldots ,\;T_{N}^{{{{l}_{N}}}}$, вообще говоря, могут иметь разные длины ${{l}_{1}},\; \ldots ,\;{{l}_{N}}$ при сохранении периодичности всего семейства, но в случае α = 0 у трещин с четными и нечетными номерами длины обязательно равны ${{l}_{{e{v}}}}$ и ${{l}_{{od}}}$ соответственно.

В последнем разделе обсуждаются смежные вопросы.

3. ЗАХВАЧЕННЫЕ ВОЛНЫ

Согласно минимальному принципу [12, теорема 10.2.1] нижняя грань $\mathop {\underline \sigma }\nolimits^\alpha $ всего спектра ${{\sigma }^{\alpha }} = \sigma _{d}^{\alpha } \cup \sigma _{c}^{\alpha }$ оператора A^α задачи (3)–(5) вычисляется по формуле

с классической дробью Рэлея в правой части. Таким образом, ${{\kappa }_{ \bullet }}\mathop {\underline \sigma }\nolimits^\alpha $ – собственная частота из дискретной компоненты $\sigma _{d}^{\alpha }$ спектра в том и только в том случае, если при какой-то пробной вектор-функции ${v} \in H_{{per}}^{{1,\alpha }}({{\Pi }_{H}})$ выполнено неравенство а значит, инфимум из правой части (14) становится строго меньше $\kappa _{\dag }^{2}$ и действительно оказывается первым (наименьшим) изолированным собственным числом задачи (8).

Построим требуемую пробную вектор-функцию. Положим

где $\varepsilon > 0$ – малый параметр, а $\psi $ – гладкая вектор-функция с малым носителем около некоторой точки . Непосредственные вычисления показывают, что

Здесь была применена формула Грина и использованы следующие факты: вектор-функция B^α удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (3) и носитель ${\text{supp}}\psi $ удален от боковых сторон полуполосы. Поскольку в силу соотношений (6) и (10) верны равенства

всегда найдется точка $P\, \in \,{{\bar {\omega }}_{H}}$, в которой σ⁽ⁿ⁾(B^α; $P)\, \ne \,0$. В итоге можно добиться неравенства ${\text{Re}}I({{B}^{\alpha }},\psi ) < 0$ путем подбора слагаемого $\sqrt \varepsilon \psi $ в пробной вектор-функции (16). Для нее выполнено соотношение (15), т.е. в случае (12) дискретный спектр $\sigma _{d}^{\alpha }$ заведомо не пуст при любом профиле H, и в полуплоскости ${{\Omega }_{H}}$ с периодическим краем существует хотя бы одна поверхностная волна Рэлея.

4. О МНОЖЕСТВЕННОСТИ ВОЛН РЭЛЕЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ С СЕМЕЙСТВОМ КРАЕВЫХ ТРЕЩИН

Приведенные в п. 3 рассуждения не требуют гладкости границы ${{\Gamma }_{H}}$, которая к тому же не обязана быть графиком. Рассмотрим задачу (8) в полуполосе $\Pi _{ \bot }^{l}$ с трещинами $T_{0}^{l}$ и $T_{1}^{l}$ при N = 1, попадающими на границу $\partial \Pi _{ \bot }^{l}$, т.е. условия квазипериодичности (5) назначены только при ${{x}_{2}} > l$ и

В случае (12) для оценки кратности $\# \sigma _{d}^{\alpha }$ непустого дискретного спектра $\sigma _{d}^{\alpha }$ применим классический максиминимальный принцип

Здесь $\mathcal{R}_{m}^{l}$ – любое подпространство в $H_{{per}}^{{1,\alpha }}(\Pi _{ \bot }^{l})$ с коразмерностью m – 1, в частности, $\mathcal{R}_{1}^{l}\, = \,H_{{per}}^{{1,\alpha }}(\Pi _{ \bot }^{l})$. Известно [12, теорема 10.2.2]: если величина (18) строго меньше ${{(\kappa _{\dag }^{\alpha })}^{2}}$, то $\kappa _{m}^{l} \in \sigma _{d}^{\alpha }$ – собственная частота и $\# \sigma _{d}^{\alpha } \geqslant m$.

Рассмотрим вспомогательную одномерную задачу, описывающую продольные колебания балки с малой относительной толщиной $1{\text{/}}\ell $

Ее собственные частоты

имеют вид $K_{l}^{{(m)}} = {{l}^{{ - 1}}}K_{1}^{{(m)}}$, где $K_{1}^{{(m)}}$ – собственная частота той же задачи (19) при l = 1, а соответствующие собственные функции можно подчинить условиям ортогональности и нормировки

Обозначим $R_{m}^{l}$ линейную оболочку вектор-функций $w_{{(l)}}^{{(p)}} = (0,W_{l}^{{(p)}})$, $p = 1,\; \ldots ,\;m$, продолженных нулем с прямоугольника $(0,1) \times (0,l)$ на полуполосу ${{\Pi }_{ \bot }}$. Ясно, что $R_{l}^{m} \subset H_{{per}}^{{1,\alpha }}(\Pi _{ \bot }^{l})$ и в силу равенств $dimR_{m}^{l} = m$ и ${\text{codim}}\mathcal{R}_{m}^{l} = m - 1$ всякое подпространство $\mathcal{R}_{m}^{l}$ в пространстве (17) содержит нетривиальную линейную комбинацию ${\mathbf{w}}_{{(l)}}^{{(m)}}$ вектор-функций $w_{{(l)}}^{{(1)}},\; \ldots ,\;w_{{(l)}}^{{(m)}}$, построенную по линейной комбинации ${\mathbf{W}}_{{(l)}}^{{(m)}}$ собственных функций $W_{l}^{{(1)}},\; \ldots ,\;W_{l}^{{(m)}}$. Таким образом,

Итак, при большом l величина (18) попадает на интервал $(0,{{(\kappa _{\dag }^{\alpha })}^{2}})$, а значит, $\# \sigma _{d}^{\alpha } \geqslant m$ для длин l, превосходящих некоторую величину ${{l}_{m}} > 0$. Иными словами, при увеличении длин трещин количество линейно независимых волн Рэлея неограниченно возрастает.

Полученная оценка кратности $\# \sigma _{d}^{\alpha }$, обеспечившая объявленный результат, весьма приблизительна по нескольким причинам. Во-первых, в задаче (19) условие ${{W}_{l}}(0) = 0$ можно заменить условием ${{\partial }_{2}}{{W}_{l}}(0) = 0$, уменьшив тем самым каждый член последовательности (20). Во-вторых, вместо одномерной модели (19) продольной деформации балки можно оперировать задачей об ее изгибе

Здесь $D = \frac{\mu }{3}\frac{{\lambda + \mu }}{{\lambda + 2\mu }}$ – приведенная жесткость балки на изгиб. Понятно, что собственные частоты $K_{l}^{{(m)}} = {{l}^{{ - 2}}}K_{1}^{{(m)}}$ этой задачи убывают при $l \to + \infty $ быстрее, чем собственные частоты прежней задачи (19).

5. ЗАХВАЧЕННЫЕ ВОЛНЫ, НЕ ПЕРЕНОСЯЩИЕ ЭНЕРГИЮ

При α = 0 рассмотрим зауженную полуполосу $\Pi _{\sharp }^{l} = \left( {\frac{1}{4},\frac{1}{2}} \right) \times \mathbb{R}$ с трещинами $T_{1}^{l}$ и $T_{2}^{l}$, заданными формулой (13) с N = 4, на ее боковых сторонах. Вместо условий периодичности (5), α = 0, назначим на лучах ${{\Upsilon }_{j}} = \left\{ {x{\text{:}}\;{{x}_{1}} = \frac{j}{4},{{x}_{2}} > l} \right\}$, j = 1, 2, искусственные краевые условия

Эти условия обладают замечательными свойствами. Во-первых, непрерывный спектр оператора аналогичной (8) задачи

на функциональном пространстве, включающем первые (устойчивые – в смещениях) краевые условия из групп (21) и (22), приобретает положительную точку отсечки $\kappa _{\dag }^{\sharp } > 0$ непрерывного спектра, так как только тривиальное (${{c}_{0}} = {{c}_{1}} = {{c}_{2}} = 0$) жесткое смещение $({{c}_{1}} - {{c}_{0}}{{x}_{2}},{{c}_{2}} + {{c}_{0}}{{x}_{1}})$ удовлетворяет обоим краевым условиям (21) и (22) (ср. конструкции из работы [14]). Во-вторых, нечетное для $u_{1}^{\sharp }$ и четное для $u_{2}^{\sharp }$ продолжения по переменной ${{x}_{1}} - \frac{1}{4}$ сохраняет гладкость поля u на линии $\left\{ {x{\text{:}}\;{{x}_{2}} = \frac{1}{4}} \right\}$ и уравнения (3) для него в соседней полуполосе $\left( {0,\;\frac{1}{4}} \right) \times {{\mathbb{R}}_{ + }}$. То же самое верно в случае нечетного для $u_{2}^{\sharp }$ и четного для $u_{1}^{\sharp }$ продолжений через прямую $\left\{ {x{\text{:}}\;{{x}_{2}} = \frac{1}{2}} \right\}$. Таким образом, комбинируя указанные способы продолжений, переделываем решение ${{u}^{\sharp }}$ задачи (23) из пространства (24) в решение $u \in H_{{per}}^{{1,0}}(\Pi _{ \bot }^{l})$ задачи (8), 1-периодическое по переменной x₁ благодаря наличию четырех трещин (также можно взять $N = 8,12,16, \ldots $ в определении (13)).

Осталось применить к задаче (23) аналогичный (18) максиминимальный принцип, по прежней схеме соорудив пространство $R_{m}^{l}$ пробных вектор-функций из собственных функций одномерной задачи (19). В результате при достаточно большом размере $l$ обнаруживаем любое заданное наперед количество точек дискретного спектра задачи (23) в полуполосе $\Pi _{\sharp }^{l}$, которые оказываются вкрапленными в непрерывный спектр $\sigma _{c}^{0}$ собственными частотами задачи (8) при α = 0 в единичной полуполосе $\Pi _{ \bot }^{l}$ с четырьмя трещинами. Соответственно в полуплоскости $\Omega _{ \bot }^{l}$ с периодическим семейством краевых трещин (13) при N = 4 найдены m стоячих ($1$-периодических по переменной x₁ и потому не переносящих энергию) волн с экспоненциальным затуханием при ${{x}_{2}} \to + \infty $.

Подчеркнем, что выбранное число N = 4 – некая условность, поскольку изменением масштаба в единичную полосу можно поместить любое количество трещин (13), изменив при этом их длину $\ell $.

6. ДОСТУПНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫ

Двумерная задача теории упругости в полуплоскости (2) получается исключением координаты ${{x}_{3}}$ из декартовой системы в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$ и деплакации u₃ из вектора смещений. При этом требуется, чтобы фронт плоской волны (1) был параллелен образующей периодической в направлении x₁ поверхности, т.е. волновое число k₃ в направлении оси x₃ равно нулю. Вместе с тем предложенные подходы с мелкими изменениями годятся и в случае системы трех дифференциальных уравнений теории упругости при ${{k}_{3}} \ne 0$. Кроме того, результаты из п. 2 без особого труда приспосабливаются к анизотропным средам с периодическими неоднородностями, стабилизирующимися на бесконечности с экспоненциальной скоростью.

Результаты из п. 2 остаются в силе и при периодической приграничной перфорации полуплоскости $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ отверстиями

где $\omega $ – область внутри полуполосы ${{\Pi }_{0}}$, ограниченная кусочно-гладким контуром. Более того, в случае $\alpha \ne 0$ непустота дискретного спектра сохраняется и для мягких тяжелых включений (25), однако при жеском, но легком инородном материале вариационное методы не дают искомого соотношения $\sigma _{d}^{\alpha } \ne \emptyset $.

Продольная волна (вектор ${{b}^{\varphi }} = (cos\varphi ,sin\varphi )$ в формуле (1)) распространяется на частоте

выше точки отсечки (9). Внутри непрерывного спектра $\sigma _{c}^{\alpha }$ оператора задачи (8) применение вариационных методов невозможно, а при создании искусственной точки отсечки (ср. п. 5) классификация продольные/поперечные бесполезна. Вместе с тем в случае H = 0, λ = 0 на пороге (26) имеется ограниченное решение $({{e}^{{i\alpha {{x}_{1}}}}},0)$ задачи (3)–(5) при $\kappa = {{\kappa }_{\ddag }}$ в полуполосе Π₀, т.е. реализуется пороговый резонанс [15, 16], провоцирующий разнообразные спектральные аномалии (см. обзор [17]). В частности, возможно образование околопороговой собственной частоты путем точной настройки пологого (ε – малый параметр) периодического профиля $H({{x}_{1}}) = \varepsilon h({{x}_{1}})$. Остался открытым вопрос о возможности появления порогового резонанса в точке отсечки (9) при каком-то профиле H торца ${{\bar {\omega }}_{H}}$, т.е. образования у задачи (3)–(5) ограниченного решения – почти стоячей или захваченной волны.