Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 503, № 1, стр. 42-46

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Моделирование ламинарного течения около пластины выполняется путем решения уравнений Навье–Стокса для идеального сжимаемого газа. В настоящей работе рассматривается плоская пластина под нулевыми углами атаки и скольжения. Применяется двумерная формулировка уравнений в консервативной безразмерной форме. Координаты нормируются на характерную длину L*; зависимые переменные $\left\{ {u,{v},~T} \right\}$ – на соответствующие значения в набегающем потоке $\{ U_{\infty }^{*},~T_{\infty }^{*}\} $, давление $p$ – на удвоенный скоростной напор $\rho _{\infty }^{*}U_{\infty }^{{*2}}$. Здесь и далее верхний индекс * обозначает размерные величины.

Уравнения Навье–Стокса интегрируются с помощью авторского пакета расчетных программ [3], который реализует неявный метод конечного объема сквозного счета с аппроксимацией второго порядка по пространству и времени. Используется TVD-схема с приближенным решателем задачи распада разрыва Роу. Реконструкция зависимых переменных на границах ячеек сетки выполняется с использованием подхода WENO3, который эффективно дает аппроксимацию по пространству третьего порядка.

Характеристики неустойчивых мод пограничного слоя исследуются в рамках линейной теории устойчивости с использованием авторского кода [4]. Рассматривается усиление неустойчивых волн второй моды (или моды Мэка), распространяющихся в ламинарном пограничном слое, полученном при решении уравнений Навье–Стокса. В рамках локально-параллельного приближения рассматриваются возмущения газодинамических величин вида $q(y){\text{exp}}(i\alpha x + i\beta z$ – iωt). Здесь α = ${{\alpha }_{r}} + i{{\alpha }_{i}}$ – комплексное волновое число, получающееся в результате численного решения однородной краевой задачи на собственные значения; $\alpha \left( {\omega ;x} \right)$ зависит от круговой частоты волны ω и продольной координаты x как от параметра. В настоящей работе изучаются только плоские волны второй моды Мэка с поперечным волновым числом β = 0, которые доминируют над другими неустойчивостями на рассматриваемом режиме течения. Если ${{\alpha }_{i}} < 0$, то амплитуда волны растет вниз по потоку с инкрементом $\sigma \left( {\omega ;x} \right) = - {{\alpha }_{i}}$, а ее интегральное усиление характеризуется N-фактором

где x₀ – точка потери устойчивости, лежащая на нижней ветви нейтральной кривой.

Рассматривается сверхзвуковое обтекание острой плоской пластины под нулевыми углами атаки и скольжения при числе Маха набегающего потока ${{{\text{M}}}_{\infty }}$ = 6, единичном числе Рейнольдса ${\text{R}}{{{\text{e}}}_{{\infty ,1}}} = 10.5~$ × 10⁶ м^–1, показателе адиабаты γ = 1.4, постоянном числе Прандтля Pr = 0.72 и статической температуре набегающего потока $T_{\infty }^{*} = 43.14~$ K. Поверхность пластины изотермическая с температурой $T_{w}^{*} = 293~$ K (${{T}_{w}} = 6.79$). Характерный масштаб длины $L{\text{*}} = 0.2~$ м. Эти параметры потока относятся к экспериментам по исследованию устойчивости пограничного слоя над волнообразной пластиной [5] в ударной аэродинамической трубе Транзит-М ИТПМ СО РАН.

Отсос пограничного слоя через стенку производится на конечном участке,

соответствующем положению профилированного участка на модели волнообразной пластины в экспериментах [5]. Интенсивность отсоса задается коэффициентом

Расчеты производятся для постоянных значений ${{c}_{q}} = \{ 0.0,0.4,0.8\} $.

Расчетная область представляет собой прямоугольник размерами [0, 1] × [0, 0.21] с ортогональной структурированной многоблочной сеткой из 3001 × 401 узлов в направлении вдоль пластины и по нормали к стенке, и со сгущением таким, что 55% узлов попадает в пограничный слой. Ставятся следующие граничные условия: прилипание на обтекаемой поверхности вне области отсоса; условие набегающего потока на входной и верхней границах; линейная экстраполяция изнутри области для зависимых переменных на выходной границе; массовый расход газа ${{\left[ {\rho {v}} \right]}_{w}}(x) = {{c}_{q}}{\text{/}}\sqrt {2{\text{R}}{{{\text{e}}}_{{\infty ,x}}}} $ через стенку на участке с отсосом.

Расчеты проводится в два этапа. Сначала с помощью метода установления вычисляется поле стационарного ламинарного обтекания пластины при различных интенсивностях отсоса. Затем из полученного двухмерного стационарного поля извлекаются профили пограничного слоя в различных сечениях по $x$ и решается задача линейной теории устойчивости. Для наиболее неустойчивых волн рассчитываются распределения инкрементов роста σ(x) и соответствующие коэффициенты интегрального усиления (N-факторы).

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Результаты расчетов стационарного обтекания пластины при различных интенсивностях отсоса показаны на рис. 1. Представлены поля продольной скорости u(x, y) в пристенной области. Для наглядности вертикальная координата y растянута в 10 раз, а начало и конец участка отсоса отмечены пунктирными линиями. Также показаны профили скорости $u\left( y \right)$ и статической температуры $T\left( y \right)$ в среднем сечении x = 0.5. Видно, что отсос существенно уменьшает толщину пограничного слоя, но при этом форма профилей остается подобной случаю без отсоса.

На основе профилей пограничного слоя вычисляется нейтральная кривая устойчивости – в каждом сечении по $x$ определяется диапазон частот наиболее неустойчивых волн. На рассматриваемом режиме течения это плоские волны второй моды с характерной частотой $f{\text{*}}\sim 200~$ кГц (ω ~ 317.1). Далее, для различных фиксированных частот ω из неустойчивого диапазона вычисляются распределения инкрементов $\sigma \left( {\omega ;~x} \right)$ и соответствующие интегральные усиления $N\left( {\omega ;x} \right)$. Пример получаемых распределений для волны с частотой ${{\omega }_{1}} = 296.8$ показан на рис. 2. Видно, что вблизи начала участка отсоса инкремент $\sigma \left( {{{\omega }_{1}};x} \right)$ резко падает по сравнению со случаем без отсоса (рис. 2, пунктирные линии), т.е. локально проявляется известный эффект стабилизации пограничного слоя. Однако ниже по потоку на участке отсоса инкремент остается положительным, и по сравнению с пластиной без отсоса область неустойчивости оказывается более протяженной. Такое неожиданное поведение инкремента ${{\sigma }_{{{{c}_{q}}}}}({{\omega }_{1}};x)$ обусловлено изменением толщины δ(x) пограничного слоя на участке отсоса. Известно, что наиболее неустойчивая волна второй моды имеет длину ${{\lambda }_{*}}(x)\, \approx \,2\delta (x)$ [6], а ее частота ${{\omega }_{*}}\, = \,2\pi \, \cdot \,{{u}_{c}}{\text{/}}{{\lambda }_{*}}\, \approx \,\pi $ · u_e/δ, где ${{u}_{c}} \approx 0.9{{u}_{e}}$ – типичная фазовая скорость волн второй моды, связанная со скоростью на границе пограничного слоя ${{u}_{e}}$. Тогда, если зафиксировать частоту волны ${{\omega }_{1}}$, то при некоторой толщине пограничного слоя ${{\delta }_{*}}$ будет наблюдаться максимальный инкремент ${{\sigma }_{*}}$, а при отстройке толщины $\delta \ne {{\delta }_{*}}$ инкремент будет падать. В случае отсоса пограничного слоя через стенку скорость ${{u}_{e}}$ практически не меняется, но происходит резкое изменение толщины ${{\delta }_{{{{c}_{q}}}}} < {{\delta }_{{{{c}_{q}} = 0}}}$ (см. профили на рис. 1), поэтому у волны фиксированной частоты ${{\omega }_{1}}$ отстраивается инкремент роста

Причем в некоторых положениях по $x$ возможно

в зависимости от соотношения ${{\lambda }_{1}}$ и $2{{\delta }_{{{{c}_{q}}}}}\left( x \right)$.

Такое поведение инкрементов σ(x) приводит, в частности, к тому, что волна с частотой ${{\omega }_{1}}$ = = 296.8 усиливается в $\exp \left( N \right) \approx 4.27$ раза на пластине без отсоса, и в 5.83 раза на пластине с отсосом (рис. 2, сплошные линии). Таким образом, наблюдается неожиданный эффект интегральной дестабилизации пограничного слоя при использовании системы отсоса.

Семейство кривых интегрального усиления для широкого диапазона частот неустойчивых волн показано на рис. 3. Видно, что в соответствии с общепринятой концепцией управления ламинарным потоком с помощью отсоса есть волны, интегральное усиление которых падает на участке отсоса, т.е. пограничный слой становится более устойчив к таким возмущениям. Но также наблюдается широкий диапазон частот, в котором проявляется противоположный эффект – отсос приводит к увеличению интегрального роста на некотором участке обтекаемой поверхности.

Следует отметить, что наблюдаемый эффект интегральной стабилизации или дестабилизации неустойчивых волн второй моды зависит главным образом от характера изменения локальной толщины пограничного слоя. Вполне возможно, что для стабилизации волн в некотором диапазоне частот потребуется выдув, а не отсос, газа из пограничного слоя. Для поиска оптимального распределения ${{c}_{q}}\left( x \right)$ необходимо рассматривать интегральные, N(x), а не локальные, $\sigma \left( x \right),~$ усиления неустойчивости. В случаях больших скоростей, когда доминирует вторая мода Мэка, данные распределения могут существенно отличаться от традиционных распределений, полученных для дозвуковых и умеренно сверхзвуковых режимов. Исследования в этом направлении планируется провести в ближайшее время.

Отметим, что в рассмотренных случаях уровни интегрального усиления неустойчивых волн не велики, N ~ 2. С практической точки зрения интересны режимы с бóльшими числами Рейнольдса, при которых N ~ 10. Следует проверить наличие аномального эффекта дестабилизации второй моды на этих режимах.

ВЫВОДЫ

Выполнены исследования устойчивости пограничного слоя на плоской пластине с участком отсоса газа через стенку при обтекании сверхзвуковым потоком с числом Маха ${{М}_{\infty }} = 6$. В рамках локально-параллельной теории устойчивости с помощью e^N-метода рассчитаны локальные инкременты нарастания и интегральные усиления плоских волн различных частот, относящихся ко второй моде Мэка, которая является доминирующим типом неустойчивости на рассматриваемом режиме.

Показано, что неустойчивые волны на участке отсоса в широком диапазоне частот усиливаются слабее, чем в случае без отсоса, что согласуется с известной концепцией стабилизации пограничного слоя. Однако для высокочастотной части спектра отсос приводит к увеличению интегрального усиления. Этот аномальный эффект необходимо учитывать при разработке активных систем управления ламинарно-турбулентным переходом для достаточно больших сверхзвуковых скоростей. В дальнейшем планируется рассмотреть течения с более высокими числами Рейнольдса, близкими к режимам ламинарно-турбулентного перехода в естественных условиях, при которых N ~ 10.

Из анализа обнаруженного эффекта дестабилизации следует, что его, вероятно, можно компенсировать выдувом газа в пограничный слой. Это – предмет будущих исследований.