Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 503, № 1, стр. 47-51

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОЛЬЦЕВОМ СОПЛЕ НА ОСНОВЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ МОДЕЛИ

Академик РАН В. А. Левин^1, 2, *, Н. Е. Афонина^1, **, В. Г. Громов¹, А. Н. Хмелевский¹

¹ Научно-исследовательский институт механики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

² Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук
Владивосток, Россия

^* E-mail: levin@imec.msu.ru
^** E-mail: afonina@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 24.12.2021
После доработки 24.12.2021
Принята к публикации 28.01.2022

EDN: MLVBTY
DOI: 10.31857/S2686740022020080

Полный текст (PDF)

Аннотация

Представлены результаты численного исследования особенностей течений газа в кольцевых соплах с внутренним дефлектором в турбулентном режиме течения, выполненные на основе осредненных по Фавру уравнений Навье–Стокса и приближения Буссинеска для описания процессов турбулентного переноса. В качестве рабочего газа рассмотрен воздух. В расчетах с использованием турбулентной модели стартовые возмущения, сопровождающие запуск сопла, затухают, и в полости внутреннего дефлектора кольцевого сопла устанавливается “стационарный” турбулентный режим с высокими значениями параметров турбулентного переноса, что существенно отличает его от ламинарного режима течения, характеризующегося наличием незатухающих пульсаций давления газа на тяговой стенке сопла.

Ключевые слова: численное исследование, модель турбулентности, кольцевое сопло

Кольцевые сопла с внутренним дефлектором рассматриваются в качестве перспективных для реализации пульсирующего, в том числе детонационного, режима сжигания топлив. На базе таких сопел удается организовать также и непрерывное сжигание топлив во вращающихся детонационных волнах. Подобные сопловые устройства представляют потенциальный интерес для реализации соответственно пульсирующих, либо ротационных детонационных двигателей. Широкому внедрению в авиации и ракетостроении указанных сопловых устройств должна предшествовать разработка научных основ их функционирования. Создание расчетных моделей, описывающих процессы, протекающие в таких устройствах, – важный этап на этом пути. Расчетно-экспериментальные исследования таких устройств выполнены в работах [1, 2], в них использовались модели ламинарного течения, построенные на основе уравнений Навье–Стокса для различных моделей газовой среды.

В настоящей работе представлены результаты численных исследований особенностей течений газа в кольцевых соплах с внутренним дефлектором в турбулентном режиме течения и проведено сравнение с результатами расчетов по модели ламинарного течения. Расчеты турбулентного течения, выполнены на основе осредненных по Фавру уравнений Навье–Стокса [3] и приближения Буссинеска для описания процессов турбулентного переноса. Коэффициенты турбулентного переноса рассчитывались с помощью трехпараметрической Lag Model (LA) [4]. В качестве рабочего газа рассмотрен воздух. Основные геометрические и газодинамические параметры численной модели близки к условиям проведенных ранее [1, 2] физических экспериментов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ И МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЙ

Воздух рассматривается как идеальная однотемпературная смесь молекулярного кислорода и азота с постоянными значениями мольных концентраций компонентов смеси X$_{{{{{\text{O}}}_{{\text{2}}}}}}$ = 0.21 и X$_{{{{{\text{N}}}_{{\text{2}}}}}}$ = 0.79.

В соответствии с гипотезой Буссинеска тензор турбулентных потоков импульса ${{\hat {\tau }}_{T}}$ и турбулентный тепловой поток ${{\vec {q}}_{T}}$ представляются в виде, аналогичном молекулярному переносу

${{\hat {\tau }}_{T}} = - {{\mu }_{T}}\hat {\varepsilon },\quad {{\vec {q}}_{T}} = - {{\lambda }_{T}}\frac{{\partial T}}{{\partial{ \vec {r}}}}.$

Для вычисления коэффициентов турбулентного переноса использовалась полуэмпирическая трехпараметрическая модель (LA), основанная на двухпараметрической ($k - \omega $) модели Уилкокса [5] и предназначенная для описания быстро протекающих газодинамических процессов. В этой модели кинематический коэффициент турбулентной вязкости ν_T = $\frac{{{{\mu }_{T}}}}{\rho }$ определяется из уравнений

$\frac{{\partial \rho k}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}\left( {\rho {{u}_{j}}k - ({{\mu }_{M}} + {{\sigma }_{k}}{{\mu }_{T}})\frac{{\partial k}}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right) = {{b}_{k}},$

$\frac{{\partial \rho \omega }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}\left( {\rho {{u}_{j}}\omega - ({{\mu }_{M}} + {{\sigma }_{T}}{{\mu }_{T}})\frac{{\partial \omega }}{{\partial {{x}_{j}}}}} \right) = {{b}_{\omega }},$

$\frac{{\partial \rho {{\nu }_{T}}}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}(\rho {{u}_{j}}{{\nu }_{T}}) = {{b}_{{{{\nu }_{T}}}}},$

где ${{b}_{k}}\, = \,{{t}_{{ij}}}{{s}_{{ij}}}\, - \,\beta _{T}^{*}\rho \omega k,$ ${{b}_{\omega }}\, = \,\alpha \rho {{S}^{2}}\, - \,{{\beta }_{T}}\rho {{\omega }^{2}},$ ${{b}_{{{{\nu }_{T}}}}}$ = = $\alpha ({{R}_{T}})\rho \omega ({{\nu }_{{TE}}} - {{\nu }_{T}}),$

$S = \sqrt {2{{s}_{{ij}}}{{s}_{{ij}}}} ,\quad {{R}_{T}} = \frac{{\rho k}}{{{{\mu }_{M}}\omega }},$

${{t}_{{ij}}} = \rho {{\nu }_{T}}\left( {2{{s}_{{ij}}} - \frac{2}{3}{{s}_{{kk}}}{{\delta }_{{ij}}}} \right),\quad {{s}_{{ij}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \frac{{\partial {{u}_{j}}}}{{\partial {{x}_{i}}}}} \right),$

${{\nu }_{{TE}}} = \frac{k}{\omega },\quad \alpha ({{R}_{T}}) = 0.35\frac{{{{R}_{T}} + 1}}{{{{R}_{T}} + 0.01}}.$

Осредненные по Фавру интегральные уравнения Навье–Стокса, описывающие нестационарное осесимметричное течение газа в цилиндрической системе координат (x ≥ 0, y, φ), имеют вид

$\frac{\partial }{{\partial t}}\int\limits_S^{} {{\mathbf{U}}xdS + \int\limits_{\delta S}^{} {\vec {n} \cdot } } \,{\mathbf{\vec {F}}}xdl = \int\limits_S^{} {{\mathbf{\Omega }}xdS,} $

где S – фиксированная контрольная область в некоторой меридиональной плоскости (x, y), δS – граница области, $\vec {n} = ({{n}_{x}},{{n}_{y}})$ – единичная внешняя нормаль к δS, U – набор консервативных переменных, отнесенных к единице объема, ${\mathbf{\vec {F}}}$ = ${{{\mathbf{\vec {F}}}}^{{{\text{inv}}}}}$ + ${{{\mathbf{\vec {F}}}}^{{{\text{vis}}}}}$ – сумма невязких и вязких потоков U через единицу площади границы области, ${\mathbf{\Omega }}$ состоит из источниковых членов в единице объема.

Для LA-модели турбулентного переноса

${\mathbf{U}} = {{\{ \rho ,\rho u,\rho {v},\rho {{e}_{0}},\rho k,\rho \omega ,\rho {{\nu }_{T}}\} }^{{\text{T}}}};$

${\mathbf{\vec {F}}} = \left\{ \begin{gathered} \rho \vec {u} \\ \rho \vec {u}u + p\vec {n}{{n}_{x}} \\ \rho \vec {u}\nu + p\vec {n}{{n}_{y}} \\ \rho \vec {u}{{h}_{0}} \\ \rho \vec {u}k \\ \rho \vec {u}\omega \\ \rho \vec {u}{{\nu }_{T}} \\ \end{gathered} \right\} + \left\{ \begin{gathered} 0 \\ {{{\vec {\tau }}}_{x}} \\ {{{\vec {\tau }}}_{y}} \\ {{{\vec {q}}}_{h}} + u{{{\vec {\tau }}}_{x}} + {v}{{{\vec {\tau }}}_{y}} \\ {{{\vec {q}}}_{k}} \\ {{{\vec {q}}}_{\omega }} \\ {{{\vec {q}}}_{{{{\nu }_{T}}}}} \\ \end{gathered} \right\}'$

${\mathbf{\Omega }} = {{\{ 0,{{b}_{x}},0,0,{{b}_{k}},{{b}_{\omega }},{{b}_{{{{\nu }_{T}}}}}\} }^{{\text{T}}}}.$

Уравнения движения газа решаются численно методом конечного объема на структурированной одноблочной сетке. При таком подходе система разностных уравнений состоит из численных аналогов уравнений сохранения для четырехгранных ячеек, покрывающих расчетную область и разностных аппроксимаций граничных условий. Уравнения записаны относительно значений исходных переменных Z = {p, u, ${v}$, T, k, ω, ν_T} в центрах ячеек и в центрах сторон ячеек, лежащих на поверхности обтекаемого тела. Ячейки блоков образованы пересечением двух дискретных семейств кривых. Невязкие потоки ${\mathbf{\vec {F}}}_{G}^{{{\text{inv}}}}$ через границы ячеек вычисляются по результату точного решения задачи о распаде произвольного разрыва Z_G = $\Re $(${\mathbf{Z}}_{G}^{L}$, ${\mathbf{Z}}_{G}^{R}$), где ℜ – оператор решения задачи. Левые ${\mathbf{Z}}_{G}^{L}$ и правые ${\mathbf{Z}}_{G}^{R}$ граничные значения исходных переменных определяются с помощью одномерной интерполяции значений Z в центрах ячеек на рассматриваемую границу между ячейками. Вязкие потоки ${\mathbf{\vec {F}}}_{G}^{{{\text{vis}}}}$ через грани ячеек вычисляются с использованием центральных или односторонних разностных формул второго порядка точности. Разностные уравнения решаются с помощью двухслойной итерационной схемы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Расчеты выполнены для области течения, включающей:

– дефлектор с тяговой стенкой в форме сферического сегмента радиуса 36 мм и высотой 22 мм (диаметр основания d = 66.4 мм);

– входное кольцевое сопло диаметра d с высотой критического сечения h = 4.4 мм;

– выхлопное коническое сопло с полууглом раствора 45° и длиной 15 мм;

– достаточно большую разлетную область.

Приведенные ниже результаты получены на сетке с числом узлов 200 × 376. Узлы сетки сгущались вблизи поверхности тяговой сетки так, чтобы в ламинарный подслой, переходную и логарифмическую область пограничного слоя попадало 20–30 узлов. Границы расчетной области и распределение узлов разностной сетки для указанных геометрических параметров модели соплового устройства показаны на рис. 1.

Рис. 1.

Границы расчетной области и распределение узлов разностной сетки.

Предполагалось, что вдув воздуха через критическое сечение кольцевого сопла происходит со звуковой скоростью U_s при постоянных значениях давления торможения P₀= 19.8 атм и двух значениях температуры торможения: T₀ = 300 К и T₀ = 3000 К. Значения параметров турбулентной модели в критическом сечении сопла определялись из условий

${{k}^{{{\text{in}}}}} = a_{k}^{{{\text{in}}}}0.5u_{s}^{2},\quad \nu _{T}^{{{\text{in}}}} = a_{\nu }^{{{\text{in}}}}{v}_{M}^{{{\text{in}}}},\quad {{\omega }^{{{\text{in}}}}} = \frac{{{{k}^{{{\text{in}}}}}{{\rho }^{{{\text{in}}}}}}}{{a_{\nu }^{{{\text{in}}}}\mu _{M}^{{{\text{in}}}}}},$

где $a_{k}^{{{\text{in}}}}$, $a_{\nu }^{{{\text{in}}}}$ – варьируемые числовые параметры, верхним индексом in помечены значения параметров рабочего газа в критическом сечении кольцевого сопла.

Величина числа Рейнольдса, вычисленного по параметрам газа в критическом сечении сопла и его величине, составляет Re= 1.28 × 10⁶.

Истечение воздуха из устройства через коническое сопло происходит в газовую среду с давлением P_e = 0.01 атм и температурой T_e =300 K. Для замыкания задачи на внешней границе используются мягкие граничные условия экстраполяционного типа.

На стенке соплового устройства ставились следующие граничные условия:

${{\vec {u}}_{w}} = 0$, ${{T}_{w}} = 300$ K (охлаждаемая стенка) или ${{q}_{{hw}}} = 0$ (теплоизолированная стенка), ${{k}_{w}} = 0,$ ω_w = = $a_{\omega }^{w}\frac{{60{{\nu }_{w}}}}{{0.075{{{({{\Delta }_{{i,0}}})}}^{2}}}}$, ν_T, _w = 0, где Δ_{i, 0} – пристеночный шаг разностной сетки.

В проведенных расчетах варьировались условия в критическом сечении кольцевого сопла и условия на тяговой стенке. Перечень рассмотренных вариантов расчетов приведен в табл. 1.

Таблица 1.

Параметры рассмотренных вариантов расчетов

Вариант	$Т_{0}^{{{\text{in}}}}$, K	Теплообмен на стенке	$a_{k}^{{{\text{in}}}}$	$a_{\nu }^{{{\text{in}}}}$	$a_{\omega }^{w}$
1	300	T_w = 300 K	10^–4	10^–3	10^–1
2	300	T_w = 300 K	10^–4	10²	10^–1
3	300	T_w = 300 K	10^–3	10^–3	10^–1
4	300	T_w = 300 K	10^–4	${{10}^{2}}$	10
5	300	T_w = 300 K	10^–4	10^–3	10
6	300	T_w = 300 K	10^–5	10^–3	10
7	3000	T_w = 300 K	10^–4	10^–3	10^–1
8	300	${{q}_{{hw}}} = 0$	10^–4	10^–3	10^–1

По условию запуск работы кольцевого сопла, первоначально заполненного неподвижным воздухом с давлением P_e и температурой T_e, происходит внезапно, что приводит к развитию интенсивных нестационарных газодинамических процессов и значительному повышению давления. В ранее проведенных расчетах, основанных на ламинарной модели течения [1, 2], стартовые возмущения в аналогичных условиях переходили в квазипериодический режим. В настоящих расчетах, моделирующих турбулентное течение в сопловом устройстве, во всех рассмотренных вариантах устанавливался “стационарный” турбулентный режим течения, в котором максимальное значение коэффициента турбулентной вязкости на несколько порядков превышает значение коэффициента молекулярной вязкости.

В качестве иллюстрации результатов здесь для 1-го и 8-го вариантов расчетов приведены два рисунка. На рис. 2 сравнивается динамика давления в центральной точке тяговой стенки для ламинарной и турбулентной моделей течения в интервале 2 мс с момента запуска сопла. На рис. 3 показано распределение в сечении соплового устройства отношения коэффициентов турбулентной и молекулярной вязкости через 2 мс от начала запуска сопла.

Рис. 2.

Динамика давления в центральной точке тяговой стенки соплового устройства при ламинарном (1) и турбулентном (2) режимах течения: а – вариант 1; б – вариант 8.

Рис. 3.

Поле отношения $\frac{{{{\mu }_{T}}}}{{{{\mu }_{M}}}}$ в сопловом устройстве при t = 2 мс: а – вариант 1; б – вариант 8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведены расчеты турбулентного течения в полости внутреннего дефлектора кольцевого сопла с использованием трехпараметрической Lag Model турбулентного переноса. В вариантах расчетов варьировались условия на входе кольцевого сопла и на тяговой стенке. В отличие от аналогичного исследования для ламинарной модели течения во всех вариантах расчетов по турбулентной модели стартовые возмущения давления на тяговой стенке сопла затухали и в полости внутреннего дефлектора соплового устройства в течение 2 мс устанавливался “стационарный” турбулентный режим с высокими значениями параметров турбулентного переноса, в котором максимальное значение коэффициента турбулентной вязкости на несколько порядков превышает значение коэффициента молекулярной вязкости. Для каждого варианта результаты расчетов проиллюстрированы сравнением динамики давления в центральной точке тяговой стенки при ламинарной и турбулентной моделях течения и картинами распределения в меридиональном сечении соплового устройства отношения коэффициентов турбулентной и молекулярной вязкости.

Список литературы

Левин В.А., Aфонинa Н.Е., Громов В.Г., Мануйло-вич И.С., Марков В.В., Смехов Г.Д., Хмелевский A.Н. Об управлении спектральным составом сигналов пульсаций давления газа в соплах с дефлектором // ДАН. 2018. Т. 483. № 5. С. 506–509. https://doi.org/10.31857/S086956520003298-0
Levin V.A., Afonina N.E., Gromov V.G., Manuylovich I.S., Khmelevsky A.N., Markov V.V. Spectra signals of gas pressure pulsations in annular and linear dual slotted nozzles // Combustion Science and Technology, Taylor & Francis (United Kingdom). 2019. T. 191. № 2. C. 339–352. https://doi.org/10.1080/00102202.2018.1467405
Favre A. Equations des gaz turbulents compressibles. Part 1: Formes generals // Journal de Mecanique. 1965. V. 4. № 3. P. 361–390.
Olsen M.E., Coakley T.J. The Lag Model, a Turbulence Model for Non Equilibrium Flows // AAIA Papers. 2001–2564. P. 10. https://doi.org/10.2514/6.2001-2564
Wilcox D.C. Multiscale Model for Turbulent Flows // AIAA J. 1988. V. 26. № 11. P. 1311–1320. https://doi.org/10.2514/6.1986-29

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал