1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки
  4. T. 504, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 504, № 1, стр. 10-14

МОДЕЛЬ ВСПЛЫТИЯ ПОДВОДНОГО ТРУБОПРОВОДА

Член-корреспондент РАН М. А. Ильгамов 1, 2, 3, *

1 Институт машиноведения им А.А. Благонравова Российской академии наук
Москва, Россия

2 Башкирский государственный университет
Уфа, Россия

3 Институт механики Уфимского исследовательского центра
Уфа, Россия

* E-mail: ilgamov@anrb.ru

Поступила в редакцию 12.01.2022
После доработки 12.01.2022
Принята к публикации 28.01.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Разработана простейшая модель всплытия пролета подводного трубопровода между двумя опорами. Учитываются вес трубопровода с транспортируемой средой, выталкивающая сила воды, поперечные распределенные силы, обусловленные давлениями на внутреннюю и внешнюю поверхности, изменением кривизны осевой линии при изгибе, а также уменьшение давления воды и газа на стенки трубы при ее подъеме. Рассматривается линейный статический изгиб. Модель описывает подъем трубопровода до положения, когда его верхняя часть совпадает с поверхностью воды. Определены условия всплытия трубопровода.

Ключевые слова: подводный трубопровод, давления воды и газа, изгиб, критерий всплытия

1. Анализ явления всплытия трубопровода, более тяжелого, чем выталкивающая сила воды, является важным с практической точки зрения [1–4]. Такое равновесное состояние сооружения является недопустимым для его безопасной эксплуатации. Причинами этого подъема являются температурное удлинение в результате сезонного нагрева воды, изменения температуры перекачиваемого газа, повреждение балластной части трубы, изменение рельефа дна (подъем, опускание, сдвиги), донных течений и т.д. Наиболее благоприятные условия для всплытия трубопровода возникают при одновременной реализации указанных факторов. Возможно, изучены еще не все частные механизмы, приводящие к рассматриваемому обстоятельству. Один из таких механизмов рассматривается в настоящей работе.

Конструкция трубопроводов, состоящих из слоистых (концентрических) труб, обеспечивает хорошие балластные, теплоизоляционные и антикоррозионные свойства [5–7], частично защищает от механических повреждений, пластических деформаций [8], трещинообразования [9]. В указанных работах анализируются эти свойства, приводится обширный обзор литературы.

Большое внимание уделено анализу прочности и продольной устойчивости трубопровода при различных условиях опирания на земле, под землей, под водой [10–16]. Подъем трубопровода на вибрирующих опорах изучен в [17]. Рассматривается влияние начальной кривизны осевой линии, температурного удлинения трубопровода на его изгиб и выпучивание. Развиваются аналитические и численные методы исследований. Задачи изгиба трубопровода ставятся в линейной и нелинейной постановке. Во всех этих работах принимаются допущения о том, что при изгибе трубопровода поперечное сечение его остается плоским, круговая форма не меняется, напряжения в поперечном направлении малы по сравнению с ними в продольном направлении. Отметим, что такие же допущения принимаются при анализе деформации сверхпроводящего кабеля, который имеет слоистую структуру [18].

2. На рис. 1 приводится схема пролета трубопровода длиной L между двумя опорами на дне водоема глубиной H. Опоры находятся на одном уровне, допускают свободный поворот и скольжение без сопротивления. Допущение LH–1 >10 позволяет ограничиться линейным уравнением изгиба. Более полный анализ поведения пролета трубопровода включает учет начального искривления осевой линии, его взаимодействия с участками за опорами и упругих нелинейностей. Однако эти факторы не вносят качественных изменений в полученные результаты данной работы. При необходимости они могут быть учтены.

Рис. 1.

Схема подводного трубопровода.

В уравнении изгиба относительно прогиба w(х)

(1)
$\begin{gathered} D\frac{{{{d}^{4}}w}}{{d{{x}^{4}}}} = q,\quad g\rho F = 2\pi g\sum\limits_{n = 1}^N {{{\rho }_{n}}{{R}_{n}}{{h}_{n}}} , \\ \,D = \pi \sum\limits_{n = 1}^N {{{E}_{n}}R_{n}^{3}{{h}_{n}}} , \\ \end{gathered} $
за положительные значения w и распределенной поперечной силы q примем направление вверх. Вес gρF трубы единичной длины из N концентрических оболочек и ее эффективная изгибная жесткость D определяются обычным образом (как и в других конструкциях для слоистой круглой трубчатой балки [18]). Здесь Rn – средний радиус n-го слоя толщиной hn (hn ≪ Rn), ρn, En – плотность и модуль упругости, g – земное ускорение. При определении D предполагается, что слои жестко скреплены между собой и при изгибе поперечное сечение остается плоской поверхностью.

Распределенная поперечная сила q равна

(2)
$q = - g\left( {\rho F + {{\rho }_{{gw}}}{{F}_{g}}} \right) + g{{\rho }_{l}}{{F}_{l}} + {{q}_{w}},$
где первые два члена представляют собой вес трубы и транспортируемого газа с плотностями ρ и ρgw и площадями поперечного сечения F и Fg, третий – выталкивающая сила воды плотностью ρl и площадью поперечного сечения слоистой трубы Fl. Плотность ρl не меняется с изгибом трубопровода. Плотность газа ρgw, соответствующая прогибу w, изменяется по изотермическому закону ${{\rho }_{{gw}}}\rho _{g}^{{ - 1}} = {{p}_{{gw}}}p_{g}^{{ - 1}}$, где pg, ρg – давление и плотность на уровне опор (z = 0), pgw, ρgw – эти величины при z = w.

Значения плотности транспортируемого газа ρg меняются в широких пределах. В случае легких газов (при температуре 20°С плотность водорода 0.09 кг ⋅ м–3, гелия – 0.18 кг ⋅ м–3) второй член в скобках (2) мал по сравнению с первым даже при давлении порядка 10 МПа. Однако влияние давления pgw может быть существенным. В случае природного газа (ρg = 0.8 кг ⋅ м–3), бутана (ρg = 2.7 кг ⋅ м–3) и т.д., находящихся при указанных давлениях, необходимо учитывать влияние их веса на изгиб.

При определении давления pgw на уровне z = w примем приближенно ${{p}_{{gw}}} = {{p}_{g}} - g{{\rho }_{{gw}}}w$. Это допустимо ввиду поправочного характера этого уменьшения давления газа по высоте порядка 103 м (как известно из аэростатики, плотность газа уменьшается на 1% на высоте 102 м). Тогда с учетом приведенной выше связи pgw(ρgw) имеем

(3)
$\frac{{{{\rho }_{{gw}}}}}{{{{\rho }_{g}}}} \approx 1 - \frac{{g{{\rho }_{g}}w}}{{{{p}_{g}}}},\quad \frac{{{{p}_{{gw}}}}}{{{{p}_{g}}}} \approx 1 - \frac{{g{{\rho }_{g}}w}}{{{{p}_{g}}}}.$

Отметим, при w = 100 м и атмосферных значениях параметров при температуре 20°С по (3) получаем уменьшение ρgw, pgw на 1%. Давление воды по высоте изменяется по закону

(4)
${{p}_{{lw}}} = g{{\rho }_{l}}(H - w).$

Последний член в (2) представляет собой распределенную поперечную силу, возникающую в результате изгиба трубы. При этом площади в областях растяжения и сжатия стенок трубы в продольном направлении соответственно увеличиваются и уменьшаются. Так как на них действует одинаковое давление, то это приводит к появлению поперечной силы [19]

(5)
${{q}_{w}} = - {{p}_{{gw}}}{{F}_{g}}\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}} + {{p}_{{lw}}}{{F}_{l}}\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{x}^{2}}}}.$

Сила на внутренней поверхности (первый член в (5)) направлена в сторону выпуклости осевой линии (при изгибе, показанном на рис. 1, вверх), на внешней поверхности – в сторону вогнутости (вниз).

Оценим влияние скорости движения газа на изгиб. Критическая комбинация давления pg и скорости движения V равна

${{p}_{g}} + {{\rho }_{g}}{{V}^{2}} = \frac{{\pi D}}{{R_{g}^{2}{{L}^{2}}}}.$

При pg = 10 МПа, ρg = 102 кг/м3, V = 30 м/с второй член в левой части равенства меньше первого более чем в 100 раз. Поэтому в составе поперечной силы (2), (4) влияние скорости движения газа не учтено. Так как рассматриваются равновесные состояния изогнутого трубопровода в воде, то силы инерции и возможное внешнее обтекание не учитываются.

Подставляя (2)–(5) в уравнение (1), получаем

(6)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{4}}w}}{{d{{\xi }^{4}}}} + \alpha \frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{\xi }^{2}}}} + \beta w + \mu w\frac{{{{d}^{2}}w}}{{d{{\xi }^{2}}}} = \gamma , \\ \alpha = \frac{{{{p}_{g}}{{F}_{g}} - {{p}_{l}}{{F}_{l}}}}{{{{P}_{*}}}}, \\ \beta = - \frac{{{{g}^{2}}\rho _{g}^{2}{{F}_{g}}{{L}^{2}}}}{{{{\pi }^{2}}{{p}_{g}}{{P}_{*}}}},\quad \mu = \frac{{gL\left( {{{\rho }_{l}}{{F}_{l}} - {{\rho }_{g}}{{F}_{g}}} \right)}}{{{{P}_{*}}}}, \\ \gamma = \frac{{gL\left( {{{\rho }_{l}}{{F}_{l}} - \rho F - {{\rho }_{g}}{{F}_{g}}} \right)}}{{{{\pi }^{2}}{{P}_{*}}}},\quad {{P}_{*}} = \frac{{{{\pi }^{2}}D}}{{{{L}^{2}}}},\quad \xi = \frac{{\pi x}}{L}, \\ \end{gathered} $
где прогиб w отнесен к длине L. Параметры α, β, μ, γ и члены уравнения (6) являются безразмерными. Параметр α характеризует влияние давлений газа и воды на изгиб трубопровода, параметры β и μ – влияние уменьшения веса газа и его давления на стенку трубы с подъемом на величину w, параметр γ представляет собой разность подъемной силы воды (Архимедовой силы) и веса трубопровода, ${{P}_{*}}$ – критическая сила, приводящая к изгибу трубы при осевом сжатии (Эйлерова сила).

Решение уравнения (6), удовлетворяющее условиям $w = {{{{d}^{2}}w} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}^{2}}w} {d{{\xi }^{2}} = 0}}} \right. \kern-0em} {d{{\xi }^{2}} = 0}}$ (ξ = 0,π), будем искать в виде ряда sin nξ, где n = 1, 3, …, ввиду симметрии изгиба относительно середины (ξ =1/2). Этот ряд быстро сходится. Например, при α = β = μ = 0 сходимость n–5. Поэтому ограничиваемся применением только члена w = Wsinξ. Подставив его в (6), умножив на sinξ и проинтегрировав в пределах от 0 до π, получаем уравнение относительно прогиба в середине пролета:

(7)
${{W}^{2}} - \frac{{3\pi (1 - \alpha + \beta )}}{{8\mu }}W + \frac{{3\gamma }}{{2\mu }} = 0,$
решение которого

(8)
$W = \frac{{3\pi (1 - \alpha + \beta )}}{{16\mu }}\left( {1 \pm \sqrt {1 - \frac{{128\mu \gamma }}{{3{{\pi }^{2}}{{{(1 - \alpha + \beta )}}^{2}}}}} } \right).$

3. В случае малого отношения глубины H водоема к пролету L между опорами можно не учитывать изменение поперечной силы, зависящей от давления газа и воды, а также от прогиба. Кроме того, по постановке задачи максимальное значение безразмерного прогиба равно w = (H – Rl)L–1. Поэтому отношение первого члена в (7) к третьему составляет приближенно π2HL–1. С такой погрешностью первый член в (7) может быть опущен. При этом безразмерный прогиб середины пролета равен

(9)
$W = \frac{{4\gamma }}{{\pi (1 - \alpha + \beta )}}.$

Как следует из (9), подъем (W > 0) может быть только при превышении подъемной силы воды над весом трубопровода (γ > 0). При этом превышение давления газа над давлением воды на уровне опор (α > 0) приводит к большему подъему, а при α < 0 – к меньшему подъему. Равенство α – β = 1 дает критическую комбинацию параметров, при которой решение (9) неограниченно возрастает. Для рассмотрения решения при α – β ≥ 1 требуется учет нелинейности деформирования трубы, что не входит в круг вопросов данной работы. Поэтому будем рассматривать только случай α – β < 1.

Определим комбинацию входных параметров, при которой происходит всплытие трубопровода, т.е. безразмерный прогиб равен W = (H – Rl)L–1. Из (9) получаем

(10)
$4L\gamma = \pi (H--{{R}_{l}})(1{\text{ }}--\alpha + \beta ).~$

В случае легких газов (β ≪ 1) необходимое превышение Архимедовой силы ρlFl над весом ρF через исходные параметры равно

(11)
${{\rho }_{l}}{{F}_{l}} - \rho F \approx \frac{{{{\pi }^{3}}H}}{{4g{{L}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\pi }^{2}}D}}{{{{L}^{2}}}} + g{{\rho }_{l}}H{{F}_{l}} - {{p}_{g}}{{F}_{g}}} \right).$

Таким образом, чем больше давление газа pg, тем меньше необходимая разность сил ρlFl – ρF для всплытия трубопровода. Кроме того, эта разность уменьшается с уменьшением изгибной жесткости D и глубины водоема H, с увеличением длины пролета L между опорами. При давлении газа

(12)
${{p}_{g}} = \frac{{{{\pi }^{2}}D}}{{{{L}^{2}}{{F}_{g}}}} + \frac{{g{{\rho }_{l}}H{{F}_{l}}}}{{{{F}_{g}}}}$
всплытие происходит и при нулевой плавучести. Согласно (11) это может происходить и при превышении  давления pg, определяемого формулой (12), когда вес трубопровода больше подъемной силы воды. Это не противоречит и решению (9), где в этом случае α > 1, γ < 0. Однако для более точного определения условия всплытия необходимо учитывать упругую нелинейность трубы и возможные продольные перемещения на опорах. Отметим, что согласно (12) давление газа pg идет на преодоление изгибной жесткости трубы длиной L и давления воды pl = gρlH (соответствует в (5) второму члену в правой части и второму члену в составе α в (6)).

4. В предыдущем анализе не учитывалось увеличение поперечной силы с поднятием трубопровода. Теперь учтем этот фактор (параметр μ). При малой разнице между весом трубопровода и подъемной силой воды, считая второй член под корнем в (8) меньше единицы, сохраним три члена в разложении в степенной ряд. Верхний знак перед корнем дает результат, не имеющий физического смысла. С учетом нижнего знака получаем

(13)
$W \approx \frac{{4\gamma }}{{\pi (1 - \alpha + \beta )}}\left( {1 + \frac{{\mu \gamma }}{{{{{(1 - \alpha + \beta )}}^{2}}}}} \right).$

Здесь первый член совпадает с линейным решением (9).

Из рис. 2 следует, что при значениях параметра γ < 0.003 все три решения совпадают. С повышением значения γ эти решения расходятся. Важный результат состоит в том, что учет убывания внешнего давления с поднятием трубопровода (параметр μ) и соответствующего решения нелинейного уравнения (8) показывает всплытие при меньших значениях γ.

Рис. 2.

Безразмерный прогиб W середины пролета в случае легкого газа (β ≪ 1) в зависимости от безразмерного параметра подъемной силы γ. Кривые 1, 2, 3 соответствуют формулам (9), (13), (8), в которых принято α = 0.5, μ = 5.

В соответствии с (8) условием поднятия трубопровода (W > 0) являются неравенства

(14)
$\frac{{1 - \alpha + \beta }}{\mu } > 0,\quad \frac{{4.3\mu \gamma }}{{{{{\left( {1 - \alpha + \beta } \right)}}^{2}}}} < 1.$

Как было указано выше, 1 – α + β > 0. Поэтому по первому неравенству должно быть μ > 0 или ρlFl > ρgFg, что практически всегда выполняется. Второе неравенство (14) дает комбинацию параметров для W > 0. Чем больше внутреннее давление (параметр α) и уменьшение внешнего давления при подъеме (параметр μ), тем меньше может быть превышение подъемной силы над весом трубопровода (γ).

Отношение подъема при учете параметра μ (13) и без его учета (9) равно 1 + μγ(1 – α + β)–2. В исходных параметрах оно равно

(15)
$\begin{gathered} \frac{{W(\mu \ne 0)}}{{W(\mu = 0)}} \approx 1 + \\ \, + \frac{{{{g}^{2}}{{L}^{2}}\left( {{{\rho }_{l}}{{F}_{l}} - {{\rho }_{g}}{{F}_{g}}} \right)\left( {{{\rho }_{l}}{{F}_{l}} - \rho F - {{\rho }_{g}}{{F}_{g}}} \right)}}{{\pi {{{({{P}_{*}} + {{p}_{l}}{{F}_{l}} - {{p}_{g}}{{F}_{g}} + {{g}^{2}}\rho _{g}^{2}{{F}_{g}}{{L}^{2}}{{{(\pi {{p}_{g}})}}^{{ - 1}}})}}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Так как по (6) ${{P}_{*}} = {{\pi }^{2}}D{{L}^{{ - 2}}}$, то в знаменателе (15) ${{({{\pi }^{3}}{{D}_{E}}{{L}^{{ - 2}}})}^{2}}$, где DE – эффективная изгибная жесткость. В числителе можно ввести эффективную поперечную силу PE. Таким образом, PE зависит от плотностей воды и газа и радиусов контактных поверхностей, а DE – кроме истинной изгибной жесткости слоистого трубопровода D, также от давления и плотностей сред. При ρg = 0, pg = 0 имеем более наглядное значение

DE = D + ${{\pi }^{{ - 2}}}g{{\rho }_{l}}{{F}_{l}}{{L}^{2}}H$.

5. Приведенное уточнение поперечной распределенной силы на подводный трубопровод между двумя опорами при его подъеме дает возможность больше приблизиться к описанию реальной картины. Соотношением между весом трубопровода и подъемной силой воды определяется характер изгиба (знак безразмерного параметра γ в (6)). Силы, зависящие от прогиба, можно трактовать как вклад в эффективную изгибную жесткость DE, которая в зависимости от входных параметров может быть больше или меньше, чем истинная изгибная жесткость D слоистой трубы. Преобладание давления газа над давлением воды (α > 0) приводит к уменьшению DE и увеличению прогиба (к большему подъему). При α < 0 происходит увеличение DE и уменьшение прогиба. Уменьшение плотности газа в поднятых участках трубопровода по сравнению с плотностью газа на уровне опор (β > 0) приводит к уменьшению прогиба.

Использование только приведенной модели без привлечения других факторов, о чем сказано в начале статьи, не позволяет проводить приемлемый анализ реальных происшествий, например, всплытия обетонированного газового трубопровода “Бованенково–Ухта-2” через Байдарацкую губу (залив Карского моря, лето 2021 года, Н = 20 м, Rg = 0.6 м, pg = 12 МПа). Однако некоторые практически трудно определяемые величины могут быть оценены. Например, в предположении постоянной глубины Н и известных других данных может быть определена длина L поднятой части трубопровода по формулам (10), (11).

Приведенная модель всплытия может быть обобщена с учетом упругой нелинейности трубопровода и податливости опор, его температурного расширения, колебаний давления газа с частотой работы перекачивающих станций.

Список литературы

  1. Астафьев В.Н. Проектирование подводных трубопроводов в условиях арктических морей. Уфа: УГНТУ, 2000. 76 с.

  2. Palmer A.C., King R.A. Subsea pipeline engineering. Oklahoma: PWC, 2004. 570 p.

  3. Мансуров М.Н., Черний В.П. Методы расчета морских трубопроводов на прочность и устойчивость // Газовая промышленность. 2005. № 4. С. 47–51.

  4. Лаптева Т.И., Мансуров М.Н. Сравнительный анализ устойчивости морских и сухопутных трубопроводов // Газовая промышленность. 2009. № 4. С. 37–40.

  5. Bi K., Hao H. Using pipe-in-pipe systems for subsea pipeline vibration control // Engineering Structures. 2016. V. 109. P. 75–84. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2015.11.018

  6. Davaripour F., Quinton B.W.T., Pike K. Effect of damage progression on the plastic capacity of a subsea pipeline // Ocean Engineering. 2021. V. 234. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2021.109118

  7. Cheng A., Chen N.-Z. Corrosion fatigue crack growth modelling for subsea pipeline steels // Ocean Engineering. 2017. V. 142. P. 10–19. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2017.06.057

  8. Айнбиндер А.Б. Расчет магистральных и промысловых трубопроводов на прочность и устойчивость: Справочное пособие. М.: Недра, 1991. 287 с.

  9. Зарипов Р.М., Коробков Г.Е., Чичелов В.А. Универсальный метод расчета на прочность магистральных трубопроводов // Газовая промышленность. 1998. № 4. С. 44–45.

  10. Коробков Г.Е., Зарипов Р.М., Шаммазов И.А. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния и устойчивости трубопроводов в осложненных условиях эксплуатации. СПб.: Недра, 2009. 410 с.

  11. Peek R., Yun H. Flotation to trigger lateral buckles in pipelines on a flat seabed // Journal of Engineering Mechanics. 2007. V. 4. P. 442–451. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2007)133:4(442)

  12. Hong Z., Liu R., Liu W., Yan S. Study on lateral buckling characteristics of a submarine pipeline with a single arch symmetric initial imperfection // Ocean Engineering. 2015. V. 108. P. 21–32. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2015.07.049

  13. Chee J., Walker A., White D. Controlling lateral buckling of subsea pipeline with sinusoidal shape pre-deformation // Ocean Engineering. 2018. V. 151. P. 170–190. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2018.01.024

  14. Wang Z., Tang Y. Study on symmetric buckling mode triggered by dual distributed buoyancy sections for subsea pipelines // Ocean Engineering. 2020. V. 216. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2020.108019

  15. Chen Y., Dong S., et al. Buckling analysis of subsea pipeline with idealized corrosion defects using homotopy analysis method // Ocean Engineering. 2021. V. 234. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2021.108865

  16. Wang Z., Tang Y., Guedes S.C. Imperfection study on lateral thermal buckling of subsea pipeline triggered by a distributed buoyancy section // Marine Structures. 2021. V. 76. https://doi.org/10.1016/j.marstruc.2020.102916

  17. Ильгамов М.А., Шакирьянов М.М. Положения динамического равновесия изогнутого трубопровода с вибрирующими опорами // ДАН. 2021. № 1. С. 55–59. https://doi.org/10.31857/S2686740021010053

  18. Ilgamov M.A., Ratrout R.A. Large deflection of superconducting cable // International Journal of Nonlinear Mechanics. 1999. V. 34. № 5. P. 869–880. https://doi.org/10.1016/S0020-7462(98)00059-6

  19. Ilgamov M.A. Static Problems of Hydroelasticity. M.: Fizmatlit, 1998. 208 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал