Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, T. 506, № 1, стр. 31-38

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что одной из главных проблем аэроакустики является проблема генерации шума турбулентными потоками, поэтому проблема структуры турбулентности, особенно излучающей звук турбулентности, находится в центре работ по снижению шума современного самолета. Классическим предметом исследований является однородная изотропная турбулентность [1]. Однако не меньший интерес вызывает проблема турбулентности в потоках с ненулевой средней скоростью, например, в струйных течениях [2–4]. Помимо практического значения, такие исследования могут ответить на вопрос о том, в какой мере механизмы, определяющие динамику однородной изотропной турбулентности, имеют место в физически реализуемых турбулентных течениях.

Можно выделить два основных подхода к изучению турбулентности: структурный и статистический [5, 6]. Структурный подход заключается в выделении интенсивных вихревых структур, которые играют существенную роль в развитии динамики течения [7–12]. В рамках второго подхода рассматривается статистика пульсаций различных гидродинамических величин и их производных [13–18]. Особый интерес представляет явление перемежаемости гидродинамических величин, которая определяется как значительное отклонение статистики величины от гауссовой в сторону аномально частого появления больших отклонений от среднего значения. Эти сильные отклонения связывают с интенсивными структурами, поэтому анализ перемежаемости находится на стыке структурного и статистического подходов [5, 6].

В данной работе исследуется статистика полей давления и скорости в турбулентной струе на основе данных численного моделирования струи с числом Маха M = 0.8 и числом Рейнольдса Re ~ ~ 750 000 [19]. База численных данных включает в себя более 900 000 точек в пространстве и 4096 точек во времени, в которых заданы давление, компоненты скорости и компоненты завихренности. По аналогии с [20] основное внимание в данной работе уделяется анализу перемежаемости.

Известно, что в однородной изотропной турбулентности пульсации скорости имеют нормальное (гауссовское) распределение [1]. В настоящей работе показано, что в турбулентной струе статистика продольной компоненты скорости отличается от нормальной на границе потенциального ядра и на границе струи. Показано, что это отличие можно объяснить не принципиальным отличием мелкомасштабных пульсаций в струе от структуры однородной изотропной турбулентности, а крупномасштабными колебаниями среднего течения (волны неустойчивости). Предложена простая аналитическая модель, которая основана на представлении о том, что нормально распределенные мелкомасштабные пульсации происходят на фоне сдвига профиля среднего течения струи, вызванного его крупномасштабными колебаниями. Предложенная модель позволяет описать основные особенности статистики поля скорости в турбулентной струе.

Также исследована статистика пульсаций давления в струе. Показано, что поле давления в отличие от пульсаций скорости обладает свойством перемежаемости. Однако перемежаемость пульсаций давления в струе не может быть связана с крупномасштабными колебаниями, поскольку в отличие от средней скорости в струе, имеющей существенно неоднородный профиль, изменение среднего поля давления в сечении струи незначительно. Возможной причиной больших отклонений давления от средней величины может быть наличие интенсивных мелкомасштабных вихревых структур в турбулентной струе. В этом отношении турбулентность в струе может не отличаться от однородной изотропной турбулентности, где поле давления также является перемежаемым [21].

Результаты, полученные в настоящей работе, подтверждают возможность переноса представлений о динамике однородной изотропной турбулентности на турбулентные струйные течения на уровне мелких масштабов.

1. ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ ПРОДОЛЬНОЙ КОМПОНЕНТЫ СКОРОСТИ

Рассмотрим нормализованные пульсации продольной компоненты скорости $u_{x}^{'} = \frac{{{{U}_{x}} - \left\langle {{{U}_{x}}} \right\rangle }}{{{{\sigma }_{u}}}}$ в точках на оси струи, плотность распределения которых (PDF) представлена на рис. 1б.

При представлении данных используется логарифмический масштаб, в котором плотность вероятности для нормального распределения

представляется в виде параболы, где x₀ – среднее значение величины, а $\sigma $ – ее дисперсия. В области потенциального ядра $x = 3D$ (линия 1), где D – диаметр сопла, и в области полного смешения $x = 15D$ (линия 2) пульсации поля скорости близки к нормальным (линия 3), а в конце начального участка струи, в переходной области между потенциальным ядром и областью полного смешения $x = 7D$ (линия 4), можно видеть существенное отличие статистики от нормальной.

Теперь рассмотрим поперечное сечение струи в области потенциального ядра при $x = 3.6D$. Статистика пульсаций продольной компоненты скорости оказывается отличной от нормальной на некотором удалении r от оси симметрии струи (рис. 2). Можно выделить четыре области:

1) внутри потенциального ядра статистика пульсаций близка к Гауссовой (рис. 2а);

2) на границе потенциального ядра и слоя смешения можно видеть отличие статистики от нормальной с появлением более частых выбросов в сторону меньших скоростей (рис. 2б);

3) в середине слоя смешения статистика снова оказывается близка к Гауссовой (рис. 2в);

4) на внешней границе слоя смешения, т.е. на границе самой струи, статистика пульсаций скорости отличается от нормальной с появлением более частых выбросов в сторону больших скоростей (рис. 2г).

Отклонение статистики от нормальной наблюдается в областях (2) и (4), где кривизна профиля продольной компоненты скорости (вторая производная по r) среднего течения существенно отлична от нуля, и наоборот, в областях (1) и (3), где статистика близка к нормальной, кривизна профиля близка к нулю (рис. 3).

Помимо исследования функции распределения некоторой случайной величины x, удобным инструментом для анализа статистики являются высшие моменты функции распределения ее пульсаций $x{\kern 1pt} '$:

Оценка степени перемежаемости исследуемой величины (отличия распределения от нормального) с нулевым средним определяется эксцессом: отношением четвертого момента к квадрату второго

Легко убедиться, что отношение (3) с учетом определений (2) для нормальной функции распределения (1) FF = 3. Статистика, для которой эксцесс $FF \gg 3$, будет существенно отличаться от нормальной. Была построена карта эксцессов, вычисляемых по формуле (3) (рис. 4).

Синий цвет на рис. 4 соответствует величине эксцесса FF = 3, что означает, что статистика близка к гауссовой. Насыщенный красный цвет – $FF \geqslant 10$, что свидетельствует о сильном отличии статистики продольной скорости от нормальной. Однако при этом остается неизвестным, в какую сторону появляются более частые отклонения. Подробное исследование статистики, основанной на построении функций распределения, показало, что на границе между потенциальным ядром и слоем смешения наблюдаются более частые выбросы в сторону меньших значений скорости, а на внешней границе струи – в сторону больших.

Было проведено сравнение численных данных с результатами эксперимента в заглушенной камере АК-2 ЦАГИ и показано, что отличие статистики от нормальной не является особенностью численного расчета, а наблюдается и в эксперименте.

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Покажем, что перемежаемость продольной компоненты скорости в турбулентной струе связана с наличием среднего течения и его крупномасштабными колебаниями. Представим скорость в виде суммы среднего течения, которое может совершать крупномасштабные колебания, и пульсационной турбулентной компоненты, статистику которой будем предполагать нормальной:

Примером крупномасштабных колебаний течения могут служить волны неустойчивости, широко излучавшиеся различными авторами [22, 23]. Будем полагать, что крупномасштабные возмущения характеризуются смещениями среднего течения, имеющими нормальное распределение. Тогда распределение средней скорости ${{U}_{0}}\left( {{{r}_{0}}} \right)$ можно найти как распределение сложной функции, используя

где ${{f}_{u}}\left( U \right)$ – функция распределения первого члена в (4), а f_r – пульсаций среднего течения, которую мы предполагаем нормальной f_r(r₀) = $\frac{1}{{{{\sigma }_{r}}\sqrt {2\pi } }}{\text{exp}}\left( { - \frac{{r_{0}^{2}}}{2}} \right)$.

Разложим U₀(r) в окрестности r = 0 по формуле Тейлора

Используя (5), (6) и $\delta U = \left( {\frac{{{{U}_{0}}\left( r \right) - {{U}_{0}}\left( 0 \right)}}{{{{U}_{0}}\left( 0 \right)}}} \right)$, можно получить функцию распределения пульсаций скорости при крупномасштабных колебаниях среднего течения

В случае, если необходимо посчитать статистику на некотором удалении от оси струи, то путем сдвига системы координат легко прийти к аналогичной формуле. Таким образом, выражение (7) справедливо во всей области течения. Далее к статистике (7) необходимо добавить мелкомасштабную пульсационную составляющую $u_{x}^{'}$, статистику которой предполагаем нормальной.

Проанализируем полученный аналитический результат. В случае, когда вторая производная среднего течения равна нулю $U_{0}^{{''}} = 0$ (что верно в области потенциального ядра (1), и в области середины слоя смешения (3) (рис. 3)), согласно (7) статистика пульсаций скорости оказывается близкой к гауссовой. В случае $U_{0}^{{''}} \ne 0$ знак второй производной будет определять знак добавочного слагаемого (7). При $U_{0}^{{''}} < 0$ статистика будет иметь более частые выбросы в область меньших значений, что согласуется с результатами численного моделирования в области (2). При $U_{0}^{{''}} > 0$ статистика будет иметь более частые выбросы в область больших значений, что согласуется с результатами численного моделирования в области (4). Таким образом, основные особенности ухватываются предложенной моделью.

Найдем величину характерных колебаний среднего течения, при которой данные модели согласуются с результатами численного моделирования. Средний профиль аксиальной компоненты скорости U₀(r) получен усреднением численных данных расчета по времени. Дисперсия колебаний струи как целого ${{\sigma }_{r}}$ является свободным параметром модели, который будет выбираться из условия согласованности с численными данными. Это дает возможность вычислить распределение первого слагаемого (4) и рассчитать его дисперсию ${{\sigma }_{U}}$. Расчет функции распределения проводился методом Монте-Карло, что является более удобным методом, чем непосредственное использование формулы (5).

Дисперсия $\sigma {\kern 1pt} {\kern 1pt} '$ турбулентных возмущений $u_{x}^{'}$ определяется по формуле $\sigma {\kern 1pt} {{'}^{2}} = \sigma _{e}^{2} - \sigma _{U}^{2}$, которая получается из (4) в предположении независимости мелкомасштабных турбулентных пульсаций и крупномасштабных колебаний течения, где $\sigma _{e}^{2}$ – дисперсия возмущений аксиальной скорости, полученная из численных данных. Таким образом, по заданной характерной величине колебаний струи как целого ${{\sigma }_{r}}$ и среднему течению, полученному из расчета, определяется функция распределения пульсаций скорости. На рис. 5 представлено сравнение распределения, полученного из анализа численного расчета, и с помощью предложенной модели для ${{\sigma }_{r}} = 0.065D$.

Как видно, даже простая модель для выбранного значения дисперсии хорошо согласуется с численным экспериментом. Далее получим независимую оценку амплитуды крупномасштабных колебаний. Для этого рассмотрим первую моду колебаний вида $\exp \left( {i\varphi } \right)$ ($\varphi $ – азимутальный угол), которая в главном приближении описывает поперечные смещения струи как целого. Спектральная плотность первой моды радиальной скорости представлен на рис. 6.

Характерная частота колебаний ${{\nu }_{p}} = 3$ кГц, характерная скорость, полученная по спектральной плотности, $V \approx 6$ м/c. Тогда оценка характерной величины колебаний $\delta x = \frac{V}{\nu } \approx 0.05D$. Эта оценка оказалась близкой к величине, полученной ранее для модели пульсаций скорости.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ

В работе также исследовалась статистика поля давления в ближнем поле струи. Для анализа статистики во всей расчетной области была построена карта эксцесса пульсаций давления, вычисляемого согласно формуле (3) (рис. 7). Из рис. 7 видно, что статистика пульсаций давления перемежаема на внешней границе струи.

Как видно из рис. 8, модель, учитывающая крупномасштабные колебания струи и предполагающая гауссовость турбулентных пульсаций, предсказывает распределение, близкое к нормальному. Это связано с тем, что профиль среднего давления является сравнительно плоским, и его неоднородности недостаточно для объяснения больших отклонений.

На рис. 9 приведен график давления в одной из точек на границе струи. Прямыми (зелеными) линиями обозначены максимальное и минимальное давление в среднем течении. Как видно, выбросы в область меньших значений давления намного превышают амплитуды колебаний, которые могут быть связаны с колебаниями среднего течения.

Таким образом, показано, что перемежаемость статистики пульсаций давления не может быть связана с крупномасштабными колебаниями струи. С учетом того, что в однородной изотропной турбулентности поле давления также является перемежаемой величиной, можно предположить, что пульсации давления в этих двух случаях имеют одинаковую природу и связаны с наличием интенсивных мелкомасштабных вихревых структур в турбулентной струе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведено исследование статистики пульсаций скорости и давления в турбулентной высокоскоростной струе. Показано, что статистика аксиальной компоненты скорости отлична от нормальной в области внешней границы струи и границы потенциального ядра. Предложено объяснение этого эффекта. При этом предполагается, что на уровне мелких масштабов пульсации скорости, так же, как и в случае однородной изотропной турбулентности, имеют нормальное распределение. А эффект перемежаемости связан с крупномасштабными колебаниями струи, которые приводят к большим отклонениям скорости от среднего значения в большую или меньшую сторону в зависимости от знака второй производной профиля средней скорости. Предложенное объяснение хорошо согласуется с численными данными.

Показано, что статистика поля давления отлична от нормальной на границе струи. В отличие от возмущений скорости перемежаемость пульсаций давления в струе не может быть связана с крупномасштабными колебаниями, поскольку изменение среднего поля давления в сечении струи незначительно. Возможной причиной больших отклонений давления от средней величины так же, как и в случае однородной изотропной турбулентности, может быть наличие интенсивных мелкомасштабных вихревых структур в турбулентной струе.

Главным выводом из полученных результатов является то, что для правильной трактовки статистик пульсаций гидродинамических величин в турбулентных струях необходимо учитывать крупномасштабные колебания струи, дающие при наличии градиента средней скорости существенный вклад в частоту возникновения возмущений с большими отклонениями от средней величины.