Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 11-14

На области $G$ евклидова пространства ${{\mathbb{R}}^{n}}$ с условием гибкого конуса (определение ниже) устанавливаются мультипликативные оценки L_p-норм производных функции через нормы других ее производных.

Пусть $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел; ${{\mathbb{N}}_{0}} = \mathbb{N} \cup \{ 0\} $; $n \in \mathbb{N}$; ${{\mathbb{R}}^{n}}$ – $n$-мерное евклидово пространство точек $x = ({{x}_{1}},\; \ldots ,\;{{x}_{n}})$; $1 \leqslant p < \infty $; ${{L}_{p}}(G)$ – лебегово пространство определенных на открытом множестве $G \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ функций с нормой

Все рассматриваемые функции $f{\text{:}}\;G \to \mathbb{R}$ и их производные ${{D}^{\alpha }}f$, $D_{i}^{s}f$ локально суммируемы на области своего определения; G_ε = $\{ x \in G$: ${\text{dist}}(x,\partial G)$ > ε} при ε > 0. Для $\varphi {\text{:}}\;[0,T] \to \mathbb{R}$ положим

Приведем для сравнения классический результат Гальярдо [3] и Ниренберга [4] для области $G \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ с достаточно гладкой границей:

при $1 \leqslant {{p}_{1}},{{p}_{2}},q,r < \infty $, $s \in \mathbb{N}$, $\frac{{\left| \beta \right|}}{s} \leqslant \theta < 1$,

Определение 1. Область $G \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ будем называть областью с условием гибкого конуса, если при некоторых $T \in (0,1]$, $\kappa > 0$ для любого $x \in G$ существует кусочно гладкий путь

такой, что

В работе устанавливается следующая

Теорема 1. Пусть G – область с условием гибкого конуса. Пусть при $J \geqslant 2$, $j = 1, \ldots ,J$, 1 < p_j < $\infty $, $1 < q < \infty $, ${{s}_{j}} \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, $0 < {{\theta }_{j}} < 1$, $\sum\limits_1^J {{{\theta }_{j}}} = 1$, $1 \leqslant r \leqslant q$,

Тогда при некоторых C > 0 и достаточно малом $\varepsilon > 0,$ не зависящих от f,

для любой функции f, для которой правая часть неравенства конечна.

Рассмотрения основаны на интегральных представлениях функции по гибкому конусу через производные этой функции и на оценках операторов свертки.

Будем пользоваться следующими обозначениями. Символом $G$ обозначается область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ с условием гибкого конуса, не совпадающая с ${{\mathbb{R}}^{n}}$. При $t > 0$, $E \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, $y \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ положим

$\chi $ – индикатор шара $B(0,1)$ или отрезка [–1, 1], r (x) = = ${\text{dist}}(x,{{R}^{n}}{\backslash }G)$.

Для дальнейшего важно

Замечание 1. Без ограничения общности можно считать, что пути в определении области с условием гибкого конуса обладают следующим дополнительным свойством: для некоторого ${{\varepsilon }_{0}} > 0$ ${{\gamma }_{x}}(t) = x$ при $x \in {{G}_{h}}$, $0 < t \leqslant min\{ {{\varepsilon }_{0}}r(x),T\} $ =: ρ(x).

Приведем интегральное представление функции через производные, являющееся аналогом интегрального представления 7(75), 7(76) из [1].

Пусть $\vartheta \in {{C}^{\infty }}(\mathbb{R})$, $\vartheta (u) = 0$ при $u \leqslant - \delta $, $\vartheta (u) = 1$ при $u \geqslant \delta $, $\tau ,{{\tau }_{1}} \in \mathbb{R}$, $\delta \in (0,1)$ достаточно мало,

Для $f \in L(G,{\text{loc}})$, $0 < t \leqslant T$ введем усреднение

где

Обозначив через $f_{t}^{{(\alpha )}}(x)$ производную ${{D}^{\alpha }}$ от ${{f}_{t}}(x)$, вычисленную при замороженном $x$ в ${{\gamma }_{x}}(t)$ – x и в $\gamma _{x}^{'}(t)$, и применив формулу Ньютона–Лейбница по t, получим при $0 < \varepsilon < T$

где ${{\Phi }_{i}}( \cdot ,z,w) \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{\Phi }_{i}}(y) = {{\Phi }_{i}}(y,0,0)$ и при некотором M > 0

Здесь D_i, ${{D}^{\alpha }}$ означают производные по первому аргументу функций.

Представим интегральные операторы в правой части (4) в виде произведения двух операторов. Введем для этого на $\left\{ {(x,t){\text{:}}\;x \in G,0 < t \leqslant r(x)} \right\}$ функции

Формулу (4) можно переписать в виде

Замечание 2. Формула (7) справедлива и при ε = 0 с $f_{0}^{{(\alpha )}}(x) = {{D}^{\alpha }}f(x)$, если производная ${{D}^{\alpha }}f$ локально суммируема на G. Она получается предельным переходом, поскольку $f_{\varepsilon }^{{(\alpha )}}(x) \to {{D}^{\alpha }}f(x)$ при $\varepsilon \to 0$ в каждой точке Лебега функции ${{D}^{\alpha }}f$, а также в смысле $L(G,{\text{loc}})$. Формула (7) с $\varepsilon > 0$ дает возможность применить оценки интегральных операторов с локально суммируемыми ядрами.

Теорема 2 (Л. Хермандер, Дж.Т. Шварц, Х. Трибель). Пусть ${{B}_{1}},$ ${{B}_{2}}$ — два банаховых пространства, $G$ – область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $K(y)$ при $y \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ – линейный ограниченный оператор из ${{B}_{1}}$ в ${{B}_{2}},$ функция $y \to K(y)$ локально суммируема на ${{\mathbb{R}}^{n}}$.

Пусть на множестве $^{ \circ }{{L}_{\infty }}({{\mathbb{R}}^{n}},{{B}_{1}})$, состоящем из ${{B}_{1}}$-значных сильно измеримых функций с компактным носителем,

Пусть при некоторых ${{p}_{0}} \in (1,\infty )$, $N > 0$, $R > 0$

Тогда для всех $p \in (1,\infty )$

где ${{C}_{p}}$ не зависит от f, N.

Эта теорема приведена в [5, п. 2.2.2], где имеются и исторические ссылки. Она применяется в случаях ${{B}_{i}} = \mathbb{R}$, $L_{2}^{ * }$ ($i = 1,2$).

Лемма 1. Пусть

Оператор

является ограниченным с оценкой нормы, не зависящей от T.

Доказательство варианта этой леммы при $T = \infty $ следует из [6]. Для рассматриваемого случая выкладки аналогичны и имеются в [2].

Лемма 2. Пусть

Тогда оператор

является ограниченным с оценкой нормы, не зависящей от ε, T.

Доказательство в случае q = p, $\mu = 0$ основано на применении теоремы 2 и имеется в [2].

Доказательство в случае $1 < p < q < \infty $, μ = $\frac{n}{p} - \frac{n}{q}$ основано на применении неравенства Гёльдера по t и затем неравенства Харди–Литлвуда.

Лемма 3. Пусть $\tilde {\chi }(x, \cdot )$ – индикатор гибкого конуса $\bigcup\limits_{0 < t < T} B ({{\gamma }_{x}}(t),\kappa t)$, $1 < p \leqslant q < \infty $, $0 \leqslant \mu $ = $\frac{n}{p} - \frac{n}{q}$.

Тогда оператор

ограничен.

Доказательство для случая p = q, $\mu = 0$ см. в [1, п. 10.1] или в [2]. Для доказательства в случае $1 < p < q < \infty $ достаточно мажорировать ядро оператора функцией $C{{\left| y \right|}^{{\mu - n}}}$ и применить неравенство Харди–Литлвуда.

Лемма 4. Пусть ${{\varepsilon }_{1}} \in (0,1]$,

Тогда оператор

является ограниченным с оценкой нормы, не зависящей от $\varepsilon $, T.

Для доказательства отметим, что оператор

ограниченно действует из ${{L}_{p}}(G,L_{2}^{ * })$ в ${{L}_{p}}(G)$ с оценкой нормы, не зависящей от T. Остается заметить, что для $f \in {{L}_{p}}(G,L_{2}^{ * })$ $R_{\mu }^{{(1)}}f = {{R}_{\mu }}f - R_{\mu }^{{(2)}}f$.

Наметим доказательство теоремы 1. Положим

Перепишем (7) в виде

С помощью неравенства Юнга получается оценка

Приведем оценку лишь одного слагаемого правой части последнего равенства (оценки других слагаемых аналогичны)

Здесь ${{\varepsilon }_{1}} = {{\varepsilon }_{1}}(\kappa ) > 0$ достаточно мало.

Оценивая I₁ с помощью лемм 4, а I₂ с помощью неравенства Гёльдера по t и леммы 3, получаем

С помощью дважды примененного неравенства Гёльдера $\left( {\tfrac{{}}{{p{{\theta }_{j}}}}} \right.$сначала с показателями $\tfrac{1}{{{{\theta }_{j}}}}$, а затем с показателями $\left. {\tfrac{{{{p}_{j}}}}{{p{{\theta }_{j}}}}} \right)$ получаем, что

Считая $k \geqslant 2 + ma{{x}_{j}}{{s}_{j}}$, имеем

По лемме 4

Оценку, аналогичную (14), получаем и для ${{\psi }_{i}}$ вместо ${{\varphi }_{i}}$.

Отсюда и из (10)–(14) следует ограниченность в $L(G,{\text{loc}})$ множества $\{ f_{\varepsilon }^{{(\alpha )}}{\text{:}}\,\,0 < \varepsilon < \varepsilon {\text{'}}\} $ при некотором $\varepsilon {\text{'}} > 0$, а значит, и его слабая компактность (см., например, [7]). В силу слабой замкнутости оператора обобщенного дифференцирования существует ${{D}^{\alpha }}f \in L(G,{\text{loc}})$ и справедливо (11) при ε = 0 ($f_{0}^{{(\alpha )}} = {{D}^{\alpha }}f$), а значит, и утверждение теоремы.

Об оценках вида (2) в случае $G = {{\mathbb{R}}^{n}}$ см. в [1]. Для них характерно отсутствие последнего слагаемого правой части оценки (2). В [1] приведены также результаты Вень-туана и Труази (М. Troisi ) по мультипликативным оценкам норм производных для функций из $C_{0}^{\infty }({{( - 1,1)}^{n}})$.