Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 491, № 1, стр. 15-18

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $\vec {\Delta }: = \left( {{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}} \right)$ – пара непересекающихся замкнутых промежутков вещественной оси, а $\vec {p}$ := := (p₁, p₂) – вектор с положительными координатами. Обозначим через $M(\vec {\Delta },\vec {p})$ класс векторных мер $\vec {\mu } = \left( {{{\mu }_{1}},{{\mu }_{2}}} \right)$ таких, что ${{\mu }_{j}}$ – положительная борелевская мера массы p_j с носителем ${{S}_{{{{\mu }_{j}}}}} \subseteq {{\Delta }_{j}}$ и конечной энергией: $I\left( {{{\mu }_{j}}} \right): = \int {{{V}^{{{{\mu }_{j}}}}}d{{\mu }_{j}}} < \infty $, где ${{V}^{{{{\mu }_{j}}}}}(x): = - \int {\ln {\text{|}}x - t{\text{|}}} d{{\mu }_{j}}(t)$ – логарифмический потенциал.

В классе $M(\vec {\Delta },\vec {p})$ требуется найти меру $\vec {\lambda }$, которая минимизирует функционал $J(\vec {\mu }): = I({{\mu }_{1}}) + I({{\mu }_{2}})$ + + I(μ₁ – μ₂). В силу выпуклости такая экстремальная мера $\vec {\lambda }$ существует и единственна. По теореме Куна–Таккера векторная мера $\vec {\lambda }$ полностью характеризуется условиями равновесия:

Таким образом, исходными данными задачи являются $\vec {\Delta }$ и $\vec {p}$. Наша цель состоит в описании зависимости от исходных данных векторной равновесной меры $\vec {\lambda }$, ее носителя ${{S}_{{\vec {\lambda }}}}: = \left( {{{S}_{{{{\lambda }_{1}}}}},{{S}_{{{{\lambda }_{2}}}}}} \right)$ и открытых множеств $D_{j}^{ + }: = \{ z \in \mathbb{C}{\text{:}}\;{{\omega }_{j}} - W_{j}^{{\vec {\lambda }}}(z)$ > 0}, $D_{j}^{ - }: = \{ z\, \in \,\mathbb{C}{\text{:}}\;{{\omega }_{j}} - W_{j}^{{\vec {\lambda }}}(z)$ < 0}.

2. МОТИВАЦИЯ: СХОДИМОСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ

Задачи равновесия логарифмических потенциалов векторных мер были введены А.А. Гончаром и Е.М. Рахмановым [1] при исследовании сходимости рациональных аппроксимаций. Важным примером является сформулированная выше задача равновесия [2], отвечающая за асимптотику совместных аппроксимаций для системы Никишина [3]. В последнее время интерес к векторным задачам с произвольными массами компонент мотивирован приложениями, связанными с прямыми и обратными задачами [4], вариационными принципами для гиперболических систем [5] и операторами Якоби на решетках и деревьях [6]. В качестве иллюстрации мы приведем здесь одно известное [7–9] приложение задачи (1), связанное с аппроксимациями Фробениуса–Паде.

Пусть $\left\{ {{{q}_{n}}} \right\}$ – последовательность ортонормированных многочленов относительно меры σ на отрезке $E \subset \mathbb{R}$: $\int {{{q}_{n}}{{q}_{m}}d\sigma } = {{\delta }_{{n,m}}}$. Для функции $f \in {{L}^{1}}(E,\sigma )$ будем рассматривать аппроксимации Фробениуса–Паде, т.е. рациональные функции ${{P}_{m}}{\text{/}}{{Q}_{n}}$ такие, что

Пусть теперь функция f является марковской, т.е. $f\left( z \right): = \int\limits_F {\frac{{\rho \left( t \right)dt}}{{z - t}}} $, где $\rho $ – положительный вес на отрезке $F$ и $F \cap E = \phi $. Рассмотрим последовательность аппроксимаций Фробениуса–Паде ${{P}_{m}}{\text{/}}{{Q}_{n}}$ для f с нормировкой ${{Q}_{n}} = {{x}^{n}} + \cdots $ и со следующими условиями на степени числителя и знаменателя: $m \geqslant n - 1$, $\frac{m}{n} \to c \geqslant 1$. Пусть $\vec {\lambda }$ – векторная равновесная мера (1) для исходных данных $\vec {\Delta }: = \left( {F,E} \right)$ и $\vec {p}: = (1,1 + c)$, тогда справедливы (см. [9]) следующие предельные при $n \to \infty $ соотношения в указанных областях:

Из этих соотношений следует, что мера ${{\lambda }_{1}}$ отвечает за предельное распределение свободных полюсов аппроксимаций, при $z \in D_{1}^{ + }$ аппроксимации сходятся к f с геометрической скоростью, а при $z \in D_{1}^{ - }$ расходятся к $\infty $.

Перейдем к формулировке основных результатов.

3. НОСИТЕЛЬ РАВНОВЕСНОЙ МЕРЫ

Результаты будут сформулированы для случая $\vec {\Delta } = \left( {[ - a,0],\;[b,1]} \right)$, $\vec {p} = \left( {p,1} \right)$, где a > 0, $b \in \left( {0,1} \right)$ и $p \in \left( {0,1} \right]$. Ясно, что линейным преобразованием общий случай сводится к данному.

Помимо исходных параметров задачи (a, b) будем использовать параметры (s, t), где $s \in \left( {1,2} \right)$, t > 1, которые всюду в тексте связаны с (a, b) следующим диффеоморфизмом [10]:

Нетрудно видеть, что обратное преобразование, т.е. нахождение (s, t) по (a, b), сводится к последовательному решению двух алгебраических уравнений четвертой и третьей степени.

Определим функцию ${{p}^{L}}\left( {a,b} \right)$ следующим образом:

Выражение под знаком корня принимает положительные значения в полуполосе $s \in \left( {1,2} \right)$, t > 1, а корень – арифметический. Функция p^L является гладкой, принимает значения на $\left( {0,\frac{1}{2}} \right)$ и монотонно возрастает относительно первой переменной: $\frac{{\partial {{p}^{L}}}}{{\partial a}} > 0$. При фиксированных значениях $b$ обратную к ${{p}^{L}}\left( {a,b} \right)$ функцию обозначим ${{a}^{L}}\left( {p,b} \right)$.

Теперь мы готовы сформулировать результат о виде носителя ${{S}_{{\vec {\lambda }}}}$ равновесной меры $\vec {\lambda }$ в зависимости от исходных данных a, $b$ и $p$.

Теорема 1. Если $p \geqslant {{p}^{L}}\left( {a,b} \right)$, то ${{S}_{{\vec {\lambda }}}} = \vec {\Delta }$. Если $p \leqslant {{p}^{L}}\left( {a,b} \right)$, то ${{S}_{{\vec {\lambda }}}} = \left( {[ - A,0],[b,1]} \right)$, где $A = {{a}^{L}}\left( {p,b} \right)$.

Остановимся на некоторых простых следствиях этой теоремы. Во-первых, ${{S}_{{\vec {\lambda }}}}$ состоит из пары отрезков. Во-вторых, так как ${{p}^{L}}\left( {a,b} \right) < \frac{1}{2}$, то при $p \in \left[ {\frac{1}{2},2} \right]$ носитель ${{S}_{{\vec {\lambda }}}}$ совпадает с $\vec {\Delta }$. В-третьих, при $p \leqslant {{p}^{L}}\left( {a,b} \right)$ носитель равновесной меры $\vec {\lambda }$ не зависит от параметра a. Ниже мы покажем, что в последнем случае плотности $\vec {\lambda }$ также не зависят от a.

4. ПЛОТНОСТЬ РАВНОВЕСНОЙ МЕРЫ

Плотность равновесной меры записывается в терминах некоторой алгебраической функции. Для соответствующих построений нам понадобятся трехлистная риманова поверхность ${{\Re }_{{ - a,b}}}$ рода нуль и ее конформное отображение на сферу. Поверхность ${{\Re }_{{ - a,b}}}$ является замыканием склейки трех экземпляров ${{\Re }_{0}}$, ${{\Re }_{1}}$, ${{\Re }_{2}}$ комплексной сферы вдоль разрезов. Лист ${{\Re }_{0}}: = \bar {\mathbb{C}}{\backslash }([ - a,0] \cup $ ∪  [b, 1]) склеивается с листом ${{\Re }_{1}}: = \bar {\mathbb{C}}{\backslash }[ - a,0]$ крест-накрест вдоль $[ - a,0]$, а с листом ${{\Re }_{2}}: = \bar {\mathbb{C}}{\backslash }[b$, 1] – вдоль $[b,1]$. Пусть $\pi \,{\text{: }}{{\Re }_{{ - a,b}}} \to \bar {\mathbb{C}}$ – каноническая проекция. Для обозначения поднятия точки $z \in \bar {\mathbb{C}}$ на поверхность ${{\Re }_{{ - a,b}}}$ используем жирный шрифт и индекс листа: ${\mathbf{z}},{{{\mathbf{z}}}_{j}} \in {{\Re }_{{ - a,b}}}$. Пусть $\left( {s,t} \right)$ связана с (a, b) диффеоморфизмом (3), тогда функция ${\mathbf{z}}\left( \cdot \right)$ задает [11] конформное отображение ${{\bar {\mathbb{C}}}_{w}}$ на ${{\Re }_{{ - a,b}}}$, где

При этом выполнены следующие соотношения: ${\mathbf{z}}\left( \infty \right) = - {{{\mathbf{a}}}_{{01}}}$, ${\mathbf{z}}\left( 0 \right) = {{{\mathbf{0}}}_{{01}}}$, ${\mathbf{z}}\left( {{{w}_{b}}} \right) = {{{\mathbf{b}}}_{{02}}}$, ${\mathbf{z}}\left( 1 \right) = {{{\mathbf{1}}}_{{02}}}$, ${\mathbf{z}}(2 - s) = {{{\mathbf{0}}}_{1}}$, ${\mathbf{z}}\left( t \right) = {{\infty }_{0}}$, ${\mathbf{z}}\left( {{{t}_{j}}} \right) = {{\infty }_{j}}$, где

На римановой поверхности ${{\Re }_{{ - a,b}}}$ рассмотрим две мероморфные функции ${{h}^{L}}$и ${{h}^{R}}$. Функция ${{h}^{L}}$ имеет дивизор $\frac{{{{\infty }_{0}} \times {{\infty }_{1}} \times {{\infty }_{2}}}}{{{{{\mathbf{0}}}_{{01}}} \times {{{\mathbf{b}}}_{{02}}} \times {{{\mathbf{1}}}_{{02}}}}}$ и следующее представление:

Функция ${{h}^{R}}$ имеет дивизор $\frac{{{{\infty }_{0}} \times {{\infty }_{1}} \times {{\infty }_{2}}}}{{\left( { - {{{\mathbf{a}}}_{{01}}}} \right) \times {{{\mathbf{0}}}_{{01}}} \times {{{\mathbf{b}}}_{{02}}}}}$ и следующее представление:

Для функции h, определенной на поверхности ${{\Re }_{{ - a,b}}}$, ее сужения на листы обозначим ${{h}_{j}}(z)$ := := h(z_j). Теперь сформулируем результат, касающийся плотностей компонент векторной равновесной меры.

Теорема 2. Если $p = \alpha {{p}^{L}}(a,b) + (1 - \alpha ){{p}^{R}}(a,b)$ при $\alpha \in [0,1]$ (т.е. ${{p}^{L}}\left( {a,b} \right) \leqslant p \leqslant {{p}^{R}}\left( {a,b} \right)$), то плотности компонент $\vec {\lambda }$ выражаются через мероморфную функцию $h: = \alpha {{h}^{L}} + \left( {1 - \alpha } \right){{h}^{R}}$ на ${{\Re }_{{ - a,b}}}$ по формулам

Если $p \leqslant {{p}^{L}}\left( {a,b} \right)$, то плотности компонент $\vec {\lambda }$ выражаются через мероморфную функцию ${{h}^{L}}$ на ${{\Re }_{{ - A,b}}}$, где $A = {{a}^{L}}\left( {p,b} \right)$, по формулам

Таким образом, при $p \leqslant {{p}^{L}}\left( {a,b} \right)$ мера $\vec {\lambda }$ не зависит от параметра $a$. Отметим, что предельный случай b = 0 приведенных результатов использовался в [12] при исследовании асимптотики совместно ортогональных многочленов.

В качестве следствия дадим описание открытых множеств $D_{j}^{ - }$. Для этой цели рассмотрим [13] на поверхности ${{\Re }_{{ - a,b}}}$ многозначную функцию $\Phi $, которая в координатах w имеет вид

Ее абсолютное значение $\left| \Phi \right|$ однозначно на ${{\Re }_{{ - a,b}}}$. Векторные потенциалы простым образом связаны с $\left| \Phi \right|$:

Отсюда сразу следует, что

В частности, эти формулы дают конструктивный способ нахождения областей расходимости аппроксимаций Фробениуса–Паде.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование второго автора (В.Г. Лысова) выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19–71–30004).