Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 97-100
О существовании глобального решения одной гиперболической задачи
О. С. Розанова 1, Е. В. Чижонков 1, *
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
* E-mail: chizhonk@mech.math.msu.su
Поступила в редакцию 15.09.2019
После доработки 11.03.2020
Принята к публикации 23.03.2020
Аннотация
Рассматривается квазилинейная система гиперболических уравнений, описывающих плоские одномерные релятивистские колебания электронов в холодной плазме. Для некоторой упрощенной постановки получен критерий существования глобального по времени гладкого решения. Для исходной системы найдено достаточное условие потери гладкости решением, а также достаточное условие гладкости решения в течение нерелятивистского периода колебаний. Кроме того, показано, что сколь угодно малые возмущения тривиального решения за конечное время приводят к образованию особенностей. Результаты могут быть использованы для конструирования и обоснования численных алгоритмов при моделировании эффекта опрокидывания плазменных колебаний.
При математическом моделировании процессов в бесстолкновительной холодной плазме наиболее часто используются два подхода – Лагранжа и Эйлера: метод частиц, позволяющий отслеживать их индивидуальные траектории, и гидродинамическое описание на базе уравнений с частными производными (см., например, [1, 2]). В рамках обоих подходов давно и хорошо известен [3] эффект опрокидывания колебаний. В первом случае критерием опрокидывания является пересечение электронных траекторий, а во втором – обращение в бесконечность функции, описывающей плотность электронов. В монографии [4] имеется строгое физическое обоснование появления сингулярности плотности среды при пересечении траекторий частиц. В этом случае происходит формирование разрыва у решения, что требует принципиального изменения рабочей модели.
Описанная ситуация качественно отличается от моделирования в газовой динамике, где разрывные решения физически естественны. Следствием этой естественности является факт, что точное или приближенное решение классической задачи Римана (задачи Коши с кусочно постоянными начальными данными) является основой большинства современных алгоритмов численного решения для соответствующих постановок задач [5]. В задачах же, связанных с плазменными колебаниями, постановка классической задачи Римана не имеет никакого физического смысла, так как начальная разрывная функция электрического поля уже означает бесконечную концентрацию заряда в точках разрыва.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
Будем считать ионы, в силу многократного превышения электронов по массе, неподвижными, тогда система уравнений, описывающих плоские одномерные релятивистские колебания электронов в холодной плазме, в безразмерной форме имеет следующий вид [6]:
(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial P}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial P}}{{\partial \rho }} + E = 0, \\ \frac{{\partial E}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial E}}{{\partial \rho }} - V = 0,\quad V = \frac{P}{{\sqrt {1 + {{P}^{2}}} }}{\mkern 1mu} . \\ \end{gathered} $Здесь $\rho $ и $\theta $ – обезразмеренные координаты по пространству и времени соответственно. Переменные $P$ и $V$ описывают импульс и скорость электронов, $E$ – электрическое поле. Подобные по смыслу постановки ранее рассматривались только в физической литературе (см., например, [7] и цитированную там литературу), где методы исследования и формулировки результатов существенно отличаются от наших. Рассмотрим в полуплоскости $\{ (\rho ,\theta ){\mkern 1mu} :{\mkern 1mu} \,\rho \in \mathbb{R}$, θ > 0} задачу Коши для (1) с начальными условиями при $\theta = 0$:
Также можно рассмотреть уравнение (1) в упрощенном (нерелятивистском) приближении: в предположении малости скорости электронов $V$ имеет место представление $P = V + \frac{{{{V}^{3}}}}{2} + O({{V}^{5}})$, $V \to 0$, поэтому, с точностью до кубически малых слагаемых можем считать, что $P = V$. Это предположение позволяет записать (1)
(3)
$\frac{{\partial V}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial V}}{{\partial \rho }} + E = 0,\quad \frac{{\partial E}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial E}}{{\partial \rho }} - V = 0,$Системы (1) и (3) относятся к гиперболическому типу. Хорошо известно, что для таких систем существует локально по времени единственное решение задачи Коши того же класса, что и начальные данные, в нашем случае это С1. Также известно, что для таких систем потеря решением гладкости происходит по одному из следующих сценариев: либо сами компоненты решения в течение конечного времени обращаются в бесконечность, либо они остаются ограниченными, но в бесконечность обращаются их производные [8]. Последняя возможность реализуется, например, для однородных законов сохранения, к которым относятся уравнения газовой динамики, где возникновение особенности соответствует образованию ударной волны.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Анализ нерелятивистской постановки основан на явном представлении характеристик решения:
Теорема 1. Пусть начальные данные (4) принадлежат классу ${{C}^{2}}(\mathbb{R})$. Для существования и единственности непрерывно дифференцируемого по обеим переменным 2π-периодического по времени при всех $\theta > 0$ решения $V(\theta ,\rho )$, $E(\theta ,\rho )$ задачи (3), (4) необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке $\rho \in \mathbb{R}$ было выполнено неравенство
Если существует хотя бы одна точка ρ, для которой выполняется неравенство, противоположное (5), то в течение конечного времени, не превышающего $2\pi ,$ производные решения обращаются в бесконечность.
Несложно проверить, что функции вида V = = $W(\theta )\rho + {{W}_{0}}(\theta )$, $E = D(\theta )\rho + {{D}_{0}}(\theta )$ являются решениями уравнения (3) в случае, если $W(\theta )$ и $D(\theta )$ подчиняются продолженной системе для уравнений характеристик. Для полученных в [6] коэффициентов
Рассмотрим систему (1). Определим из уравнений для ее характеристик величину
$2\sqrt {1 + {{P}^{2}}} $ + E2 = = $2\sqrt {1 + {{P}^{2}}({{\rho }_{0}})} + {{E}^{2}}({{\rho }_{0}}) = {{C}_{1}}({{\rho }_{0}}) \geqslant 2$
вдоль характеристики, стартующей из точки ${{\rho }_{0}}$. Отсюда следует, что само решение остается ограниченным, как и в предыдущем случае. Период $T({{\rho }_{0}})$ может быть вычислен как
Свойства решения существенно зависят от выполнения для начальных данных условия
Теорема 2. Пусть начальные данные (2) принадлежат классу ${{C}^{2}}(\mathbb{R})$ и (I) выполнено. Если существует хотя бы одна точка ρ0, для которой выполняется неравенство
Выполнение для всех ρ условия
${{(P_{0}^{'}(\rho ))}^{2}} + 2E_{0}^{'}(\rho )$ – 1 < 0
обеспечивает сохранение гладкости решения по крайней мере в течение одного периода $T(\rho )$ на каждой характеристике, т.е. до момента времени ${{t}_{*}} = \mathop {\min }\limits_{\rho \in \mathbb{R}} T(\rho )$, ${{t}_{*}} \geqslant 2\pi $.
Справедлива теорема, которая связывает проблему возникновения особенности задачи (1), (2) с теорией линейных уравнений с периодическими коэффициентами.
Теорема 3. Пусть начальные данные (2) принадлежат классу ${{C}^{2}}(\mathbb{R})$ и (I) выполнено. Обозначим
$\frac{{E_{0}^{'}({{\rho }_{0}})}}{{P_{0}^{'}({{\rho }_{0}})}} = {{u}_{0}}$, $\frac{{(1 - E_{0}^{'}({{\rho }_{0}}))}}{{P_{0}^{'}({{\rho }_{0}})}} = {{\lambda }_{0}}$
в предположении, что $P_{0}^{'}({{\rho }_{0}}) \ne 0$. Пусть $z(\theta )$ – решение задачи Коши для уравнения Хилла
Если хотя бы для одной точки ρ0существует момент времени ${{\theta }_{*}} > 0$ такой, что $z{\text{'}}({{\theta }_{*}}) = {{\lambda }_{0}}$, то производные решения задачи (1), (2) в течение конечного времени обращаются в бесконечность.
В противном случае решение остается гладким при всех $\theta > 0$.
Для использования теоремы 3 требуется явный вид P. Сделав предположение о малости колебаний, установим
Следствие. При выполнении условия (I) у любого решения задачи Коши (1), (2), являющегося сколь угодно малым гладким отклонением от положения равновесия P = E = 0, производные решения в течение конечного времени обращаются в бесконечность.
Если условие (I) не выполнено, в терминах начальных данных может быть получен критерий образования особенностей за конечное время и существуют решения типа бегущей с постоянной скоростью волны [9]. Такие решения могут быть сколь угодно малыми отклонениями от положения равновесия.
Наглядной иллюстрацией условия (I) является выбор начальных функций (2), имитирующих возмущения электрического поля, которые порождаются в плазме коротким мощным лазерным импульсом:
За счет подбора параметров ${{a}_{*}}$ и ${{\rho }_{*}}$ с помощью численного моделирования можно получить сингулярность электронной плотности, т.е. градиентную катастрофу решения (1), в достаточно произвольный момент времени [6].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Отметим приложения полученных результатов. Теорема Гаусса [3, 7], связывающая плотность электронов с электрическим полем, в используемых обозначениях имеет вид
Из теоремы 1 и уравнений для характеристик системы (3) следует, что для глобального по времени решения условие (5) сохраняется, следовательно, для произвольного $\theta > 0$ справедлива оценка снизу для плотности электронов $N(\rho ,\theta ) > \frac{1}{2}$. В переменных Эйлера оценка получена впервые.
Условие (5) позволяет сформулировать обобщенную задачу Римана для уравнений (3), решение которой не будет обладать сингулярностью производных. Практическая польза от решения обобщенной задачи Римана состоит в конструировании схем типа Годунова второго порядка точности по времени и пространству для рассмотренных здесь задач Коши [5].
Наконец, из теорем 2 и 3 следует, что приближенные методы для задачи (1), (2) обязаны учитывать возможность эффекта опрокидывания колебаний в качестве завершения вычислений.
Суммируем вышесказанное: результаты настоящей работы имеют важное значение для развития теории вычислительных методов и практических расчетов задач о колебательных движениях холодной плазмы.
Список литературы
Birdsall C.K., Langdon A.B. Plasma physics via computer simulation. N.Y.: McGraw-Hill Inc., 1985. 504 p.
Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1982. 320 с.
Dawson J.M. Nonlinear electron oscillations in a cold plasma // Phys. Review. 1959. V. 113. № 2. P. 383–387.
Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973. 351 с.
Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. 2-е изд. М.: Физматлит, 2012. 656 с.
Чижонков Е.В. Математические аспекты моделирования колебаний и кильватерных волн в плазме. М.: Физматлит, 2018. 256 с.
Davidson R.C. Methods in nonlinear plasma theory. N.Y.: Academic Press, 1972. 376 p.
Dafermos C.M. Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics. The 4th Ed. B.; Heidelberg: Springer, 2016. 852 p.
Ахиезер А.И., Половин Р.В. К теории волновых движений электронной плазмы // ЖЭТФ. 1956. Т. 30. № 5. С. 915–928.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления