1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 492, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 492, № 1, стр. 97-100

О существовании глобального решения одной гиперболической задачи

О. С. Розанова 1, Е. В. Чижонков 1, *

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: chizhonk@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 15.09.2019
После доработки 11.03.2020
Принята к публикации 23.03.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается квазилинейная система гиперболических уравнений, описывающих плоские одномерные релятивистские колебания электронов в холодной плазме. Для некоторой упрощенной постановки получен критерий существования глобального по времени гладкого решения. Для исходной системы найдено достаточное условие потери гладкости решением, а также достаточное условие гладкости решения в течение нерелятивистского периода колебаний. Кроме того, показано, что сколь угодно малые возмущения тривиального решения за конечное время приводят к образованию особенностей. Результаты могут быть использованы для конструирования и обоснования численных алгоритмов при моделировании эффекта опрокидывания плазменных колебаний.

Ключевые слова: квазилинейные гиперболические уравнения, плазменные колебания, потеря гладкости, эффект опрокидывания

При математическом моделировании процессов в бесстолкновительной холодной плазме наиболее часто используются два подхода – Лагранжа и Эйлера: метод частиц, позволяющий отслеживать их индивидуальные траектории, и гидродинамическое описание на базе уравнений с частными производными (см., например, [1, 2]). В рамках обоих подходов давно и хорошо известен [3] эффект опрокидывания колебаний. В первом случае критерием опрокидывания является пересечение электронных траекторий, а во втором – обращение в бесконечность функции, описывающей плотность электронов. В монографии [4] имеется строгое физическое обоснование появления сингулярности плотности среды при пересечении траекторий частиц. В этом случае происходит формирование разрыва у решения, что требует принципиального изменения рабочей модели.

Описанная ситуация качественно отличается от моделирования в газовой динамике, где разрывные решения физически естественны. Следствием этой естественности является факт, что точное или приближенное решение классической задачи Римана (задачи Коши с кусочно постоянными начальными данными) является основой большинства современных алгоритмов численного решения для соответствующих постановок задач [5]. В задачах же, связанных с плазменными колебаниями, постановка классической задачи Римана не имеет никакого физического смысла, так как начальная разрывная функция электрического поля уже означает бесконечную концентрацию заряда в точках разрыва.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПЛАЗМЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ

Будем считать ионы, в силу многократного превышения электронов по массе, неподвижными, тогда система уравнений, описывающих плоские одномерные релятивистские колебания электронов в холодной плазме, в безразмерной форме имеет следующий вид [6]:

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial P}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial P}}{{\partial \rho }} + E = 0, \\ \frac{{\partial E}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial E}}{{\partial \rho }} - V = 0,\quad V = \frac{P}{{\sqrt {1 + {{P}^{2}}} }}{\mkern 1mu} . \\ \end{gathered} $

Здесь $\rho $ и $\theta $ – обезразмеренные координаты по пространству и времени соответственно. Переменные $P$ и $V$ описывают импульс и скорость электронов, $E$ – электрическое поле. Подобные по смыслу постановки ранее рассматривались только в физической литературе (см., например, [7] и цитированную там литературу), где методы исследования и формулировки результатов существенно отличаются от наших. Рассмотрим в полуплоскости $\{ (\rho ,\theta ){\mkern 1mu} :{\mkern 1mu} \,\rho \in \mathbb{R}$, θ > 0} задачу Коши для (1) с начальными условиями при $\theta = 0$:

(2)
$P(\rho ,0) = {{P}_{0}}(\rho ),\quad E(\rho ,0) = {{E}_{0}}(\rho ),\quad \rho \in \mathbb{R}.$

Также можно рассмотреть уравнение (1) в упрощенном (нерелятивистском) приближении: в предположении малости скорости электронов $V$ имеет место представление $P = V + \frac{{{{V}^{3}}}}{2} + O({{V}^{5}})$, $V \to 0$, поэтому, с точностью до кубически малых слагаемых можем считать, что $P = V$. Это предположение позволяет записать (1)

(3)
$\frac{{\partial V}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial V}}{{\partial \rho }} + E = 0,\quad \frac{{\partial E}}{{\partial \theta }} + V{\mkern 1mu} \frac{{\partial E}}{{\partial \rho }} - V = 0,$
при этом начальные условия примут вид

(4)
$V(\rho ,0) = {{V}_{0}}(\rho ),\quad E(\rho ,0) = {{E}_{0}}(\rho ),\quad \rho \in \mathbb{R}.$

Системы (1) и (3) относятся к гиперболическому типу. Хорошо известно, что для таких систем существует локально по времени единственное решение задачи Коши того же класса, что и начальные данные, в нашем случае это С1. Также известно, что для таких систем потеря решением гладкости происходит по одному из следующих сценариев: либо сами компоненты решения в течение конечного времени обращаются в бесконечность, либо они остаются ограниченными, но в бесконечность обращаются их производные [8]. Последняя возможность реализуется, например, для однородных законов сохранения, к которым относятся уравнения газовой динамики, где возникновение особенности соответствует образованию ударной волны.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Анализ нерелятивистской постановки основан на явном представлении характеристик решения:

Теорема 1. Пусть начальные данные (4) принадлежат классу ${{C}^{2}}(\mathbb{R})$. Для существования и единственности непрерывно дифференцируемого по обеим переменным 2π-периодического по времени при всех $\theta > 0$ решения $V(\theta ,\rho )$, $E(\theta ,\rho )$ задачи (3), (4) необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке $\rho \in \mathbb{R}$ было выполнено неравенство

(5)
${{(V_{0}^{'}(\rho ))}^{2}} + 2{\mkern 1mu} E_{0}^{'}(\rho ) - 1 < 0.$

Если существует хотя бы одна точка ρ, для которой выполняется неравенство, противоположное (5), то в течение конечного времени, не превышающего $2\pi ,$ производные решения обращаются в бесконечность.

Несложно проверить, что функции вида V = = $W(\theta )\rho + {{W}_{0}}(\theta )$, $E = D(\theta )\rho + {{D}_{0}}(\theta )$ являются решениями уравнения (3) в случае, если $W(\theta )$ и $D(\theta )$ подчиняются продолженной системе для уравнений характеристик. Для полученных в [6] коэффициентов

$W(\theta ) = \frac{{s{\mkern 1mu} \cos (\theta + {{\theta }_{0}})}}{{1 + s{\mkern 1mu} \sin (\theta + {{\theta }_{0}})}},\quad D(\theta ) = \frac{{s{\mkern 1mu} \sin (\theta + {{\theta }_{0}})}}{{1 + s{\mkern 1mu} \sin (\theta + {{\theta }_{0}})}},$
где
$\begin{gathered} s = \frac{{\sqrt {{{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}}} }}{{1 - \alpha }},\quad \cos {{\theta }_{0}} = \frac{\beta }{{\sqrt {{{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}}} }}, \\ \sin {{\theta }_{0}} = \frac{\alpha }{{\sqrt {{{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}}} }},\quad \alpha = D(0),\quad \beta = W(0), \\ \end{gathered} $
свойство (5) выполнено, поэтому формулы применимы для решения обобщенной задачи Римана (с кусочно линейными начальными условиями (4)).

Рассмотрим систему (1). Определим из уравнений для ее характеристик величину

$2\sqrt {1 + {{P}^{2}}} $ + E2 = = $2\sqrt {1 + {{P}^{2}}({{\rho }_{0}})} + {{E}^{2}}({{\rho }_{0}}) = {{C}_{1}}({{\rho }_{0}}) \geqslant 2$

вдоль характеристики, стартующей из точки ${{\rho }_{0}}$. Отсюда следует, что само решение остается ограниченным, как и в предыдущем случае. Период $T({{\rho }_{0}})$ может быть вычислен как

$\frac{T}{2} = \int\limits_{{{P}_{ - }}}^{{{P}_{ + }}} {\frac{{dP}}{{\sqrt {{{C}_{1}} - 2\sqrt {1 + {{P}^{2}}} } }}} ,\quad {{P}_{ \pm }} = \pm \frac{{\sqrt {C_{1}^{2} - 4} }}{2},$
аргумент ${{\rho }_{0}}$ здесь и далее для краткости опускаем. Период стремится к 2π при ${{C}_{1}} \to 2$, но с ростом C1 увеличивается. В отличие от нерелятивистского случая, когда вдоль каждой характеристики период одинаков и равен 2π, в релятивистском случае период на каждой характеристике свой, поэтому решение не обязано быть периодическим.

Свойства решения существенно зависят от выполнения для начальных данных условия

${{C}_{1}}({{\rho }_{0}}) \ne {\text{const}}{\text{.}}$       (I)

Теорема 2. Пусть начальные данные (2) принадлежат классу ${{C}^{2}}(\mathbb{R})$ и (I) выполнено. Если существует хотя бы одна точка ρ0, для которой выполняется неравенство

$\begin{gathered} {{K}_{ - }}{{(P_{0}^{'}({{\rho }_{0}}))}^{2}} + 2E_{0}^{'}({{\rho }_{0}}) - 1 \geqslant 0, \\ {{K}_{ - }} = \frac{8}{{{{{\left( {2\sqrt {1 + {{P}^{2}}({{\rho }_{0}})} + {{E}^{2}}({{\rho }_{0}})} \right)}}^{3}}}}, \\ \end{gathered} $
то производные решения задачи (1), (2) в течение конечного времени, не превышающего период колебания $T({{\rho }_{0}})$, обращаются в бесконечность.

Выполнение для всех ρ условия

${{(P_{0}^{'}(\rho ))}^{2}} + 2E_{0}^{'}(\rho )$ – 1 < 0

обеспечивает сохранение гладкости решения по крайней мере в течение одного периода $T(\rho )$ на каждой характеристике, т.е. до момента времени ${{t}_{*}} = \mathop {\min }\limits_{\rho \in \mathbb{R}} T(\rho )$, ${{t}_{*}} \geqslant 2\pi $.

Справедлива теорема, которая связывает проблему возникновения особенности задачи (1), (2) с теорией линейных уравнений с периодическими коэффициентами.

Теорема 3. Пусть начальные данные (2) принадлежат классу ${{C}^{2}}(\mathbb{R})$ и (I) выполнено. Обозначим

$\frac{{E_{0}^{'}({{\rho }_{0}})}}{{P_{0}^{'}({{\rho }_{0}})}} = {{u}_{0}}$, $\frac{{(1 - E_{0}^{'}({{\rho }_{0}}))}}{{P_{0}^{'}({{\rho }_{0}})}} = {{\lambda }_{0}}$

в предположении, что $P_{0}^{'}({{\rho }_{0}}) \ne 0$. Пусть $z(\theta )$ – решение задачи Коши для уравнения Хилла

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}z}}{{d{{\theta }^{2}}}} + {{(1 + P(\theta ))}^{{ - 3/2}}}z = 0, \\ z(0) = 1,{\mkern 1mu} \quad z{\text{'}}(0) = - {{u}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Если хотя бы для одной точки ρ0существует момент времени ${{\theta }_{*}} > 0$ такой, что $z{\text{'}}({{\theta }_{*}}) = {{\lambda }_{0}}$, то производные решения задачи (1), (2) в течение конечного времени обращаются в бесконечность.

В противном случае решение остается гладким при всех $\theta > 0$.

Для использования теоремы 3 требуется явный вид P. Сделав предположение о малости колебаний, установим

Следствие. При выполнении условия (I) у любого решения задачи Коши (1), (2), являющегося сколь угодно малым гладким отклонением от положения равновесия P = E = 0, производные решения в течение конечного времени обращаются в бесконечность.

Если условие (I) не выполнено, в терминах начальных данных может быть получен критерий образования особенностей за конечное время и существуют решения типа бегущей с постоянной скоростью волны [9]. Такие решения могут быть сколь угодно малыми отклонениями от положения равновесия.

Наглядной иллюстрацией условия (I) является выбор начальных функций (2), имитирующих возмущения электрического поля, которые порождаются в плазме коротким мощным лазерным импульсом:

${{E}_{0}}(\rho ) = {{\left( {\frac{{{{a}_{*}}}}{{{{\rho }_{*}}}}} \right)}^{2}}\rho \exp \left\{ { - 2\frac{{{{\rho }^{2}}}}{{\rho _{*}^{2}}}} \right\},\quad {{P}_{0}}(\rho ) = 0.$

За счет подбора параметров ${{a}_{*}}$ и ${{\rho }_{*}}$ с помощью численного моделирования можно получить сингулярность электронной плотности, т.е. градиентную катастрофу решения (1), в достаточно произвольный момент времени [6].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим приложения полученных результатов. Теорема Гаусса [3, 7], связывающая плотность электронов с электрическим полем, в используемых обозначениях имеет вид

$\frac{{\partial E(\rho ,\theta )}}{{\partial \rho }} = 1 - N(\rho ,\theta ).$

Из теоремы 1 и уравнений для характеристик системы (3) следует, что для глобального по времени решения условие (5) сохраняется, следовательно, для произвольного $\theta > 0$ справедлива оценка снизу для плотности электронов $N(\rho ,\theta ) > \frac{1}{2}$. В переменных Эйлера оценка получена впервые.

Условие (5) позволяет сформулировать обобщенную задачу Римана для уравнений (3), решение которой не будет обладать сингулярностью производных. Практическая польза от решения обобщенной задачи Римана состоит в конструировании схем типа Годунова второго порядка точности по времени и пространству для рассмотренных здесь задач Коши [5].

Наконец, из теорем 2 и 3 следует, что приближенные методы для задачи (1), (2) обязаны учитывать возможность эффекта опрокидывания колебаний в качестве завершения вычислений.

Суммируем вышесказанное: результаты настоящей работы имеют важное значение для развития теории вычислительных методов и практических расчетов задач о колебательных движениях холодной плазмы.

Список литературы

  1. Birdsall C.K., Langdon A.B. Plasma physics via computer simulation. N.Y.: McGraw-Hill Inc., 1985. 504 p.

  2. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1982. 320 с.

  3. Dawson J.M. Nonlinear electron oscillations in a cold plasma // Phys. Review. 1959. V. 113. № 2. P. 383–387.

  4. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973. 351 с.

  5. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. 2-е изд. М.: Физматлит, 2012. 656 с.

  6. Чижонков Е.В. Математические аспекты моделирования колебаний и кильватерных волн в плазме. М.: Физматлит, 2018. 256 с.

  7. Davidson R.C. Methods in nonlinear plasma theory. N.Y.: Academic Press, 1972. 376 p.

  8. Dafermos C.M. Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics. The 4th Ed. B.; Heidelberg: Springer, 2016. 852 p.

  9. Ахиезер А.И., Половин Р.В. К теории волновых движений электронной плазмы // ЖЭТФ. 1956. Т. 30. № 5. С. 915–928.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал