Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 495, № 1, стр. 5-7

1. Банахово пространство E измеримых на [0, 1] функций называется перестановочно-инвариантным (кратко r.i.), или симметричным, если

1) из ${\text{|}}x(t){\text{|}} \leqslant {\text{|}}y(t){\text{|}}$ для всех $t \in [0,1]$ и $y \in E$ следует $x \in E$ и ${{\left\| x \right\|}_{E}} \leqslant {{\left\| y \right\|}_{E}}$;

2) из равноизмеримости функций ${\text{|}}x{\text{|}}$ и ${\text{|}}y{\text{|}}$ (это означает, что

для каждого τ > 0, где mes – мера Лебега на [0, 1]) и $y \in E$ следует, что $x \in E$ и ${{\left\| x \right\|}_{E}} = {{\left\| y \right\|}_{E}}$ [1, 2].

Следуя [1], будем предполагать, что r.i.-пространство E сепарабельно или сопряжено к сепарабельному пространству. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что ${\text{||}}{{\chi }_{{(0,1)}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{E}}$ = 1, где χ_e – характеристическая функция измеримого подмножества e ⊂ [0, 1]. Тогда ${{L}_{\infty }} \subset E \subset {{L}_{1}}$ и ${{\left\| x \right\|}_{{{{L}_{1}}}}} \leqslant {{\left\| x \right\|}_{E}} \leqslant {{\left\| x \right\|}_{{{{L}_{\infty }}}}}$ для любого $x \in {{L}_{\infty }}$ и каждого r.i.-пространства E. Через E₀ обозначается замыкание L_∞ в r.i.-пространстве E. Если $E \ne {{L}_{\infty }}$, то E₀ – сепарабельное r.i.-пространство. Для сепарабельности r.i.-пространства E необходимо и достаточно, чтобы норма любой функции из E была абсолютно непрерывна, т.е.

Это условие эквивалентно равенству

где x* – функция, равноизмеримая с ${\text{|}}x{\text{|}}$ и не возрастающая на $(0,1]$.

Двойственное к r.i.-пространству E пространство $E{\kern 1pt} '$ состоит из всех измеримых функций y, для которых конечна норма

Пространство $E{\kern 1pt} '$ также является r.i.-пространством. Если E сепарабельно, то $E{\kern 1pt} '$ совпадает с сопряженным пространством E*. Естественное вложение E в $E{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '$ изометрично.

Приведем примеры r.i.-пространств. Естественным обобщением пространств ${{L}_{p}}(1 \leqslant p < \infty )$ являются пространства Орлича. Пусть $M(u)$ – непрерывная выпуклая возрастающая функция на [0, $\infty $), $M(0) = 0$, $M(1) = 1$. Пространство Орлича L_M состоит из всех измеримых на [0, 1] функций, для которых конечна норма Люксембурга

В частности, если $M(u) = {{u}^{p}}$, то ${{L}_{M}} = {{L}_{p}}$. Пространство L_M сепарабельно тогда и только тогда, когда $M(2u) \leqslant CM(u)$ для некоторого C > 0 и всех достаточно больших u.

Обозначим через Ω множество непрерывных возрастающих вогнутых на [0, 1] функций $\varphi $ таких, что $\varphi (0) = 0$, $\varphi (1) = 1$, $\mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\varphi (t)}}{t} = \infty $. Пространство Лоренца $\Lambda (\varphi )$ состоит из всех измеримых на [0, 1] функций, для которых

Каждое пространство Лоренца сепарабельно, и сопряженным к пространству Лоренца $\Lambda (\varphi )$ является пространство Марцинкевича $M(\varphi )$ с нормой

Всякое пространство Марцинкевича несепарабельно, и $M{\kern 1pt} '(\varphi ) = \Lambda (\varphi )$ с совпадением норм.

Пусть F – банахово пространство и F₁ – подпространство F. Элемент x ∈ F будем называть ортогональным множеству F₁, если ${{\left\| x \right\|}_{F}} \leqslant {{\left\| {x + y} \right\|}_{F}}$ для любого $y \in {{F}_{1}}$. В соответствии с этим определением элемент $x$ из несепарабельного r.i.-пространства E ортогонален подпространству ${{E}_{0}}$, если ${{\left\| x \right\|}_{E}} \leqslant {{\left\| {x + y} \right\|}_{E}}$ для любого $y \in {{E}_{0}}$.

Множество ортогональных элементов $\mathcal{O}(E)$ является важной характеристикой несепарабельного r.i.-пространства E. Настоящая работа посвящена изучению этого интересного множества, обладающего весьма необычными свойствами. Все приведенные выше результаты содержатся в монографиях [1–4].

2. Множество $\mathcal{O}(E)$ было введено в статье [5]. В частности, в [5] показано, что $\mathcal{O}(E)$ совпадает с множеством тех x ∈ E, для которых ||x||_E = ${{\left\| {x{\kern 1pt} {\text{*}}{{\chi }_{{(0,\tau )}}}} \right\|}_{E}}$ для любого $\tau \in (0,1)$. Там же доказано, что $\mathcal{O}(E)$ неустойчиво относительно эквивалентных преобразований в классе r.i.-пространств. А именно, справедлива

Теорема 1 [5]. Пусть E – несепарабельное r.i.-пространство и ε > 0.

1. Существует такая r.i.-норма ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{1}}$ на E, что ${{\left\| x \right\|}_{E}} \leqslant {{\left\| x \right\|}_{1}} \leqslant (1 + \varepsilon ){{\left\| x \right\|}_{E}}$ для всех x ∈ E и в r.i.-пространстве $(E,{{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{1}})$ не существует ортогональных элементов.

2. Если $x \in E{\backslash }{{E}_{0}}$, то найдется такая эквивалентная r.i.-норма ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{2}}$ на E, что $x \in \mathcal{O}(E,{{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{2}})$.

В следующих двух теоремах показано, что в любом пространстве Марцинкевича и каждом несепарабельном пространстве Орлича с ранее введенными нормами существуют ортогональные элементы, а также получен критерий принадлежности заданной функции множеству ортогональных элементов.

Теорема 2. Пусть L_M – несепарабельное пространство Орлича и x ∈ L_M. Тогда $x \in \mathcal{O}({{L}_{M}})$, если и только если

для любого $\lambda \in (0,{\text{||}}x{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{M}}}}})$.

Заметим, что

для любого x ∈ L_M ([3], 2.9.21).

Теорема 3. Пусть $\varphi \in \Omega $ и $x \in M(\varphi )$. Для того чтобы $x \in \mathcal{O}(M(\varphi ))$, необходимо и достаточно существование такой последовательности ${{t}_{k}} \to 0$, что

Приведенная выше теорема 1 говорит о неустойчивости множества $\mathcal{O}(E)$ относительно эквивалентных r.i.-преобразований нормы. Однако множество $\mathcal{O}(E)$ устойчиво в другом смысле.

Теорема 4. Пусть E – несепарабельное r.i.-пространство, содержащее ортогональные элементы, $x{\text{*}} = x \in \mathcal{O}(E)$. Если 0 – точка плотности измеримого множества $e \subset [0,1]$, то $x{{\chi }_{e}} \in \mathcal{O}(E)$.

Предположение о том, что 0 есть точка плотности множества $e \subset [0,1]$, в теореме 4 существенно. Тем не менее, справедлива

Теорема 5. Пусть $\varphi \in \Omega $ удовлетворяет дополнительному условию

и ε > 0. Тогда существуют такие $x = x{\kern 1pt} * \in \mathcal{O}(M(\varphi ))$ и множество $e \subset [0,1]$, что внешняя плотность e в 0 меньше $\varepsilon $ и $x{{\chi }_{e}} \in \mathcal{O}(M(\varphi ))$.

Если несепарабельное r.i.-пространство E содержит ортогональные элементы, то для любого ε > 0 существует подпространство E, порожденное дизъюнктными функциями, которое (1 + ε)-изоморфно пространству c₀.