Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 40-43

В данной работе изучаются вопросы о двусторонних оценках интеграла Пуассона [1]

и средних Тихонова–Стилтьеса [3] от функции ${{u}_{0}}(x)$где ${{w}_{N}} = \tfrac{{2{{\pi }^{{N/2}}}}}{{\Gamma (N{\text{/}}2)}},$ $\alpha > N{\text{/}}2$.

Далее будем предполагать, что функция ${{u}_{0}}(x)$ непрерывна в E^N и удовлетворяет одному из следующих условий для $\forall x \in {{E}^{N}}$:

(A) ${\text{|}}{{u}_{0}}(x){\text{|}} \leqslant M$, M > 0,

(B) ${\text{|}}{{u}_{0}}(x){\text{|}} \leqslant M\mathop {(1\; + \;{\text{|}}x{\text{|}})}\nolimits^m $, $m > 0$,

(C) $1 \leqslant {{u}_{0}}(x) \leqslant M$, M > 0,

(D) $1 \leqslant {{u}_{0}}(x) \leqslant M\mathop {(1\; + \;{\text{|}}x{\text{|}})}\nolimits^m $, m > 0.

Как известно [1], в этих классах функций интеграл Пуассона (1) существует и представляет единственное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

Если ${{u}_{0}}(x)$ удовлетворяет условию степенного роста (B) или (D), то (2) сходится, если выполняется неравенство

Аналог средних (2) был использован в работе А.Н. Тихонова [2] при решении задачи о восстановлении значений функций, по приближенно заданным коэффициентам Фурье этой функцией.

В работе [3] для случая (A), т.е. когда ${{u}_{0}}(x)$ непрерывна и ограничена в E^N, получен критерий стабилизации интеграла Пуассона (1) в терминах средних (2).

Теорема (см. [3, с. 32]). Если ${{u}_{0}}(x)$ – непрерывна и ограничена в E^N, то предел

решения задачи Коши (3) (поточечный, равномерный по x на каждом компакте $K$ в E^N, или равномерный по x во всем E^N) существует тогда и только тогда, когда существует соответствующий предел средних (2) (который понимается в смысле существования предела (5)).

В работе [3] построен пример функции, удовлетворяющей условию степенного роста (т.е. условию (B)), для которой предел (6) существует, а предел шаровых средних Рисса от ${{u}_{0}}(x)$ не существует, т.е. метод суммирования $T_{R}^{\alpha }{{u}_{0}}(x)$ является более сильным, чем метод шаровых средних Рисса (см. [3, теорема 3, с. 32]). Далее мы будем рассматривать модифицированные средние Тихонова–Стилтьеса:

Совершив замену ${{y}_{i}} = {{x}_{i}} + 2\sqrt t {{\sigma }_{i}},$ $i = 1,...,N$, интеграл Пуассона (1) запишем в виде

В теореме 4 работы [3] доказано, что если ${{u}_{0}}(x)$ удовлетворяет условию (C) , то для любого фиксированного $t > 0$ равномерно по $x$ во всем E^N существует предел

модифицированных средних Тихонова–Стилтьеса (7).

Целью настоящей работы является установление точных двусторонних оценок одинакового порядка при $t \to \infty $ разности

в классах непрерывных в E^N функций ${{u}_{0}}(x)$, удовлетворяющих соответствующим условиям (A)–(D), при условии, что $\alpha = \alpha (t)$, функция, монотонно возрастающая к +$\infty $ при $t \to \infty $. Порядок роста функции $\alpha = \alpha (t)$ определяется порядком роста функции ${{u}_{0}}(x)$.

Теорема 1. Если ${{u}_{0}}(x)$ непрерывна в E^N и удовлетворяет условию (C), $\alpha (t)$ – монотонно возрастающая функция t такая, что $\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } \alpha (t) = + \infty $, то для разности (10) справедлива двусторонняя оценка

равномерно по $x$ во всем E^N и $\forall t \geqslant {{t}_{0}} > 0$.

Замечание 1.

1. Из правой оценки (11) вытекает теорема о равностабилизации для $T_{{2\sqrt t \sqrt \alpha }}^{\alpha }{{u}_{0}}(x)$ и $u(x,t)$, т.е. существует равномерный по $x$ во всем E^N предел

со скоростью не менее чем ${{C}_{1}}{\text{/}}\alpha (t)$ для любой ${{u}_{0}}(x) \in C({{E}^{N}})$ и удовлетворяющий условию (C).

2. Из левой оценки (11) следует, что порядок скорости равностабилизации в (12) является точным.

Теорема 2. Если функция ${{u}_{0}}(x)$ непрерывна в E^N и удовлетворяет условию (D), и $\alpha (t) = {{t}^{m}}$, где $m > 0$, степень роста (D) функции ${{u}_{0}}(x)$, тогда справедливы следующие оценки по t разности (10):

гдеравномерно по $x$ на любом компакте K в E^N.

Замечание 2.

1. Из правой оценки (13) следует теорема о равностабилизации, т.е. существует предел

равномерно по x на каждом компакте K в E^N, со скоростью не менее чем $\tfrac{{{{C}_{1}}(K)}}{{{{t}^{{m/2}}}}}$ при $t \to + \infty $.

2. Из левой оценки (13) следует, что установленная в теореме 2 оценка скорости равностабилизации, равномерная по $x$ на каждом компакте $K$ в E^N, является точной по порядку ${{t}^{{ - m/2}}}$.

Если в теореме 1 отказаться от полуограниченности ${{u}_{0}}(x)$ снизу, т.е. от условия (C) ${{u}_{0}} \geqslant 1$, и оставить только условие (A), то получим следующее утверждение.

Теорема 3. Если ${{u}_{0}}(x)$ непрерывна в E^N и удовлетворяет условию (A) ${\text{|}}{{u}_{0}}(x){\text{|}} \leqslant M$, $\alpha (t)$ – монотонно возрастающая функция, такая, что $\mathop {lim}\limits_{t \to + \infty } \alpha (t) = + \infty $, то для разности (10) справедлива оценка

равномерная по $x$ во всем E^N.

Следствие. Из (16) следует теорема равностабилизации (12).

Однако в этом случае мы не можем гарантировать, что порядок $\tfrac{{{{C}_{1}}}}{{\alpha (t)}}$ скорости равностабилизации является точным, а лишь то, что скорость равностабилизации будет не менее чем $\tfrac{{{{C}_{1}}}}{{\alpha (t)}}$.

Аналогично, если в теореме 2 отказаться в условии (D) от неравенства ${{u}_{0}} \geqslant 1$, но оставить условие (B): ${\text{|}}{{u}_{0}}(x){\text{|}} \leqslant M\mathop {(1\; + \;{\text{|}}x{\text{|}})}\nolimits^m $, то получим следующее утверждение.

Теорема 4. Если функция ${{u}_{0}}(x)$ непрерывна в E^N и удовлетворяет условию (B) |u₀(x)| ≤ $M\mathop {(1\; + \;{\text{|}}x{\text{|}})}\nolimits^m $, $m > 0$ и $\alpha (t) = {{t}^{m}}$, где m – степень роста ${\text{|}}{{u}_{0}}(x){\text{|}}$, тогда справедлива оценка по $t$ разности (10)

равномерная по $x$ на каждом компакте $K$ в ${{E}^{N}}$.

Из (17) следует теорема о равностабилизации: $(\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } \mathop {sup}\limits_K I(x,t) = 0)$ равномерно по $x$ на каждом компакте $K$ в E^N, однако в этом случае мы не можем гарантировать, что порядок скорости равностабилизации $\tfrac{{{{C}_{1}}(K)}}{{{{t}^{{m/2}}}}}$ является точным, а лишь то, что скорость равностабилизации будет не менее чем $\tfrac{{{{C}_{1}}(K)}}{{{{t}^{{m/2}}}}}$.

Теперь мы получим скорость равностабилизации для разности (10) для более широкого класса функций $\alpha (t)$.

Теорема 5. Если функция ${{u}_{0}}(x)$ непрерывна в E^N и удовлетворяет условию (В),

где $\beta (t)$, монотонно возрастая, стремится к +$\infty $ при $t \to + \infty $, тогда справедливы следующие оценки по $t$ разности (10): где ${{C}_{1}}(K)$ определено в (14).

Как и выше, в теореме 2, из правой оценки (19) мы получаем теорему о равностабилизации (15), на каждом компакте K в E^N, со скоростью не менее чем $\tfrac{{{{C}_{1}}(K)}}{{\beta (t)}}$, $t \to \infty $.

Из левой оценки (19) следует, что оценка справа в (19) скорости равностабилизации $\tfrac{{{{C}_{1}}(K)}}{{\beta (t)}}$ является точной.

Доказательство сформулированных теорем 1–4 основывается на следующих элементарных леммах.

Лемма 1. При $0 \leqslant x \leqslant \sqrt \alpha $, $\alpha > 0$ справедливо неравенство

Лемма 2. При $0 \leqslant x \leqslant \alpha $, $\alpha > 0$ справедливо неравенство

Докажем (20). Перепишем (20) в равносильном виде

и логарифмируя (22), будем иметь

Введем функцию

и заметим, что (20) равносильно неравенству

Ясно, что $\psi (0) = 0$, и учитывая легко проверяемое неравенство $\psi {\kern 1pt} '(x) \geqslant 0$, $0 \leqslant x \leqslant \sqrt \alpha $, получим (20).

Докажем (21). Обозначив левую часть (21) символом ${{K}_{1}}$, будем иметь тождество

Воспользуемся в (24) неравенством ${{e}^{z}} \geqslant 1 + z$, где $z = x - \alpha ln\left( {1 + \frac{x}{\alpha }} \right)$, $0 \leqslant x \leqslant \alpha $, и, вводя переменную $t = \tfrac{x}{\alpha } \leqslant 1$ и применяя в (23) неравенство $ln(1 + t) \leqslant t - \tfrac{{{{t}^{2}}}}{4}$, при $0 \leqslant t \leqslant 1$ получим (21).

Леммы 1, 2 доказаны.

В работах [4–6] даны обзоры по вопросам стабилизации решений параболических уравнений. В работе [7] изучаются средние по времени для решений параболических уравнений.