Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 48-52
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КВАДРАТИЧНЫМ ИНВАРИАНТОМ КАК УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
Академик РАН В. В. Козлов 1, *
1 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: kozlov@pran.ru
Поступила в редакцию 25.12.2020
После доработки 29.12.2020
Принята к публикации 29.12.2020
Аннотация
Рассматриваются линейные системы дифференциальных уравнений в вещественном гильбертовом пространстве, допускающие инвариант в виде положительно определенной квадратичной формы. Предполагается, что система имеет простой дискретный спектр и что собственные векторы образуют полную ортонормированную систему. При этих условиях линейная система приводится к виду уравнения Шрёдингера с помощью введения подходящей комплексной структуры. В качестве примера такое приведение осуществлено для системы уравнений Максвелла в пространстве без токов. Эти наблюдения позволяют рассматривать динамику, определяемую некоторыми линейными дифференциальными уравнениями математической физики, с точки зрения основных принципов и методов квантовой механики.
1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть V – вещественное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением ( , ); случай $dimV < \infty $ не исключается. Пусть A – линейный оператор с плотной областью определения $D(A) \subset V$, который не предполагается ограниченным. Сопоставим ему линейное дифференциальное уравнение
Предположим, что эта линейная система допускает квадратичный инвариант
Это означает, что производная от этой функции в силу системы (1) равна нулю, т.е. $(Ax,x) = 0$ для всех $x \in D(A)$. Но это означает кососимметричность оператора A:
для всех $x,y \in D(A)$. В частности, все ненулевые собственные значения оператора A чисто мнимые.Сформулируем важные для дальнейшего свойства собственных векторов оператора A. Детали и доказательства см. в [1]. Пусть
суть ненулевые собственные значения A; числа ${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}}$, ... будем считать положительными. ПустьЗдесь ${{\xi }_{k}},{{\eta }_{k}} \in V$ и $\xi _{k}^{2} + \eta _{k}^{2} \ne 0$. Тогда
(4)
$A{{\xi }_{k}} = - {{\omega }_{k}}{{\eta }_{k}},\quad A{{\eta }_{k}} = {{\omega }_{k}}{{\xi }_{k}},$Далее, пусть πn – инвариантная плоскость оператора A, содержащая линейно независимые векторы ${{\xi }_{n}}$ и ${{\eta }_{n}}$. Положим
это точки πn. Ограничение исходной линейной системы (1) на инвариантную плоскость πn имеет вид(5)
$\mathop {\dot {p}}\nolimits_n = {{\omega }_{n}}{{q}_{n}},\quad \mathop {\dot {q}}\nolimits_n = - {{\omega }_{n}}{{p}_{n}};\quad n \geqslant 1.$Эта линейная система описывает динамику одномерного гармонического осциллятора с частотой ${{\omega }_{n}}$. Она имеет очевидный первый интеграл fn = = $p_{n}^{2} + q_{n}^{2}$.
Если среди собственных чисел (3) нет равных, то при $k \ne l$ двумерные плоскости πk и ${{\pi }_{l}}$ ортогональны. В частности, ненулевые векторы
образуют ортогональную систему.Будем предполагать далее, что
i) дискретный спектр A простой,
ii) ортонормированная система векторов (6) полна.
В [1] показано, что при этих предположениях линейная система (1) является вполне интегрируемой гамильтоновой системой. Свойство гамильтоновости имеет место и при более слабых предположениях [2]. В конечномерном случае достаточно условия невырожденности оператора A и существования первого интеграла в виде невырожденной квадратичной формы [3]. В частности, размерность фазового пространства V четна. Наше основное наблюдение состоит в следующем: при тех же предположениях i) и ii) уравнение (1) можно представить в виде уравнения Шрёдингера после введения подходящей комплексной структуры в V.
Несколько замечаний.
Если оператор $A{\text{:}}\;V \to V$ ограничен, то для линейного дифференциального уравнения (1) справедлива теорема существования (и единственности) решений на всей оси времени $\mathbb{R} = {\text{\{ }}t{\text{\} }}$ (см., например, [4]). В этом случае оператор A будет кососамосопряженным: $A* = - A$. В частности, сопряженная (по Лагранжу) линейная система дифференциальных уравнений
будет совпадать с исходной системой (1). Так что линейную систему (1) можно назвать самосопряженной. Для уравнений математической физики оператор A, как правило, неограниченный, поскольку он содержит дифференцирования по пространственным переменным.Можно несколько обобщить рассмотрение и предположить, что линейная система (1) допускает первый интервал в виде непрерывной положительно определенной квадратичной формы
В частности, самосопряженный оператор $B$ будет обратимым. В этом случае можно ввести новое скалярное произведение в $V$
Легко показать, что векторное пространство V со скалярным произведением $(\,,){\text{'}}$ также будет вещественным сепарабельным гильбертовым пространством. Так что без ущерба для общности оператор $B$ можно считать единичным.
2. ПРИВЕДЕНИЕ К УРАВНЕНИЮ ШРЁДИНГЕРА
Принимаем предположения i), ii) и обозначения из раздела 1. Введем в вещественном векторном пространстве $V$ комплексную структуру. Для этого представим $V$ в виде прямой суммы ${{V}_{1}} \oplus {{V}_{2}}$. Подпространство ${{V}_{1}}$ (${{V}_{2}}$) – это замыкание множества линейных комбинаций векторов ${{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}$, ... (${{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}$, ... соответственно). Эти подпространства ортогональны и оператор $A$ переставляет местами ${{V}_{1}}$ и ${{V}_{2}}$.
Комплексная структура в $V$ определяется с помощью линейного оператора J, который действует на векторах ${{\xi }_{k}}$, ${{\eta }_{k}}$ ($k \geqslant 1$) подобно оператору $A$:
Следовательно, $J({{V}_{1}}) = {{V}_{2}}$, $J({{V}_{2}}) = {{V}_{1}}$ и ${{J}^{2}} = - I$. Кроме того, оператор J кососамосопряженный: $J* = - J$. Комплексное гильбертово пространство ${{V}^{\mathbb{C}}}$ составляют суммы
где ${{x}^{{(1)}}}$ и ${{x}^{{(2)}}}$ – векторы из V; ${{i}^{2}} = - 1$. Умножению на $i$ отвечает действие оператора J. Пространство ${{V}^{\mathbb{C}}}$ снабжено естественным эрмитовым произведениемВекторы
линейно независимы над $\mathbb{C}$ и образуют в $({{V}^{\mathbb{C}}},\,\left\langle {\,,\,} \right\rangle )$ ортонормированный базис. Действительно,Векторы ${{\zeta }_{1}},\;{{\zeta }_{2}},\; \ldots $ составляют полную систему в $({{V}^{\mathbb{C}}},\,\left\langle {\,,\,} \right\rangle )$. Положим
Тогда
Пусть ${{P}_{1}},\;{{P}_{2}},\; \ldots $ – ортогональные проекторы в ${{V}^{\mathbb{C}}}$ на прямые с единичными векторами ${{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}}$, ... Тогда равенство (7) можно переписать в виде
Далее, согласно (5),
Следовательно, уравнение (8) принимает вид уравнения Шрёдингера
где есть оператор Гамильтона. Равенство (10) представляет спектральное разложение эрмитова оператора $\hat {H}$.Уравнение (9) имеет квадратичный инвариант
Это – исходный положительно определенный квадратичный инвариант, представленный в комплексной форме.
Замечание 1. В уравнении (9) постоянная Планка равна 1. Конечно, можно умножить на $\hbar $ обе части (9). Но тогда и оператор Гамильтона будет пропорционален $\hbar $. Однако можно поступить по-другому, заменив время t на $\frac{t}{\hbar }$.
Эти наблюдения позволяют несколько по-иному взглянуть на проблему квантования. Самые простые линейные гамильтоновы системы можно представить в квантовомеханической форме. В качестве тривиального примера рассмотрим простой гармонический осциллятор с частотой $\nu $:
Он допускает положительно определенный квадратичный интеграл $f = {{p}^{2}} + {{q}^{2}}$ (удвоенная энергия осциллятора). Полагая $\psi = q + ip$, представим (как и выше) уравнения (11) в виде одномерного уравнения Шрёдингера $i\hbar \dot {\psi } = \hat {H}\psi $, где $\hat {H}$ – оператор умножения на вещественное число $\nu \hbar $. Сразу же видна аналогия с классической формулой Планка–Эйнштейна $E = \nu \hbar $ для энергии квантов электромагнитного излучения с частотой колебаний световой волны $\nu $. С точки зрения квантовой механики инвариантное соотношение f = 1 интерпретируется как сохранение “вероятности” $\psi \bar {\psi } = 1$. Это наблюдение в “старой” квантовой механике (до появления уравнения Шрёдингера) выражалось следующим образом: переход между двумя соседними квантовыми состояниями соответствует классическому основному колебанию (см. обсуждение в [5]).
Аналогичные выводы о “самоквантованности” имеют место и для линейных эволюционных уравнений математической физики, допускающих положительный квадратичный инвариант. Кроме собственно уравнений Шрёдингера, сюда относятся волновые уравнения, уравнение Лиувилля из статистической механики, а также система уравнений Максвелла. Все они подробно рассмотрены в [1] с точки зрения полной интегрируемости как уравнений Гамильтона. По-видимому, приведение к уравнению Шрёдингера можно осуществить и при более общих условиях (см. раздел 4).
Свойство “самоквантованности” уравнений колебаний упругой среды напоминает классические идеи Л. де Бройля о волновой природе квантовых частиц.
3. НАБЛЮДАЕМЫЕ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
После приведения линейной системы с положительным квадратичным инвариантом к уравнению Шрёдингера, ее динамику можно рассматривать с точки зрения квантовой механики. Однако можно действовать прямо, без введения комплексной структуры и предварительного приведения к уравнению Шрёдингера. Ключевой момент заключается в выделении наблюдаемых величин, эволюцией которых во времени мы интересуемся. В свою очередь, это тесно связано с определением процедуры измерения, которая существенным образом отличает квантовую механику от классической (математические и физические аспекты теории измерений обсуждаются в [6, 7]).
Состояниями линейной системы (1) (точнее, ее чистыми состояниями) будем называть ненулевые элементы вещественного евклидова пространства V11 с условием нормировки $(x,x) = 1$. Векторы x и $ - x$ задают одно и то же состояние. Наблюдаемые величины – это самосопряженные операторы, действующие в V. В этом разделе мы будем предполагать все операторы (в том числе и A) ограниченными (поскольку будут рассматриваться произведения операторов, то при таком соглашении не нужно следить за их областями определения).
С классической точки зрения все наблюдаемые величины (и состояния системы) в принципе могут быть одновременно измерены абсолютно точно. В квантовой механике это не так. Измерение наблюдаемой величины F сводится к определению собственных значений (спектра) самосопряженного оператора F, причем результаты измерения считаются недетерминированными. Этот оператор порождает квадратичную форму
которая в квантовой механике интерпретируется как среднее значение величины F в состоянии x.Пусть J – кососамосопряженный антиинволютивный оператор из раздела 2:
Он определяет коммутатор самосопряженных операторов
который, как F и G, также будет самосопряженным оператором. С коммутатором (12) связана скобка Пуассона, определенная на пространстве непрерывных квадратичных форм на V: если $f = (Fx,x)$ и $g = (Gx,x)$ – две квадратичные формы, то есть их скобка Пуассона. Ясно, что скобка линейна по каждому аргументу, $\left\{ {f,g} \right\} = - \left\{ {g,f} \right\}$ и выполнено тождество Якоби. С помощью этой скобки Пуассона устанавливается гамильтоновость исходной линейной системы с квадратичным инвариантом [1].Имеет место следующее неравенство, аналогичное известному неравенству Г. Вейля из квантовой механики:
где есть дисперсия наблюдаемой $B$ в состоянии x (среднее отклонение от его математического ожидания). Из неравенства (13) вытекают соотношения неопределенности Гейзенберга: даже в чистом состоянии J-некоммутирующие наблюдаемые не могут быть одновременно точно измерены. При выводе (13) использованы соотношения ${{[F,J]}_{J}} = {{[G,J]}_{J}} = 0$. Другими словами, (13) имеет место для всех наблюдаемых H таких, что скобка Пуассона скалярного квадрата $(x,x)$ с их средним значением (Hx, x) равна нулю (в квантовой механике это свойство выполняется автоматически).Как меняются наблюдаемые величины со временем? Так как
и $A* = - A$, то (в картине Гейзенберга)Оператор
можно назвать вещественным оператором эволюции. Этот оператор ортогональный:Из (14) вытекает соотношение
Так что постоянство наблюдаемой эквивалентно условию коммутирования операторов A и $F$. Если уравнение (1) представляет шрёдингерово описание динамической системы, то (15) – это описание Гейзенберга.
С другой стороны, условие $[F,A] = 0$ будет условием инвариантности квадратичной формы f относительно фазового потока системы (1). Действительно, $\dot {f} = 0$ тогда и только тогда, когда
Учитывая кососамосопряженность оператора A, получаем требуемое.
4. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА КАК УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
Приведение к уравнению Шрёдингера возможно и при более общих условиях по сравнению с условиями i) и ii) из раздела 2. В ряде случаев это удается сделать с использованием специального вида уравнений математической физики.
В качестве примера рассмотрим систему уравнений Максвелла, описывающих эволюцию электрического E и магнитного $H$ полей в евклидовом пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}} = {\text{\{ }}x{\text{\} }}$ без токов:
(16)
$\frac{{\partial E}}{{\partial t}} = c{\text{rot}}H,\quad \frac{{\partial H}}{{\partial t}} = - c{\text{rot}}E.$Здесь $c$ – скорость света; магнитное поле соленоидальное (${\text{div}}H = 0$). Из (16) вытекает уравнение Пойнтинга
Если поля E и H быстро убывают на бесконечности ($\left| S \right|{{x}^{2}} \to 0$ при $\left| x \right| \to \infty $), то из уравнения Пойнтинга выводится квадратичный закон сохранения для уравнений (16):
Полагая $\psi = E + iH$, из (16) выводим уравнение Шрёдингера
(18)
$i\hbar \frac{{\partial \psi }}{{\partial t}} = \hat {H}\psi ,\quad \hat {H} = \hbar c\,{\text{rot}}.$Соотношение (17) представляется в комплексной форме:
Структура гильбертова пространства определяется с помощью эрмитова скалярного произведения
Замечание 2. Гамильтоновость уравнений Максвелла исследовалась многими авторами, начиная с Дирака, для целей квантования электродинамики (см. [1] и имеющиеся там ссылки).
Спектральные свойства оператора вихря обсуждались в связи с проблемами гидродинамики (см., например, [8, 9]).
Список литературы
Козлов В.В. Квадратичные законы сохранения уравнений математической физики // УМН. 2020. Т. 75. № 3. С. 253–304.
Трещёв Д.В., Шкаликов А.А. О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом пространств // Матем. заметки. 2017. Т. 101. № 6. С. 911–918.
Козлов В.В. Линейные системы с квадратичным интегралом // ПММ. 1992. Т. 56. № 6. С. 900–906.
Бурбаки Н. Функции действительного переменного / Элементы математики. М.: Наука, 1965. 424 с.
Борн М. Лекции по атомной механике. Т. 1. Киев: ОНТИ, 1939. 312 с.
Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.: Изд-во Ленинград. ун., 1980. 200 с.
Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. М.: Физматлит, 2001. 232 с.
Аржаных И.С. Обращение волновых операторов Ташкент: Изд-во АН Узб. ССР, 1962. 162 с.
Сакс Р.С. Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса // ДАН. 2007. Т. 416. № 4. С. 446–450.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления