Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 496, № 1, стр. 53-55

Рассмотрим нестационарную систему уравнений Максвелла

В уравнениях (1) ${\mathbf{E}} = ({{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}})$, ${\mathbf{H}}\, = \,({{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}})$ – векторы электрической и магнитной напряженности поля, $\sigma (x) = {\text{diag}}({{\sigma }_{1}}(x),{{\sigma }_{2}}(x),{{\sigma }_{3}}(x))$ – неотрицательно определенная диагональная матрица, ε и μ – некоторые положительные постоянные. Предположим, что вне области $\Omega = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,\,{\text{|}}\,\,{\text{|}}\,x\,{\text{|}}$ < R}, R > 0, матрица $\sigma (x) = 0$.

Обозначим через $c = \frac{1}{{\sqrt {\varepsilon \mu } }}$ – скорость распространения электромагнитных волн. Пусть $\nu = ({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$, $\left| \nu \right| = 1$, и  j – единичный вектор, ортогональный ν, т.е. ${\mathbf{j}} \cdot \nu = 0$.

Для системы уравнений Максвелла (1) в однородной среде ($\sigma (x) = 0$) существуют решения вида

в которых ${{t}_{0}} = \mathop {min}\limits_{x \in \Omega } \frac{{x \cdot \nu }}{c} = - \frac{R}{c}$, а f(t) – произвольная обобщенная функция. Каждое такое решение представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении вектора ν, и является обобщенным решением уравнений Максвелла для однородной среды.

Рассмотрим задачу Коши для анизотропной среды

в которой ${{{\mathbf{E}}}^{0}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${{{\mathbf{H}}}^{0}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ определены формулами (2), и при этом $f(t)$ – некоторая гладкая функция, такая, что $f(t) \equiv 0$ для $t \leqslant 0$ и $f( + 0) \ne 0$. Таким образом, ${\mathbf{E}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}}) = 0$, ${\mathbf{H}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ = 0 для всех $x \cdot \nu \geqslant c{{t}_{0}}$ при t < 0. Пусть Σ(ν) =: $\{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}|x \cdot \nu $ = = ct₀} – плоскость, соответствующая фронту плоской волны в момент t = 0, когда этот фронт касается области Ω.

Пусть $S = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,\,{\text{|}}\,\,{\text{|}}\,x\,{\text{|}} = R\} $ – граница области $\Omega $ и ${{S}^{ + }}(\nu ) = \left\{ {x \in S|x \cdot \nu > 0} \right\}$ – ее теневая часть по отношению к потоку света, имеющего направление ν.

Ниже мы будем рассматривать задачу (3) для трех различных векторов j^k, $k = 1,\;2,\;3$, и соответствующих им ортогональных векторов ${{\nu }^{k}}$, зависящих от углового параметра φ, а именно,

Обратная задача. Найти $\sigma (x)$ по функциям ${{E}_{k}}(x,t,{{\nu }^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}})$, k = 1, 2, 3, известным для всех $x \in {{S}^{ + }}({{\nu }^{k}}(\varphi ))$, $\varphi \in [0,\pi ]$, и $t \in \left[ {0,{{T}_{k}}(x,\varphi )} \right]$, где T_k(x, φ) = $\frac{{x \cdot {{\nu }^{k}}(\varphi )}}{c}$ – t₀ + δ₀ и ${{\delta }_{0}} > 0$ – произвольное число (возможно малое). Другими словами, требуется найти σ(x) по заданным функциям

Обратные задачи об определении проводимости среды, являющейся функцией одной переменной, изучались для стационарных уравнений электродинамики в работах А.Н. Тихонова [1–4] и Л. Каньяра [5]. Для нестационарных уравнений теория обратных задач электродинамики с использованием полной системы уравнений Максвелла была развита в работах [6–8]. Задача об определении диэлектрической проницаемости анизотропной среды рассмотрена в работе [9]. Изучены также бесфазовые обратные задачи об определении диэлектрической проницаемости по модулю вектора электрической или магнитной напряженностей стационарного электромагнитного поля (см. [10], а также обзорную статью [11]).

Для поставленной выше обратной задачи имеет место следующая

Теорема 1. Пусть матрица $\sigma (x) \in {{C}^{2}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и равна нулю вне $\Omega $, а функция $f(t)$ имеет вид f(t) = = $\hat {f}(t){{\theta }_{0}}(t)$, в котором $\hat {f}(t)$ – гладкая функция класса ${{C}^{2}}\left[ {0,\infty } \right)$ и $\hat {f}(0) \ne 0$, а ${{\theta }_{0}}(t)$ – функция Хевисайда: ${{\theta }_{0}}(t) = 1$ для $t \geqslant 0$ и ${{\theta }_{0}}(t) = 0$ для t < 0. Тогда информация (5) однозначно определяет все элементы матрицы $\sigma (x)$ в области $\Omega $.

Основой исследования обратной задачи является изучение структуры решения задачи (3). Удобно при этом использовать интегро-дифференциальное уравнение для вектора ${\mathbf{E}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$. Чтобы его найти, применим операцию rot ко второму уравнению (3) и воспользуемся первым уравнением для исключения возникающего члена ${\text{rot}}{{{\mathbf{H}}}_{t}}$. Тогда получим уравнение

Вычисляя ${\text{div}}{\mathbf{E}}$ с помощью первого уравнения (3), находим, что

Из равенств (6), (7) и (3) следует, что функция E является решением задачи Коши:

Для задачи (8) справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть для матрицы $\sigma (x)$ и функции $f(t)$ выполнены условия теоремы 1. Тогда функция ${\mathbf{E}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ при $t \geqslant 0$ представима в виде

в котором ${{\theta }_{1}}(t) = t{{\theta }_{0}}(t)$, функция $\alpha (x,\nu ,{\mathbf{j}})$ является решением задачи Коши:а функция ${\mathbf{\hat {E}}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ является ограниченной функцией переменных x, t для $t \in \left[ {\frac{{x \cdot \nu }}{c} - {{t}_{0}},T} \right]$ при любом T > 0.

Уравнение (10) получается в результате подстановки представления (9) в уравнение (8) и приравнивания в нем нулю коэффициентов при $\delta \left( {t + {{t}_{0}} - \frac{{x \cdot \nu }}{c}} \right)$, начальные данные для функции $\alpha (x,\nu ,{\mathbf{j}})$ следуют из начальных данных для функции ${\mathbf{E}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$. Функция $\alpha (x,\nu ,{\mathbf{j}})$ является амплитудой функции ${\mathbf{E}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ на фронте электромагнитной волны, т.е. при $t = \frac{{x \cdot \nu }}{c} - {{t}_{0}}$. Уравнение (10) является обыкновенным дифференциальным векторным уравнением вдоль любого луча $x = {{x}^{0}} + s\nu $, $s \in {{\mathbb{R}}^{1}}$, выходящего из произвольной точки ${{x}^{0}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$. Для случая (4) отдельные компо- ненты векторов $\alpha (x,{{\nu }^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}}) = ({{\alpha }_{1}}(x,{{u}^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}})$, α₂(x, ${{\nu }^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}})$, ${{\alpha }_{3}}(x,{{\nu }^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}})$ вычисляются в явном виде, а именно,

Эти же компоненты вычисляются по данным (5) обратной задачи

Из этих формул следует, что известны интегралы

для всех $x \in {{S}^{ + }}({{\nu }^{k}}(\varphi ))$ и $\varphi \in [0,\pi ]$.

Таким образом, правая часть равенства (11) при каждом $k = 1,\;2,\;3$ известна вдоль любой прямой, пересекающей $\Omega $ и имеющей направление ${{\nu }^{k}}(\varphi )$. Варьируя φ, получаем, что в каждом сечении $\Omega $ плоскостью ${{x}_{k}} = {\text{const}}$ известны интегралы по всевозможным прямым, лежащим в этой плоскости. В результате мы приходим к задаче рентгеновской томографии для определения ${{\sigma }_{k}}(x)$, $k = 1,\;2,\;3$. Хорошо известно (см. [12–14]), что эта задача решается однозначно. Отсюда следуют теорема 1 о единственности решения обратной задачи и алгоритм ее решения.