Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 497, № 1, стр. 12-17

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГЛАДКИХ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ И МЕТОД НЬЮТОНА

Д. В. Денисов 1*, академик РАН Ю. Г. Евтушенко 1234**, А. А. Третьяков 256***

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

2 Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Федерального исследовательского центра “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

3 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Долгопрудный, Московская обл., Россия

4 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Москва, Россия

5 System Research Institute, Polish Academy of Sciences
Warsaw, Poland

6 Siedlce University, Faculty of Sciences
Siedlce, Poland

* E-mail: dvden@cs.msu.ru
** E-mail: yuri-evtushenko@yandex.ru
*** E-mail: tret@ap.siedlce.pl

Поступила в редакцию 26.11.2020
После доработки 03.02.2021
Принята к публикации 03.02.2021

Аннотация

Получены новые свойства выпуклых бесконечно дифференцируемых функций, связанных с экстремальными задачами. Показано, что в окрестности решения даже при условии вырожденности матрицы Гессе в точке решения минимизируемой функции градиент целевой функции принадлежит образу ее второй производной. Это новое свойство выпуклых функций позволяет более широко рассматривать применение ньютоновских методов для решения задач безусловной оптимизации без требования невырожденности матрицы Гессе в точке – решении задачи и получать оценки скорости сходимости по аргументу при более общих предположениях.

Ключевые слова: выпуклая функция, метод Ньютона, разрешимость, сходимость, скорость сходимости, регулярность

DOI: 10.31857/S268695432102003X

Список литературы

  1. Поляк Б.Т. Метод Ньютона и его роль в оптимизации и вычислительной математике // Труды Ин-та системного анализа РАН. 2006. Т. 28. С. 44–62.

  2. Бомадио Б., Лебедев К.А. Метод Ньютона для нахождения экстремумов сильно выпуклых функций // Международный науч.-исслед. журнал. 2015. Вып. 6-2 (37). С. 11–14.

  3. Заботин В.И., Черняев Ю.А. Метод Ньютона для задачи минимизации выпуклой дважды гладкой функции на предвыпуклом множестве // ЖВМиФМ. 2018. Т. 58. № 3. С. 340–345. https://doi.org/10.7868/S0044466918030031

  4. Budzko D., Cordero A., Torregrosa J. R. Modification of Newton’s Method to extend the convergence domain // SeMA J. 2014. V. 66. № 1. P. 43–53. https://doi.org/10.1007/s40324-014-0020-y

  5. Nesterov Y. Accelerating the cubic regularization of Newton’s method on convex problems // Mathematical Programming. 2008. V. 112. № 1. P. 159–181. https://doi.org/10.1007/s10107-006-0089-x

  6. Polyak B., Tremba A. New versions of Newton method: step-size choice, convergence domain and under-determined equations // Optimization Methods and Software. 2019. P. 1272–1303. https://doi.org/10.1080/10556788.2019.1669154

  7. Colding T.H., Minicozzi W.P. Lojasiewicz inequalities and applications // arXiv:1402.5087. 2014

  8. Lojasiewicz S. Division d’une distribution par une fonction analytique de variables reelles // C. R. Acad. Sci. 1958. V. 246. № 5. P. 683–686.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления