Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 102-106

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуется асимптотическое поведение механических систем с сухим трением, представленных уравнениями

описание которых опирается на [1]. Здесь T_a – кинетическая энергия системы, $Q_{i}^{T}$ – разрывные относительно обобщенных скоростей кулоновы силы трения, $Q_{i}^{A}$ – активные силы системы. Детально изучается случай, когда активные силы представляют собой сумму потенциальных и диссипативных (отличных от сил трения) сил. Мы делаем предположение о том, что коэффициенты трения зависят от переменной $t$ (времени). Такая зависимость может возникать по разным причинам, таким, как изменение температуры или иных характеристик трущихся тел.

Если использовать известные подходы теории разрывных систем [2], то уравнения (1) следует рассматривать, как дифференциальные включения. В своих исследованиях мы используем принцип инвариантности для неавтономных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, развитый в [3], с использованием функций Ляпунова со знакопостоянными производными. Отметим, что функции Ляпунова со знакопостоянными производными характерны для механических систем, если в качестве функции Ляпунова выступает полная энергия системы.

Теоремы прямого метода Ляпунова для систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений со знакопостоянными производными функций Ляпунова получены в известных работах Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского (см. [4]). В них асимптотическая устойчивость была установлена при дополнительном предположении об отсутствии целых траекторий системы в окрестности начала координат (положения равновесия). Если избавиться от этого предположения, можно утверждать лишь то, что $\omega $-предельные множества решений лежат во множестве нулей производной функции Ляпунова. Эти выводы в дальнейшем получили развитие в работах Ла-Салля и в настоящее время известны как принцип инвариантности (см. [5, гл. 7 ]).

Проблемы, которые на этом пути возникают при рассмотрении неавтономных систем, состоят в следующем.

1. $\omega $-Предельные множества решений неавтономных дифференциальных уравнений не обладают свойствами типа инвариантности, на которые существенно опирается принцип инвариантности Ла-Салля.

2. Становится неясным, как интерпретировать множество нулей производной функции Ляпунова, так как эта производная зависит также и от переменной $t$.

Попытки, направленные на преодоление этих трудностей, восходят к статьям [6–8] и в настоящее время привели к методу исследования вопросов притяжения и асимптотической устойчивости, который известен как метод предельных уравнений (см. [9, 10]).

Для дифференциальных включений и дифференциальных уравнений с разрывной правой частью наряду с указанными выше проблемами возникает еще принципиальный вопрос о построении предельных дифференциальных соотношений, поскольку для этого нет подходящих теорем математического анализа о сходимости последовательностей многозначных функций. Впервые эта проблема была решена в работах [11, 3 ] с использованием методов многозначного анализа.

Для детального описания и преобразования механической системы (1) примем следующие обозначения: $q = ({{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{k}}){\kern 1pt} '$, $q = (\mathop {\dot {q}}\nolimits^1 , \ldots ,\mathop {\dot {q}}\nolimits^k ){\kern 1pt} '$, q = $(\mathop {\ddot {q}}\nolimits^1 , \ldots ,\mathop {\ddot {q}}\nolimits^k ){\kern 1pt} '$, ${{Q}^{A}} = (Q_{1}^{A}, \ldots ,Q_{k}^{A}){\kern 1pt} '$ – векторы-столбцы обобщенных координат, скоростей, ускорений и активных сил.

Кинетическая энергия ${{T}_{a}}$ системы представляет собой сумму ${{T}_{a}} = T + {{T}_{1}} + {{T}_{0}}$ положительно определенной квадратичной формы

обобщенных скоростей с симметричной матрицей $A(q) = [{{a}_{{ij}}}(q)]_{1}^{k}$, линейной формы обобщенных скоростей ${{T}_{1}} = \sum\limits_{i = 1}^k {{{a}_{i}}(q)\mathop {\dot {q}}\nolimits^i } $ и функции ${{T}_{0}}(q)$.

Обобщенные силы трения скольжения при условии $\mathop {\dot {q}}\nolimits^i \ne 0$ имеют вид

Здесь ${\text{|}}{{N}_{i}}(q,\dot {q}){\text{|}}$ – модули нормальных реакций в точках соприкосновения трущихся тел, ${{f}_{i}}(t,q,\dot {q})$ > > 0 – коэффициенты трения, $1 \leqslant i \leqslant {{k}_{ * }},{{k}_{ * }} \leqslant k$. Для $i = {{k}_{ * }} + 1, \ldots ,k$ считаем ${{f}_{i}} = 0$. Отметим, что если активные силы, действующие на систему, известны, то реакции связей с трением неизвестны и подлежат определению (см. [1]). Эти вопросы в данной статье не затрагиваются. Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что функции N_i определены и непрерывны, функции a_ij, ${{a}_{i}}$, ${{T}_{0}}$ непрерывно дифференцируемы, функции f_i и $Q_{i}^{A}$ непрерывны по своим аргументам.

Уравнения (1) с силами трения (2) могут в достаточно общем виде описывать системы с одностепенными кинематическими парами с трением (например, механизмы, состоящие из шатунов и ползунов, маятниковые системы с трением в шарнирах и опорах).

Обозначим через $\frac{{\partial {{T}_{a}}}}{{\partial q}}$ и $\frac{{\partial {{T}_{a}}}}{{\partial{ \dot {q}}}}$ векторы-столбцы частных производных функции ${{T}_{a}}(q,\dot {q})$ по переменным ${{q}_{i}}$ и $\mathop {\dot {q}}\nolimits_i $, соответственно, и запишем уравнения (1) в векторной форме

Функция ${{T}_{1}}$ в выражении кинетической энергии T_a после дифференцирования задает гироскопические силы ${{\Gamma }_{i}}(q,\dot {q}) = \sum\limits_{j = 1}^k {{{\gamma }_{{ji}}}\mathop {\dot {q}}\nolimits^j } $ с коэффициентами

Функции $Q_{i}^{e} = \frac{{\partial {{T}_{0}}(q)}}{{\partial {{q}^{i}}}}$ представляют переносные силы инерции.

Применяя к силам трения в точках разрыва простейшее выпуклое доопределение [2, с. 40], получим общее выражение сил трения в виде

для каждого i = 1, …, k*.

Введем в рассмотрение векторную функцию $g = ({{g}_{1}}, \ldots ,{{g}_{k}}){\kern 1pt} '$, определенную равенствами

Тогда уравнение (3) запишется в виде дифференциального включения

Обозначим

и запишем включение (4) в виде дифференциального включения первого порядка

Такое преобразование позволяет использовать в исследовании уравнений (1) определения и факты теории дифференциальных включений и дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в частности, ссылаться на теоремы из статей [11, 3 ].

2. ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ И ПРИТЯЖЕНИЕ

Под решением, определенным на промежутке $[{{t}_{0}},{{t}_{1}})$, уравнения (3) понимается решение x(t) = = $(q(t),\dot {q}(t))$ дифференциального включения (4) или, эквивалентно, дифференциального включения (5).

Опишем ряд общих свойств для решений уравнения (3), вытекающие из [1, гл. 1, 3], которые в дальнейшем учитываются без оговорок.

Утверждение. 1. Для любых начальных данных включение (4) имеет решение и любое решение этого включения может быть продолжено на правый максимальный промежуток существования $[{{t}_{0}},\omega )$.

2. Любое ограниченное непродолжимое решение включения (4) определено на промежутке $[{{t}_{0}}, + \infty )$.

3. При условии непрерывной дифференцируемости всех функций (кроме сигнатур), фигурирующих в описании системы (1), любое решение включения (4) является правосторонним с правой производной ${{D}^{ + }}\dot {q}(t)$, непрерывной справа и удовлетворяющей включению (4) в каждой точке t из промежутка существования этого решения. Кроме этого, имеет место правосторонняя единственность решений, т.е. с увеличением $t$ решения могут сливаться, но не могут разветвляться.

Правосторонние решения несут в себе определенный физический смысл, а именно: ускорения в классической механике понимаются как правые производные скорости. С математической точки зрения это более узкий класс решений, который позволяет уточнять поведение движений системы в окрестности множества положений равновесия.

Для каждого $x = (q,\dot {q})$ и $i = 1, \ldots ,k{\text{*}}$ положим

и определим многозначную функцию со значениями $Q{\text{*}}(x) = Q_{1}^{ * }(x) \times \ldots \times Q_{k}^{ * }(x)$, где

Дифференциальное включение

будем называть предельным для дифференциального включения (4).

Будем говорить, что множество $D \subset {{R}^{{2k}}}$ полуинвариантно, если для любой точки ${{y}_{0}} = ({{q}_{0}},\mathop {\dot {q}}\nolimits_0 ) \in D$ существует решение $y(t) = (q(t),\dot {q}(t))$ включения (7), такое, что $y(0) = {{y}_{0}}$ и $y(t) \in D$ для всех $t \geqslant 0$.

Для траекторий решений $x(t) = (q(t),\dot {q}(t))$ через ${{\Lambda }^{ + }}(x)$ будем обозначать ω-предельные множества, которые понимаются в обычном смысле. Они (как и траектории любой ограниченной кривой) обладают свойствами компактности, связности и $d(x(t),{{\Lambda }^{ + }}(x)) \to 0$ при $t \to + \infty $, где d – расстояние от точки до множества. Последнее свойство служит основой для изучения вопросов притяжения. Особо отметим, что множества ${{\Lambda }^{ + }}(x)$ полуинвариантны [11].

Для каждой точки $x = (q,\dot {q})$ верхняя производная непрерывно дифференцируемой функции Ляпунова V(x) в силу включения (5) в точке $(t,x)$ определяется равенством

где $\langle \cdot , \cdot \rangle $ – знак скалярного произведения, ${{\nabla }_{x}}V$ – градиент функции V по переменной x.

Отметим, что в точках непрерывности сил трения (т.е. при условии $\mathop {\dot {q}}\nolimits^i \ne 0$ для всех $i = 1, \ldots ,k{\text{*}}$) формула (8) приобретает вид

Верхняя производная $\dot {V}{\text{*}}(q,\dot {q})$ функции $V(q,\dot {q})$ в силу предельного включения (7) записывается в виде

Теорема 1. Пусть для каждого компактного множества $K \subset {{R}^{{2k}}}$ существует константа M, такая, что для всех $(t,x) \in {{R}^{1}} \times K$, $x = (q,\dot {q})$, выполняется

где $f(t,x)$ – вектор коэффициентов трения ${{f}_{i}}(t,x)$, $i = 1, \ldots ,k{\text{*}}$. Предположим, что все функции ${{f}_{i}}(t,x)$ в каждой точке $(t,x)$ непрерывны по x равномерно относительно $t$ и в точках непрерывности сил трения ${{Q}^{T}}$ выполняется неравенство ${{\dot {V}}^{ + }}(t,x) \leqslant 0$. Тогда:

1. Для любого ограниченного решения уравнения (1) и для любой точки $z = (q,\dot {q}) \in {{\Lambda }^{ + }}(x)$ существует решение $z(t) = (q(t),\dot {q}(t))$ включения (7) с начальным условием $z(0) = z$, такое, что $\dot {V}{\text{*}}(z(t)) = 0$ для всех $t \geqslant 0$.

2. Множество ${{\Lambda }^{ + }}(x)$ принадлежит наибольшему полуинвариантному подмножеству множества $E{\text{*}} = {\text{\{ }}(q,\dot {q})\,{\text{:}}\,\,\dot {V}{\text{*}}(q,\dot {q}) = 0{\text{\} }}$.

Теорема 1 решает упомянутые выше проблемы исследования неавтономных систем методом предельных уравнений и является аналогом принципа инвариантности для системы (1).

Пусть $Q_{i}^{A} = {{D}_{i}}(q,\dot {q}) + {{K}_{i}}(q)$, где ${{K}_{i}}(q) = - \frac{{\partial \Pi }}{{\partial {{q}^{i}}}}$, $\Pi (q)$ – потенциальная энергия системы, ${{D}_{i}}(q,\dot {q})$ – диссипативные силы с условиями ${{D}_{i}}(q,0) = 0$, $\sum\limits_{i = 1}^k {{{D}_{i}}(q,\dot {q})\dot {i} \leqslant 0} $, которые представляют вязкое трение или силы сопротивления среды. Тогда уравнение (3) приобретет вид

Для функции Ляпунова $V = T + \Pi - {{T}_{0}}$ формулы (9) и (10) запишутся в виде

Далее рассматриваем систему (12) с предельным дифференциальным включением

Теорема 2. Пусть для любого компактного множества $K \subset {{R}^{{2k}}}$ выполняется неравенство (11) и коэффициенты трения ${{f}_{i}}(t,x)$, $i = 1, \ldots ,k{\text{*}}$, в каждой точке $(t,x)$ непрерывны по $x$ равномерно относительно $t$. Тогда:

1. Для любого ограниченного решения уравнения (12) и для любой точки $z = (q,\dot {q})) \in {{\Lambda }^{ + }}(x)$ существует решение $z(t) = (q(t),\dot {q}(t))$ включения (14) с начальным условием $z(0) = z$, такое, что $\dot {V}{\text{*}}(z(t)) = 0$ для всех $t \geqslant 0$, где функция $\dot {V}{\text{*}}$ определена во втором равенстве (13).

2. Множество ${{\Lambda }^{ + }}(x)$ принадлежит наибольшему полуинвариантному подмножеству множества

Для каждой точки $(q,\dot {q})$ обозначим:

$I(q,\dot {q})$ – множество индексов $i \in {\text{\{ }}1, \ldots ,k{\text{\} }}$, таких, что выполняется хотя бы одно из условий ${{a}_{i}}(q){\text{|}}{{N}_{i}}(q,\mathop {\dot {q}}\nolimits^i ){\text{|}} \ne 0$ или ${{D}_{i}}(q,\dot {q}) \ne 0$.

$J(q,\dot {q})$ – множество индексов $i\, \in \,{\text{\{ }}1, \ldots ,k{\text{*\} }}$, таких, что ${{a}_{i}}(q)\, \ne \,0$, функция ${{N}_{i}}(q,\dot {q})$ непрерывно дифференцируема и выполняется условие $\dot {N}_{i}^{*}(q,\dot {q})\, \ne \,0$, где $\dot {N}_{i}^{*}(q,\dot {q})$ – верхняя производная функции ${{N}_{i}}(q,\dot {q})$ в силу предельного включения (14).

В приводимых ниже следствиях предполагаем, что выполняются все условия теоремы 2 и x(t) – ограниченное решение уравнения (12).

Следствие 1. Для любой точки $(q,\dot {q}) \in {{\Lambda }^{ + }}(x)$ и индекса $i \in I(q,\dot {q}) \cup J(q,\dot {q})$ выполняется $\mathop {\dot {q}}\nolimits^i = 0$.

Следствие 2. Если $I(q,\dot {q}) \cup J(q,\dot {q}) = {\text{\{ }}1, \ldots ,k{\text{\} }}$, то ${{\Lambda }^{ + }}(x)$ принадлежит множеству M = {(q, 0): ${\text{|}}{{K}_{i}}(q){\text{|}} \leqslant {{b}_{i}}(q,0),i = 1, \ldots ,k{\text{*\} }}$ положений равновесия предельного дифференциального включения (14).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В [1] вопросы притяжения и асимптотической устойчивости различных систем (в том числе и механических) изучались на основе модификаций теорем Ляпунова с использованием нескольких функций Ляпунова, выбор которых неоднозначен.

Для этих же целей может быть использован универсальный метод импликации свойств связанных математических моделей [12], если исходную и предельную системы рассматривать как структурно близкие. Но при этом вопрос выбора вспомогательной системы тоже остается открытым.

В рамках предложенного в данной статье метода притяжение и асимптотическое поведение движений механических систем с трением так или иначе сводится к анализу множества E* нулей функции Ляпунова в силу предельного дифференциального включения. В теореме 2 его описание достаточно конструктивно для класса механических систем с трением (12), но в общем случае оно может иметь сложную структуру даже для автономных систем.

В следствии 2 получены условия, при которых любое ограниченное решение уравнения (12) стремится к множеству M положений равновесия предельного дифференциального включения (14). Для неограниченных решений можно утверждать лишь то, что они слабо стремятся к этому множеству, т.е. существует последовательность точек ${{t}_{n}} \to + \infty $, такая, что $d(x({{t}_{n}}),M) \to 0$. Это свойство в сочетании со свойством устойчивости дает асимптотическую устойчивость множества M и близко к свойству “инвариантности с посещением” для решений уравнения из статьи [12, Пример 2 ].

Вопрос о том, стремится ли ограниченное решение исходной системы к какому-либо конкретному положению равновесия, требует дополнительного исследования. Для этого могут использоваться любые подходящие средства и факты, такие, как свойства ω-предельных множеств и структура исходных и предельных дифференциальных включений. В общем виде такие исследования вряд ли целесообразны.

Проиллюстрируем сказанное выше на примере движения маятника с массой и длиной, равными единице:

где ϕ – угол поворота маятника, отсчитанный от нижнего положения, $N = {{\dot {\phi }}^{2}} + {{k}^{{\text{2}}}}{\text{cos}}\phi $ – нормальная реакция, $f = f(t)$ – коэффициент трения, a = $\mathop {\underline {\lim } }\limits_{t \to + \infty } f(t)$, $b\, = \,\mathop {\overline {\lim } }\limits_{t \to + \infty } f(t)$. Функция Ляпунова

V = T + Π = ${{\dot {\phi }}^{2}}{\text{/}}2 + {{k}^{2}}(1 - {\text{cos}}\phi )$.

Вывод, который позволяют сделать теорема 2 и ее следствия, следующий: если $a > 0$, то любое ограниченное решение уравнения (16) стремится к множеству M = ${\text{\{ }}(\phi ,\dot {\phi }){\text{:}}\,\dot {\phi } = 0,{\text{|tg}}(\phi ){\text{|}} \leqslant b{\text{\} }}$ положений равновесия предельного дифференциального включения. Но учитывая, что множества уровня функции Ляпунова V при условии $\dot {\phi } = 0$ состоят из множества изолированных точек, удовлетворяющих уравнению $cos\phi = {\text{const}}$, а ω-предельное множество связно, заключаем, что любое ограниченное решение уравнения (16) стремится к какой-либо конкретной точке из множества $M$. В [1, c. 227–229] для коэффициента трения $f \equiv {\text{const}}$ этот вывод сделан с применением вспомогательных функций Ляпунова.