1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 500, № 1, 2021

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 78-86

НОВЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ, ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ КОНЕЧНОМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ

М. В. Шамолин 1, *

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: shamolin@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 27.04.2021
После доработки 05.07.2021
Принята к публикации 08.07.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Показана интегрируемость некоторых классов однородных геодезических, потенциальных и диссипативных динамических систем на касательных расслоениях к гладким конечномерным многообразиям. При этом силовые поля приводят к появлению диссипации переменного знака и обобщают ранее рассмотренные.

Ключевые слова: динамическая система, геодезические, потенциал, интегрируемость, диссипация, трансцендентный первый интеграл

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, изучение интегрируемости автономных систем на конечномерном конфигурационном многообразии Mn приводит к изучению систем порядка 2n на касательном расслоении TMn. При этом ключевым, наряду с геометрией многообразия Mn, является структура присутствующего в системе силового поля. Так, задача о движении n-мерного закрепленного маятника в обобщенном сферическом шарнире в неконсервативном поле сил приводит к динамической системе на касательном расслоении к (n – 1)-мерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительными группами симметрий [1, 2]. Системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций [2, 3].

Также хорошо известны и сложны задачи о движении точки по многомерным поверхностям вращения, в пространствах Лобачевского и др. Тем не менее, иногда в системах с диссипацией удается найти полный список первых интегралов, состоящий из трансцендентных (в смысле комплексного анализа) функций, поскольку полный список даже непрерывных в целом автономных первых интегралов найти невозможно. Здесь результаты важны в смысле присутствия именно неконсервативного поля сил.

Вообще, современное состояние рассматриваемых проблем предполагает обширный список литературы. Приведем лишь некоторые из них [4–6].

В данной работе показана интегрируемость классов однородных динамических систем геодезических, потенциальных и диссипативных на касательных расслоениях к гладким конечномерным многообразиям. При этом силовые поля приводят к появлению диссипации переменного знака и обобщают ранее рассмотренные.

1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Как известно, в случае n-мерного гладкого риманова многообразия Mn с координатами (α, β), β = (β1, …, βn– 1) и аффинной связностью $\Gamma _{{jk}}^{i}$(α, β) уравнения геодезических линий на касательном расслоении TMn$\{ {{\alpha }^{ \bullet }},\beta _{1}^{ \bullet }, \ldots ,\beta _{{n - 1}}^{ \bullet };\alpha ,{{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{{n - 1}}}\} $, $\alpha = {{x}^{1}}$, ${{\beta }_{1}} = {{x}^{2}}$, ..., βn – 1 = xn, $x = ({{x}^{1}}, \ldots ,{{x}^{n}})$, имеют следующий вид (дифференцирование берется по натуральному параметру):

(1)
${{x}^{{i \bullet \bullet }}} + \sum\limits_{j,k = 1}^n {\Gamma _{{jk}}^{i}(x){{x}^{{j \bullet }}}{{x}^{{k \bullet }}}} = 0,\quad i = {\text{ }}1, \ldots ,n.$

Изучим структуру уравнений (1) при изменении координат на касательном расслоении TMn. Для этого рассмотрим замену координат касательного пространства:

(2)
${{x}^{{i \bullet }}} = \sum\limits_{j = 1}^n {{{R}^{{ij}}}{{z}_{j}}} ,$
которую можно обратить: ${{z}_{j}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{T}_{{ji}}}{{x}^{{i \bullet }}}} ,$ при этом Rij, Tji, i, j = 1, …, n, – функции от x, а также RT = E, где $R = ({{R}^{{ij}}})$, $T = ({{T}_{{ji}}})$. Назовем также уравнения (2) новыми кинематическими соотношениями, т.е. линейными соотношениями на касательном расслоении TMn. Справедливы равенства
(3)
$z_{i}^{ \bullet } = \sum\limits_{j,k = 1}^n {T_{{ij,k}}^{{}}{{x}^{{j \bullet }}}{{x}^{{k \bullet }}}} - \sum\limits_{j,p,q = 1}^n {T_{{ij}}^{{}}\Gamma _{{pq}}^{j}{{x}^{{p \bullet }}}{{x}^{{q \bullet }}}} ,$
где ${{T}_{{ji,k}}} = \frac{{\partial {{T}_{{ji}}}}}{{\partial {{x}^{k}}}}$, j, i, k = 1, …, n, при этом в системе (3) вместо ${{x}^{{i \bullet }}}$, i = 1, …, n, надо подставить формулы (2), и правые части составной системы (2), (3) являются однородными формами по квазискоростям z1, …, zn.

Предложение 1. Система (1) в той области, где det$R(x) \ne 0$, эквивалентна составной системе (2), (3).

Результат перехода от уравнений геодезических (1) к эквивалентной системе (2), (3) зависит как от замены (2) (т.е. вводимых кинематических соотношений), так и от аффинной связности $\Gamma _{{jk}}^{i}$(α, β).

Рассмотрим далее достаточно общий случай задания кинематических соотношений в следующем виде:

(4)
$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }}\, = \,{{z}_{n}}{{f}_{n}}(\alpha ),\quad \beta _{1}^{ \bullet }\, = \,z_{{n - 1}}^{{}}{{f}_{1}}(\alpha ),\quad \beta _{2}^{ \bullet }\, = \,z_{{n - 2}}^{{}}{{f}_{2}}(\alpha ){{g}_{1}}({{\beta }_{1}}), \\ \beta _{3}^{ \bullet } = z_{{n - 3}}^{{}}{{f}_{3}}(\alpha ){{g}_{2}}({{\beta }_{1}}){{h}_{1}}({{\beta }_{2}}), \ldots , \\ \beta _{{n - 1}}^{ \bullet } = z_{1}^{{}}{{f}_{{n - 1}}}(\alpha ){{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{n - 3}}}({{\beta }_{2}}) \ldots {{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}}), \\ \end{gathered} $
где ${{f}_{k}}(\alpha )$, k = 1, …, n – 1, ${{g}_{l}}({{\beta }_{1}})$, l = 1, …, n – 2, ${{h}_{m}}({{\beta }_{2}})$, m = 1, …, n – 3, …, ${{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})$ – гладкие функции, не равные тождественно нулю. Такие координаты z1, …, zn в касательном пространстве вводятся тогда, когда рассматриваются следующие уравнения геодезических [7, 8] (в частности, на многомерных поверхностях вращения, в пространствах Лобачевского и т.д.) с n(n – 1) + 1 ненулевыми коэффициентами связности (здесь и далее двойной индекс, разделенный запятой, это не дифференцирование, в отличие от формул (3)):
(5)
$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} + \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{{ \bullet 2}} + \\ + \,\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{{ \bullet 2}} + \ldots + \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{1}^{{ \bullet \bullet }} + 2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{1}^{ \bullet } + \\ + \,\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{ \bullet 2}} + \ldots + \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{2}^{{ \bullet \bullet }} + 2\Gamma _{{\alpha 2}}^{2}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{2}^{ \bullet } + 2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{ \bullet }\beta _{2}^{ \bullet } + \\ \, + \Gamma _{{33}}^{2}(\alpha ,\beta )\beta _{3}^{{ \bullet 2}} + \ldots + \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{2}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots , \\ \beta _{{n - 2}}^{{ \bullet \bullet }} + 2\Gamma _{{\alpha ,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{{n - 2}}^{ \bullet } + 2\Gamma _{{1,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{ \bullet }\beta _{{n - 2}}^{ \bullet } + \ldots \\ \ldots + 2\Gamma _{{n - 3,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 3}}^{ \bullet }\beta _{{n - 2}}^{ \bullet } + \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{{n - 1}}^{{ \bullet \bullet }} + 2\Gamma _{{\alpha ,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{{n - 1}}^{ \bullet } + \\ + \,2\Gamma _{{1,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{ \bullet }\beta _{{n - 1}}^{ \bullet } + \ldots + 2\Gamma _{{n - 2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 2}}^{ \bullet }\beta _{{n - 1}}^{ \bullet } = 0, \\ \end{gathered} $
и в случае (4) уравнения (3) примут вид
$\begin{gathered} z_{1}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha ,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{{n - 1}}}(\alpha )]{{z}_{1}}{{z}_{n}} - \\ - \,{{f}_{1}}(\alpha )[2\Gamma _{{1,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 1}}} - \\ - {{f}_{2}}(\alpha ){{g}_{1}}({{\beta }_{1}})[2\Gamma _{{2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{h}_{{n - 3}}}({{\beta }_{2}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 2}}} - \ldots \\ \ldots - {{f}_{{n - 2}}}(\alpha ){{g}_{{n - 3}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{n - 4}}}({{\beta }_{2}}) \ldots {{r}_{1}}({{\beta }_{{n - 3}}})[2\Gamma _{{n - 2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + \\ + \,D{{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})]{{z}_{1}}{{z}_{2}}, \\ z_{2}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha ,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{{n - 2}}}(\alpha )]{{z}_{2}}{{z}_{n}} - \\ - \,{{f}_{1}}(\alpha )[2\Gamma _{{1,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{{n - 3}}}({{\beta }_{1}})]{{z}_{2}}{{z}_{{n - 1}}} - \ldots \\ \ldots - {{f}_{{n - 3}}}(\alpha ){{g}_{{n - 4}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{n - 5}}}({{\beta }_{2}}) \ldots {{s}_{1}}({{\beta }_{{n - 4}}})[2\Gamma _{{n - 3,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) + \\ + \,D{{r}_{1}}({{\beta }_{{n - 3}}})]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ - \frac{{f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{{n - 2}}}(\alpha )}}\frac{{g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}})}}{{{{g}_{{n - 3}}}({{\beta }_{1}})}}\frac{{h_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{2}})}}{{{{h}_{{n - 4}}}({{\beta }_{2}})}} \ldots \frac{{r_{2}^{2}({{\beta }_{{n - 3}}})}}{{{{r}_{1}}({{\beta }_{{n - 3}}})}}i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}}) \times \\ \times \,\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $
(6)
$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$
$\begin{gathered} z_{{n - 1}}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{1}}(\alpha )]{{z}_{{n - 1}}}{{z}_{n}} - \\ - \,\frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{1}}(\alpha )}}g_{1}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{{n - 2}}^{2} - \ldots \\ \ldots - \frac{{f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{1}}(\alpha )}}g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{2}}) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ z_{n}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{n}}(\alpha )]z_{n}^{2} - \\ - \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{{n - 1}}^{2} - \\ - \,\frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}g_{1}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{{n - 2}}^{2} - \ldots \\ \ldots - \frac{{f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{2}}) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $
$Dj(\gamma ) = d{\text{ln}}\left| {j(\gamma )} \right|{\text{/}}d\gamma $, и уравнения (5) геодезических почти всюду эквивалентны составной системе (4), (6) на многообразии TMn$\{ {{z}_{n}}, \ldots ,{{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}}$, ..., βn – 1}.

Для полного интегрирования системы (4), (6) необходимо знать, вообще говоря, 2n – 1 независимых первых интегралов. При этом первые интегралы (в частности, и для уравнений геодезических) можно искать и в более общем виде, чем рассмотрено далее.

Предложение 2. Если всюду справедлива система 1 + n(n – 1)/2 дифференциальных равенств

(7)
$\begin{gathered} \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{n}}(\alpha ) \equiv 0, \\ f_{n}^{2}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{1}}(\alpha )] + f_{1}^{2}(\alpha )\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \ldots , \\ f_{n}^{2}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha ,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{{n - 1}}}(\alpha )] + \\ + \,f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{2}}) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \\ f_{1}^{2}(\alpha )[2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{1}}({{\beta }_{1}})] + \\ + \,f_{2}^{2}(\alpha )g_{1}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \ldots , \\ f_{1}^{2}(\alpha )[2\Gamma _{{1,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}})] + \\ + \,f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}}) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \ldots , \\ f_{{n - 2}}^{2}(\alpha ) \ldots r_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 3}}})[2\Gamma _{{n - 2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})] + \\ + \,f_{{n - 1}}^{2}(\alpha ) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \\ \end{gathered} $
то система (4), (6) имеет аналитический первый интеграл вида

(8)
$\Phi _{1}^{{}}({{z}_{n}}, \ldots ,{{z}_{1}}) = z_{1}^{2} + \ldots + z_{n}^{2} = C_{1}^{2} = {\text{const}}.$

Примеры. Уравнения (5) геодезических в многомерном пространстве Лобачевского в модели Клейна примут вид

(9)
$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} - \frac{1}{\alpha }({{\alpha }^{{ \bullet 2}}} - \beta _{1}^{{ \bullet 2}} - ... - \beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}}) = 0, \\ ~\beta _{k}^{{ \bullet \bullet }} - \frac{2}{\alpha }{{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{k}^{ \bullet } = 0,~\quad k = 1, \ldots ,n - 1. \\ \end{gathered} $

Можно выписать многопараметрическую систему, эквивалентную уравнениям (9) геодезических и имеющую первый интеграл вида (8). Аналогичными свойствами обладают уравнения геодезических и на многомерных поверхностях вращения.

Система равенств (7) может трактоваться как возможность преобразования квадратичной формы метрики многообразия к каноническому виду с законом сохранения энергии (8) (или см. ниже (21)) в зависимости от рассматриваемой задачи. История и текущее состояние рассмотрения данной более общей проблемы достаточно обширны (отметим лишь работы [8, 9]). Поиск же как первого интеграла (8), так и других (см. далее) опирается на наличие в системе дополнительных групп симметрий.

Можно доказать отдельную теорему существования решения ${{f}_{k}}(\alpha )$, k = 1, …, n – 1, ${{g}_{l}}({{\beta }_{1}})$, l = 1, …, n – 2, ${{h}_{m}}({{\beta }_{2}})$, m = 1, …, n – 3, …, ${{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})$ системы (7) для наличия аналитического интеграла (8) для исследуемой системы (4), (6) уравнений геодезических. Но в дальнейшем при изучении динамических систем с диссипацией не всегда все условия (7) нам потребуются. Тем не менее, в дальнейшем будем предполагать в уравнениях (4) выполнение условий

(10)
${{f}_{1}}(\alpha ) \equiv \ldots \equiv {{f}_{{n - 1}}}(\alpha ) = f(\alpha ),$
при этом функции ${{g}_{l}}({{\beta }_{1}})$, l = 1, …, n – 2, ${{h}_{m}}({{\beta }_{2}})$, m = = 1, …, n – 3, …, ${{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})$, вообще говоря, должны удовлетворять (n – 1)(n – 2)/2 преобразованным уравнениям из (7):

(11)
$\begin{gathered} 2\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{1}}({{\beta }_{1}}) + g_{1}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \ldots , \\ 2\Gamma _{{1,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}}) + \\ + \,g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}}) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) \equiv 0, \ldots , \\ g_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{1}}) \ldots r_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 3}}})[2\Gamma _{{n - 2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})] + \\ + \,g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}}) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) \equiv 0. \\ \end{gathered} $

Таким образом, функции ${{g}_{l}}({{\beta }_{1}})$, l = 1, …, n – 2, ${{h}_{m}}({{\beta }_{2}})$, m = 1, …, n – 3, …, ${{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})$ зависят от коэффициентов связности, а ограничения на функции $f(\alpha )$, ${{f}_{n}}(\alpha )$ будут даны ниже.

Предложение 3. Если выполнены свойства (10), (11), при этом справедливы равенства

(12)
$\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ) \equiv \ldots \equiv \Gamma _{{\alpha ,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{1}^{{}}(\alpha ),$
то система (4), (6) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

(13)
$\begin{gathered} \Phi _{2}^{{}}({{z}_{{n - 1}}}, \ldots ,{{z}_{1}};\alpha ) = \\ = \,\,\sqrt {z_{1}^{2} + \ldots + z_{{n - 1}}^{2}} \Phi _{0}^{{}}(\alpha ) = C_{2}^{{}} = {\text{const}}, \\ \Phi _{0}^{{}}(\alpha ) = f(\alpha )\exp \left\{ {2\int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {\Gamma _{1}^{{}}(b)db} } \right\}. \\ \end{gathered} $

Предложение 4. Если выполнены условия предложения 3, а также

(14)
${{g}_{1}}({{\beta }_{1}}) \equiv \ldots \equiv {{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}}) = g({{\beta }_{1}}),$
при этом справедливы равенства
(15)
$\Gamma _{{12}}^{2}(\alpha ,\beta ) \equiv \ldots \equiv \Gamma _{{1,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}),$
то система (4), (6) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

(16)
$\begin{gathered} \Phi _{3}^{{}}({{z}_{{n - 2}}}, \ldots ,{{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}}) = \\ = \sqrt {z_{1}^{2} + \ldots + z_{{n - 2}}^{2}} \Phi _{0}^{{}}(\alpha ){{\Psi }_{1}}({{\beta }_{1}}) = C_{3}^{{}} = {\text{const}}, \\ \end{gathered} $
${{\Psi }_{1}}({{\beta }_{1}}) = g({{\beta }_{1}})\exp \left\{ {2\int\limits_{{{\beta }_{{10}}}}^{{{\beta }_{1}}} {\Gamma _{2}^{{}}(b)db} } \right\}.$

Далее доказываем по индукции необходимое количество предложений (их всего n) и приходим к следующему утверждению (здесь и далее многоточие в утверждениях и означает n утверждений об n интегралах).

Предложение 5. Если выполнены условия предложений 3, 4, …, при этом справедливо равенство

(17)
$\Gamma _{{n - 2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{{n - 1}}^{{}}({{\beta }_{{n - 2}}}),$
то система (4), (6) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

(18)
$\begin{gathered} \Phi _{n}^{{}}({{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{{n - 2}}}) = \\ = {{z}_{1}}\Phi _{0}^{{}}(\alpha ){{\Psi }_{1}}({{\beta }_{1}}) \ldots {{\Psi }_{{n - 2}}}({{\beta }_{{n - 2}}}) = C_{n}^{{}} = {\text{const}}, \\ \end{gathered} $
${{\Psi }_{{n - 2}}}({{\beta }_{{n - 2}}}) = {{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})\exp \left\{ {2\int\limits_{{{\beta }_{{n - 2,0}}}}^{{{\beta }_{{n - 2}}}} {\Gamma _{{n - 1}}^{{}}(b)db} } \right\}.$

Предложение 6. Если выполнены условия предложений 3, …, 5, то система (4), (6) имеет первый интеграл следующего вида:

(19)
$\begin{gathered} \Phi _{{n + 1}}^{{}}({{\beta }_{{n - 2}}},{{\beta }_{{n - 1}}}) = \\ = {{\beta }_{{n - 1}}} \pm \int\limits_{{{\beta }_{{n - 2,0}}}}^{{{\beta }_{{n - 2}}}} {\frac{{{{C}_{n}}h(b)}}{{\sqrt {C_{{n - 1}}^{2}\Psi _{{n - 2}}^{2}(b) - C_{n}^{2}} }}db} = C_{{n + 1}}^{{}} = {\text{const}}, \\ \end{gathered} $
где, после взятия интеграла (19), вместо постоянных Cn – 1, Cn можно формально подставить левые части соответствующих равенств.

Теорема 1. Если выполнены условия предложений 2, …, 5, то система (4), (6) обладает n + 1 независимыми первыми интегралами вида (8), (13), (16), …, (18), (19).

То, что полный набор при некоторых условиях состоит из n + 1, а не из 2n – 1 первых интегралов, будет показано ниже.

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

Модифицируем (4), (6), получив систему консервативную: введем гладкое (внешнее) силовое поле в проекциях на оси $z_{k}^{ \bullet }$, k = 1, …, n, соответственно: ${{F}_{1}}({{\beta }_{{n - 1}}}){{f}_{{n - 1}}}(\alpha ){{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}}) \ldots {{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})$, ${{F}_{2}}({{\beta }_{{n - 2}}}){{f}_{{n - 2}}}(\alpha )$gn – 3(β1) ...r1(βn – 3), …, ${{F}_{{n - 1}}}({{\beta }_{1}}){{f}_{1}}(\alpha )$, ${{F}_{n}}(\alpha ){{f}_{n}}(\alpha )$. Рассматриваемая система на касательном расслоении TMn$\{ {{z}_{n}}, \ldots ,{{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{{n - 1}}}\} $ примет вид

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{n}}{{f}_{n}}(\alpha ), \\ z_{n}^{ \bullet } = {{F}_{n}}(\alpha ){{f}_{n}}(\alpha ) - {{f}_{n}}(\alpha )[\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{n}}(\alpha )]z_{n}^{2} - \\ - \,\frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{{n - 1}}^{2} - \\ - \frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}g_{1}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{{n - 2}}^{2} - ... - \\ - \,\frac{{f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{2}})...i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} z_{{n - 1}}^{ \bullet }\, = \,{{F}_{{n - 1}}}({{\beta }_{1}}){{f}_{1}}(\alpha ) - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta )\, + \,D{{f}_{1}}(\alpha )]{{z}_{{n - 1}}}{{z}_{n}} - \\ - \frac{{f_{2}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{1}}(\alpha )}}g_{1}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{{n - 2}}^{2} - ... - \\ - \frac{{f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{1}}(\alpha )}}g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{2}})...i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ ..........................................................................., \\ \end{gathered} $
(20)
$\begin{gathered} z_{2}^{ \bullet } = {{F}_{2}}({{\beta }_{{n - 2}}}){{f}_{{n - 2}}}(\alpha ){{g}_{{n - 3}}}({{\beta }_{1}})...{{r}_{1}}({{\beta }_{{n - 3}}}) - \\ - \,{{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha ,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{{n - 2}}}(\alpha )]{{z}_{2}}{{z}_{n}} - \\ - {{f}_{1}}(\alpha )[2\Gamma _{{1,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{{n - 3}}}({{\beta }_{1}})]{{z}_{2}}{{z}_{{n - 1}}} - ... - \\ - {{f}_{{n - 3}}}(\alpha ){{g}_{{n - 4}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{n - 5}}}({{\beta }_{2}})...{{s}_{1}}({{\beta }_{{n - 4}}})[2\Gamma _{{n - 3,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ) + \\ + \,D{{r}_{1}}({{\beta }_{{n - 3}}})]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ - \frac{{f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{{n - 2}}}(\alpha )}}\frac{{g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}})}}{{{{g}_{{n - 3}}}({{\beta }_{1}})}}\frac{{h_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{2}})}}{{{{h}_{{n - 4}}}({{\beta }_{2}})}}...\frac{{r_{2}^{2}({{\beta }_{{n - 3}}})}}{{{{r}_{1}}({{\beta }_{{n - 3}}})}} \times \\ \times \,i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} z_{1}^{ \bullet } = {{F}_{1}}({{\beta }_{{n - 1}}}){{f}_{{n - 1}}}(\alpha ){{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}})...{{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}}) - \\ - \,{{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{{\alpha ,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{{n - 1}}}(\alpha )]{{z}_{1}}{{z}_{n}} - \\ - \,{{f}_{1}}(\alpha )[2\Gamma _{{1,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 1}}} - \\ - \,{{f}_{2}}(\alpha ){{g}_{1}}({{\beta }_{1}})[2\Gamma _{{2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{h}_{{n - 3}}}({{\beta }_{2}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 2}}} - \\ - ... - {{f}_{{n - 2}}}(\alpha ){{g}_{{n - 3}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{n - 4}}}({{\beta }_{2}})...{{r}_{1}}({{\beta }_{{n - 3}}}) \times \\ \times \,[2\Gamma _{{n - 2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ) + D{{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}})]{{z}_{1}}{{z}_{2}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \beta _{1}^{ \bullet } = {{z}_{{n - 1}}}{{f}_{1}}(\alpha ),\quad \beta _{2}^{ \bullet } = {{z}_{{n - 2}}}{{f}_{2}}(\alpha ){{g}_{1}}({{\beta }_{1}}),..., \\ \beta _{{n - 1}}^{ \bullet } = {{z}_{1}}{{f}_{{n - 1}}}(\alpha ){{g}_{{n - 2}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{n - 3}}}({{\beta }_{2}})...{{i}_{1}}({{\beta }_{{n - 2}}}), \\ \end{gathered} $
и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} - {{F}_{n}}(\alpha )f_{n}^{2}(\alpha ) + \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{{ \bullet 2}} + \\ + \,\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{{ \bullet 2}} + \ldots + \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{1}^{{ \bullet \bullet }} - {{F}_{{n - 1}}}({{\beta }_{1}})f_{1}^{2}(\alpha ) + 2\Gamma _{{\alpha 1}}^{1}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{1}^{ \bullet } + \\ + \,\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )\beta _{2}^{{ \bullet 2}} + \ldots + \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \end{gathered} $
$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$
$\begin{gathered} \beta _{{n - 2}}^{{ \bullet \bullet }} - {{F}_{2}}({{\beta }_{{n - 2}}})f_{{n - 2}}^{2}(\alpha )g_{{n - 3}}^{2}({{\beta }_{1}}) \ldots r_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 3}}}) + \\ + \,2\Gamma _{{\alpha ,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{{n - 2}}^{ \bullet } + 2\Gamma _{{1,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{ \bullet }\beta _{{n - 2}}^{ \bullet } + \ldots \\ \ldots + 2\Gamma _{{n - 3,n - 2}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 3}}^{ \bullet }\beta _{{n - 2}}^{ \bullet } + \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 1}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{{n - 1}}^{{ \bullet \bullet }} - {{F}_{1}}({{\beta }_{{n - 1}}})f_{{n - 1}}^{2}(\alpha )g_{{n - 2}}^{2}({{\beta }_{1}}) \ldots i_{1}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}}) + \\ + \,2\Gamma _{{\alpha ,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{{n - 1}}^{ \bullet } + \\ + 2\Gamma _{{1,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta )\beta _{1}^{ \bullet }\beta _{{n - 1}}^{ \bullet } + \ldots + 2\Gamma _{{n - 2,n - 1}}^{{n - 1}}(\alpha ,\beta )\beta _{{n - 2}}^{ \bullet }\beta _{{n - 1}}^{ \bullet } = 0. \\ \end{gathered} $

Предложение 7. Если выполнены условия предложения 2, то система (20) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

(21)
$\begin{gathered} \Phi _{1}^{{}}({{z}_{n}}, \ldots ,{{z}_{1}};\alpha ,\beta ) = \\ = z_{1}^{2} + \ldots + z_{n}^{2} + V(\alpha ,\beta ) = C_{1}^{{}} = {\text{const}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} V(\alpha ,\beta ) = {{V}_{n}}(\alpha ) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{{V}_{{n - k}}}({{\beta }_{k}})} = \\ = - 2\int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {{{F}_{n}}(a)da} - 2\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\int\limits_{{{\beta }_{{k0}}}}^{{{\beta }_{k}}} {{{F}_{{n - k}}}(b)db} } . \\ \end{gathered} $

Следующие утверждения справедливы в более общем виде, но мы ограничимся следующим.

Предложение 8. Пусть ${{F}_{{n - k}}}({{\beta }_{k}}) \equiv 0$, k = 1, …, n – 1. Если выполнены условия предложений 3, …, 5, то система (20) имеет n гладких первых интеграла вида (13), (16), …, (18), (19).

Теорема 2. Пусть ${{F}_{{n - k}}}({{\beta }_{k}}) \equiv 0$, k = 1, …, n – 1. Если выполнены условия предложений 2, …, 5, то система (20) обладает n + 1 независимыми первыми интегралами вида (21), (13), (16), …, (18), (19).

То, что полный набор при некоторых условиях состоит из n + 1, а не из 2n – 1 первых интегралов, будет показано ниже.

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В СИЛОВОМ ПОЛЕ С ДИССИПАЦИЕЙ

Теперь несколько модифицируем (20) при условиях (10)–(12), (14), (15), …, (17), а также при ${{F}_{{n - k}}}({{\beta }_{k}}) \equiv 0$, k = 1, …, n – 1. При этом получим систему со знакопеременной диссипацией, наличие которой характеризует не только коэффициент $b\delta (\alpha )$, $b > 0$, в первом уравнении (22), но и следующая зависимость (внешнего) силового поля в проекциях на оси $z_{k}^{ \bullet }$, k = 1, …, n, соответственно: ${{z}_{1}}F_{{}}^{1}(\alpha )$, …, ${{z}_{{n - 1}}}F_{{}}^{1}(\alpha )$, ${{F}_{n}}(\alpha ){{f}_{n}}(\alpha ) + {{z}_{n}}F_{n}^{1}(\alpha )$. Рассматриваемая система на касательном расслоении TMn$\{ {{z}_{n}}, \ldots ,{{z}_{1}};\alpha ,{{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{{n - 1}}}\} $ примет вид

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{n}}{{f}_{n}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ z_{n}^{ \bullet } = {{F}_{n}}(\alpha ){{f}_{n}}(\alpha ) - {{f}_{n}}(\alpha )[\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + D{{f}_{n}}(\alpha )]z_{n}^{2} - \\ - \,\frac{{{{f}^{2}}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}\Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{{n - 1}}^{2} - \\ - \frac{{f_{{}}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}[g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{{n - 2}}^{2} + \ldots + \\ + \,g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{}}^{2}({{\beta }_{2}}) \ldots i_{{}}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}] + {{z}_{n}}F_{n}^{1}(\alpha ), \\ z_{{n - 1}}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + D{{f}_{{}}}(\alpha )]{{z}_{{n - 1}}}{{z}_{n}} - \\ - \,f(\alpha )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{{n - 2}}^{2} - \ldots \\ \ldots - f(\alpha )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{}}^{2}({{\beta }_{2}}) \ldots i_{{}}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}})\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2} + \\ + \,{{z}_{{n - 1}}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \end{gathered} $
(22)
$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$
$\begin{gathered} z_{2}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + Df(\alpha )]{{z}_{2}}{{z}_{n}} - \\ - \,{{f}_{{}}}(\alpha )[2\Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}) + Dg({{\beta }_{1}})]{{z}_{2}}{{z}_{{n - 1}}} - \ldots \\ \ldots - {{f}_{{}}}(\alpha ){{g}_{{}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{}}}({{\beta }_{2}}) \ldots s({{\beta }_{{n - 4}}})[2\Gamma _{{n - 2}}^{{}}({{\beta }_{{n - 3}}}) + \\ + \,Dr({{\beta }_{{n - 3}}})]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ - f(\alpha )g({{\beta }_{1}})h({{\beta }_{2}}) \ldots r({{\beta }_{{n - 3}}})i_{{}}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}}) \times \\ \times \,\,\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}(\alpha ,\beta )z_{1}^{2} + {{z}_{2}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ z_{1}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + Df(\alpha )]{{z}_{1}}{{z}_{n}} - \\ - \,f(\alpha )[2\Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}) + Dg({{\beta }_{1}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 1}}} - \\ - f(\alpha )g({{\beta }_{1}})[2\Gamma _{3}^{{}}({{\beta }_{2}}) + Dh({{\beta }_{2}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 2}}} - \ldots \\ \ldots - f(\alpha )g({{\beta }_{1}})h({{\beta }_{2}}) \ldots r({{\beta }_{{n - 3}}}) \times \\ \times \,\,[2\Gamma _{{n - 1}}^{{}}({{\beta }_{{n - 2}}}) + Di({{\beta }_{{n - 2}}})]{{z}_{1}}{{z}_{2}} + {{z}_{1}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \beta _{1}^{ \bullet } = z_{{n - 1}}^{{}}f(\alpha ),\;\beta _{2}^{ \bullet } = z_{{n - 2}}^{{}}f(\alpha )g({{\beta }_{1}}),\; \ldots , \\ \beta _{{n - 1}}^{ \bullet } = z_{1}^{{}}f(\alpha )g({{\beta }_{1}})h({{\beta }_{2}}) \ldots i({{\beta }_{{n - 2}}}), \\ \end{gathered} $
и она почти всюду эквивалентна системе на вторые производные от α, β, в которой явно выделяется знакопеременная диссипация [2, 3].

Перейдем теперь к интегрированию системы (22) порядка 2n при выполнении группы условий (11) и при выполнении равенств

$\begin{gathered} \Gamma _{{11}}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) \equiv \Gamma _{{22}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}}) \equiv \ldots \\ \ldots \equiv \Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{\alpha }(\alpha ,\beta )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{}}^{2}({{\beta }_{2}}) \ldots = \Gamma _{n}^{{}}(\alpha ). \\ \end{gathered} $

Пусть при этом функция ${{f}_{n}}(\alpha )$ удовлетворяет первому из группы равенств (7). Введем также (по аналогии с (11)) ограничение и на функцию $f(\alpha )$: она должна удовлетворять следующему преобразованному равенству из (7):

$f_{n}^{2}(\alpha )[2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + Df(\alpha )] + \Gamma _{n}^{{}}(\alpha )f_{{}}^{2}(\alpha ) \equiv 0,$
и происходит отделение независимой подсистемы порядка 2n – 1:

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{n}}{{f}_{n}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ z_{n}^{ \bullet } = {{F}_{n}}(\alpha ){{f}_{n}}(\alpha ) - \frac{{{{f}^{2}}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}} \times \, \\ \times \,{{\Gamma }_{n}}(\alpha )(z_{{n - 1}}^{2} + \ldots + z_{1}^{2}) + {{z}_{n}}F_{n}^{1}(\alpha ), \\ z_{{n - 1}}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + D{{f}_{{}}}(\alpha )]{{z}_{{n - 1}}}{{z}_{n}} - \\ - \,f(\alpha )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})\Gamma _{{22}}^{1}({{\beta }_{1}})z_{{n - 2}}^{2} - \ldots \\ \ldots - f(\alpha )g_{{}}^{2}({{\beta }_{1}})h_{{}}^{2}({{\beta }_{2}}) \ldots i_{{}}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}}) \times \, \\ \times \,\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{1}({{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{{n - 2}}})z_{1}^{2} + {{z}_{{n - 1}}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \end{gathered} $
$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$
$\begin{gathered} z_{2}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + Df(\alpha )]{{z}_{2}}{{z}_{n}} - \\ \, - {{f}_{{}}}(\alpha )[2\Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}) + Dg({{\beta }_{1}})]{{z}_{2}}{{z}_{{n - 1}}} - \ldots \\ \ldots - {{f}_{{}}}(\alpha ){{g}_{{}}}({{\beta }_{1}}){{h}_{{}}}({{\beta }_{2}}) \ldots s({{\beta }_{{n - 4}}}) \times \\ \times \,[2\Gamma _{{n - 2}}^{{}}({{\beta }_{{n - 3}}}) + Dr({{\beta }_{{n - 3}}})]{{z}_{2}}{{z}_{3}} - \\ - f(\alpha )g({{\beta }_{1}})h({{\beta }_{2}}) \ldots r({{\beta }_{{n - 3}}})i_{{}}^{2}({{\beta }_{{n - 2}}}) \times \\ \times \,\Gamma _{{n - 1,n - 1}}^{{n - 2}}({{\beta }_{1}}, \ldots ,{{\beta }_{{n - 2}}})z_{1}^{2} + {{z}_{2}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ z_{1}^{ \bullet } = - {{f}_{n}}(\alpha )[2\Gamma _{1}^{{}}(\alpha ) + Df(\alpha )]{{z}_{1}}{{z}_{n}} - \\ - \,f(\alpha )[2\Gamma _{2}^{{}}({{\beta }_{1}}) + Dg({{\beta }_{1}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 1}}} - \\ - f(\alpha )g({{\beta }_{1}})[2\Gamma _{3}^{{}}({{\beta }_{2}}) + Dh({{\beta }_{2}})]{{z}_{1}}{{z}_{{n - 2}}} - \ldots \\ \ldots - f(\alpha )g({{\beta }_{1}})h({{\beta }_{2}}) \ldots r({{\beta }_{{n - 3}}}) \times \\ \times \,[2\Gamma _{{n - 1}}^{{}}({{\beta }_{{n - 2}}}) + Di({{\beta }_{{n - 2}}})]{{z}_{1}}{{z}_{2}} + {{z}_{1}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \beta _{1}^{ \bullet } = z_{{n - 1}}^{{}}f(\alpha ),\quad \beta _{2}^{ \bullet } = z_{{n - 2}}^{{}}f(\alpha )g({{\beta }_{1}}),\; \ldots , \\ \beta _{{n - 1}}^{ \bullet } = z_{1}^{{}}f(\alpha )g({{\beta }_{1}})h({{\beta }_{2}}) \ldots i({{\beta }_{{n - 2}}}). \\ \end{gathered} $

Для полного интегрирования данной системы необходимо знать, вообще говоря, 2n – 1 независимых первых интегралов. Однако после следующей замены переменных ${{w}_{1}} = {{z}_{{n - 1}}}{\text{/}}\sqrt {z_{1}^{2} + \ldots + z_{{n - 2}}^{2}} $, …, wn – 3 = = ${{z}_{3}}{\text{/}}\sqrt {z_{1}^{2} + z_{2}^{2}} $, ${{w}_{{n - 2}}} = {{z}_{2}}{\text{/}}{{z}_{1}}$, wn – 1 = $\sqrt {z_{1}^{2} + \ldots + z_{{n - 1}}^{2}} $, ${{w}_{n}} = {{z}_{n}}$, последняя система распадается следующим образом:

(23)
$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{w}_{n}}{{f}_{n}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ w_{n}^{ \bullet } = {{F}_{n}}(\alpha ){{f}_{n}}(\alpha ) - \frac{{{{f}^{2}}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}\Gamma _{n}^{{}}(\alpha )w_{{n - 1}}^{2} + {{w}_{n}}F_{n}^{1}(\alpha ), \\ w_{{n - 1}}^{ \bullet } = \frac{{{{f}^{2}}(\alpha )}}{{{{f}_{n}}(\alpha )}}\Gamma _{n}^{{}}(\alpha ){{w}_{{n - 1}}}{{w}_{n}} + {{w}_{{n - 1}}}F_{{}}^{1}(\alpha ), \\ \end{gathered} $
(24)
$\begin{gathered} w_{s}^{ \bullet } = ( \pm ){{w}_{{n - 1}}}\sqrt {1 + w_{s}^{2}} f(\alpha )g({{\beta }_{1}}) \ldots [2\Gamma _{{s + 1}}^{{}}({{\beta }_{s}}) + Dj({{\beta }_{s}})], \\ \beta _{s}^{ \bullet } = ( \pm )\frac{{{{w}_{s}}{{w}_{{n - 1}}}}}{{\sqrt {1 + w_{s}^{2}} }}f(\alpha )g({{\beta }_{1}}) \ldots ,\;s = 1, \ldots ,n - 2, \\ \end{gathered} $
(25)
$\beta _{{n - 1}}^{ \bullet } = ( \pm )\frac{{{{w}_{{n - 1}}}}}{{\sqrt {1 + w_{{n - 2}}^{2}} }}f(\alpha )g({{\beta }_{1}})h({{\beta }_{2}}) \ldots i({{\beta }_{{n - 2}}}),$
где в системе (24) символом «…» показаны одинаковые члены, а функция $j({{\beta }_{s}})$ – одна из функций g, h, …, зависящая от соответствующего угла ${{\beta }_{s}}$.

Видно, что для полной интегрируемости системы (23)–(25) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (23), по одному – для систем (24) (меняя в них независимые переменные; таких систем – n – 2 штуки), и дополнительный первый интеграл, “привязывающий” уравнение (25) (т.е. всего n + 1).

Будем также предполагать, что для некоторого $\kappa \in $ R выполнено равенство

(26)
$\frac{{{{f}^{2}}\left( \alpha \right)}}{{f_{n}^{2}\left( \alpha \right)}}{{Г}_{n}}\left( \alpha \right) = \kappa \frac{d}{{d\alpha }}\ln \left| {{{\Delta }}\left( \alpha \right)} \right|,\quad {{\Delta }}\left( \alpha \right) = \frac{{\delta \left( \alpha \right)}}{{{{f}_{n}}\left( \alpha \right)}},$
а для некоторых $\lambda _{n}^{0},~\lambda _{k}^{1} \in $ R выполнены равенства

(27)
$\begin{gathered} {{F}_{n}}\left( \alpha \right) = \lambda _{n}^{0}\frac{d}{{d\alpha }}\frac{{{{{{\Delta }}}^{2}}\left( \alpha \right)}}{2}, \\ F_{k}^{1}\left( \alpha \right) = \lambda _{k}^{1}{{f}_{n}}\left( \alpha \right)\frac{d}{{d\alpha }}{{\Delta }}\left( \alpha \right),\quad k = 1, \ldots ,n. \\ \end{gathered} $

Здесь $F_{1}^{1}(\alpha )\, = \, \ldots \, = \,F_{{n - 1}}^{1}(\alpha )\, = \,F_{{}}^{1}(\alpha )$, т.е. $\lambda _{1}^{1} = ... = \lambda _{{n - 1}}^{1}$ = = λ1. Условие (26) назовем “геометрическим”, а условия из группы (27) – “энергетическими”.

Условие (26) названо геометрическим в том числе потому, что накладывает условие на коэффициент связности $\Gamma _{n}^{{}}(\alpha )$, приводя соответствующие коэффициенты системы к однородному виду относительно функции Δ(α). Условия же группы (27) названы энергетическими в том числе потому, что силы становятся, в некотором смысле, “потенциальными” по отношению к функциям ${{{{\Delta }}}^{2}}\left( \alpha \right){\text{/}}2$ и Δ(α), приводя соответствующие коэффициенты системы к однородному виду (опять же относительно функции Δ(α)). При этом функция Δ(α) и вводит в систему диссипацию разных знаков.

Теорема 3. Пусть выполняются условия (26) и (27). Тогда система (23)–(25) обладает полным набором (n + 1) независимых, вообще говоря, трансцендентных [10, 11] первых интегралов.

В общем случае первые интегралы выписываются громоздко (интегрирование уравнения Абеля [12]). В частности, если $\kappa = - 1$, $\lambda _{n}^{1} = {{\lambda }^{1}}$, явный вид ключевого первого интеграла таков:

(28)
$\begin{gathered} {{{{\Theta }}}_{1}}({{w}_{n}},{{w}_{{n - 1}}};\alpha ) = {{G}_{1}}\left( {\frac{{{{w}_{n}}}}{{\Delta (\alpha )}},\frac{{{{w}_{{n - 1}}}}}{{\Delta (\alpha )}}} \right) = \\ = \frac{{f_{n}^{2}(\alpha )(w_{n}^{2} + w_{{n - 1}}^{2}) + (b - {{\lambda }^{1}}){{w}_{n}}\delta (\alpha ){{f}_{n}}(\alpha ) - \lambda _{n}^{0}{{\delta }^{2}}(\alpha )}}{{{{w}_{{n - 1}}}\delta (\alpha ){{f}_{n}}(\alpha )}} = \\ = \,{{C}_{1}}. \\ \end{gathered} $

При этом дополнительный первый интеграл системы (23) имеет следующий структурный вид:

(29)
$\begin{gathered} {{{{\Theta }}}_{2}}\left( {{{w}_{n}},{{w}_{{n - 1}}};\alpha } \right) = \\ = {{G}_{2}}\left( {\Delta \left( \alpha \right),\frac{{{{w}_{n}}}}{{\Delta \left( \alpha \right)}},\frac{{{{w}_{{n - 1}}}}}{{\Delta \left( \alpha \right)}}} \right) = {{C}_{2}} = {\text{const}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

Первые интегралы для систем (24) будут иметь вид

(30)
$\begin{gathered} {{\Theta }_{{s + 2}}}({{w}_{s}};{{\beta }_{s}}) = \frac{{\sqrt {1 + w_{s}^{2}} }}{{{{\Psi }_{s}}({{\beta }_{s}})}} = {{С}_{{s + 2}}} = {\text{const}}, \\ s = 1, \ldots ,n--2, \\ \end{gathered} $
о функциях ${{\Psi }_{s}}({{\beta }_{s}})$, s = 1, …, n – 2, см. (16), …, (18). Дополнительный интеграл, “привязывающий” уравнение (25), находится по аналогии с (19):
(31)
$\begin{gathered} \Theta _{{n + 1}}^{{}}({{\beta }_{{n - 2}}},{{\beta }_{{n - 1}}}) = {{\beta }_{{n - 1}}} \pm \\ \pm \int\limits_{{{\beta }_{{n - 2,0}}}}^{{{\beta }_{{n - 2}}}} {\frac{{i(b)}}{{\sqrt {C_{n}^{2}\Psi _{{n - 2}}^{2}(b) - 1} }}db} = C_{{n + 1}}^{{}} = {\text{const}}, \\ \end{gathered} $
при этом после взятия интеграла (31) вместо постоянной Cn можно формально подставить левую часть равенств (30) при s = n – 2.

Выражение первых интегралов (28)–(31) через конечную комбинацию элементарных функций зависит не только от вычисления квадратур, но также и от явного вида функции $\Delta \left( \alpha \right)$. Действительно, при $\kappa = - 1$, $\lambda _{n}^{1} = {{\lambda }^{1}}$ дополнительный первый интеграл системы (23) найдется из квадратуры

$\begin{gathered} d\ln \left| {\Delta \left( \alpha \right)} \right| = \frac{{\left( {b + {{u}_{n}}} \right)d{{u}_{4}}}}{{2W\left( {{{u}_{n}}} \right) - {{C}_{1}}\{ {{C}_{1}} \pm \sqrt {C_{1}^{2} - 4W\left( {{{u}_{n}}} \right)} \} {\text{/}}2}}, \\ W\left( {{{u}_{n}}} \right) = u_{n}^{2} + (b - {{\lambda }^{1}}){{u}_{n}} - \lambda _{n}^{0},\quad {{u}_{n}} = \frac{{{{w}_{n}}}}{{\Delta \left( \alpha \right)}}. \\ \end{gathered} $

При этом после интегрирования вместо C1 можно подставить левую часть (28). Правая часть данной квадратуры выражается через конечную комбинацию элементарных функций, а левая – в зависимости о функции $\Delta \left( \alpha \right)$.

Справедлива и теорема, в некотором смысле обратная к теореме 3.

Теорема 4. Условия (26), (27) (например, при $\kappa = - 1$, $\lambda _{n}^{1} = {{\lambda }^{1}}$) являются необходимыми условиями существования ключевого первого интеграла (28) для системы (23)–(25).

4. СТРУКТУРА ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ СИСТЕМ С ДИССИПАЦИЕЙ

Если α – периодическая координата периода 2π, то система (23)–(25) в условиях теоремы 3 становится динамической системой с переменной диссипацией с нулевым средним [2, 13]. При этом при $b = - {{\lambda }^{1}}$ она превращается в систему консервативную, которая обладает следующими гладкими первыми интегралами:

(32)
$\begin{gathered} {{{{\Phi }}}_{1}}\left( { - b;{{w}_{n}},{{w}_{{n - 1}}};\alpha } \right) = \\ = w_{{n - 1}}^{2} + w_{n}^{2} + 2b{{w}_{n}}{{\Delta }}\left( \alpha \right) - \lambda _{n}^{0}{{{{\Delta }}}^{2}}\left( \alpha \right) = {\text{const}}, \\ \end{gathered} $
(33)
${{{{\Phi }}}_{2}}\left( {{{w}_{{n - 1}}};\alpha } \right) = {{w}_{{n - 1}}}{{\Delta }}\left( \alpha \right) = {\text{const}}{\text{.}}$

Очевидно, что отношение двух первых интегралов (32), (33) также является первым интегралом системы (23)–(25) при $b = - {{\lambda }^{1}}$. Но при $b \ne - {{\lambda }^{1}}$ каждая из функций

(34)
$\begin{gathered} {{{{\Phi }}}_{1}}({{\lambda }^{1}};{{w}_{n}},{{w}_{{n - 1}}};\alpha ) = \\ = w_{{n - 1}}^{2} + w_{n}^{2} + (b - {{\lambda }^{1}}){{w}_{n}}{{\Delta }}\left( \alpha \right) - \lambda _{n}^{0}{{{{\Delta }}}^{2}}\left( \alpha \right) \\ \end{gathered} $
и (33) по отдельности не является первым интегралом системы (23)–(25). Однако отношение функций (34), (33) является первым интегралом системы (23)–(25) (при $\kappa = - 1$, $\lambda _{n}^{1} = {{\lambda }^{1}}$) при любом b.

Как отмечалось, для систем любого порядка с диссипацией трансцендентность функций (в смысле наличия существенно особых точек) как первых интегралов наследуется из нахождения в системе притягивающих или отталкивающих предельных множеств [14, 15].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: СИСТЕМЫ НА РАССЛОЕНИИ К КОНЕЧНОМЕРНОЙ СФЕРЕ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Выше уже были выделены в качестве примеров два класса многообразий (многомерные поверхности вращения и пространства Лобачевского), для которых применима предлагаемая методика интегрирования систем с диссипацией. Теперь отметим однопараметрическое семейство функций $f\left( \alpha \right)$ и ${{f}_{n}}\left( \alpha \right)$, определяющей метрику на конечномерной сфере:

$\begin{gathered} f\left( \alpha \right) = \frac{{{\text{cos}}\alpha }}{{{\text{sin}}\alpha \sqrt {1 + {{\mu }_{1}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\alpha } }}, \\ {{\mu }_{1}} \in {\mathbf{R}},\quad {{f}_{n}}\left( \alpha \right) \equiv - 1, \\ \end{gathered} $
при этом выделим два существенных подслучая:

(35)
${{\mu }_{1}} = 0,$
(36)
${{\mu }_{1}} = - 1.$

Случай (35) формирует класс систем, соответствующих движению динамически симметричного (n + 1)-мерного твердого тела на нулевых уровнях циклических интегралов, вообще говоря, в неконсервативном поле сил, при дополнительной зависимости силового поля от (тензора второго ранга) угловой скорости [2, 13]. Случай (36) формирует класс систем, соответствующих движению точки на n-мерной сфере с естественной метрикой, индуцированной метрикой всеобъемлющего (n + 1)-мерного евклидова пространства. В частности, при $\delta (\alpha )\, = \,{{F}_{n}}(\alpha ) \equiv 0$ рассматриваемая система описывает геодезический поток на n-мерной сфере. В случае (35) если $\delta (\alpha ) = {{F}_{n}}(\alpha ){{f}_{n}}(\alpha ){\text{/cos}}\alpha $, то система описывает движение (n + 1)-мерного твердого тела в силовом поле ${{F}_{n}}\left( \alpha \right){{f}_{n}}\left( \alpha \right)$ под действием следящей силы [2, 3]. В частности, если ${{F}_{n}}\left( \alpha \right) = {\text{sin}}\alpha {\text{cos}}\alpha $, $\delta \left( \alpha \right) = {\text{sin}}\alpha $, то система описывает обобщенный сферический маятник, помещенный в поток набегающей среды в (n + 1)-ном пространстве, и обладает полным набором трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций [2, 3, 13, 14].

Если функция $\delta \left( \alpha \right)$ не является периодической, то рассматриваемая диссипативная система является системой с переменной диссипацией с ненулевым средним (т.е. она является собственно диссипативной). Тем не менее, и в этом случае (благодаря теоремам 3 и 4) можно получить явный вид трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Последнее также определяет новые нетривиальные случаи интегрируемости динамических систем с диссипацией на касательном расслоении гладкого конечномерного многообразия в явном виде.

Список литературы

  1. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53. Вып. 3. С. 209–210.

  2. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере // ДАН. 2017. Т. 474. № 2. С. 177–181.

  3. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении многомерного многообразия // ДАН. 2018. Т. 482. № 5. С. 527–533.

  4. Козлов В.В. Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 2019. Т. 74. Вып. 1. С. 117–148.

  5. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем. М.–Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 294 с.

  6. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.: МЦНМО, 2005. 584 с.

  7. Козлов В.В. Рациональные интегралы квазиоднородных динамических систем // Прикл. матем. и механ. 2015. Т. 79. № 3. С. 307–316.

  8. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. 4-е изд., испр., обновл. М.: URSS, 2017. 352 с.

  9. Вейль Г. Симметрия. М.: URSS, 2007.

  10. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38. Вып. 1. С. 3–67.

  11. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.–Л.: ОГИЗ, 1947.

  12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

  13. Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем // Фундам. и прикл. матем. 2010. Т. 16. В. 4. С. 3–229.

  14. Шамолин М.В. Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении трехмерного многообразия // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 495. № 1. С. 84–90.

  15. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1987.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал