1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 502, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 502, № 1, стр. 34-36

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ДАННЫМИ. ВОССТАНОВЛЕНИЕ МАЛОГО МЛАДШЕГО КОЭФФИЦИЕНТА И ПРАВОЙ ЧАСТИ ПО ЧАСТИЧНОЙ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ

В. Б. Левенштам 1, 2, *

1 Южный федеральный университет
Ростов-на-Дону, Россия

2 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: vlevenshtam@yandex.ru

Поступила в редакцию 07.09.2021
После доработки 07.09.2021
Принята к публикации 22.12.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача Коши для одномерного гиперболического уравнения, младший коэффициент и правая часть которого осциллируют по времени с большой частотой, причем амплитуда младшего коэффициента мала. Исследован вопрос о восстановлении этих осциллирующих функций по заданной в некоторой точке пространства частичной асимптотике решения.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, быстро осциллирующие данные, асимптотические методы, обратная задача

Теория обратных коэффициентных задач для уравнений математической физики последние четыре-пять десятилетий интенсивно развивается. К настоящему времени она разработана с большой полнотой (см., например, монографии [1–4]), однако обратные задачи для уравнений с быстро осциллирующими данными в этой теории почти не представлены. Вместе с тем обратные задачи для уравнений такого типа часто встречаются при математическом моделировании физических, химических и иных процессов, протекающих в средах с неизвестными характеристиками, подверженных высокочастотному воздействию электромагнитных, акустических, вибрационных и т.п. полей. Укажем некоторые примеры таких уравнений: уравнение теплопроводности для стержня, через который пропускается высокочастотный электрический ток, вследствие чего в стержне образуются высокочастотные тепловые источники; волновое уравнение, описывающее колебания струны или стержня под действием высокочастотных внешних сил (вспомним знаменитую задачу В.Н. Челомея о высокочастотных сжатиях–растяжениях стержня, стабилизирующих его прямолинейную форму); уравнение переноса вещества в несжимаемой жидкости при наличии высокочастотных источников; уравнения тепловой конвекции жидкости в сосуде при его высокочастотных вибрациях и др. Сказанное свидетельствует об актуальности развития теории обратных задач для уравнений математической физики с быстро осциллирующими данными.

В данной работе рассматривается задача Коши для одномерного гиперболического уравнения, младший коэффициент и правая часть которого осциллируют по времени с большой частотой $\omega $, причем амплитуда младшего коэффициента пропорциональна ω–1. Исследован вопрос о восстановлении этих осциллирующих функций (точнее, их неизвестных высокочастотных сомножителей) по заданной в некоторой точке пространства четырехчленной асимптотике решения. При решении задачи используется неклассический алгоритм (см. [5, 6]) решения обратных коэффициентных задач с быстро осциллирующими по времени данными.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Пусть $T > 0,$ $\Pi = \{ (x,t){\text{:}}\,\,x \in R,\,\,t \in [0,T]\} ,$ Q = = $\{ (t,\tau ){\text{:}}\,\,t \in [0,T],\,\,\tau \in [0;\infty )\} $. В полосе П рассмотрим задачу Коши с большим параметром ω:

(1)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{1}{\omega }A(x,t)\rho (t,\omega t)u = B(x,t)r(t,\omega t), \\ u(x,0) = {{d}_{0}}(x), \\ \frac{{\partial u(x,0)}}{{\partial t}} = {{d}_{1}}(x). \\ \end{gathered} $

Фигурирующие здесь функции $A(x,t),B(x,t)$ и ${{d}_{0}}(x),{{d}_{1}}(x)$ определены в полосе П и на прямой $R$ соответственно, вещественны и удовлетворяют условиям A, ${{A}_{t}},{{A}_{{tx}}} \in {{C}^{4}}(\Pi ),$ ${{A}_{{{{x}^{2}}}}} \in {{C}^{2}}(\Pi ),$ B, ${{B}_{{{{x}^{2}}}}}$ ∈ ∈ C2(Π), ${{B}_{t}},{{B}_{x}},{{B}_{{tx}}} \in {{C}^{4}}(\Pi ),$ ${{d}_{0}} \in {{C}^{5}}(R),$ ${{d}_{1}} \in {{C}^{4}}(R)$. Здесь символом Cm(Π), $m \in N$, (аналогично ${{C}^{m}}(R)$) обозначен линеал, состоящий из непрерывных на П функций $s(x,t)$, обладающих непрерывными производными

$\frac{{{{\partial }^{{i + j}}}s(x,t)}}{{\partial {{x}^{i}}\partial {{t}^{j}}}},\quad 0 \leqslant i + j \leqslant m.$

Вещественные функции $\rho (t,\tau )$ и $r(t,\tau )$ определены в Q и 2π-периодичны по $\tau $. Представим их в виде

$\rho (t,\tau ) = {{\rho }_{0}}(t) + {{\rho }_{1}}(t,\tau ),r(t,\tau ) = {{r}_{0}}(t) + {{r}_{1}}(t,\tau ),$
где ${{\rho }_{0}}$ и ${{r}_{0}}$ – средние по $\tau $ (на периоде) функций $\rho $ и $r$ соответственно. Например,

${{\rho }_{0}}(t) = \left\langle {\rho (t,\tau )} \right\rangle \equiv \frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } \rho (t,\tau )d\tau .$

Пусть ${{\rho }_{0}} \in {{C}^{2}}(R),$ ${{\rho }_{1}} \in {{C}^{{5,0}}}(Q),$ ${{r}_{0}} \in {{C}^{2}}(R),$ r1 ∈ ∈ ${{C}^{{5,0}}}(Q)$. Здесь символом ${{C}^{{m,0}}}(Q),m \in N$, обозначен линеал, состоящий из непрерывных на Q функций, обладающих непрерывными на Q производными по t до m-го порядка включительно. Предполагая вначале, что функции $A,\;B,\;{{d}_{0}},\;{{d}_{1}},\;\rho $ и r известны, мы аналогично [5, первый раздел], где рассматривается начально-краевая задача для одномерного волнового уравнения, построим четырехчленную асимптотику решения ${{u}_{\omega }}(x,t),\omega \gg 1$ в виде:

$\begin{gathered} u_{\omega }^{4}(x,t) = {{u}_{0}}(x,t) + {{\omega }^{{ - 1}}}{{u}_{1}}(x,t) + \\ \, + \sum\limits_{k = 2}^3 {{\omega }^{{ - k}}}({{u}_{k}}(x,t) + {{v}_{k}}(x,t,\omega t)). \\ \end{gathered} $

Функции ${{u}_{i}}(x,t)$ и ${{v}_{j}}(x,t,\tau )$ заданы на множествах Π и $\Pi \times [0;\infty )$ соответственно и являются решениями линейных однозначно разрешимых задач, которые аналогичны задачам из [5] для одноименных функций. Здесь мы выпишем лишь задачи для функций ${{u}_{2}},\;{{u}_{3}}$, а также для вспомогательной функции ${{v}_{4}}$, которая используется при построении ${{u}_{3}}$:

(2)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}(x,t)}}{{\partial {{x}^{2}}}} = - A(x,t){{\rho }_{0}}(t){{u}_{1}}(x,t), \\ {{u}_{2}}(x,0) = - {{v}_{2}}(x,0,0), \\ \frac{{\partial {{u}_{2}}(x,0)}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial {{v}_{2}}(x,0,0)}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {{v}_{3}}(x,0,0)}}{{\partial \tau }}; \\ \end{gathered} $
(3)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{v}_{4}}}}{{\partial {{\tau }^{2}}}} = - 2\frac{{\partial {{v}_{2}}(x,t,\tau )}}{{\partial {{t}^{2}}}} - 2\frac{{\partial {{v}_{3}}(x,t,\tau )}}{{\partial t\partial \tau }} - \\ \, - A(x,t){{\rho }_{1}}(t,\tau ){{u}_{1}}(x,t), \\ {{v}_{4}}(x,t,\tau + 2\pi ) = {{{v}}_{4}}(x,t,\tau ), \\ \left\langle {{{v}_{4}}(x,t,\tau )} \right\rangle = 0; \\ \end{gathered} $
(4)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{3}}(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{3}}(x,t)}}{{\partial {{x}^{2}}}} = - A(x,t){{\rho }_{0}}(t){{u}_{2}}(x,t) - \\ \, - A(x,t)\left\langle {{{\rho }_{1}}(t,\tau ){{v}_{2}}(x,t,\tau )} \right\rangle , \\ {{u}_{3}}(x,0) = - {{v}_{3}}(x,0,0), \\ \frac{{\partial {{u}_{3}}(x,0)}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial {{v}_{3}}(x,0,0)}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {{v}_{4}}(x,0,0)}}{{\partial \tau }}. \\ \end{gathered} $

Для $M > 0$ определим прямоугольник ΠM = = $\{ (x,t) \in {{R}^{2}}{\kern 1pt} :\;{\text{|}}x{\text{|}} \leqslant M,t \in [0;T]\} $.

Теорема 1. При любом $M > 0$ справедлива оценка

${{\left\| {{{u}_{\omega }}(x,t) - u_{\omega }^{4}(x,t)} \right\|}_{{{\text{C}}({{\Pi }_{M}})}}} = O({{\omega }^{{ - 4}}}),\quad \omega \to \infty .$

Предполагая теперь, что функции $A,B,{{d}_{0}}$ и d1 известны, а $\rho $ и $r$ – неизвестны, сформулируем обратную задачу о восстановлении $\rho $ и $r$. Для этого введем в рассмотрение следующие объекты: ${{x}_{0}} \in R$ – точка, в которой $A({{x}_{0}},t) \ne 0,$ $B({{x}_{0}},t) \ne 0,$ $t \in [0;T],$ ${{d}_{0}}({{x}_{0}}) \ne 0$; ${{q}_{0}} \in {{C}^{5}}([0,T])$ – функция, такая что ${{q}_{0}}(t) \ne 0,$ $t \in [0;T],$ ${{q}_{0}}(0) = {{d}_{0}}({{x}_{0}}),$ ${{q}_{0}}(0){\kern 1pt} '$ = = d1(x0); ${{\lambda }_{1}}(t,\tau )$ – определенная и непрерывная на множестве Q функция, 2π-периодическая по $\tau $ с нулевым средним, для которой: $\frac{{{{\partial }^{2}}{{\lambda }_{1}}}}{{\partial {{\tau }^{2}}}},\frac{{{{\partial }^{2}}{{\lambda }_{1}}}}{{\partial t\partial \tau }} \in {{C}^{{5,0}}}(Q)$; ${{q}_{1}} \in {{C}^{4}}([0,T])$ – функция, для которой ${{q}_{1}}(0) = 0,$ $q_{1}^{'}(0) = - \frac{{\partial {{\lambda }_{1}}(0,0)}}{{\partial \tau }}$; ${{\lambda }_{2}}(t,\tau )$ – определенная и непрерывная на множестве Q функция, 2π-периоди-чеcкая по $\tau $ с нулевым средним, такая что $\frac{{{{\partial }^{2}}{{\lambda }_{2}}}}{{\partial {{\tau }^{2}}}} \in {{C}^{{5,0}}}(Q)$; ${{q}_{2}}$ – функция, определенная на отрезке $t \in [0,T]$ равенством ${{q}_{2}}(t) = {{u}_{2}}({{x}_{0}},t),$ где u2 – решение задачи (2) с известными функциями ρ0, ${{u}_{1}},{{v}_{2}}$ и ${{v}_{3}}$, которые однозначно определяются на предыдущих этапах исследования (при решении задач для соответствующих младших коэффициентов асимптотики); ${{q}_{3}}$ – функция, определенная на отрезке $t \in [0,T]$ равенством ${{q}_{3}} = {{u}_{3}}({{x}_{0}},t),$ где ${{u}_{3}}$ – решение задачи (4) с известными функциями ${{\rho }_{0}},\;{{\rho }_{1}},\;{{u}_{2}},\;{{v}_{2}},\;{{v}_{3}}$ и ${{v}_{4}}$, которые также однозначно находятся на предыдущих этапах (в частности последняя служит единственным решением задачи (3)).

Обратная задача состоит в определении функций $\rho (t,\tau )$ и $r(t,\tau )$, принадлежащих указанным выше функциональным классам, при которых решение ${{u}_{\omega }}(x,t)$ задачи (1) удовлетворяет асимптотической формуле

$\begin{gathered} \left\| {{{u}_{\omega }}({{x}_{0}},t) - ({{q}_{0}}(t) + {{\omega }^{{ - 1}}}{{q}_{1}}(t) + {{\omega }^{{ - 2}}}[{{q}_{2}}(t) + {{\lambda }_{1}}(t,\omega t)] + } \right. \\ {{\left. {\, + {{\omega }^{{ - 3}}}[{{q}_{3}}(t) + {{\lambda }_{2}}(t,\omega t)])} \right\|}_{{{\text{C}}([0,T])}}} = O({{\omega }^{{ - 4}}}),\quad \omega \to \infty . \\ \end{gathered} $

Теорема 2. Обратная задача однозначно разрешима.

Замечание. Решение обратной задачи сводится к решению двух уравнений Вольтерра 2-го рода.

Список литературы

  1. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 458 с.

  2. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 206 с.

  3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Изд. Ин-та математики, 2009. 458 с.

  4. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: Физматлит, 2019. 271 с.

  5. Бабич П.В., Левенштам В.Б. Восстановление быстро осциллирующей правой части волнового уравнения по частичной асимптотике решения // Владикавказ. матем. жур. 2020. Т. 22. № 4. С. 28–44.

  6. Левенштам В.Б. Параболические уравнения с большим параметром. Обратные задачи // Матем. заметки. 2020. Т. 107. № 3. С. 412–425.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал