1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 504, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 504, № 1, стр. 51-55

О ВЫВОДЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ГРАВИТАЦИИ ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ, МЕТОДЕ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ И КОСМОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ

В. В. Веденяпин 1, *

1 ФИЦ Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: vicveden@yahoo.com

Поступила в редакцию 27.01.2022
После доработки 29.03.2022
Принята к публикации 12.04.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В классических работах уравнения для полей предлагаются без вывода правых частей. Здесь мы даем вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна в рамках уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна из классического, но более общего принципа наименьшего действия и применяем уравнения типа Гамильтона–Якоби для получения космологических решений.

Ключевые слова: уравнение Власова, уравнение Власова–Эйнштейна, уравнение Власова–Максвелла, уравнение Власова–Пуассона

1. ВВЕДЕНИЕ

В классических работах (см. [1–4]) уравнения для полей даются без вывода правых частей. Здесь мы предлагаем вывод правых частей уравнений Максвелла и Эйнштейна в рамках уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна из классического, но немного более общего принципа наименьшего действия и применяем уравнения Гамильтона–Якоби для получения космологических решений. Таким образом, мы впервые получаем вывод тензора энергии-импульса и замкнутую систему уравнений гравитации и электродинамики из принципа наименьшего действия.

2. ДЕЙСТВИЕ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ

Пусть $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)$ функция распределения частиц по пространству ${\mathbf{x}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, по скоростям ${\mathbf{v}} \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, массам $m \in \mathbb{R}$ и заряду $e \in \mathbb{R}$ в момент времени $t \in \mathbb{R}$. Это означает, что число частиц в объеме $d{\mathbf{x}}d{\mathbf{v}}dmde$ равно $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)d{\mathbf{x}}d{\mathbf{v}}dmde$. Рассмотрим действие:

(1)
$\begin{gathered} S = - \,c\int {\mkern 1mu} m{\mkern 1mu} f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}{\mkern 1mu} {{u}^{\mu }}{\mkern 1mu} {{u}^{\nu }}} {\mkern 1mu} {{d}^{3}}x{\mkern 1mu} {{d}^{3}}{v}{\mkern 1mu} dm{\mkern 1mu} de{\mkern 1mu} dt\, - \\ - \,\frac{1}{c}\int {\mkern 1mu} e{\mkern 1mu} f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right){\mkern 1mu} {{A}_{\mu }}{\mkern 1mu} {{u}^{\mu }}{\mkern 1mu} {{d}^{3}}x{\mkern 1mu} {{d}^{3}}{v}{\mkern 1mu} dm{\kern 1pt} de{\mkern 1mu} dt\, + \\ + \,{{k}_{1}}\int {\left( {R + \Lambda } \right)} {\mkern 1mu} \sqrt { - g} {\mkern 1mu} {{d}^{4}}x\, + \,{{k}_{2}}\int {{{F}_{{\mu \nu }}}} {{F}^{{\mu \nu }}}{\mkern 1mu} \sqrt { - g} {\mkern 1mu} {{d}^{4}}x, \\ \end{gathered} $
где c – скорость света, ${{u}^{0}} = c$ и ${{u}^{i}} = {{{v}}^{i}}\;\left( {i = 1,2,3} \right)$ – трехмерная скорость, ${{x}^{0}} = ct$ и xi $(i = 1,2,3)$ – координата, ${{g}_{{\mu \nu }}}({\mathbf{x}},t)~$ – метрика $\left( {\mu ,\nu = 0,1,2,3} \right)$, ${{A}_{\mu }}({\mathbf{x}},t)$ – 4-потенциал электромагнитного поля, Fμν(x, t) = $\partial {{A}_{\mu }}({\mathbf{x}},t){\text{/}}\partial {{x}^{\nu }} - \partial {{A}_{\nu }}({\mathbf{x}},t){\text{/}}\partial {{x}^{\mu }}$ – электромагнитные поля, R – полная кривизна, $\Lambda $ – лямбда-член Эйнштейна, ${{k}_{1}} = - \frac{{{{c}^{3}}}}{{16\pi \gamma }}$ и ${{k}_{2}} = - \frac{1}{{16\pi c}}$ – константы [1–4], g – определитель метрики ${{g}_{{\mu \nu }}}$, $\gamma $ – постоянная тяготения, по повторяющимся индексам, как обычно, идет суммирование.

Вид действия (1) удобен для получения уравнений Эйнштейна и Максвелла при варьировании по полям ${{g}_{{\mu \nu }}}$ и ${{A}_{\mu }}$. Такой способ вывода уравнений Власова–Максвелла и Власова–Эйнштейна использовался в работах [5–11]. При варьировании (1) по ${{g}_{{\mu \nu }}}$ получим уравнение Эйнштейна:

(2)
$\begin{gathered} {{k}_{1}}\left( {{{R}^{{\mu \nu }}} - \frac{1}{2}{{g}^{{\mu \nu }}}\left( {R + \Lambda } \right)} \right)\sqrt { - g} = \\ = \int m \frac{{f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)}}{{2\sqrt {{{g}_{{\alpha \beta }}}{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}} }}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}{{d}^{3}}{v}dmde - \frac{1}{2}{{k}_{2}}{{F}_{{\alpha \beta }}}{{F}^{{\alpha \beta }}}{{g}^{{\mu \nu }}}\sqrt { - g} . \\ \end{gathered} $

Первое слагаемое правой части этого уравнения и является по определению Гильберта тензором энергии-импульса. Он выписан впервые в таком виде в работах [9–11] в менее общем виде без распределения по массам и зарядам. Попытки выписать тензор энергии-импульса через функцию распределения предпринимались, насколько нам известно, только в релятивистской кинетической теории для уравнения Власова–Эйнштейна [5–15]. Уравнение электромагнитных полей получается варьированием (1) по ${{A}_{\mu }}$ и называется системой уравнений Максвелла:

(3)
${{k}_{2}}\frac{{\partial \sqrt { - g} {{F}^{{\mu \nu }}}}}{{\partial {{x}_{\nu }}}} = \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\int e {{u}^{\mu }}f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right){{d}^{3}}{v}dmde.$

Покажем, что вид действия (1) является более общим, чем в [1–4]. Для получения стандартного вида действия возьмем функцию распределения в виде δ-функции для одной частицы:

(4)
$\begin{gathered} f\left( {{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e,t} \right) = \\ = \delta \left( {{\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}'\left( t \right)} \right)\delta \left( {{\mathbf{v}} - {\mathbf{v}}'\left( t \right)} \right)\delta \left( {m - m'} \right)\delta \left( {e - e'} \right). \\ \end{gathered} $

Подставляя (4) в действие (1) и опустив штрихи, получаем стандартные [1–4] выражения для всех слагаемых:

(5)
$\begin{gathered} S = - cm\int {\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}({\mathbf{x}},t){{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} } dt - \frac{e}{c}\int {{{A}_{\mu }}({\mathbf{x}},t)} {{u}^{\mu }}dt + \\ + \,{{k}_{1}}\int {(R + \Lambda )} \sqrt { - g} {{d}^{4}}x + {{k}_{2}}\int {{{F}_{{\mu \nu }}}{{F}^{{\mu \nu }}}} \sqrt { - g} {{d}^{4}}x. \\ \end{gathered} $

В роли частиц могут быть электроны и ионы в плазме, планеты в галактиках, галактики в супер- галактиках, скопление галактик во Вселенной. В равенстве (4) мы можем взять сумму дельта-функций и получить обычное действие [1–4] для конечной системы частиц: этим обосновывается единственность выбора более общего действия (1).

3. ПЕРЕХОД К ГИДРОДИНАМИКЕ И УРАВНЕНИЮ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ В РЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА–МАКСВЕЛЛА–ЭЙНШТЕЙНА

Для вывода уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна в форме Гамильтона–Якоби нужно вывести его в импульсах [16–19]. Схема вывода уравнений типа Власова – это вывод уравнений для полей при заданном движении частиц и вывод уравнений движения частиц в заданных полях с переходом к уравнениям Лиувилля – следует общей схеме классических учебников [1–4]. Имеем часть действия (5) для движения частиц в заданных полях:

$S = - cm\int {\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} } dt - \frac{e}{c}\int {{{A}_{\mu }}{{u}^{\mu }}dt.} $

Мы получим уравнение движения:

$\begin{gathered} - cm\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{{{g}_{{i\beta }}}{{u}^{\beta }}}}{{\sqrt {{{g}_{{\eta \xi }}}{{u}^{\eta }}{{u}^{\xi }}} }} + \frac{e}{c}{{A}_{i}}} \right] = \\ = - cm\frac{1}{{\sqrt {{{g}_{{\eta \xi }}}{{{v}}^{\eta }}{{{v}}^{\xi }}} }}\frac{{\partial {{g}_{{\mu \nu }}}}}{{\partial {{x}^{i}}}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }} - \frac{e}{c}\frac{{\partial {{A}_{\mu }}}}{{\partial {{x}^{i}}}}{{u}^{\mu }}. \\ \end{gathered} $

Латинские индексы $i,~j,~k \ldots $ пробегают значения 1, 2, 3, а греческие $\mu ,~\nu \ldots $ пробегают значения 0, 1, 2, 3.

Мы получаем выражение для импульсов:

(6)
${{q}_{\mu }} = \frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{\mu }}}} = - mc\frac{{{{g}_{{\mu \alpha }}}{{u}^{\alpha }}}}{{\sqrt {{{g}_{{\eta \xi }}}{{u}^{\eta }}{{u}^{\xi }}} }} + \frac{e}{c}{{A}_{\mu }}.$

Здесь выражение для q0 получается формальным дифференцированием по u0 = c.

Это выражения для длинных или канонических импульсов, но понадобятся и малые импульсы ${{p}_{\mu }} = {{q}_{\mu }} - \frac{e}{c}{{A}_{\mu }} = - mc\frac{{{{g}_{{\mu \alpha }}}{{u}^{\alpha }}}}{{\sqrt {{{g}_{{\eta \xi }}}{{u}^{\eta }}{{u}^{\xi }}} }}$: формулы связи со скоростями проще для малых импульсов, а при переходе к уравнению Гамильтона–Якоби мы обязаны пользоваться каноническими.

Переходя к верхним индексам умножением на обратную матрицу ${{g}^{{\mu \beta }}}$, получаем:

${{p}^{\beta }} = - mc\frac{{{{u}^{\beta }}}}{{\sqrt {{{g}_{{\eta \xi }}}{{u}^{\eta }}{{u}^{\xi }}} }}.$

Теперь требуется обратить эту формулу, выразив скорости через импульсы, чтобы написать действие через импульсы. Для этого в последней формуле поделим β-ю компоненту на нулевую:

$\frac{{{{p}^{\beta }}}}{{{{p}^{0}}}} = \frac{{{{u}^{\beta }}}}{c}.$

В последней формуле необходимо исключить импульс с нулевой компонентой через массовое уравнение ${{p}_{\alpha }}{{p}_{\beta }}{{g}^{{\alpha \beta }}}\, = \,{{(mc)}^{2}}$ и его решение относительно p0:

$\begin{gathered} {{p}_{0}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{{b}^{2}} - 4ac} }}{{2a}}, \\ {\text{где}}\quad a = {{g}^{{00}}},\quad b = 2{{p}_{i}}{{g}^{{0i}}},\quad c = {{p}_{i}}{{p}_{j}}{{g}^{{ij}}} - {{\left( {mc} \right)}^{2}}. \\ \end{gathered} $

При этом для согласования с нерелятивистской динамикой берется знак минус.

Массовое уравнение получается подстановкой тех же соотношений для исключения скоростей с учетом u0 = c

$\frac{{{{p}^{\beta }}}}{{{{p}^{0}}}} = \frac{{{{u}^{\beta }}}}{{c}}$
в формулу (6) при μ = 0 (см. [1–4]).

Уравнение для полей останется тем же самым (2) с заменой на интегрирование по импульсам с использованием формул $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{v}},m,e} \right)d{\mathbf{v}}dmde$ = = $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{q}},m,e} \right)dqdmde$ = $f\left( {t,{\mathbf{x}},{\mathbf{p}},m,e} \right)d{\mathbf{p}}dmde$. Каждая из трех этих величин – это число частиц в элементе объема, что является инвариантом при замене переменных.

$\begin{gathered} {{k}_{1}}\left( {{{R}^{{\mu \nu }}} - \frac{1}{2}{{g}^{{\mu \nu }}}(R + \Lambda )} \right)\sqrt { - g} = \\ = c\int {m\frac{{f\left( {t,{\mathbf{x}},q,m,e} \right)}}{{2\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} }}} {{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}{{d}^{3}}qdmde - \frac{1}{2}{{k}_{2}}{{F}_{{\mu \nu }}}{{F}^{{\mu \nu }}}{{g}^{{\mu \nu }}}\sqrt { - g} , \\ \end{gathered} $
${{k}_{2}}\frac{{\partial \sqrt { - g} {{F}^{{\mu \nu }}}}}{{\partial {{x}_{\nu }}}} = \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\int {e{{u}^{\mu }}f\left( {t,{\mathbf{x}},q,m,e} \right){{d}^{3}}qdmde} .$

Или

(7)
$\begin{gathered} {{k}_{1}}\left( {{{R}^{{\mu \nu }}} - \frac{1}{2}{{g}^{{\mu \nu }}}\left( {R + \Lambda } \right)} \right)\sqrt { - g} = \\ = c\int m \frac{{f\left( {t,{\mathbf{x}},q,m,e} \right)}}{2}\frac{{c{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }}}}{{({{q}^{0}}){{{\left( {mc} \right)}}^{2}}}}{{d}^{3}}qdmde - \\ - \,\frac{1}{2}{{k}_{2}}{{F}_{{\mu \nu }}}{{F}^{{\mu \nu }}}{{g}^{{\mu \nu }}}\sqrt { - g.} \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{k}_{2}}\frac{{\partial {{F}^{{\mu \nu }}}}}{{\partial {{x}_{\nu }}}}\sqrt { - g} = \\ = \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\int {e\frac{{c{{p}^{\mu }}}}{{{{p}^{0}}}}f\left( {t,{\mathbf{x}},q,m,e} \right){{d}^{3}}qdmde} . \\ \end{gathered} $

Здесь имеется в виду, что скорости в первом уравнении, а импульсы ${{p}^{\mu }}$ во втором должны быть выражены через канонические импульсы ${{q}_{\mu }}$.

Уравнение движения для частиц получаем уже в Гамильтоновой форме, где функция Гамильтона H = $ - с\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{0}}}}$ = –cq0. Эта формула получается из-за того, что Лагранжиан для действия S = = $ - cm\int {\sqrt {{{g}_{{\mu \nu }}}{{u}^{\mu }}{{u}^{\nu }}} dt} $ – $\frac{e}{c}\int {{{A}_{\mu }}{{u}^{\mu }}dt} $ есть функция первой степени по скоростям, и формулы Эйлера ${{u}^{\mu }}\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{\mu }}}}$ – L = 0. Так как по определению H = ${{u}^{i}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{i}}}}$ – L, получаем $c\frac{{\partial L}}{{\partial {{u}^{0}}}} + H$ = 0. Здесь имеется в виду суммирование по $i$ = 1, 2, 3 и по $\mu ~$ = 0, 1, 2, 3. Отсюда находим выражения для скоростей ui = $\frac{{\partial H}}{{\partial {{q}_{i}}}} = {{u}^{i}}(q) = - c\frac{{\partial {{q}_{0}}}}{{\partial {{q}_{i}}}}$.

Выписываем через этот гамильтониан уравнение Лиувилля:

(8)
$\frac{{~\partial f}}{{\partial t}} - c\frac{{\partial {{q}_{0}}}}{{\partial {{q}_{i}}}}\frac{{\partial f}}{{\partial {{x}^{i}}}} - c\frac{{\partial {{q}_{0}}}}{{\partial {{x}^{i}}}}\frac{{\partial f}}{{\partial {{q}_{i}}}} = 0~.$

И получаем замкнутую систему уравнений гравитации и электродинамики Власова–Максвелла–Эйнштейна в импульсах (7)–(8). По общей схеме работ [16–20] получаем гидродинамическое следствие системы (7)–(8) гидродинамической подстановкой $f(t,x,q,m,e)$ = $\rho (x,t,m,e)\delta (q - Q(q,t,m,e))$:

(9)
$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}^{i}}}}({{u}^{i}}\left( Q \right)\rho ) = 0,$
(10)
$\frac{{\partial ~{{Q}_{k}}}}{{\partial t}} - c\frac{{\partial {{q}_{0}}}}{{\partial {{q}_{i}}}}\left( {x,Q} \right)\frac{{\partial ~{{Q}_{k}}}}{{\partial {{x}^{i}}}} + c\frac{{\partial {{q}_{0}}}}{{\partial {{x}^{k}}}} = 0.$

Подстановкой ${{Q}_{\alpha }} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\alpha }}}}$ или $~{{P}_{\alpha }} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\alpha }}}} - \frac{e}{c}{{A}_{\alpha }}$ получаем затем уравнения Гамильтона–Якоби:

(11)
$\left( {\frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\alpha }}}} - \frac{e}{c}{{A}_{\alpha }}} \right)\left( {\frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\beta }}}} - \frac{e}{c}{{A}_{\beta }}} \right){{g}^{{\alpha \beta }}} = {{\left( {mc} \right)}^{2}}.$

Мы также должны переписать уравнение неразрывности:

(12)
$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}^{i}}}}({{u}^{i}}\left( {\nabla W} \right)\rho ) = 0.$

Чтобы получить замкнутую форму уравнений Гамильтона–Якоби–Власова–Максвелла–Эйнштейна, необходимо и в уравнениях для полей выполнить ту же гидродинамическую подстановку $f(t,x,q,m,e) = \rho (x,t,m,e)\delta (q - Q(x,t,m,e))$:

(13)
$\begin{gathered} {{k}_{1}}\left( {{{R}^{{\mu \nu }}} - \frac{1}{2}{{g}^{{\mu \nu }}}\left( {R + \Lambda } \right)} \right)\sqrt { - g} = \\ = c\int m \frac{{\rho \left( {t,x,m,e} \right)}}{2}\frac{{c{{P}^{\mu }}{{P}^{\nu }}}}{{({{P}^{0}}){{{\left( {mc} \right)}}^{2}}}}dmde - \\ - \frac{1}{2}{{k}_{2}}{{F}_{{\mu \nu }}}{{F}^{{\mu \nu }}}{{g}^{{\mu \nu }}}\sqrt { - g} , \\ \end{gathered} $
${{k}_{2}}\frac{{\partial {{F}^{{\mu \nu }}}}}{{\partial {{x}_{\nu }}}}\sqrt { - g} = \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\int {e\frac{{c{{P}^{\mu }}}}{{{{P}^{0}}}}\rho \left( {t,{\mathbf{x}},m,e} \right)dmde} .$

Здесь макроскопические импульсы Pμ и ${{P}_{\mu }}$ связаны обычными соотношениями ${{P}_{\mu }} = {{g}_{{\mu \nu }}}{{P}^{\nu }}$. При этом в форме Гамильтона–Якоби нужно учитывать, что ${{P}_{\alpha }} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{x}^{\alpha }}}} - \frac{e}{c}{{A}_{\alpha }}$. Мы получили уравнение Власова–Максвелла–Эйнштейна как в редукции к гидродинамическим переменным, (9), (10), (13), так и в редукции к уравнениям Гамильтона–Якоби (11)–(13). В принципе можно рассматривать космологическую задачу и в общем случае, но выражения будут громоздкими, поэтому рассмотрим примеры специальных релятивистских систем.

Пример 1. Рассмотрим простейшее релятивистское действие с метрикой Лоренца:

$\begin{gathered} S = - cm\int {\left( {\sqrt {{{c}^{2}} - {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}}^{2}}} + \frac{U}{с}} \right)dt - } \\ - \frac{1}{{8\pi \gamma }}\int {{{{\left( {\nabla U} \right)}}^{2}}dxdt} - \frac{{{{с}^{2}}\Lambda }}{{8\pi \gamma }}\int {Udxdt.} \\ \end{gathered} $

Варьируя по координатам x(t), получаем обычные релятивистские уравнения в метрике Лоренца с Гамильтонианом [1–4]

$H\left( {x,q} \right) = c\sqrt {{{{(mc)}}^{2}} + {{q}^{2}}} + U.$

Переходим к действию, пригодному к варьированию по полям по нашей обычной схеме:

$\begin{gathered} S = - c\int {m\left( {\sqrt {{{c}^{2}} - {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}}^{2}}} + U} \right)f(x,p,t,m)d{\mathbf{p}}dmdxdt - } \\ - \frac{1}{{8\pi \gamma }}\int {{{{\left( {\nabla U} \right)}}^{2}}d{\mathbf{x}}dt - \frac{{{{с}^{2}}\Lambda }}{{8\pi \gamma }}\int {Udxdt.} } \\ \end{gathered} $

Варьируя его по потенциалу U, получаем уравнения для полей:

$\Delta U = 4\pi \gamma \int {mf\left( {t,x,q,m,e} \right)dqdmde - \frac{1}{2}{{c}^{2}}\Lambda .} $

Сразу переходим к уравнению Гамильтона–Якоби и получаем систему уравнений

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}^{i}}}}({{{v}}^{i}}\left( {\nabla W} \right)\rho ) = 0, \hfill \\ \frac{{\partial W}}{{\partial t}} + c\sqrt {{{{(mc)}}^{2}} + {{{(\nabla W)}}^{2}}} + U = 0 \hfill \\ \Delta U = 4\pi \gamma \int {m\rho dmde} - \frac{{{{c}^{2}}\Lambda }}{2}. \hfill \\ \end{gathered} \right.,$
где ${{{v}}^{i}}\left( q \right) = \frac{{\partial H}}{{\partial {{q}_{i}}}} = \frac{{c{{q}^{i}}}}{{\sqrt {{{{(mc)}}^{2}} + {{q}^{2}}} }}$.

Мы получили выражение для скорости, из которого видно Хаббловское расширение, замкнутую систему уравнений и возможность переходить к космологическим решениям в изотропном случае и когда плотность не зависит от пространства.

Пример 2. Еще одно релятивистское действие, но с метрикой не Лоренца, а слаборелятивистской

${{g}_{{\alpha \beta }}} = {\text{diag}}\left( {1 + \frac{{2U}}{{{{c}^{2}}}}, - 1, - 1, - 1} \right).$

При этом потенциал вносится в действии под корень:

$\begin{gathered} S = - cm\int {\sqrt {{{c}^{2}} - {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}}^{2}} + U} dt - } \\ - \frac{1}{{8\pi \gamma }}\int {{{{\left( {\nabla U} \right)}}^{2}}d{\mathbf{x}}dt - \frac{{{{с}^{2}}\Lambda }}{{8\pi \gamma }}\int {Udxdt.} } \\ \end{gathered} $

Действуя так же, получаем гамильтониан

$H = - c{{p}_{0}}\left( {x,q,t} \right) = c\sqrt {({{{(mc)}}^{2}} + {{q}^{2}})\left( {1 + \frac{{2U}}{{{{c}^{2}}}}} \right)} $
и систему уравнений
$\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}^{i}}}}({{{v}}^{i}}\left( {\nabla W} \right)\rho ) = 0 \hfill \\ \frac{{\partial W}}{{\partial t}} + c\sqrt {({{{(mc)}}^{2}} + {{{(\nabla W)}}^{2}})\left( {1 + \frac{{2U}}{{{{c}^{2}}}}} \right)} = 0 \hfill \\ \Delta U = 4\pi \gamma \int {\frac{{m\rho \left( {m,x,t} \right)}}{{\sqrt {{{c}^{2}} - \left( {{v}(\nabla W} \right){{)}^{2}} + U} }}dm - \frac{{{{c}^{2}}\Lambda }}{2},} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где ${{{v}}^{i}}\left( q \right) = \frac{{\partial H}}{{\partial {{q}_{i}}}} = \frac{{c{{q}^{i}}\sqrt {1 + \frac{{2U}}{{{{c}^{2}}}}} }}{{\sqrt {{{{(mc)}}^{2}} + {{q}^{2}}} }}$.

Мы получили снова замкнутую систему уравнений, из которой видно происхождение корня в правой части уравнения Эйнштейна, а также выражение для скорости, из которой видно хаббловское расширение. И возможность переходить к космологическим решениям в изотропном случае и когда плотность не зависит от пространства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, мы получили уравнения электродинамики и гравитации в замкнутой форме из принципа наименьшего действия в форме уравнения Власова (ср. [5–15]). Проясняется смысл уравнений типа Власова: это единственный пока способ получить и уравнение гравитации и уравнения электродинамики из принципа наименьшего действия. А также единственный пока способ замкнуть систему уравнений гравитации и электродинамики с помощью принципа наименьшего действия, используя функцию распределения объектов (электронов, ионов, звезд в галактиках, галактик в супергалактиках или Вселенной) по скоростям и пространству. Соответствующие уравнения гидродинамического уровня (например, уравнения магнитной гидродинамики или гравитирующей газодинамики) также естественно получать из уравнений типа Власова гидродинамической подстановкой (пока единственный способ связи с классическим действием и для этих уравнений). Ранее система уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна была получена для скоростей [20, 21], а здесь для импульсов, что дает возможность исследовать космологические решения переходом к уравнению Гамильтона–Якоби. Интерес представляют стационарные решения полученных уравнений, как это делалось для уравнений Власова–Пуассона [22]. В работах [20, 21] были получены космологические решения в нерелятивистском случае, где была выведена и обобщена модель Милна–Маккри [23, 24]. На основе этого был обоснован потенциал Гурзадяна $U\left( r \right) = - \frac{\gamma }{r} + a{{r}^{2}}$ [25], где второе слагаемое связано с лямбда-членом Эйнштейна. Представляет значительный интерес проделать ту же работу для предложенных здесь моделей для оценки лямбды Эйнштейна и различных релятивистских и слаборелятивистских приближений.

Список литературы

  1. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ЛКИ, 2007.

  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988.

  3. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975. 696 с.

  4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.

  5. Веденяпин В.В., Негматов М.А. О выводе и классификации уравнений типа Власова и МГД. Тождество Лагранжа и форма Годунова. Теоретическая и математическая физика. 2012. Т. 170. № 3. С. 468–480.

  6. Веденяпин В.В., Негматов М.-Б.А., Фимин Н.Н. Уравнения типа Власова и Лиувилля, их микроскопические, энергетические и гидродинамические следствия. Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81. № 3. С. 45–82.

  7. Веденяпин В.В., Негматов М.А. О выводе и классификации уравнений типа Власова и магнитной гидродинамики. Тождество Лагранжа, форма Годунова и критическая масса. СМФН. 2013. Т. 47. С. 5–17.

  8. Choquet-Bruhat Y. General relativity and Einstein’s Equations. New York: Oxford University Press, 2009.

  9. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория неравновесных процессов. Казань. ООО “Фолиант”, 2010.

  10. Okabe T., Morrison P.J., Friedrichsen III J.E., L.C. Shepley L.C. Hamiltonian Dynamics of Spatially-Homogeneous Vlasov–Einstein Systems. Physical Review D 84, 024011 (11pp) (2011).

  11. Pegoraro F., Califano F., Manfredi G., Morrison P.J. Theory and Applications of the Vlasov Equation. European Journal of Physics D 69, 68 (3pp) (2015). March.

  12. Cercigniani C., Kremer G.M. The relativistic Boltzmann Equation: theory and applications. Boston, Basel, Berlin: Birghause, 2002.

  13. Choquet-Bruhat Y., Damour T. Introduction to general relativity, black holes and cosmology. New York: Oxford University Press, 2015.

  14. Rein G., Rendall A.D. Global existence of solutions of the spherically symmetric Vlasov–Einstein system with small initial data, Commun. Math. Phys. 1992. V. 150. P. 561–583.

  15. Kandrup H.E., Morrison P.J. Hamiltonian structure of the Vlasov–Einstein system and the problem of stability for spherical relativistic star clusters. Ann. Phys. 1993. V. 225. P. 114–166.

  16. Козлов В. В., Общая теория вихрей, Изд-во Удмуртского ун-та, Ижевск, 1998, 239 с.

  17. Козлов В.В. Гидродинамика гамильтоновых систем. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Мех. 1983. № 6. С. 10–22.

  18. Аржаных И.С., Поле импульсов, Наука, Ташкент, 1965, 231 с.; англ. пер.: Arzhanykh I.S., Momentumfields, Nat. LendingLib., BostonSpa, Yorkshire, 1971, 222 pp.

  19. Веденяпин В.В., Негматов М.А. О топологии стационарных решений гидродинамических и вихревых следствий уравнения Власова и метод Гамильтона–Якоби. Докл. РАН. 2013. Т. 449. № 5. С. 521–526.

  20. Веденяпин В.В., Воронина М.Ю., Руссков А.А. О выводе уравнений электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия. Доклады РАН. 2020. Т. 495. С. 9–13.

  21. Vedenyapin V.V., Fimin N.N., Chechetkin V.M. The generalized Friedman model as a self–similar solution of Vlasov–Poisson equations system. European Physical Journal Plus. 2021. V. 136. № 670.

  22. Веденяпин В.В. Краевая задача для стационарных уравнений Власова. Докл. АН СССР. 1986. Т. 290. № 4. С. 777–780.

  23. Milne E.A. Relativity, Gravitation and World–Structure. Oxford Univ. Press, 1935.

  24. McCrea W.H., Milne E.A. Quart. J. Math. 1934. V. 5. № 73.

  25. Gurzadyan V.G., The cosmological constant in the McCree-Miln Cosmological Scheme. Observatory. 1985. V. 105. № 42.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал