Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 505, № 1, стр. 11-13

Настоящая заметка содержит нестандартную формулировку важной нетривиальной леммы анализа о гомоморфизмах подстановки. Лемма сформулирована как каноническая двойственность между семейством $\overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)$ всех гладких отображений гладкого многообразия M в гладкое многообразие N (многообразия действительные и конечномерные) и семейством $\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M)$, C^∞(N)) всех гомоморфизмов алгебры гладких скалярных функций ${{C}^{\infty }}(N)$ на N в аналогичную алгебру ${{C}^{\infty }}(M)$ на M; стрелки указывают направления действия отображений и гомоморфизмов: если $f\, \in \overrightarrow {{\text{Hom}}} (M$, N) – гладкое отображение $M\xrightarrow{f}N$, то каждая гладкая скалярная функция $b \in {{C}^{\infty }}(N)$ может быть “перенесена” на многообразие M по правилу $b \circ f \in {{C}^{\infty }}(M)$, что порождает отображение ${{C}^{\infty }}(N)\xrightarrow{{{{f}^{\sharp }}}}{{C}^{\infty }}(M)$, которое будем записывать как ${{f}^{\sharp }}:{{C}^{\infty }}(M) \leftarrow {{C}^{\infty }}(N)$. Принятый нами подход придает лемме максимальную возможную общность и одновременно явно фиксирует в самой формулировке основную симметрию задачи: двойственность между “сопряжением” (переходом от отображений многообразий к гомоморфизмам алгебр гладких функций на них) и “косопряжением” (переходом от гомоморфизмов к отображениям), не делегируя этот решающий для всей рассматриваемой проблемы факт в скрытом виде в длинное доказательство. Мы знакомы с несколькими различными формулировками и независимыми доказательствами леммы (см. [1–4]); приведенное здесь доказательство можно рассматривать как несколько усовершенствованный вариант доказательства из [1].

Симметрия двойственности между семействами $\overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)$ и $\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M),{{C}^{\infty }}(N))$ наглядно передается следующими нестандартными теоретико-множественными обозначениями, которых будем придерживаться в дальнейшем изложении. Мы считаем, что аргументом отображения $f\, \in \,\overrightarrow {{\text{Hom}}} (M$, N) является “бесструктурная переменная точка” $q\, \in \,M$, и аргумент в этом случае записывается справа от символа отображения, т.е. вместо общепринятого “$q\, \mapsto \,f(q)$” будем писать “$q\, \mapsto \,qf\, \in \,N$” или “$q \mapsto q \cdot f \in N$”. Действие же гомоморфизма φ ∈ ∈ $\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M),{{C}^{\infty }}(N))$ на “точки” $b \in {{C}^{\infty }}(N)$ функционального пространства ${{C}^{\infty }}(N)$ записывается как “действие слева”: $b \mapsto \varphi b \in {{C}^{\infty }}(M)$ (или $b\, \mapsto \,\varphi \cdot b\, \in \,{{C}^{\infty }}(M)$) для каждой функции b ∈ ${{C}^{\infty }}(N)$. Таким образом, действие гомоморфизма ${{f}^{\sharp }}$, сопряженного к отображению f, на произвольной функции $b \in {{C}^{\infty }}(N)$ представляется как подстановка (суперпозиция) $f \circ b$:

и вся нетривиальная часть леммы сводится к доказательству обратимости оператора сопряжения $\sharp $ и каноническому описанию обратного к нему оператора косопряжения $\flat $, канонически спаривающего произвольный гомоморфизм алгебр φ ∈ ∈ $\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M),{{C}^{\infty }}(N))$ с соответствующим гладким отображением ${{\varphi }_{\flat }} \in \overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)$.

Лемма. Между семействами $\overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)$ и $\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M),{{C}^{\infty }}(N))$ существует естественная двойственность, которая каждому произвольному гладкому отображению $f \in \overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)$ канонически ставит в соответствие сопряженный с ним гомоморфизм алгебр ${{f}^{\sharp }} \in \overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M),{{C}^{\infty }}(N))$ и, наоборот, произвольному гомоморфизму алгебр φ ∈ ∈ $\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M),{{C}^{\infty }}(N))$ канонически ставит в соответствие косопряженное с ним гладкое отображение ${{\varphi }_{\flat }} \in \overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)$:

Отображения (операторы) $\sharp $ и $\flat $ обращают друг друга:

где ${\text{i}}{{{\text{d}}}_{{\overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)}}}$ – тождественный оператордля любого гладкого отображения $f \in \overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)$ (аналогично для ${\text{i}}{{{\text{d}}}_{{\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M),{{C}^{\infty }}(N))}}}$).

Оператор сопряжения $\sharp $ был определен выше; конструкция оператора косопряжения $\flat $ существенно использует результат леммы о “гомоморфизмах вычисления” и приведена далее вместе кратким наброском доказательства.

Рассмотрим алгебру ${{C}^{\infty }}(N)$ гладких скалярных функций на гладком вещественном многообразии N. Известно (см. [2]), что всякий гомоморфизм алгебр $\psi \in \overrightarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(N),\mathbb{R})$ является гомоморфизмом вычисления, т.е. существует такая однозначно определенная точка $r \in N$, что значение гомоморфизма $\psi $ на произвольной функции $b \in {{C}^{\infty }}(N)$ совпадает со значением функции b в точке r:

Для произвольной точки $r \in N$ обозначим через $\hat {r}$ гомоморфизм вычисления ${{C}^{\infty }}(N) \to \mathbb{R}$ в точке r; тогда сформулированное выше утверждение можно записать в виде формулы

Пусть теперь $\varphi $ – произвольный гомоморфизм алгебр ${{C}^{\infty }}(N)$ и ${{C}^{\infty }}(M)$, т.е. φ ∈ $\overleftarrow {{\text{Hom}}} ({{C}^{\infty }}(M)$, C^∞(N)). Докажем существование однозначно определенного отображения ${{\varphi }_{\flat }}$, косопряженного с гомоморфизмом алгебр φ. Уравнение относительно ${{\varphi }_{\flat }}$ имеет вид

оно однозначно разрешимо, ибо его правая часть $\varphi b$ при каждом фиксированном q является гомоморфизмом вычисления ${{C}^{\infty }}(M) \to \mathbb{R}$ в некоторой однозначно определенной точке ${{r}_{q}} \in M$; следовательно, полагая приходим к завершающему нашу конструкцию тождеству

Соотношения (1) проверяются очевидным образом. Например, если $\varphi = {{f}^{\sharp }}$, то для произвольной точки q ∈ M и произвольной гладкой функции $b \in {{C}^{\infty }}(N)$ имеем

так что $f = {{\varphi }_{\flat }} = ({{f}^{\sharp }}{{)}_{\flat }}$, т.е. $\flat \circ \sharp = {\text{id}}{{{\text{|}}}_{{\overrightarrow {{\text{Hom}}} (M,N)}}}$. Аналогично, если $f = {{\varphi }_{\flat }}$, то так что $\varphi = {{f}^{\sharp }} = ({{\varphi }_{\flat }}{{)}^{\sharp }}$.