Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 5-7

Рассмотрим в евклидовом $n$-мерном пространстве семейство софокусных квадрик, заданное уравнением

Здесь ${{a}_{1}} > {{a}_{2}} > \ldots > {{a}_{n}}$ – фиксированные числа, а $\lambda $ – вещественный параметр. Квадрику этого семейства будем называть вырожденной, если ее параметр равен ${{a}_{i}}$ для некоторого $i = 1, \ldots ,n$, иначе квадрику будем называть невырожденной.

К. Якоби в работе [1] показал, что через каждую точку ${{\mathbb{R}}^{n}}$ проходит в точности $n$ софокусных квадрик. Этот факт позволяет ввести в евклидовом $n$-мерном пространстве эллиптические координаты ${{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{n}}$ (${{\lambda }_{1}}\;\leqslant \; \ldots \;\leqslant \;{{\lambda }_{n}}$): каждой точке мы сопоставляем набор параметров софокусных квадрик, содержащих ее, а затем упорядочиваем эти числа по возрастанию. В работе [1] К. Якоби доказал ортогональность этой системы координат.

М. Шаль доказал, что любая прямая в евклидовом ${{\mathbb{R}}^{n}}$ касается $n - 1$ софокусной квадрики. Рассмотрим этот результат с механической точки зрения.

Пусть в евклидовом ${{\mathbb{R}}^{n}}$ по инерции движется материальная точка единичной массы. Ее траекторией является прямая, заданная параметрически: $({{x}_{1}} + \tau {{\dot {x}}_{1}}$, …, ${{x}_{n}} + \tau {{\dot {x}}_{n}})$, $\tau \in \mathbb{R}$. В таком случае уравнение на параметры квадрик, которых касается рассматриваемая траектория, имеет вид:

где функции ${{F}_{m}}$ вычисляются по формуле

Здесь ${{K}_{{i,j}}} = {{x}_{i}}{{\dot {x}}_{j}} - {{x}_{j}}{{\dot {x}}_{i}}$, а $\sigma _{{{{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{k}}}}^{m}$ – элементарный симметрический многочлен степени $m$ от переменных $\{ {{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}\} {\text{/}}\{ {{x}_{{{{i}_{1}}}}}, \ldots ,{{x}_{{{{i}_{k}}}}}\} $. Считаем, что $\sigma _{{i,j}}^{{ - 1}} \equiv 0$, $\sigma _{{i,j}}^{0} \equiv 1$.

Заметим, что ${{F}_{0}}$ есть полная механическая энергия системы и степень уравнения (1) почти всегда равна $n - 1$. Следовательно, согласно результату Шаля это уравнение имеет $n - 1$ вещественный корень и все эти корни являются первыми интегралами рассматриваемой динамической системы. Поскольку старший коэффициент уравнения (1) совпадает с полной механической энергией, функции ${{F}_{0}}, \ldots ,{{F}_{m}}$ являются первыми интегралами этой системы. Оказывается, что эти функции являются функционально независимыми и попарно коммутирующими относительно стандартной скобки Пуассона. Проверить этот факт легче всего в эллиптических координатах.

Теперь рассмотрим геодезический поток на $n$-осном эллипсоиде в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Эта динамическая система является вполне интегрируемой в силу известной теоремы Якоби-Шаля.

Теорема 1 (Якоби и Шаль). Касательные линии, проведенные во всех точках данной геодезической на эллипсоиде в евклидовом $n$-мерном пространстве, касаются помимо этого эллипсоида еще $(n - 2)$-х софокусных с ним квадрик, общих для всех точек этой геодезической.

Замечание 1. Отметим, что с помощью метода разделения переменных Якоби показал интегрируемость геодезического потока на $n$-осном эллипсоиде в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ для произвольного $n$ (см. [1]), а М. Шаль доказал теорему 1 в трехмерном случае (см. [2]).

Современное доказательство теоремы Якоби-Шаля можно найти в работах [3, 4]. Отметим, что из этой теоремы следует интегрируемость биллиарда внутри $(n - 1)$-осного эллипсоида. Доказательство этого факта, а также другие следствия теоремы Якоби-Шаля изложены в работах [5, 6].

Не так давно В.A. Кибкало исследовал вопрос об интегрируемости геодезического потока на пересечении нескольких софокусных квадрик. Он доказал, что геодезический поток на пересечении $(n - 2)$-x квадрик в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ является вполне интегрируемой системой.

Оказывается, этот результат можно обобщить, если рассмотреть геодезический поток на пересечении произвольного числа невырожденных софокусных квадрик. Все дело в том, что функции ${{F}_{1}}, \ldots ,{{F}_{{n - 1}}}$ останутся первыми интегралами геодезического потока на таком пересечении.

Теорема 2 (Белозеров). Пусть ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}}$ – невырожденные софокусные квадрики различных типов в евклидовом $n$-мерном пространстве и $Q = \bigcap\limits_{i = 1}^k \,{{Q}_{i}}$, тогда

1. геодезический поток на $Q$ квадратично интегрируем;

2. касательные линии, проведенные ко всем точкам данной геодезической, касаются помимо ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}}$ еще $n - k - 1$ квадрик софокусных с ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}}$ и общих для всех точек этой геодезической.

Замечание 2. Отметим, что геодезические на пересечении невырожденных софокусных квадрик, вообще говоря, не являются геодезическими на какой-либо из квадрик ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}}$. Поэтому теорема 2 не является следствием классической теоремы Якоби–Шаля.

Возникает естественный вопрос о классе гомеоморфности такого пересечения.

Хорошо известен результат В.В. Козлова о том, что геодезический поток на компактной двумерной ориентируемой аналитической поверхности обладает дополнительным функционально независимым аналитическим первым интегралом в том и только в том случае, когда эта поверхность гомеоморфна либо двумерной сфере ${{S}^{2}}$, либо двумерному тору ${{T}^{2}}$ (см. [7]). Заметим, что из этого факта и теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Следствие. Связная компонента компактного пересечения $(n - 2)$-х софокусных квадрик разных типов в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ гомеоморфна либо двумерной сфере ${{S}^{2}}$, либо двумерному тору ${{T}^{2}}$.

Отметим, что это следствие было получено ранее В.А. Кибкало.

В случае $\dim Q > 2$ такие рассуждения не сработают. Тем не менее можно определить класс гомеоморфности поверхности $Q$, не прибегая к интегрируемости геодезического потока на ней, а используя эллиптические координаты.

Поскольку ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}}$ – квадрики различных типов, их параметры соответствуют разным эллиптическим координатам. Поэтому, пересекая эти квадрики, мы фиксируем $k$ эллиптических координат. В частности, если поверхность $Q$ компактна, одна из квадрик является эллипсоидом, и, следовательно, первая эллиптическая координата на $Q$ будет зафиксирована.

Итак, пусть $Q$ – компактная поверхность и для любого $i$ квадрика ${{Q}_{i}}$ задается в эллиптических координатах уравнением ${{\lambda }_{{{{l}_{i}}}}} = \lambda _{{{{l}_{i}}}}^{0}$ = const. Без ограничения общности можем считать, что $1 = {{l}_{1}} < \ldots < {{l}_{k}}$. Для $i = 1, \ldots ,k$ положим ${{m}_{i}} = {{l}_{{i + 1}}} - {{l}_{i}}$, где ${{l}_{{k + 1}}}$ = n + + 1. Тогда верна следующая теорема.

Теорема 3 (Белозеров). Пусть ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}}$ – невырожденные софокусные квадрики различных типов в евклидовом $n$-мерном пространстве и $Q = \bigcap\limits_{i = 1}^k \,{{Q}_{i}}$ компактно, тогда $Q$ гомеоморфно прямому произведению сфер ${{S}^{{{{m}_{1}} - 1}}} \times \ldots \times {{S}^{{{{m}_{k}} - 1}}}$, где числа ${{m}_{i}}$ определены выше.

Замечание 3. В работе [8] С. Гитлер и С.Л. Медрано изучали топологию пересечений нескольких соосных квадрик с единичной сферой. Они получили, что такие пересечения в общем случае гомеоморфны связным суммам прямых произведений сфер. Отметим, что софокусные квадрики являются соосными, более того в силу теоремы 3 их компактные пересечения гомеоморфны прямым произведениям сфер.

Рассмотрим теперь задачу о движении материальной точки единичной массы в евклидовом $n$-мерном пространстве под действием упругой силы коэффициента k, центр которой расположен в начале координат. В этом случае полная механическая энергия имеет вид:

Следуя методу, описанному В.В. Козловым в работе [9], найдем дополнительные первые интегралы рассматриваемой системы. Будем искать их в виде ${{G}_{m}} = {{F}_{m}} + {{f}_{m}}$, где $m = 1, \ldots ,n - 1$ и функция ${{f}_{m}}$ зависит только от пространственных переменных. Нетрудными вычислениями можно показать, что в качестве ${{f}_{m}}$ можно взять функцию $\frac{k}{2}\left( {\Delta _{1}^{m}x_{1}^{2} + \ldots + \Delta _{n}^{m}x_{n}^{2}} \right)$, где $\Delta _{i}^{m}$ – элементарный симметрический многочлен степени $m$ от переменных $\{ {{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{n}}\} {\text{/}}\{ {{a}_{i}}\} $.

К. Якоби в работе [1] показал, что задача о движении материальной точки по $n$-осному эллипсоиду в евклидовом $n$-мерном пространстве под действием упругой силы коэффициента k, центр которой расположен в начале координат, является интегрируемой. Доказательство этого факта он получил опять же с помощью метода разделения переменных.

Оказывается, что задача останется интегрируемой, если в качестве конфигурационного пространства взять пересечение нескольких невырожденных софокусных квадрик. Это происходит вследствие того, что, как и в случае задачи без потенциала, функции ${{G}_{1}}, \ldots ,{{G}_{{n - 1}}}$ останутся первыми интегралами.

Теорема 4 (Белозеров). Пусть ${{Q}_{1}}, \ldots ,{{Q}_{k}}$ – невырожденные софокусные квадрики различных типов в евклидовом $n$-мерном пространстве и $Q = \bigcap\limits_{i = 1}^k \,{{Q}_{i}}$. Тогда задача о движении материальной точки по Q под действием упругой силы коэффициента k с центром в начале координат является квадратично интегрируемой.