Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 8-12

При конструировании алгоритмов численного решения краевых задач речь всегда идет об аппроксимации континуальных объектов $X$ конечномерными и о построении аналогов последних, отправляясь от понятий, допускающих дискретную формализацию [1]. При этом наилучшее финитное описание объекта $X$, определенным образом организованного в компакт $X$, приводит к понятию александровского $n$-поперечника ${{\alpha }_{n}}(X)$, смысловые потенции которого, как показал К.И. Бабенко [1], далеко выходят за пределы того, что имел в виду П.С. Александров [2]. Введение числового параметра ${{\alpha }_{n}}(X)$ в обиход компьютерной практики сыграло ключевую роль в оценке предельных возможностей вычислительных методов и, в частности, привело к открытию принципиально новых – ненасыщаемых [3] – численных методов, практическая эффективность которых напрямую связана с асимптотикой убывания ${{\alpha }_{n}}(X)$ к нулю при $n \to \infty $. Определяя точность, с которой компакт $X$ исчерпывается компактами топологической размерности $ \leqslant n$, александровский $n$-поперечник ${{\alpha }_{n}}(X)$, указывает погрешность финитного описания $X$ с помощью $n$ числовых параметров, руководствуясь информацией о “гладкостной” структуре $X$: чем большей гладкостью обладает компакт $X$, тем быстрее с ростом $n$ убывает к нулю ${{\alpha }_{n}}(X)$. Оказавшись глубоким математическим фактом, понятие александровского $n$-поперечника ${{\alpha }_{n}}(X)$ привело к переосмыслению статуса значимости для реальных вычислений экстраординарной (в том числе бесконечной) гладкости компакта $X$ решений задач. При этом содержательная информация о компакте $X$ извлекается средствами теории приближений, если найден и исследован подходящий для $X$ аппроксимационный аппарат. В итоге качественная финитизация функционального компакта $X$ определяется наследованием ею дифференциальных свойств $X$.

Существуют классы задач (например, эллиптические [4]), компакты $X$ решений которых могут состоять из ${{C}^{\infty }}$-гладких функций различной природы. Для оценки практической эффективности численных методов их решения нужна, как минимум, информация об асимптотике убывания ${{\alpha }_{n}}(X)$ к нулю при $n \to \infty $. Установление этой асимптотики ${{\alpha }_{n}}(X)$ и есть здесь основная математическая трудность, поскольку, если в нормированном пространстве метрика определяется в известном смысле единственным образом, то в ненормированном, но метризуемом пространстве ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}$, она определяется уже неоднозначно (например, счетным семейством). Для компактов $X$ аналитических функций оценки александровского $n$-поперечника ${{\alpha }_{n}}(X)$ были получены в [3, с. 291].

В работе указаны двусторонние оценки $n$-поперечника ${{\alpha }_{n}}(X)$ компакта $X$ периодических ${{C}^{\infty }}$-гладких функций, ограниченно вложенного в пространство непрерывных на единичной окружности функций. Результат основывается на предложенной ранее автором [5] характеризации ${{C}^{\infty }}$-гладких периодических функций, апеллирующей к ее наилучшему чебыш${{\ddot {е}}}$вскому описанию тригонометрическими многочленами.

1. Пусть $\tilde {C}[0,2\pi ]$ – класс $2\pi $-периодических непрерывных на всей оси $R$ функций с нормой $\left\| \varphi \right\|$ = = $\mathop {\max }\limits_{t \in [0,{\kern 1pt} 2\pi ]} {\text{|}}\varphi (t){\text{|}}$. Пространство $\tilde {C}[0,2\pi ]$ будем трактовать как пространство $C \equiv C[S]$ непрерывных на единичной окружности $S$ функций, которые остаются непрерывными при $2\pi $-периодическом продолжении на всю ось $R$. По аналогии, если $k \geqslant 0$ целое и $\varphi \in {{\tilde {C}}^{k}}[0,2\pi ]$ – пространство $2\pi $-периодических $k$ раз дифференцируемых на $R$ функций, то ${{C}^{{{\kern 1pt} k}}} \equiv {{C}^{{{\kern 1pt} k}}}[S]$ – банахово пространство $k$ раз непрерывно дифференцируемых на $S$ функций с нормой (см. [5])

Пусть ${{\mathcal{T}}^{m}} \subset \tilde {C}[0,2\pi ]$ – класс тригонометрических полиномов порядка не выше $m$ и

При $k = 0$ норма (1) переходит в норму в $C \equiv {{C}^{{{\kern 1pt} 0}}}[S]$. И, согласно определению (1):

Пространство ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}$-гладких $2\pi $-периодических на $S$ функций определим как ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}$ = $\bigcap\nolimits_{k \geqslant 0} {{C}^{k}}$, введя на нем топологию проективного предела $\tau $. Базис окрестностей нуля в ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}$ составляют множества ${{U}_{{{\kern 1pt} l{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varepsilon }}}$ = $\{ \varphi \in {{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}{\kern 1pt} :\;{{\left\| \varphi \right\|}_{l}} < \varepsilon \} $, где $\varepsilon > 0$ и l – натуральное. Топология $\tau $ превращает ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}$ в линейное локально выпуклое пространство, метризуемое с полной трансляционно инвариантной метрикой $\rho $, порождающей исходную топологию $\tau $ (пространство Фреше). Пространство ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}$ обладает абсолютным топологическим базисом $\{ {{\pi }_{0}}(t) = {\text{1/2}}$, ${{\pi }_{{2l - 1}}}(t)$ = $\sin lt$, ${{\pi }_{{2{\kern 1pt} l}}}(t) = \cos lt$, $\forall l \geqslant 1\} $ [6]. Причем понятия ограниченности, фундаментальности и сходимости в ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}} \equiv \bigcap\nolimits_{k \geqslant 0} {{C}^{k}}$ понимаются так же, как они понимаются в каждом метрическом пространстве ${{C}^{{{\kern 1pt} k}}}$ из указанной совокупности. При этом замкнутые ограниченные части ${{C}^{{{\kern 1pt} \infty }}}$ компактны [6], т.е. множество

с фиксированной константой $c > 0$ и заданной числовой последовательностью $\{ G(k)\} $ – компакт в ${{C}^{\infty }}$. Пространство ${{C}^{\infty }}$ плотно в ${{C}^{k}}$, его замыкание при любом $k \geqslant 0$ совпадает с пополнением (и метрическим расширением) ${{C}^{\infty }}$ по норме (1); пополнения эти упорядочены по включению и, в силу (3), одно является частью другого, если $k \geqslant k{\kern 1pt} '$. И, поскольку компакт $K_{{c,G}}^{\infty }$ вкладывается в $C$ непрерывно, а запас компактных множеств при ослаблении топологии не уменьшается, $K_{{c,G}}^{\infty }$ – компакт и в $C$.

Наличие абсолютного базиса означает, что в ${{C}^{\infty }}$ допустимо рассмотрение рядов $\sum\nolimits_{l = 0}^\infty {{c}_{l}}{{\pi }_{l}}(t)$ со следующим соглашением о сходимости: ряд абсолютно сходится в топологии $\tau $, задаваемой системой норм $p = \{ {{p}_{{{\kern 1pt} k}}}( \cdot )\} $, т.е. $\sum\nolimits_{l = 0}^\infty {{p}_{k}}({{c}_{l}}{{\pi }_{l}}) < \infty $ ${\kern 1pt} \forall {\kern 1pt} k \geqslant 0$, и своей суммой имеет элемент $\varphi $ из ${{C}^{\infty }}$. Причем соответствие $\varphi \to \{ {{c}_{k}}\} $, ассоциированное с разложением функции $\varphi $ по базису $\{ {{\pi }_{k}}(t)\} $, порождает на ${{C}^{\infty }}$ линейные непрерывные [7] функционалы ${{f}_{k}}$: $\langle {\kern 1pt} \varphi ,{{f}_{k}}\rangle = {{c}_{k}}(\varphi ) \equiv {{c}_{k}}$ и $\langle {{\pi }_{l}},{{f}_{m}}\rangle = {{\delta }_{{lm}}}$ (${{\delta }_{{lm}}}$ – обычный символ Кронекера). При этом запись φ(t) = = $\sum\nolimits_{l = 0}^\infty {{c}_{l}}{{\pi }_{l}}(t)$ означает, что суммы φ_n(t) = $\sum\nolimits_{l = 0}^n {{c}_{l}}{{\pi }_{l}}(t)$ сходятся к функции $\varphi (t)$ из ${{C}^{\infty }}$ при $n \to \infty $.

В работе [5] указан новый подход к описанию периодических ${{C}^{\infty }}$-гладких на $S$ функций, состоящий в указании пары эффективно конструируемых по набору $\{ G(k)\} $ монотонных функций $\mu (r)$ и $\vartheta (r)$ вещественного аргумента $r \geqslant 0$, связанных посредством классического неравенства Джексона (см., например, [3])

с мажорантой $G(k)$ и обладающих на полуоси $r \geqslant 0$ рядом полезных свойств.

Пусть $\{ G(k)\} _{{k = 0}}^{\infty }$ – последовательность вещественных чисел и $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \sqrt[k]{{G(k)}}$ = ∞. Сопоставим последовательности $\{ G(k)\} _{{k = 0}}^{\infty }$ пару функций числового аргумента $r \in [{\kern 1pt} 0,\infty )$:

При этом знак inf в определении $\mu (r)$ всегда можно заменить на min и потому

Теорема 1 (см. [5]). При $r \geqslant 1$ функция $\vartheta (r)$ целочисленна, неотрицательна, не убывает, непрерывна справа и стремится к бесконечности вместе с $r$. Функция $\mu (r)$ строго монотонно убывает, непрерывна и стремится к нулю при $r \to \infty $. При этом

Следствие 1. Функция $\mu (r)$ стремится к нулю при $r \to \infty $ быстрее любой степени числа $r$, т.е. для $\forall {\kern 1pt} p \geqslant 0$ справедливо равенство $\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } {{r}^{p}}\mu (r)$ = 0.

Упомянутые классы ${{C}^{\infty }}$-гладких функций не пусты: им принадлежат известные классы Жевре, имеющие мажоранту $G(k) = c{{A}^{k}}{{k}^{{\alpha k}}}$ ($c > 0$, $\alpha \geqslant 1$, $A > 0$ – константы).

Наличие базиса позволяет любую функцию $\varphi (t)$ из ${{C}^{\infty }}$ отождествить с ее рядом

Ряд (6) сходится в $\tau $-топологии (т.е. равномерно !); сходится он и в смысле гильбертова пространства ${{L}_{{{\kern 1pt} 2}}}[S]$. Ввиду полноты и ортогональности базиса $\{ {{\pi }_{p}}(t)\} $, ряд (6) является рядом Фурье своей суммы $\varphi (t)$:

Компакты $K_{{c,G}}^{\infty } \subset {{C}^{\infty }}$ задаются (см. (4)) явным указанием мажоранты их $k$-х производных $G(k)$, зависящей от целого параметра $k \geqslant 0$. И, поскольку $K_{{c,G}}^{\infty }$ вкладывается в пространство равномерно сходящихся рядов (6), возникает вопрос: насколько порядки убывания к нулю коэффициентов ${{c}_{p}}$ разложения элементов $\varphi $ из $K_{{c,G}}^{\infty }$ по базису $\{ {{\pi }_{p}}(t)\} $ согласованы с порядком роста мажоранты $G(k)$, задающей компакт $K_{{c,G}}^{\infty }$?

Лемма 1. Если функция $\varphi $ принадлежит компакту $K_{{c,G}}^{\infty }$, то

Обратно, если коэффициенты разложения функции $\varphi $ из ${{C}^{\infty }}$ удовлетворяют условиям

то функция $\varphi $ принадлежит компакту $K_{{c,G}}^{\infty }$ (см. (4)).

2. Пусть $X \subset C$ – компакт и $\Upsilon = ({{\chi }_{1}},{{\chi }_{2}}, \ldots ,{{\chi }_{N}})$ – его конечное замкнутое $\varepsilon $-покрытие; по определению $\varepsilon $-покрытие $\Upsilon $ имеет кратность $k$, если любые $(k + 1)$ элементов $\Upsilon $ не пересекаются, и существует $k$ элементов, имеющих непустое пересечение (см. [3, 8]). Ранее, говоря о финитизации $X$, мы несколько неопределенно характеризовали ее, говоря, что элементы $X$ определяются конечным числом параметров. Можно придать точный смысл этому наблюдению, если использовать понятие топологической размерности компакта $X$, определяемое через кратность замкнутого $\varepsilon $-покрытия $X$.

Определение (см. [3, 9]). Компакт $X$ имеет топологическую размерность $n$ $(\dim X = n)$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует его замкнутое $\varepsilon $-покрытие кратности, не большей $(n + 1)$, но для достаточно малого $\varepsilon $ уже не существует замкнутого $\varepsilon $-покрытия, кратность которого не превосходит $n$.

Александровские $m$-поперечники (проекционный и интерполяционный) компакта $X \subset C$ определяются соответственно следующими способами (см. [3, 9]):

где  inf  берется по всевозможным парам $({{X}^{{{\kern 1pt} m}}},\psi )$, состоящим из лежащего в $C$ компакта ${{X}^{m}}$ размерности $ \leqslant m$ и непрерывного отображения $\psi \,:\,X\, \to \,{{X}^{m}}$. Добавим к этому, что интерполяционный $m$-поперечник ${{\beta }_{m}}(X)$, но определенный по Урысону (см. [9]), совпадает с нижней гранью тех $\varepsilon $, для которых существует замкнутое $\varepsilon $-покрытие $X$ кратности $m + 1$ (теорема Александрова [9]). В предположении, что $X$ – компакт в банаховом пространстве, в работах [2, 8] были установлены следующие неравенства

Оценка сверху для величины ${{\alpha }_{m}}(K_{{c,{\kern 1pt} G}}^{{{\kern 1pt} \infty }})$ следует из первого определения (7) (см. (2)):

Для оценки снизу воспользуемся монотонностью ${{\alpha }_{m}}(K_{{c,G}}^{\infty })$ относительно перехода к компактным ${{X}_{0}}$ подмножествам [9, с. 16]: если ${{X}_{0}} \subseteq K_{{c,G}}^{\infty }$, то ${{\alpha }_{m}}({{X}_{0}}) \leqslant {{\alpha }_{m}}(K_{{c,G}}^{\infty })$.

Выберем в качестве компакта ${{X}_{0}}$ куб ${{\mathbb{Q}}^{{m + 1}}}$ $ \subset $ $ \subset $ $K_{{c,G}}^{\infty }$ топологической размерности $\dim {{\mathbb{Q}}^{{m + 1}}}$ = = m + 1, для которого величина ${{\alpha }_{m}}({{\mathbb{Q}}^{{m + 1}}})$ вычисляется явно. Действительно, пусть $f \in K_{{c,G}}^{\infty }$ и $f(t) = \sum\limits_{r = 0}^\infty {\kern 1pt} {{c}_{r}}{{\pi }_{r}}(t)$. Тогда $\forall {\kern 1pt} k \geqslant 0$:

Введя число $\gamma = 6{\text{/}}{{\pi }^{2}}$ и функции ϕ_r(t) = = $\gamma \mu (r){{(r + 1)}^{{ - 2}}}{{\pi }_{r}}(t)$ $(0 \leqslant r \leqslant m)$, получим:

Функции ${{\phi }_{r}}(t)$ $(0 \leqslant r \leqslant m)$ линейно независимы и принадлежат $K_{{c,G}}^{\infty }$; их линейная комбинация $\omega (t) = \sum\limits_{r = 0}^m {{\xi }_{r}}{{\phi }_{r}}(t)$ при $|{\kern 1pt} {{\xi }_{r}}{\text{|}} \leqslant 1$ также принадлежит компакту $K_{{c,G}}^{\infty }$:

Рассмотрим теперь множество функций:

где ${{\xi }_{0}},{{\xi }_{1}}, \ldots ,{{\xi }_{m}}$ – произвольные вещественные числа.

Куб ${{\mathbb{I}}^{{{\kern 1pt} m + 1}}} = \left\{ {\xi \in {{\mathbb{R}}^{{m + 1}}}:\gamma \frac{{\mu (r)}}{{{{{(r + 1)}}^{2}}}}{\text{|}}{{\xi }_{r}}{\text{|}} \leqslant 1,r = 0,1, \ldots ,m} \right\}$ линейно и гомеоморфно вкладывается в компакт $K_{{c,G}}^{\infty }$, и его образом является множество (9), поскольку

По теореме Лебега–Брауэра (см. [9, с. 17]): $\dim {{\mathbb{I}}^{{m + 1}}}$ = = m + 1. В силу изометрического вложения ${{I}^{{m + 1}}}$ в куб ${{Q}^{{m + 1}}}$, получаем

поскольку урысоновский $m$-поперечник куба ${{I}^{{m + 1}}}$ равен длине его ребра (см. [10], с. 11).

Теорема 2. Верны следующие оценки александровского $m$-поперечника ${{\alpha }_{m}}(K_{{c,G}}^{\infty })$ компакта $K_{{c,G}}^{\infty }$ периодических ${{C}^{\infty }}$-гладких функций, ограниченно вложенного в пространство $C$ непрерывных на единичной окружности $S$ функций:

Следствие 2. Пусть $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \sqrt[k]{{G(k)}}{\text{/}}{{k}^{\alpha }} < \infty $, где $\alpha \geqslant 1$. Это условие выполнено для классов Жевре: G(k) = = $c{{A}^{k}}{{k}^{{\alpha k}}}$ ($c > 0$, $A > 0$). Тогда

здесь $\varrho = \alpha {{e}^{{ - 1}}}{\text{/}}\sqrt[\alpha ]{A}$ и $\beta = \exp (\alpha e\sqrt[\alpha ]{A}{\text{/}}2)$ – константы.

Полученный в работе результат возник как реакция на реальную потребность вычислительной гидродинамики [4, 11, 12].