Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 60-64

1. ВВЕДЕНИЕ

Термодинамическим анализом процесса горения строится новая модель ламинарного процесса горения. Будет показано, что при управлении скоростью роста температуры на входе, в зависимости от стандартного химического потенциала, возникают высокочастотные колебания резонанса в процессе развития теплового взрыва. Мы рассматриваем идеализированную модель процесса горения, моделируется задача для открытой системы с обменом массой с внешней средой. Для такой системы возможно изменение молекулярной массы реагирующих компонентов, однако предполагается, что эти изменения настолько малы, что можно считать молекулярную массу постоянной. Учет переменной молекулярной массы приведет к не столь сложным изменениям в термодинамическом анализе процесса горения, при этом он уточнит выражение для энтропии и давления. Представленный анализ проведен для простейшего случая идеального газа с постоянными теплоемкостью и молекулярной массой, что влечет выбор фиксированной $\gamma $ – постоянной адиабаты, и входящая в расчеты $R$ – газовая постоянная также является константой. Основной задачей статьи является формализация возникающих при горении обратных связей, приводящих к резонансу теплового взрыва [1]. Другой подход к моделированию детонационного горения, без жестких ограничений, приведенных выше, рассмотрен в [3–6]. Как мы уже упоминали выше, в рамках выбранной модели при управлении скоростью возрастания температуры на входе, в зависимости от стандартного химического потенциала, возникают высокочастотные колебания резонанса в процессе развития теплового взрыва.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Наша задача – вывести систему уравнений, описывающих процесс горения в режиме детонации, а также численным экспериментом построенной ниже модели дать возможный ответ на давно стоящий вопрос о реализации режима детонации (существенного роста давления) при ламинарном процессе горения. Мы покажем, что также, как при вибрационном горении [7], при накачке теплоты (нагреве входа камеры сгорания) возникает резонанс (который можно интерпретировать как тепловой взрыв), реализующий взаимодействие неустойчивости Рэлея–Бенара [1] и процесса горения. Численным экспериментом мы установим, что вблизи резонанса при дополнительном условии перемешивания смеси возникает режим детонации, но существующий недолго.

3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА

В отличие от исследования механизма резонанса вибрационного горения [7], при накачке кинетической энергии мы будем исследовать влияние управления ростом температуры на входе камеры сгорания (накачки теплоты). Имеет место следующая

Теорема. Замыканием двумя уравнениями состояния (определяющими давление и энтропию)

иклассической двухкомпонентной модели процесса горения в поле силы тяжести: $\varepsilon $ – динамическая вязкость, средняя скорость смеси – $\tilde {U}$ = ${{c}_{0}}\tilde {n}{{\tilde {u}}_{1}}$ + $(1 - {{c}_{0}}\tilde {n}){{\tilde {u}}_{2}}$, $\frac{d}{{d\tilde {t}}}$ = ${{\partial }_{{\tilde {t}}}}$ + $\tilde {U}{{\partial }_{{\tilde {x}}}}$ и см. [1]: мы моделируем высокочастотные колебания резонанса в процессе развития теплового взрыва. Переменные фазового пространства: – $\tilde {P}$ – давление, $\tilde {S}$ – энтропия, $\tilde {T}$ – темпераура, $\tilde {E}$ – внутренняя энергия, $\tilde {\varrho }$ – плотность, $\tilde {n}$ – приведенное количество активной компоненты (горючего) двухкомпонентной смеси, ${{\tilde {u}}_{1}}$ – скорость активной компоненты, ${{\tilde {u}}_{2}}$ – скорость пассивной компоненты соответственно, ${{\tilde {P}}_{0}}$, ${{\tilde {T}}_{0}}$, ${{\tilde {S}}_{0}}$, ${{\tilde {\varrho }}_{0}}$, ${{\tilde {n}}_{0}}$ – начальные давление, температура, энтропия, плотность и приведенное количество активной компоненты. В то же время $x$ – пространственные переменные, вектор ${{g}_{1}} = (1,0,0)$, $\varepsilon $ – динамическая вязкость, ${{\tilde {\varepsilon }}_{g}}$ – ускорение свободного падения, ${{c}_{0}}$ – концентрация активной компоненты. Здесь теплота $\tilde {Q} = \tilde {T}\tilde {S}$ при дополнительном условии в начальный момент достаточной перемешиваемости компонент смеси или низкой начальной температуры (когда начальная энтропия ${{S}_{0}} \sim 0$, в классике $Q = \operatorname{const} $ [1]), $\beta $ – порядок реакции ($\beta = 0,1,2$), ${{E}_{*}}$ – энергия активации формулы Аррениуса (5) для скорости [1].

Доказательство. В случае одной активной компоненты глобальную неоднородность системы можно характеризовать как неоднородное распределение энтальпии по потоку (смеси). Для неоднородности системы вызванной накачкой теплоты в процессе горения в фазовом пространстве переменных ($V$, $P$, $T$, $n$, $S$, $E$) плотность приращения энтальпии $\varrho \Delta H$ не есть полный дифференциал. Плотность приращения энтальпии есть полный дифференциал на многообразии локального равновесия. Стандартный химический потенциал представим в виде

где приведенное давление и его плотность

Тогда

Приравнивая к нулю коэффициент при $d\mathcal{P}$, получим уравнение состояния

для плотности приведенного давления ${{P}_{{pr}}}$: аналог формулы Менделеева–Клайперона

Отсюда

Мы получили уравнение состояния, определяющее давление в поле силы тяжести с учетом гидродинамического процесса. Приравнивая к нулю коэффициент при $dT$, получим уравнение состояния для энтропии

где $P_{{ad}}^{0}$ – начальное давление адиабатического гидродинамического процесса в поле силы тяжести ${{P}_{{ad}}} = (\gamma - 1)\varrho E$ + $\frac{{{{P}_{0}}}}{{{{\varrho }_{0}}}}\varrho $, ${{P}_{{{\text{comb}}}}}$ = $RTn\varrho - $. Из (2)–(3) следует, что в фазовом пространстве переменных ($n$, $P$, $E$, $\varrho $, $S$, $T$) соотношения (7), (8) определяют многообразие ${{\mathcal{M}}_{V}}$ локального равновесия, на котором плотность приращения энтальпии есть полный дифференциал: где

В случае ${{H}_{\mathcal{M}}} > 0$, ${{H}_{\mathcal{M}}}$ естественно назвать энергией завихренности. На этом доказательство завершено.

4. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ МОДЕЛИ (3)–(5), (7), (8)

Мы приведем результаты численного эксперимента, подтверждающие наличие резонанса теплового взрыва [1]. Численный эксперимент модели (2)–(3) на отрезке $\tilde {x} \in [0,1]$ с граничным условием, включающим управление ростом температуры на входе:

и начальными условиями, моделирующими в одномерном случае впрыскивание из форсунки горючей компоненты двухкомпонентной смеси: ${{\left. {\tilde {n}} \right|}_{{\tilde {t} = 0}}} = {{n}_{1}} = 0.5$, $\tilde {x} \in (0,\;0.3) \cup (0.4,\;0.5)$, ${{\left. {\tilde {n}} \right|}_{{\tilde {t} = 0}}} = 0.52$, $\tilde {x} \in (0.3,\;0.4)$, ${{\tilde {E}}_{*}} = 100$. Начальные данные для внутренней энергии ${{\tilde {E}}_{0}} = 1.$ Поведение графиков решения смешанной задачи (3)–(5), (7), (8), (10)–(12) зависит от структуры производной $\frac{d}{{d\tilde {T}}}{{\tilde {\mu }}_{0}}(\tilde {T})$. В отличие от вибрационного горения [7] резонанс теплового взрыва возникает в случае ${{\tilde {\mu }}_{0}}(\tilde {T})$ = = ${{\tilde {T}}_{0}}\left[ {{{B}_{*}} - (R + {{A}_{*}})\frac{{{{{\tilde {T}}}^{2}}}}{{\tilde {T}_{0}^{2}}}} \right]$.

ПРИМЕР 1. В численном эксперименте для значений ${{A}_{*}} + R = 0.5$, ${{\tilde {\varrho }}_{0}} = 0.8$ меньше критического $A_{*}^{{{\text{cr}}}} + R = 2$ характерно возникновение высокочастотных колебаний, достаточно быстро разрушающихся во времени. Процесс стремится к однородному состоянию.

ПРИМЕР 2. Ниже (см. рис. 1) приведем численный эксперимент сo значением параметра ${{A}_{*}} + R = 1.5$, ${{\tilde {\varrho }}_{0}} = 1.5$, близким к критическим, что приводит к взрыву.

Как видим, здесь режим дефлаграции, давление падает. Режим существует вблизи резонанса. Из проведенных численных экспериментов следует, что без дополнительных условий в ламинарном процессе горения в приближении локального равновесия не рождается режим детонации.

Перемешивание. Теперь перейдем к начальным условиям, моделирующим в одномерном случае впрыскивание из семи форсунок горючей компоненты двухкомпонентной смеси:

Моделируется условие равных расходов для одной форсунки и для смеси. Далее, однородные условия начальных данных: ${{\left. {\tilde {\varrho }} \right|}_{{\tilde {t} = 0}}} = {{\tilde {\varrho }}_{0}} = 1.5$, ${{\left. {{{{\tilde {u}}}_{1}}} \right|}_{{\widetilde t = 0}}} = \tilde {u}_{1}^{0} = 1.5$, ${{\left. {{{{\tilde {u}}}_{2}}} \right|}_{{\widetilde t = 0}}} = \tilde {u}_{2}^{0} = 1.5$, ${{\left. {\tilde {T}} \right|}_{{\tilde {t} = 0}}} = {{\tilde {T}}_{0}} = 10$, ${{\tilde {E}}_{*}} = 100$. Начальные данные для внутренней энергии ${{\tilde {E}}_{0}} = \operatorname{const} $. Так же как выше, приводим результаты счета активного существования зоны детонации при $A + R = 2$. Как видим (см. рис. 2), этот случай “перемешивания” имеет рост давления зоны детонации. Здесь одинаковые площади под графиком с 1 форсункой и 7.

Как видим, мы имеем рост давления зоны детонации. Время жизни небольшое, процесс быстро стабилизируется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из проведенных численных экспериментов следует, что без дополнительных условий в моделировании ламинарного процесса горения в приближении локального равновесия рождается процесс детонации. Численным экспериментом мы установим, что вблизи резонанса при дополнительном условии перемешивания смеси возникает режим детонации, но существующий недолго. В натурном эксперименте получена обширная зона детонации при существенном росте давления при наличии шероховатостей на поверхности камеры сгорания. Последнее указывает на возможное участие в рождении зоны детонации –турбулизации процесса горения. Это станет задачей ближайшей публикации, в которой мы уйдем от ограничения “идеального газа с постоянными теплоемкостью и молекулярной массой” (переходя к переменному $R$).